In mathematics an orthogonal trajectory is a curve, which intersects any curve of a given pencil of (planar) curves orthogonally. For example, the orthogonal trajectories of a pencil of concentric circles are the lines through their common center (see diagram). Suitable methods for the determination of orthogonal trajectories are provided by solving differential equations. The standard method establishes a first order ordinary differential equation and solves it by separation of variables. Both steps may be difficult or even impossible. In such cases one has to apply numerical methods.
| Attributes | Values |
|---|
| rdf:type
| |
| rdfs:label
| - Orthogonaltrajektorie (de)
- Trayectoria ortogonal (es)
- Trajectoire orthogonale (fr)
- Orthogonal trajectory (en)
- Orthogonale families (nl)
- Trajetória ortogonal (pt)
- Ортогональные траектории (ru)
- Ортогональна траєкторія (uk)
|
| rdfs:comment
| - Orthogonale families of orthogonale banen (ook orthogonale schaar genoemd) bestaan uit twee groepen krommen, waarbij elk lid van de ene groep elk lid van de andere loodrecht snijdt. Meestal wordt elk van de families beschreven door een impliciete functie van één veranderlijke, die ook een vrije parameter bevat zodat de familie oneindig veel leden bevat. (nl)
- Ортогональные траектории — линии, пересекающие заданное семейство кривых под прямым углом. Если — угловой коэффициент касательной к ортогональной траектории, а — угловой коэффициент касательной к кривой данного семейства, то и должны в каждой точке удовлетворять условию ортогональности: Пусть у нас есть семейство кривых , где — константа. Тогда ортогональные траектории могут быть найдены путём решения системы дифференциальных уравнений: Используя определение градиента, можно записать: Таким образом: (ru)
- Ортогональні траєкторії — лінії, що перетинають задане сімейство кривих під прямим кутом. Якщо — кутовий коефіцієнт дотичної до ортогональної траєкторії, а — кутовий коефіцієнт дотичної до кривої даного сімейства, то і повинні в кожній точці відповідати умові ортогональності: Нехай у нас є сімейство кривих , де — константа. Тоді ортогональні траєкторії можуть бути знайдені шляхом розв'язку системи диференціальних рівнянь: Використовуючи визначення градієнта, можна записати: Таким чином: (uk)
- Eine Orthogonaltrajektorie ist in der Mathematik
* eine Kurve, die alle Kurven einer gegebenen Kurvenschar (in der Ebene) senkrecht schneidet. Zum Beispiel sind die Orthogonaltrajektorien einer Schar von konzentrischen Kreisen die Geraden durch den Mittelpunkt der Kreise. Der Teilbereich Differentialgleichung der Mathematik stellt zum Auffinden von Orthogonaltrajektorien geeignete Verfahren zur Verfügung. Beim Standardverfahren bestimmt man zunächst eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung für die gesuchten Orthogonaltrajektorien und löst diese anschließend mit Hilfe der Methode Trennung der Veränderlichen. Beide Schritte können schwierig bis unlösbar sein. Dann muss man auf numerische Verfahren zurückgreifen. (de)
- En matemáticas, una trayectoria ortogonal es
* una curva, la cual interseca ortogonalmente cada curva de una familia de curvas dada. Por ejemplo, las trayectorias ortogonales de una familia de circunferencias concéntricas son las líneas que pasan a través de su centro común (ver esquema). Las trayectorias ortogonales son utilizadas en matemáticas, por ejemplo, como sistemas de coordenadas curvilíneos (e.g. elliptic coordenadas), o aparecen en física como campos eléctricos y sus curvas equipotenciales. (es)
- In mathematics an orthogonal trajectory is a curve, which intersects any curve of a given pencil of (planar) curves orthogonally. For example, the orthogonal trajectories of a pencil of concentric circles are the lines through their common center (see diagram). Suitable methods for the determination of orthogonal trajectories are provided by solving differential equations. The standard method establishes a first order ordinary differential equation and solves it by separation of variables. Both steps may be difficult or even impossible. In such cases one has to apply numerical methods. (en)
- En mathématiques, une trajectoire orthogonale est une courbe qui intersecte les courbes d'un faisceau dans le plan orthogonalement. Par exemple, les trajectoires orthogonales d'un faisceau de cercles concentriques sont les droites passant par le centre commun. Les méthodes usuelles de détermination de trajectoires orthogonales sont données par la résolution d'équations différentielles ; dans les cas simples, on détermine une équation différentielle ordinaire du premier ordre, que l'on résout par séparation des variables pour obtenir l'expression exacte. (fr)
- Uma equação da forma , onde é uma constante, define uma família de curvas. As trajetórias ortogonais são outra família de curvas que intersetam a primeira família em forma ortogonal: em cada ponto de uma das curvas da primeira família passa uma curva da segunda família, formando um ângulo de 90. Para encontrar a família de trajetórias ortogonais às curvas , é necessário encontrar uma equação diferencial cuja solução geral seja ; essa equação encontra-se derivando implicitamente a equação anterior. a solução geral desta equação é a família de trajetórias ortogonais. (pt)
|
| foaf:depiction
| |
| dcterms:subject
| |
| Wikipage page ID
| |
| Wikipage revision ID
| |
| Link from a Wikipage to another Wikipage
| |
| Link from a Wikipage to an external page
| |
| sameAs
| |
| dbp:wikiPageUsesTemplate
| |
| thumbnail
| |
| has abstract
| - Eine Orthogonaltrajektorie ist in der Mathematik
* eine Kurve, die alle Kurven einer gegebenen Kurvenschar (in der Ebene) senkrecht schneidet. Zum Beispiel sind die Orthogonaltrajektorien einer Schar von konzentrischen Kreisen die Geraden durch den Mittelpunkt der Kreise. Der Teilbereich Differentialgleichung der Mathematik stellt zum Auffinden von Orthogonaltrajektorien geeignete Verfahren zur Verfügung. Beim Standardverfahren bestimmt man zunächst eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung für die gesuchten Orthogonaltrajektorien und löst diese anschließend mit Hilfe der Methode Trennung der Veränderlichen. Beide Schritte können schwierig bis unlösbar sein. Dann muss man auf numerische Verfahren zurückgreifen. Orthogonaltrajektorien spielen z. B. in der Physik (Elektrostatik) eine Rolle als Feldlinien in einem elektrischen Feld. Sie stehen senkrecht auf den Äquipotentiallinien. Lässt man beim Schnitt der Kurve mit der Kurvenschar beliebige aber feste Winkel zu, erhält man eine Isogonaltrajektorie. (de)
- En mathématiques, une trajectoire orthogonale est une courbe qui intersecte les courbes d'un faisceau dans le plan orthogonalement. Par exemple, les trajectoires orthogonales d'un faisceau de cercles concentriques sont les droites passant par le centre commun. Les méthodes usuelles de détermination de trajectoires orthogonales sont données par la résolution d'équations différentielles ; dans les cas simples, on détermine une équation différentielle ordinaire du premier ordre, que l'on résout par séparation des variables pour obtenir l'expression exacte. Les trajectoires orthogonales sont utilisées en mathématiques dans les systèmes de coordonnées courbes (i.e. coordonnées elliptiques). En physique, le calcul de trajectoires orthogonales permet de déterminer les champs électriques et leurs courbes équipotentielles. Dans le cas plus général, les courbes intersectant l'ensemble d'un faisceau selon un angle donné fixe sont appelées trajectoires isogonales. (fr)
- En matemáticas, una trayectoria ortogonal es
* una curva, la cual interseca ortogonalmente cada curva de una familia de curvas dada. Por ejemplo, las trayectorias ortogonales de una familia de circunferencias concéntricas son las líneas que pasan a través de su centro común (ver esquema). La determinación de las trayectorias ortogonales se realiza mediante la resolución de ecuaciones diferenciales. El método estándar consiste en establecer una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y luego resolverla por separación de variables. Ambos pasos pueden ser difíciles o incluso imposibles. En tales casos, se debe aplicar métodos numéricos. Las trayectorias ortogonales son utilizadas en matemáticas, por ejemplo, como sistemas de coordenadas curvilíneos (e.g. elliptic coordenadas), o aparecen en física como campos eléctricos y sus curvas equipotenciales. Si la trayectoria interseca las curvas dadas en un ángulo arbitrario ,pero fijo, entonces se la conoce como trayectoria isogonal. (es)
- In mathematics an orthogonal trajectory is a curve, which intersects any curve of a given pencil of (planar) curves orthogonally. For example, the orthogonal trajectories of a pencil of concentric circles are the lines through their common center (see diagram). Suitable methods for the determination of orthogonal trajectories are provided by solving differential equations. The standard method establishes a first order ordinary differential equation and solves it by separation of variables. Both steps may be difficult or even impossible. In such cases one has to apply numerical methods. Orthogonal trajectories are used in mathematics for example as curved coordinate systems (i.e. elliptic coordinates) or appear in physics as electric fields and their equipotential curves. If the trajectory intersects the given curves by an arbitrary (but fixed) angle, one gets an isogonal trajectory. (en)
- Orthogonale families of orthogonale banen (ook orthogonale schaar genoemd) bestaan uit twee groepen krommen, waarbij elk lid van de ene groep elk lid van de andere loodrecht snijdt. Meestal wordt elk van de families beschreven door een impliciete functie van één veranderlijke, die ook een vrije parameter bevat zodat de familie oneindig veel leden bevat. (nl)
- Ортогональные траектории — линии, пересекающие заданное семейство кривых под прямым углом. Если — угловой коэффициент касательной к ортогональной траектории, а — угловой коэффициент касательной к кривой данного семейства, то и должны в каждой точке удовлетворять условию ортогональности: Пусть у нас есть семейство кривых , где — константа. Тогда ортогональные траектории могут быть найдены путём решения системы дифференциальных уравнений: Используя определение градиента, можно записать: Таким образом: (ru)
- Uma equação da forma , onde é uma constante, define uma família de curvas. As trajetórias ortogonais são outra família de curvas que intersetam a primeira família em forma ortogonal: em cada ponto de uma das curvas da primeira família passa uma curva da segunda família, formando um ângulo de 90. Para encontrar a família de trajetórias ortogonais às curvas , é necessário encontrar uma equação diferencial cuja solução geral seja ; essa equação encontra-se derivando implicitamente a equação anterior. A derivada representa em cada ponto o declive da curva que passa por esse ponto. O declive da curva ortogonal será o inverso, com sinal trocado a solução geral desta equação é a família de trajetórias ortogonais. (pt)
- Ортогональні траєкторії — лінії, що перетинають задане сімейство кривих під прямим кутом. Якщо — кутовий коефіцієнт дотичної до ортогональної траєкторії, а — кутовий коефіцієнт дотичної до кривої даного сімейства, то і повинні в кожній точці відповідати умові ортогональності: Нехай у нас є сімейство кривих , де — константа. Тоді ортогональні траєкторії можуть бути знайдені шляхом розв'язку системи диференціальних рівнянь: Використовуючи визначення градієнта, можна записати: Таким чином: (uk)
|
| prov:wasDerivedFrom
| |
| page length (characters) of wiki page
| |
| foaf:isPrimaryTopicOf
| |
| is Link from a Wikipage to another Wikipage
of | |
| is Wikipage redirect
of | |
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)
![[cxml]](/fct/images/cxml_doc.png)
![[csv]](/fct/images/csv_doc.png)
![[text]](/fct/images/ntriples_doc.png)
![[turtle]](/fct/images/n3turtle_doc.png)
![[ld+json]](/fct/images/jsonld_doc.png)
![[rdf+json]](/fct/images/json_doc.png)
![[rdf+xml]](/fct/images/xml_doc.png)
![[atom+xml]](/fct/images/atom_doc.png)
![[html]](/fct/images/html_doc.png)
