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In mathematics, a noncototient is a positive integer n that cannot be expressed as the difference between a positive integer m and the number of coprime integers below it. That is, m − φ(m) = n, where φ stands for Euler's totient function, has no solution for m. The cototient of n is defined as n − φ(n), so a noncototient is a number that is never a cototient. It is conjectured that all noncototients are even. This follows from a modified form of the slightly stronger version of the Goldbach conjecture: if the even number n can be represented as a sum of two distinct primes p and q, then

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  • Nichtkototient (de)
  • Nombro kiu ne estas valoro de eŭlera kuna φ funkcio (eo)
  • Nombre noncototient (fr)
  • Noncototiente (it)
  • Noncototient (en)
  • 非互補歐拉商數 (zh)
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  • En nombroteorio, nombro kiu ne estas valoro de eŭlera kuna φ funkcio estas pozitiva entjero n kiu ne egalas al valoro de eŭlera kuna φ funkcio x-φ(x) por iu ajn x, kio estas, tia n por kiu ekvacio x-φ(x)=n ne havas solvaĵon. En aliaj vortoj, temas pri n tia ke ne ekzistas entjero x tia ke estas akurate n entjeroj y tiaj ke y≤x kaj y ne interprimas al x. Estas konjektito ke ĉiuj nombroj kiuj ne estas valoroj de eŭlera kuna φ funkcio estas . Ĉi tio sekvas de modifita formo de la konjekto de Goldbach (ĉiu para nombro pli granda ol 6 estas sumo de du diversaj primoj). (eo)
  • Der Kototient einer Zahl ist definiert als . Dabei ist die eulersche Phi-Funktion (auch Totient von genannt), welche angibt, wie viele zu teilerfremde natürliche Zahlen es gibt, die nicht größer als sind. Der Wert gibt somit die Anzahl der natürlichen Zahlen an, welche mindestens einen Primfaktor mit gemeinsam haben. In der Zahlentheorie ist ein Nichtkototient (vom englischen Noncototient) eine natürliche Zahl , welche kein Kototient ist, wenn also die Gleichung (de)
  • In mathematics, a noncototient is a positive integer n that cannot be expressed as the difference between a positive integer m and the number of coprime integers below it. That is, m − φ(m) = n, where φ stands for Euler's totient function, has no solution for m. The cototient of n is defined as n − φ(n), so a noncototient is a number that is never a cototient. It is conjectured that all noncototients are even. This follows from a modified form of the slightly stronger version of the Goldbach conjecture: if the even number n can be represented as a sum of two distinct primes p and q, then (en)
  • En mathématiques, un nombre noncototient est un entier strictement positif n qui ne peut pas s'écrire sous la forme u(m) où u est la fonction cototient définie par u(m) = m - φ(m) où φ est l'indicatrice d'Euler (ou fonction totient). C'est un nombre qui ne peut pas représenter le nombre d'entiers différents de 1 et plus petit qu'un entier m et possédant avec m des diviseurs communs. La suite des nombres noncototients (suite de l'OEIS) commence par :10, 26, 34, 50, 52. (fr)
  • In matematica, un numero intero n si definisce noncototiente se l'equazione non ha soluzioni; dove φ(x) è la funzione φ di Eulero. In altre parole – dato che la funzione φ(x) è definita come il numero degli interi positivi minori di x che gli sono coprimi – n è un noncototiente solo se non esiste alcun numero intero x che, sottratto al numero coprimi minori di se stesso, dia n. È stato oggetto di congetture il fatto che tutti i numeri noncototienti siano pari; questo deriverebbe da una generalizzazione della congettura di Goldbach. I primi numeri pari noncototienti sono: (it)
  • 非互補歐拉商數（noncototient）是指一個正整數n，不存在任一個整數m使下式成立： 其中表示歐拉函數，是小於m的正整數中和m互質整數的個數，稱為m的互補歐拉商數，因此非互補歐拉商數就是指不在互補歐拉商數值域內的整數。 頭幾個非互補歐拉商數是： 10, 26, 34, 50, 52, 58, 86, 100, 116, 122, 130, 134, 146, 154, 170, 172, 186, 202, 206, 218, 222, 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490, 518, 520 （OEIS數列）。 目前已知的非互補歐拉商數均為偶數，因此猜想所有的非互補歐拉商數均為偶數，猜想中有用到有經過修改的哥德巴赫猜想：若偶數n可以表示為二個相異質數p及q的和，則 依照哥德巴赫猜想，所有大於6的偶數都可以表示為二個相異質數p及q的和，此偶數減1所得的奇數就是pq的互補歐拉商數，因此很可能所有大於5的奇數都是互補歐拉商數，而未考慮到的奇數有1,3,5，而, ，這些數也都是互補歐拉商數，因此很可能所有的非互補歐拉商數均為偶數。 (zh)
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  • En nombroteorio, nombro kiu ne estas valoro de eŭlera kuna φ funkcio estas pozitiva entjero n kiu ne egalas al valoro de eŭlera kuna φ funkcio x-φ(x) por iu ajn x, kio estas, tia n por kiu ekvacio x-φ(x)=n ne havas solvaĵon. En aliaj vortoj, temas pri n tia ke ne ekzistas entjero x tia ke estas akurate n entjeroj y tiaj ke y≤x kaj y ne interprimas al x. Estas konjektito ke ĉiuj nombroj kiuj ne estas valoroj de eŭlera kuna φ funkcio estas . Ĉi tio sekvas de modifita formo de la konjekto de Goldbach (ĉiu para nombro pli granda ol 6 estas sumo de du diversaj primoj). Se la para nombro n povas esti prezentita kiel sumo de du diversaj primoj p kaj q, tiam Tiel verŝajne neniu nepara nombro pli granda ol 5 estas nombro kiu ne estas valoro de eŭlera kuna φ funkcio. La ceteraj neparaj nombroj estas kovritaj: 1=2-φ(2), 3=9-φ(9), 5=25-φ(25). La unua kelkaj nombroj kiuj ne estas valoroj de eŭlera kuna φ funkcio estas: 10, 26, 34, 50, 52, 58, 86, 100, , , , , , , , , 186, 202, 206, 218, , 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490, 518, 520. Erdős kaj Sierpinski demandis ĉu ekzistas malfinie multaj nombroj kiuj ne estas valoroj de eŭlera kuna φ funkcio. Ĉi tio estis fine respondite jese de Browkin kaj Schinzel (1995), kiuj montris ke ĉiu membro de malfinia familio 2k·509203 estas la ekzemplo. La aliaj malfiniaj familioj de proksimume la sama formo estis donitaj de Flammenkamp kaj Luca. (eo)
  • Der Kototient einer Zahl ist definiert als . Dabei ist die eulersche Phi-Funktion (auch Totient von genannt), welche angibt, wie viele zu teilerfremde natürliche Zahlen es gibt, die nicht größer als sind. Der Wert gibt somit die Anzahl der natürlichen Zahlen an, welche mindestens einen Primfaktor mit gemeinsam haben. In der Zahlentheorie ist ein Nichtkototient (vom englischen Noncototient) eine natürliche Zahl , welche kein Kototient ist, wenn also die Gleichung keine Lösung für hat.Mit anderen Worten: ist ein Nichtkototient, wenn keine natürliche Zahl existiert, zu welcher es exakt Zahlen gibt, die mindestens einen Primfaktor mit gemeinsam haben und kleiner oder gleich sind. (de)
  • In mathematics, a noncototient is a positive integer n that cannot be expressed as the difference between a positive integer m and the number of coprime integers below it. That is, m − φ(m) = n, where φ stands for Euler's totient function, has no solution for m. The cototient of n is defined as n − φ(n), so a noncototient is a number that is never a cototient. It is conjectured that all noncototients are even. This follows from a modified form of the slightly stronger version of the Goldbach conjecture: if the even number n can be represented as a sum of two distinct primes p and q, then It is expected that every even number larger than 6 is a sum of two distinct primes, so probably no odd number larger than 5 is a noncototient. The remaining odd numbers are covered by the observations and . For even numbers, it can be shown Thus, all even numbers n such that n+2 can be written as (p+1)*(q+1) with p, q primes are cototients. The first few noncototients are 10, 26, 34, 50, 52, 58, 86, 100, 116, 122, 130, 134, 146, 154, 170, 172, 186, 202, 206, 218, 222, 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490, ... (sequence in the OEIS) The cototient of n are 0, 1, 1, 2, 1, 4, 1, 4, 3, 6, 1, 8, 1, 8, 7, 8, 1, 12, 1, 12, 9, 12, 1, 16, 5, 14, 9, 16, 1, 22, 1, 16, 13, 18, 11, 24, 1, 20, 15, 24, 1, 30, 1, 24, 21, 24, 1, 32, 7, 30, 19, 28, 1, 36, 15, 32, 21, 30, 1, 44, 1, 32, 27, 32, 17, 46, 1, 36, 25, 46, 1, 48, ... (sequence in the OEIS) Least k such that the cototient of k is n are (start with n = 0, 0 if no such k exists) 1, 2, 4, 9, 6, 25, 10, 15, 12, 21, 0, 35, 18, 33, 26, 39, 24, 65, 34, 51, 38, 45, 30, 95, 36, 69, 0, 63, 52, 161, 42, 87, 48, 93, 0, 75, 54, 217, 74, 99, 76, 185, 82, 123, 60, 117, 66, 215, 72, 141, 0, ... (sequence in the OEIS) Greatest k such that the cototient of k is n are (start with n = 0, 0 if no such k exists) 1, ∞, 4, 9, 8, 25, 10, 49, 16, 27, 0, 121, 22, 169, 26, 55, 32, 289, 34, 361, 38, 85, 30, 529, 46, 133, 0, 187, 52, 841, 58, 961, 64, 253, 0, 323, 68, 1369, 74, 391, 76, 1681, 82, 1849, 86, 493, 70, 2209, 94, 589, 0, ... (sequence in the OEIS) Number of ks such that k-φ(k) is n are (start with n = 0) 1, ∞, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 0, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 4, 4, 3, 0, 4, 1, 4, 3, 3, 4, 3, 0, 5, 2, 2, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 2, 4, 2, 6, 5, 5, 0, 3, 0, 6, 2, 4, 2, 5, 0, 7, 4, 3, 1, 8, 4, 6, 1, 3, 1, 5, 2, 7, 3, ... (sequence in the OEIS) Erdős (1913-1996) and Sierpinski (1882-1969) asked whether there exist infinitely many noncototients. This was finally answered in the affirmative by Browkin and Schinzel (1995), who showed every member of the infinite family is an example (See Riesel number). Since then other infinite families, of roughly the same form, have been given by Flammenkamp and Luca (2000). (en)
  • En mathématiques, un nombre noncototient est un entier strictement positif n qui ne peut pas s'écrire sous la forme u(m) où u est la fonction cototient définie par u(m) = m - φ(m) où φ est l'indicatrice d'Euler (ou fonction totient). C'est un nombre qui ne peut pas représenter le nombre d'entiers différents de 1 et plus petit qu'un entier m et possédant avec m des diviseurs communs. Il a été conjecturé que tous les nombres noncototients étaient pairs, ou formulé de manière équivalente qu'aucun nombre impair ne peut être noncototient. Ceci découle d'une forme modifiée de la conjecture de Goldbach : si le nombre pair n peut être représenté comme une somme de deux nombres premiers distincts p et q, alors Plus précisément, en supposant que chaque nombre pair plus grand que 6 soit une somme de nombres premiers distincts, on démontrerait ainsi que tout nombre impair plus grand que 5 présente une solution à l'équation et qu'aucun n'est noncototient. Les nombres impairs restants sont couverts par les observations suivantes : 1 = 2 – φ(2), 3 = 9 – φ(9) et 5 = 25 – φ(25). La suite des nombres noncototients (suite de l'OEIS) commence par :10, 26, 34, 50, 52. Paul Erdős et Wacław Sierpiński se sont demandé s'il existe une infinité de nombres noncototients. Ceci fut finalement résolu par l'affirmative par (en) et Andrzej Schinzel (1995), qui ont montré que tout entier de la forme 2k.509 203 est un noncototient. Depuis, Flammenkamp et Luca ont trouvé d'autres suites infinies, analogues, de noncototients. (fr)
  • In matematica, un numero intero n si definisce noncototiente se l'equazione non ha soluzioni; dove φ(x) è la funzione φ di Eulero. In altre parole – dato che la funzione φ(x) è definita come il numero degli interi positivi minori di x che gli sono coprimi – n è un noncototiente solo se non esiste alcun numero intero x che, sottratto al numero coprimi minori di se stesso, dia n. È stato oggetto di congetture il fatto che tutti i numeri noncototienti siano pari; questo deriverebbe da una generalizzazione della congettura di Goldbach. I primi numeri pari noncototienti sono: 10, 26, 34, 50, 52, 58, 86, 100, 116, 122, 130, 134, 146, 154, 170, 172, 186, 202, 206, 218, 222, 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490, 518, 520 (A005278 dell'OEIS). Nel 1995 Browkin e Schinzel dimostrarono che l'insieme dei noncototienti è infinito, avendo trovato che la funzione genera unicamente numeri noncototienti. Successivamente furono trovate altre funzioni simili, generanti un numero infinito di noncototienti. (it)
  • 非互補歐拉商數（noncototient）是指一個正整數n，不存在任一個整數m使下式成立： 其中表示歐拉函數，是小於m的正整數中和m互質整數的個數，稱為m的互補歐拉商數，因此非互補歐拉商數就是指不在互補歐拉商數值域內的整數。 頭幾個非互補歐拉商數是： 10, 26, 34, 50, 52, 58, 86, 100, 116, 122, 130, 134, 146, 154, 170, 172, 186, 202, 206, 218, 222, 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490, 518, 520 （OEIS數列）。 目前已知的非互補歐拉商數均為偶數，因此猜想所有的非互補歐拉商數均為偶數，猜想中有用到有經過修改的哥德巴赫猜想：若偶數n可以表示為二個相異質數p及q的和，則 依照哥德巴赫猜想，所有大於6的偶數都可以表示為二個相異質數p及q的和，此偶數減1所得的奇數就是pq的互補歐拉商數，因此很可能所有大於5的奇數都是互補歐拉商數，而未考慮到的奇數有1,3,5，而, ，這些數也都是互補歐拉商數，因此很可能所有的非互補歐拉商數均為偶數。 Erdős和Sierpinski曾猜想存在有無限多個非互補歐拉商數，後來Browkin和Schinzel在1995年證實此一猜想，他們證明無窮數列的每一項都是非互補歐拉商數，Flammenkamp和Luca在2000年提出了其他形式大致接近的範例。 (zh)
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