About: Hopf–Rinow theorem

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Hopf–Rinow theorem is a set of statements about the geodesic completeness of Riemannian manifolds. It is named after Heinz Hopf and his student Willi Rinow, who published it in 1931. Stefan Cohn-Vossen extended part of the Hopf–Rinow theorem to the context of certain types of metric spaces.

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rdfs:label	Satz von Hopf-Rinow (de) Hopf–Rinow theorem (en) Théorème de Hopf-Rinow (fr) Teorema di Hopf-Rinow (it) Stelling van Hopf-Rinow (nl) Теорема Хопфа — Ринова (ru) 霍普夫-里诺定理 (zh) Теорема Гопфа — Рінова (uk)
rdfs:comment	Der Satz von Hopf-Rinow ist eine zentrale Aussage aus der riemannschen Geometrie. Er besagt, dass bei riemannschen Mannigfaltigkeiten die Begriffe der geodätischen Vollständigkeit und der Vollständigkeit im Sinne von metrischen Räumen zusammenfallen. Eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit dieser Eigenschaft heißt dann vollständige riemannsche Mannigfaltigkeit. Benannt ist der Satz nach den Mathematikern Heinz Hopf und seinem Schüler Willi Rinow. (de) Hopf–Rinow theorem is a set of statements about the geodesic completeness of Riemannian manifolds. It is named after Heinz Hopf and his student Willi Rinow, who published it in 1931. Stefan Cohn-Vossen extended part of the Hopf–Rinow theorem to the context of certain types of metric spaces. (en) In geometria differenziale, il teorema di Hopf-Rinow è un teorema relativo all’equivalenza fra alcune condizioni di completezza in una varietà riemanniana. Il nome si riferisce al matematico Heinz Hopf ed al suo studente Willi Rinow. (it) In de Riemann-meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, staat de stelling van Hopf-Rinow voor een verzameling stellingen over de van riemann-variëteiten. De stelling is vernoemd naar de Duitse wiskundige Heinz Hopf en diens student . (nl) Теорема Хопфа — Ринова — теорема дифференциальной геометрии, доказанная Хайнцем Хопфом и его учеником Вилли Риновым. Опубликована последним в 1931 году. (ru) Теорема Гопфа — Рінова стверджує, що для лінійно зв'язного ріманового многовиду наступні твердження еквівалентні: * — є повним метричним простором; * Для деякої точки експоненційне відображення визначено для всіх векторів у (де — дотичний простір до в точці ); Простори з такими властивостями називаються геодезично повними; * Кожна множина, обмежена і замкнута в , є компактною. (uk) 数学中，霍普夫-里诺定理（Hopf–Rinow theorem）是关于黎曼流形的测地完备性的一套等价命题，以海因茨·霍普夫和他的学生命名。定理如下：设M是黎曼流形，则下列命题等价： 1. * 的有界闭子集是紧的。 2. * 是完备度量空间。 3. * 是测地完备：对中任意点，指數映射可定义在整个切空间。而且，以上任一条均可导出对于中任何两点和，存在连起两点的测地线使长度最短（测地线一般是极值，不一定是最小值）。 (zh) Soit (M, g) une variété riemannienne connexe (sans bord).Le théorème de Hopf-Rinow dit que les propriétés suivantes sont équivalentes : * Il existe un point m dans M pour lequel l'application exponentielle d'origine m est définie sur TmM. * Pour tout point m dans M, l'application exponentielle d'origine m est définie sur TmM. * La variété (M, g) est géodésiquement complète, c'est-à-dire que les géodésiques sont définies sur ℝ. * L'espace M est complet pour la distance riemannienne. * Les parties fermées et bornées sont compactes. (fr)
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