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| - In numerical mathematics, the gradient discretisation method (GDM) is a framework which contains classical and recent numerical schemes for diffusion problems of various kinds: linear or non-linear, steady-state or time-dependent. The schemes may be conforming or non-conforming, and may rely on very general polygonal or polyhedral meshes (or may even be meshless). (en)
- En analyse numérique, la méthode de discrétisation du gradient (MDG) est un cadre incluant des schémas numériques classiques et récents pour approcher une variété de problèmes de type diffusion, qu'ils soient linéaires ou non, transitoires ou stationnaires. Ces schémas peuvent être conformes ou non, et peuvent être basés sur une discrétisation en espace polygonale ou polyédrique (mais on peut aussi considérer des méthodes d'approximation sans maillage). (fr)
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| - In numerical mathematics, the gradient discretisation method (GDM) is a framework which contains classical and recent numerical schemes for diffusion problems of various kinds: linear or non-linear, steady-state or time-dependent. The schemes may be conforming or non-conforming, and may rely on very general polygonal or polyhedral meshes (or may even be meshless). Some core properties are required to prove the convergence of a GDM. These core properties enable complete proofs of convergence of the GDM for elliptic and parabolic problems, linear or non-linear. For linear problems, stationary or transient, error estimates can be established based on three indicators specific to the GDM (the quantities , and , ). For non-linear problems, the proofs are based on compactness techniques and do not require any non-physical strong regularity assumption on the solution or the model data. for which such convergence proof of the GDM have been carried out comprise: the Stefan problem which is modelling a melting material, two-phase flows in porous media, the Richards equation of underground water flow, the fully non-linear Leray—Lions equations. Any scheme entering the GDM framework is then known to converge on all these problems. This applies in particular to , , , and, in the case of more recent schemes, the , , some Discrete Duality Finite Volume schemes, and some Multi-Point Flux Approximation schemes (en)
- En analyse numérique, la méthode de discrétisation du gradient (MDG) est un cadre incluant des schémas numériques classiques et récents pour approcher une variété de problèmes de type diffusion, qu'ils soient linéaires ou non, transitoires ou stationnaires. Ces schémas peuvent être conformes ou non, et peuvent être basés sur une discrétisation en espace polygonale ou polyédrique (mais on peut aussi considérer des méthodes d'approximation sans maillage). La preuve de la convergence d'un schéma élaboré au moyen de la MDG, pour approcher un problème elliptique ou parabolique linéaire ou non, repose sur un petit nombre de propriétés. Dans le cas d'un problème linéaire (stationnaire ou transitoire), il est possible d'établir une estimation d'erreur à l'aide de trois indicateurs propres à la MDG. Dans le cas de certains problèmes non-linéaires, les preuves font appel à des techniques de compacité, sans pour autant nécessiter d'hypothèse forte sur la régularité de la solution du problème continu. pour lesquels une telle preuve de convergence de la MDG a pu être établie sont par exemple le problème de Stefan (qui modélise un matériau changeant d'état thermodynamique), les écoulements diphasiques en milieu poreux, l'équation de Richards (qui modélise l'écoulement de l'eau dans les sous-sols en présence d'air), le modèle de Leray—Lions. Pour ces problèmes, il suffit qu'un schéma numérique entre dans le cadre de la MDG pour que la preuve de sa convergence soit établie. Cela s'applique ainsi aux , aux , aux , et, dans le cas de schémas numériques plus récents, aux , aux , à certaines méthodes de volumes finis en dualité discrète, et à certains schémas d'approximation multi-points des flux. (fr)
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