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| - Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist der Diagonalfunktor ein Funktor, der es erlaubt, eine Kategorie in die Kategorie der Funktoren für eine beliebige nichtleere (kleine) Kategorie einzubetten. Der Name rührt daher, dass für ein diskretes mit zwei Elementen der Diagonalfunktor gerade die Abbildung ist. (de)
- In category theory, a branch of mathematics, the diagonal functor is given by , which maps objects as well as morphisms. This functor can be employed to give a succinct alternate description of the product of objects within the category : a product is a universal arrow from to . The arrow comprises the projection maps. (en)
- 圏論において、積 が存在する任意の圏 の任意の対象 に対して、 for を満たす対角射 (diagonal morphism) が存在する。ただし は 次成分への自然な射影射である。この射の存在は（同型を除いて）積を特徴づける普遍性の結果である。ここでの二項の積への制限は表記の簡単さのためである。対角射は同様に任意の積に対して存在する。集合の圏の対角射の像は、カルテジアン積の部分集合として、定義域上の関係、すなわち等式である。 に対して、対角射は対象 の元 上のその作用によって単純に記述することができる。すなわち、、 から形成される順序対。名前の理由はそのような対角射の像は（それが意味をなすときにはいつでも）対角線であるということである。例えば実数直線上の対角射 の像は方程式 のグラフである直線によって与えられる。無限積 の中への対角射は に値を持つ数列空間の中への単射を提供するだろう。各元はその元での定値列に写す。しかしながら、列空間の大抵の概念は対角写像の像が満たさない収束の制限をもつ。 (ja)
- Диагональный функтор — функтор, в некотором смысле являющийся обобщением декартовой степени множества. Диагональный функтор ( — категория функторов из малой категории в произвольную категорию ) сопоставляет каждому объекту категории постоянный функтор, отправляющий все объекты в этот объект, а все морфизмы — в тождественный морфизм. Каждому морфизму в он сопоставляет очевидное естественное преобразование функторов. Часто рассматривают случай, когда — дискретная категория из двух объектов, в этом случае получается функтор . (ru)
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| - Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist der Diagonalfunktor ein Funktor, der es erlaubt, eine Kategorie in die Kategorie der Funktoren für eine beliebige nichtleere (kleine) Kategorie einzubetten. Der Name rührt daher, dass für ein diskretes mit zwei Elementen der Diagonalfunktor gerade die Abbildung ist. (de)
- In category theory, a branch of mathematics, the diagonal functor is given by , which maps objects as well as morphisms. This functor can be employed to give a succinct alternate description of the product of objects within the category : a product is a universal arrow from to . The arrow comprises the projection maps. More generally, given a small index category , one may construct the functor category , the objects of which are called diagrams. For each object in , there is a constant diagram that maps every object in to and every morphism in to . The diagonal functor assigns to each object of the diagram , and to each morphism in the natural transformation in (given for every object of by ). Thus, for example, in the case that is a discrete category with two objects, the diagonal functor is recovered. Diagonal functors provide a way to define limits and colimits of diagrams. Given a diagram , a natural transformation (for some object of ) is called a cone for . These cones and their factorizations correspond precisely to the objects and morphisms of the comma category , and a limit of is a terminal object in , i.e., a universal arrow . Dually, a colimit of is an initial object in the comma category , i.e., a universal arrow . If every functor from to has a limit (which will be the case if is complete), then the operation of taking limits is itself a functor from to . The limit functor is the right-adjoint of the diagonal functor. Similarly, the colimit functor (which exists if the category is cocomplete) is the left-adjoint of the diagonal functor. For example, the diagonal functor described above is the left-adjoint of the binary product functor and the right-adjoint of the binary coproduct functor. Other well-known examples include the pushout, which is the limit of the span, and the terminal object, which is the limit of the empty category. (en)
- 圏論において、積 が存在する任意の圏 の任意の対象 に対して、 for を満たす対角射 (diagonal morphism) が存在する。ただし は 次成分への自然な射影射である。この射の存在は（同型を除いて）積を特徴づける普遍性の結果である。ここでの二項の積への制限は表記の簡単さのためである。対角射は同様に任意の積に対して存在する。集合の圏の対角射の像は、カルテジアン積の部分集合として、定義域上の関係、すなわち等式である。 に対して、対角射は対象 の元 上のその作用によって単純に記述することができる。すなわち、、 から形成される順序対。名前の理由はそのような対角射の像は（それが意味をなすときにはいつでも）対角線であるということである。例えば実数直線上の対角射 の像は方程式 のグラフである直線によって与えられる。無限積 の中への対角射は に値を持つ数列空間の中への単射を提供するだろう。各元はその元での定値列に写す。しかしながら、列空間の大抵の概念は対角写像の像が満たさない収束の制限をもつ。 特に、小さい圏の圏は積をもち、したがって によって与えられる対角関手 (diagonal functor) があり、これは対象と射を写す。関手は圏 の中で (within) 対象の積の簡明な別の記述を与えるために雇うことができる： 積 は から への普遍矢である。矢は射影写像からなる。 より一般に、任意の関手圏 において（ここで は小さい添え字圏として考えられるべきである）、 の各対象 に対して、固定された対象 をもつが存在する： 。対角関手 は の各対象に関手 を割り当て、 の各射 に明らかな自然変換 in （ によって与えられる）を割り当てる。 が 2 つの対象を持つ離散圏である場合には、対角関手 がリカバーされる。 対角関手は関手の極限と余極限を定義する方法を提供する。任意の関手 の極限は から への普遍矢であり、余極限は普遍矢 である。 から へのすべての関手が極限をもてば（ が完備であればこの場合である）、極限を取る操作はそれ自身 から への関手である。極限関手は対角関手の右随伴である。同様に、（圏が余完備であれば存在する）余極限関手は対角関手の左随伴である。例えば、上で記述された対角関手 は二項の積の関手の左随伴と二項の余積の関手の右随伴である。 (ja)
- Диагональный функтор — функтор, в некотором смысле являющийся обобщением декартовой степени множества. Диагональный функтор ( — категория функторов из малой категории в произвольную категорию ) сопоставляет каждому объекту категории постоянный функтор, отправляющий все объекты в этот объект, а все морфизмы — в тождественный морфизм. Каждому морфизму в он сопоставляет очевидное естественное преобразование функторов. Часто рассматривают случай, когда — дискретная категория из двух объектов, в этом случае получается функтор . Диагональный функтор предоставляет способ определить пределы и копределы функторов. Операция взятия предела диаграммы типа (если все пределы этого типа в категории существуют) — это функтор , оказывается что функтор предела является правым сопряжённым к диагональному функтору. Соответственно, функтор копредела, если все копределы нужного типа существуют, — левый сопряжённый к диагональному. (ru)
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