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- En teoría de la probabilidad , la distribución de Cauchy "estándar " es la distribución de probabilidad cuya función de densidad es para x real . Esta tiene mediana 0 , y el primer y tercer cuartil son −1 y 1 respectivamente . Generalmente, una distribución de Cauchy es cualquier distribución de probabilidad que pertenece a la misma como esta. Por lo tanto , si X tiene una distribución estándar de Cauchy y μ es cualquier número real y σ > 0, entonces Y = μ + σX tiene una distribución de Cauchy cuya mediana es μ y cuyo primer y tercer cuartil son μ − σ and μ + σ respectivamente. La Parametrización de McCullagh , introducida por , profesor de Estadísticas en la Universidad de Chicago utiliza los dos parámetros de la distribución no estandarizada para formar un único parámetro de valor complejo , específicamente, el número complejo θ = μ + iσ , donde i es el unidad imaginaria . También se extiende el rango habitual del parámetro de escala para incluir σ < 0. Aunque el parámetro se expresa en teoría usando un número complejo , la densidad sigue siendo la densidad sobre la línea real. En particular, la densidad se puede escribir utilizando los parámetros con valores reales μ y σ , que pueden tomar valores positivos o negativos , como donde la distribución es considerada como degenerada si σ = 0. Una forma alternativa para la densidad se puede escribir utilizando el parámetro complejo θ = μ + iσ como where A la pregunta "¿Por qué introducir los números complejos , cuando sólo variables aleatorias con valores reales están involucradas " , McCullagh escribió: { { cquote | A esta pregunta no puedo dar mejor respuesta que presentar el curioso resultado de que para todos los números reales a, b, c y d. ...la transformación inducida en el espacio de parámetros tiene la misma forma lineal fraccional que la transformación en el espacio de muestra sólo si se toma el espacio de parámetros como el plano complejo.} } En otras palabras , si la variable aleatoria Y tiene una distribución de Cauchy con el parámetro θ complejo , entonces la variable aleatoria Y * definida anteriormente tiene una distribución deCauchy con parámetro (aθ + b)/(cθ + d). McCullagh también escribió, "La distribución del primer punto de salida del semiplano superior de una partícula browniana comenzando en θ es la densidad de Cauchy en la recta real con el parámetro θ. " Además , McCullagh muestra que la parametrización con valores complejos permite que se pueda hacer una relación sencilla entre Cauchy y la " distribución de Cauchy circular" . (es)
- In probability theory, the "standard" Cauchy distribution is the probability distribution whose probability density function (pdf) is for x real. This has median 0, and first and third quartiles respectively −1 and +1. Generally, a Cauchy distribution is any probability distribution belonging to the same location-scale family as this one. Thus, if X has a standard Cauchy distribution and μ is any real number and σ > 0, then Y = μ + σX has a Cauchy distribution whose median is μ and whose first and third quartiles are respectively μ − σ and μ + σ. McCullagh's parametrization, introduced by Peter McCullagh, professor of statistics at the University of Chicago, uses the two parameters of the non-standardised distribution to form a single complex-valued parameter, specifically, the complex number θ = μ + iσ, where i is the imaginary unit. It also extends the usual range of scale parameter to include σ < 0. Although the parameter is notionally expressed using a complex number, the density is still a density over the real line. In particular the density can be written using the real-valued parameters μ and σ, which can each take positive or negative values, as where the distribution is regarded as degenerate if σ = 0. An alternative form for the density can be written using the complex parameter θ = μ + iσ as where . To the question "Why introduce complex numbers when only real-valued random variables are involved?", McCullagh wrote: To this question I can give no better answer than to present the curious result that for all real numbers a, b, c and d. ...the induced transformation on the parameter space has the same fractional linear form as the transformation on the sample space only if the parameter space is taken to be the complex plane. In other words, if the random variable Y has a Cauchy distribution with complex parameter θ, then the random variable Y * defined above has a Cauchy distribution with parameter (aθ + b)/(cθ + d). McCullagh also wrote, "The distribution of the first exit point from the upper half-plane of a Brownian particle starting at θ is the Cauchy density on the real line with parameter θ." In addition, McCullagh shows that the complex-valued parameterisation allows a simple relationship to be made between the Cauchy and the "circular Cauchy distribution". Using the complex parameter also let easily prove the invariance of f-divergences (e.g., Kullback-Leibler divergence, chi-squared divergence, etc.) with respect to real linear fractional transformations (group action of SL(2,R)), and show that all f-divergences between univariate Cauchy densities are symmetric. (en)
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- In probability theory, the "standard" Cauchy distribution is the probability distribution whose probability density function (pdf) is for x real. This has median 0, and first and third quartiles respectively −1 and +1. Generally, a Cauchy distribution is any probability distribution belonging to the same location-scale family as this one. Thus, if X has a standard Cauchy distribution and μ is any real number and σ > 0, then Y = μ + σX has a Cauchy distribution whose median is μ and whose first and third quartiles are respectively μ − σ and μ + σ. where . (en)
- En teoría de la probabilidad , la distribución de Cauchy "estándar " es la distribución de probabilidad cuya función de densidad es para x real . Esta tiene mediana 0 , y el primer y tercer cuartil son −1 y 1 respectivamente . Generalmente, una distribución de Cauchy es cualquier distribución de probabilidad que pertenece a la misma como esta. Por lo tanto , si X tiene una distribución estándar de Cauchy y μ es cualquier número real y σ > 0, entonces Y = μ + σX tiene una distribución de Cauchy cuya mediana es μ y cuyo primer y tercer cuartil son μ − σ and μ + σ respectivamente. where (es)
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