Floquet theory is a branch of the theory of ordinary differential equations relating to the class of solutions to periodic linear differential equations of the form with a piecewise continuous periodic function with period and defines the state of the stability of solutions. The main theorem of Floquet theory, Floquet's theorem, due to Gaston Floquet, gives a canonical form for each fundamental matrix solution of this common linear system. It gives a coordinate change with that transforms the periodic system to a traditional linear system with constant, real coefficients.
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| - Satz von Floquet (de)
- Floquet theory (en)
- Théorème de Floquet (fr)
- Teorema di Floquet (it)
- フロケ理論 (ja)
- Теорія Флоке (uk)
- 弗洛凱理論 (zh)
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| - 数学のフロケ理論（フロケりろん、英: Floquet theory）とは、次の形の線型微分方程式の解のクラスに関する常微分方程式理論の一分野である。 ここで は区分的連続な周期 の周期関数である。 フロケ理論における主定理であるフロケの定理（Floquet's theorem）は、Gaston Floquet によるもので、この共通の線型系の各基本解行列に対するを与えるものである。それはまた、 を満たすような座標変換 を与え、これは周期系を典型的な実係数の線型系へと変換する。 固体物理学において、（3次元へと一般化された）同様の結果はブロッホの定理として知られている。 線型微分方程式の解はベクトル空間を構成することに注意されたい。ある行列 が基本解行列（fundamental matrix solution）であるとは、その全ての列が線型独立な解であることを言う。ある行列 が主基本解行列（principal fundamental matrix solution）であるとは、その全ての列が線型独立な解で、 が単位行列となるようなある が存在することを言う。主基本行列は、 を使うことで基本行列から構成することが出来る。初期条件が であるような線型微分方程式の解は、 である。ここで は任意の基本行列である。 (ja)
- 弗洛凱理論是常微分方程理論的一種，討論有關下列微分方程類型的解答類別， , 其中，A(t)是一週期為T的連續週期函數。 弗洛凱理論的主要定理－弗洛凱定理給出了一般線性系統的每個的。它給定了一座標轉變，其中，用以來轉變至有常數及實係數的傳統線性系統。 在固態物理中，其類比的結果(推廣至三維)為布洛赫定理。 (zh)
- Теорія Флоке (англ. Floquet theory, рос. теория Флоке) — область теорії звичайних диференціальних рівнянь, що досліджує розв'язки лінійних диференціальних рівнянь вигляду , де — матриця розмірності , елементи якої є неперервними функціями змінної t. Носить ім'я французького математика , який вніс найбільший внесок в її створення. Основою теорії є теорема Флоке. Теорема Флоке є одновимірним випадком теореми Блоха. Остання є важливою теоремою фізики твердого тіла: вставновлює вид хвильової функції частинки, що знаходиться в періодичному потенціалі. (uk)
- Floquet theory is a branch of the theory of ordinary differential equations relating to the class of solutions to periodic linear differential equations of the form with a piecewise continuous periodic function with period and defines the state of the stability of solutions. The main theorem of Floquet theory, Floquet's theorem, due to Gaston Floquet, gives a canonical form for each fundamental matrix solution of this common linear system. It gives a coordinate change with that transforms the periodic system to a traditional linear system with constant, real coefficients. (en)
- Der Satz von Floquet (nach Gaston Floquet) macht eine Aussage über die Struktur der Fundamentalmatrizen eines homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssystems mit periodischer Koeffizientenmatrix. Angewandt auf räumlich periodische Potentiale ist der Satz von Floquet in der Quantentheorie besser unter dem Namen Bloch-Theorem bekannt. Die Eigenzustände heißen hier Bloch-Funktionen. (de)
- L'analyse de Floquet s'applique aux systèmes dynamiques lorsque la matrice d'avance d'état au point courant est périodique Elle permet de trouver une base de projection de la trajectoire dans laquelle chaque coordonnée est une trajectoire périodique amplifiée (ou atténuée) exponentiellement. Ceci permet de voir la trajectoire comme la superposition de modes (les vecteurs de Floquet) plus ou moins actifs selon la valeur du coefficient d'amplification (les multiplieurs de Floquet). (fr)
- Il teorema di Floquet è relativo alle soluzioni delle equazioni di Maxwell e alle relazioni tra la velocità di gruppo, l'energia accumulata e il . Tale teorema può essere enunciato come segue: assumendo la direzione di propagazione lungo l'asse z, le dei campi elettrico e magnetico, relative a un singolo modo di propagazione in una struttura periodica (costituita da celle identiche di periodo L), hanno la proprietà che i campi nelle celle adiacenti sono correlati a costanti moltiplicative complesse uguali per tutte le coppie di celle adiacenti, ossia: . (it)
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| - Der Satz von Floquet (nach Gaston Floquet) macht eine Aussage über die Struktur der Fundamentalmatrizen eines homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssystems mit periodischer Koeffizientenmatrix. Dieser Satz findet in der Schwingungslehre und in der Quantenmechanik Anwendung: die definierten Eigenzustände eines ungestörten Systems werden durch das Anlegen eines zeitlich periodischen Feldes bzw. Potentials periodisch in ihrer Energie verändert; sie entsprechen dann genau dem periodischen Anteil der Fundamentallösung und werden als Floquet-Zustände bezeichnet. Durch beispielsweise eine Fourierentwicklung dieser Zustände kann die Arbeit mit ihnen erheblich vereinfacht werden. Angewandt auf räumlich periodische Potentiale ist der Satz von Floquet in der Quantentheorie besser unter dem Namen Bloch-Theorem bekannt. Die Eigenzustände heißen hier Bloch-Funktionen. (de)
- Floquet theory is a branch of the theory of ordinary differential equations relating to the class of solutions to periodic linear differential equations of the form with a piecewise continuous periodic function with period and defines the state of the stability of solutions. The main theorem of Floquet theory, Floquet's theorem, due to Gaston Floquet, gives a canonical form for each fundamental matrix solution of this common linear system. It gives a coordinate change with that transforms the periodic system to a traditional linear system with constant, real coefficients. When applied to physical systems with periodic potentials, such as crystals in condensed matter physics, the result is known as Bloch's theorem. Note that the solutions of the linear differential equation form a vector space. A matrix is called a fundamental matrix solution if all columns are linearly independent solutions. A matrix is called a principal fundamental matrix solution if all columns are linearly independent solutions and there exists such that is the identity. A principal fundamental matrix can be constructed from a fundamental matrix using . The solution of the linear differential equation with the initial condition is where is any fundamental matrix solution. (en)
- L'analyse de Floquet s'applique aux systèmes dynamiques lorsque la matrice d'avance d'état au point courant est périodique Elle permet de trouver une base de projection de la trajectoire dans laquelle chaque coordonnée est une trajectoire périodique amplifiée (ou atténuée) exponentiellement. Ceci permet de voir la trajectoire comme la superposition de modes (les vecteurs de Floquet) plus ou moins actifs selon la valeur du coefficient d'amplification (les multiplieurs de Floquet). Le théorème démontré par Gaston Floquet dit que : si est une matrice périodique de période minimale T et le système fondamental de solution associé à l'équation , alors il existe une matrice périodique inversible et une matrice constante telles que (fr)
- Il teorema di Floquet è relativo alle soluzioni delle equazioni di Maxwell e alle relazioni tra la velocità di gruppo, l'energia accumulata e il . Tale teorema può essere enunciato come segue: assumendo la direzione di propagazione lungo l'asse z, le dei campi elettrico e magnetico, relative a un singolo modo di propagazione in una struttura periodica (costituita da celle identiche di periodo L), hanno la proprietà che i campi nelle celle adiacenti sono correlati a costanti moltiplicative complesse uguali per tutte le coppie di celle adiacenti, ossia: . La dimostrazione del teorema di può essere ottenuta attraverso il teorema d'unicità secondo cui le soluzioni di campo elettromagnetico in due strutture a microonde che operano alla stessa frequenza possono differire solo per una costante moltiplicativa complessa che corrisponde fisicamente a due differenti livelli d'eccitazione. (it)
- 数学のフロケ理論（フロケりろん、英: Floquet theory）とは、次の形の線型微分方程式の解のクラスに関する常微分方程式理論の一分野である。 ここで は区分的連続な周期 の周期関数である。 フロケ理論における主定理であるフロケの定理（Floquet's theorem）は、Gaston Floquet によるもので、この共通の線型系の各基本解行列に対するを与えるものである。それはまた、 を満たすような座標変換 を与え、これは周期系を典型的な実係数の線型系へと変換する。 固体物理学において、（3次元へと一般化された）同様の結果はブロッホの定理として知られている。 線型微分方程式の解はベクトル空間を構成することに注意されたい。ある行列 が基本解行列（fundamental matrix solution）であるとは、その全ての列が線型独立な解であることを言う。ある行列 が主基本解行列（principal fundamental matrix solution）であるとは、その全ての列が線型独立な解で、 が単位行列となるようなある が存在することを言う。主基本行列は、 を使うことで基本行列から構成することが出来る。初期条件が であるような線型微分方程式の解は、 である。ここで は任意の基本行列である。 (ja)
- 弗洛凱理論是常微分方程理論的一種，討論有關下列微分方程類型的解答類別， , 其中，A(t)是一週期為T的連續週期函數。 弗洛凱理論的主要定理－弗洛凱定理給出了一般線性系統的每個的。它給定了一座標轉變，其中，用以來轉變至有常數及實係數的傳統線性系統。 在固態物理中，其類比的結果(推廣至三維)為布洛赫定理。 (zh)
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