Betti's theorem, also known as Maxwell–Betti reciprocal work theorem, discovered by Enrico Betti in 1872, states that for a linear elastic structure subject to two sets of forces {Pi} i=1,...,n and {Qj}, j=1,2,...,n, the work done by the set P through the displacements produced by the set Q is equal to the work done by the set Q through the displacements produced by the set P. This theorem has applications in structural engineering where it is used to define influence lines and derive the boundary element method.
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| - Satz von Betti (de)
- Betti's theorem (en)
- Teorema de Maxwell-Betti (es)
- Théorème de réciprocité de Maxwell-Betti (fr)
- マクスウェル・ベティの相反作用の定理 (ja)
- Teorema de Maxwell-Betti (pt)
- Zasada wzajemności prac Bettiego (pl)
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| - El teorema de Maxwell-Betti, o de forma más completa, teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti de resistencia de materiales se debe al matemático italiano Enrico Betti, quien en 1872 generalizó un teorema de Maxwell, publicado a su vez en 1864. Este teorema pertenece a una serie de teoremas energéticos, entre los que se encuentran también los teoremas de Castigliano. La importancia de los teoremas energéticos radica en su potencia en el análisis de estructuras, que se debe a su sencillez y generalidad. Este teorema es también de importancia en el planteamiento del Método de elementos de frontera. (es)
- マクスウェル・ベティの相互作用の定理（マクスウェル・ベティのそうごさようのていり、英語: Maxwell-Betti reciprocal work theorem）とは、構造力学における弾性体の定理である。1872年、エンリコ・ベッチによって発見された。弾性体上に2種類の荷重群をかけることを考える。一つ目の荷重群のみをかけたときにもう一方の荷重群の作用点の作用方向変位成分をとする。また、荷重群のみをかけたときのの作用点の作用方向変位成分をとする。このときベティの相反定理： が成り立つ。 特にi = k = 1, P1 = P '1 = 1とすると、マクスウェルの相反定理： 任意の点Aに作用する単位荷重PAによって他の点Bに生じる変位（の、別に点Bに作用される単位荷重PBの方向への成分）u'Aは、PBによる点AのPAの方向への変位量（の、PAの方向への成分）uBに等しい。すなわち が成り立つ。 (ja)
- Zasada Bettiego mówi, że jeżeli na liniowy ustrój sprężysty działają kolejno dwa dowolne układy obciążeń, to praca pierwszego obciążenia na przemieszczeniach wywołanych przez drugie obciążenie jest równa pracy drugiego obciążenia na przemieszczeniach wywołanych przez pierwsze obciążenie. Dotyczy ona obciążeń uogólnionych, którymi mogą być siły i momenty, oraz odpowiadających im przemieszczeń uogólnionych. Zasadę tę odkrył włoski matematyk Enrico Betti. Ma ona zastosowanie w wyprowadzeniu metody elementów brzegowych. (pl)
- O teorema de Maxwell-Betti, também conhecido como teorema de Betti ou teorema da reciprocidade de Betti, demonstra que, em uma estrutura que exibe comportamento elástico linear, se se considerar dois sistemas de forças, e , que provocam dois campos de deslocamentos, e , então o produto das forças do sistema com o deslocamento no ponto de aplicação da força obtido no sistema é igual ao produto das forças do sistema com o deslocamento no ponto de aplicação da força obtido no sistema . Ou seja: (pt)
- Der Satz von Betti (auch Satz von Maxwell und Betti, Reziprozitätsatz von Betti oder Satz von der Gegenseitigkeit der Verschiebungsarbeit) wurde 1872 von Enrico Betti formuliert. Er besagt, dass in zwei gleichen, linear elastischen Systemen, die durch Kräfte verformt werden, im Gleichgewicht „die Arbeiten, die die Kräfte des ersten Systems auf den Wegen des zweiten Systems leisten, gleich den Arbeiten sind, die die Kräfte des zweiten Systems auf den Wegen des ersten Systems leisten.“ – Wolfram Franke, Thorsten Kunow (de)
- Betti's theorem, also known as Maxwell–Betti reciprocal work theorem, discovered by Enrico Betti in 1872, states that for a linear elastic structure subject to two sets of forces {Pi} i=1,...,n and {Qj}, j=1,2,...,n, the work done by the set P through the displacements produced by the set Q is equal to the work done by the set Q through the displacements produced by the set P. This theorem has applications in structural engineering where it is used to define influence lines and derive the boundary element method. (en)
- Le théorème de réciprocité de Maxwell-Betti a été énoncé en 1872 par Enrico Betti. Il énonce que « Si, à un système élastique quelconque, isostatique ou hyperstatique, on applique successivement un premier système de forces, puis après suppression, un second, la somme des travaux du premier système, pour les déplacements élastiques dus aux forces du second, est égale à la somme des travaux des forces du second système pour les déplacements élastiques dus aux forces du premier. » — B. de Fontviolant, Résistance des Matériaux analytique et graphique. (fr)
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| - Der Satz von Betti (auch Satz von Maxwell und Betti, Reziprozitätsatz von Betti oder Satz von der Gegenseitigkeit der Verschiebungsarbeit) wurde 1872 von Enrico Betti formuliert. Er besagt, dass in zwei gleichen, linear elastischen Systemen, die durch Kräfte verformt werden, im Gleichgewicht „die Arbeiten, die die Kräfte des ersten Systems auf den Wegen des zweiten Systems leisten, gleich den Arbeiten sind, die die Kräfte des zweiten Systems auf den Wegen des ersten Systems leisten.“ – Wolfram Franke, Thorsten Kunow Die Arbeiten des einen Kräftesystems an den von einem anderen Kräftesystem hervorgerufenen Verschiebungen werden reziproke Arbeiten genannt. Der Satz gilt auch für Drehmomente, die Arbeiten an Verdrehungen leisten, ebenso wie für mechanische Spannungen, die Arbeiten an Dehnungen verrichten, worüber auch der Beweis geführt wird. Anstatt zwei gleiche Systeme gleichzeitig zu belasten, kann auch ein System nacheinander mit zwei Kräftesystemen beaufschlagt werden. Der Satz von Betti hat in der Technischen Mechanik, speziell der Baustatik, Bedeutung. Dieser Satz ist eine Verallgemeinerung des 1864 publizierten Satzes von James Clerk Maxwell (1831–1879) und hatte grundlegende Bedeutung für die Herausbildung der klassischen Baustatik von 1875 bis 1900 im Allgemeinen und der Theorie der Einflußlinien im Besonderen. Er ist auch eine Grundlage der Randelementmethode. (de)
- Betti's theorem, also known as Maxwell–Betti reciprocal work theorem, discovered by Enrico Betti in 1872, states that for a linear elastic structure subject to two sets of forces {Pi} i=1,...,n and {Qj}, j=1,2,...,n, the work done by the set P through the displacements produced by the set Q is equal to the work done by the set Q through the displacements produced by the set P. This theorem has applications in structural engineering where it is used to define influence lines and derive the boundary element method. Betti's theorem is used in the design of compliant mechanisms by topology optimization approach. (en)
- El teorema de Maxwell-Betti, o de forma más completa, teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti de resistencia de materiales se debe al matemático italiano Enrico Betti, quien en 1872 generalizó un teorema de Maxwell, publicado a su vez en 1864. Este teorema pertenece a una serie de teoremas energéticos, entre los que se encuentran también los teoremas de Castigliano. La importancia de los teoremas energéticos radica en su potencia en el análisis de estructuras, que se debe a su sencillez y generalidad. Este teorema es también de importancia en el planteamiento del Método de elementos de frontera. (es)
- Le théorème de réciprocité de Maxwell-Betti a été énoncé en 1872 par Enrico Betti. Il énonce que « Si, à un système élastique quelconque, isostatique ou hyperstatique, on applique successivement un premier système de forces, puis après suppression, un second, la somme des travaux du premier système, pour les déplacements élastiques dus aux forces du second, est égale à la somme des travaux des forces du second système pour les déplacements élastiques dus aux forces du premier. » — B. de Fontviolant, Résistance des Matériaux analytique et graphique. Étant donné que les déformations élastiques sont réversibles, l'énoncé porte sur la comparaison de deux états d'un même système, indépendamment du temps ou de toute précédence. Les travaux d'un système de forces, ou chargement, sous les déplacements dus à l'autre chargement, sont appelés travaux réciproques. On montre que cet énoncé vaut aussi bien pour des couples, qui travaillent sous une rotation, que pour des contraintes travaillant sous un certain champ de déformation. Le théorème de Maxwell-Betti revêt une grande importance en Résistance des Matériaux, surtout dans l'analyse des réseaux de poutres. C'est aussi l'une des sources d'inspiration de la méthode des éléments finis. G. Colonnetti a établi un énoncé voisin par la suite. (fr)
- マクスウェル・ベティの相互作用の定理（マクスウェル・ベティのそうごさようのていり、英語: Maxwell-Betti reciprocal work theorem）とは、構造力学における弾性体の定理である。1872年、エンリコ・ベッチによって発見された。弾性体上に2種類の荷重群をかけることを考える。一つ目の荷重群のみをかけたときにもう一方の荷重群の作用点の作用方向変位成分をとする。また、荷重群のみをかけたときのの作用点の作用方向変位成分をとする。このときベティの相反定理： が成り立つ。 特にi = k = 1, P1 = P '1 = 1とすると、マクスウェルの相反定理： 任意の点Aに作用する単位荷重PAによって他の点Bに生じる変位（の、別に点Bに作用される単位荷重PBの方向への成分）u'Aは、PBによる点AのPAの方向への変位量（の、PAの方向への成分）uBに等しい。すなわち が成り立つ。 (ja)
- Zasada Bettiego mówi, że jeżeli na liniowy ustrój sprężysty działają kolejno dwa dowolne układy obciążeń, to praca pierwszego obciążenia na przemieszczeniach wywołanych przez drugie obciążenie jest równa pracy drugiego obciążenia na przemieszczeniach wywołanych przez pierwsze obciążenie. Dotyczy ona obciążeń uogólnionych, którymi mogą być siły i momenty, oraz odpowiadających im przemieszczeń uogólnionych. Zasadę tę odkrył włoski matematyk Enrico Betti. Ma ona zastosowanie w wyprowadzeniu metody elementów brzegowych. (pl)
- O teorema de Maxwell-Betti, também conhecido como teorema de Betti ou teorema da reciprocidade de Betti, demonstra que, em uma estrutura que exibe comportamento elástico linear, se se considerar dois sistemas de forças, e , que provocam dois campos de deslocamentos, e , então o produto das forças do sistema com o deslocamento no ponto de aplicação da força obtido no sistema é igual ao produto das forças do sistema com o deslocamento no ponto de aplicação da força obtido no sistema . Ou seja: (pt)
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