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| - Kořenové nadtěleso je pojem z matematiky, z abstraktní algebry. Pro těleso a mnohočlen z polynomiálního okruhu se jím rozumí nadtěleso tělesa generované kořenem polynomu . Jednoduchým příkladem je těleso komplexních čísel, které je kořenovým nadtělesem tělesa reálných čísel a mnohočlenu . V tomto případě navíc kořenové nadtěleso obsahuje všechny kořeny polynomu, jedná se tedy o rozkladové těleso. To ovšem není pravidlem, například máme-li těleso racionálních čísel a polynom , pak kořenové nadtěleso neobsahuje zbylé dva kořeny polynomu . (cs)
- En Matemàtiques i més precisament en àlgebra en el marc de la teoria de Galois un cos de ruptura d'un polinomi P(X) amb coeficients en un cos K és una Extensió algebraica mínima de K que conté almenys una arrel del polinomi. Segons els autors, es poden trobar altres definicions del cos de ruptura (vegeu secció ). Es demostra que amb la definició escollida, si P és un polinomi irreductible, tots els cossos de ruptura de P(X) són isomorfs a K[X]/(P(X)), l'anell K[X] dels polinomis amb coeficients a K quocient l'ideal engendrat pel polinomi P(X). (ca)
- En matemáticas y más precisamente en álgebra, en el marco de la teoría de cuerpos, un cuerpo de ruptura de un polinomio irreducible P(X) con coeficientes en un cuerpo conmutativo K es una extensión mínima de K que contiene al menos una raíz del polinomio. Esta terminología no siempre se usa: estudiar el cuerpo de ruptura de P equivale a estudiar el cociente K[X]/(P(X)), y esta notación es suficiente para muchos autores, sin que se utilice un nombre específico. Más raramente, en algunos libros se usa la expresión cuerpo de ruptura para designar otros conceptos. (es)
- In abstract algebra, a rupture field of a polynomial over a given field is a field extension of generated by a root of . For instance, if and then is a rupture field for . The notion is interesting mainly if is irreducible over . In that case, all rupture fields of over are isomorphic, non-canonically, to : if where is a root of , then the ring homomorphism defined by for all and is an isomorphism. Also, in this case the degree of the extension equals the degree of . (en)
- En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la théorie des corps commutatifs, un corps de rupture d'un polynôme irréductible P(X) à coefficients dans un corps commutatif K est une extension minimale de K contenant au moins une racine du polynôme. (fr)
- 抽象代数学における多項式の根体（こんたい、英: rupture field）は、与えられた多項式の根を少なくとも一つ含むような最小の非自明な拡大体を言う。すなわち、根体はその多項式の係数体にひとつの根を添加して与えられる拡大体を言う。 この概念は主に P(X) が係数体 K 上既約であるときに意味を持つ。この場合、P(X) の K 上の任意の根体が KP = K[X]/(P(X)) に同型（ただし標準同型ではない）になる。これは K に係数を持つ一変数多項式環 K[X] を P(X) の生成するイデアルで割った環であり、P(X) で割った剰余全体の成す環と見ることもできる。すなわち、この剰余環をとる操作が P(X) の根体構成である。 多項式 P の根体は必ずしも P の全ての根を含む（すなわち、KP において一次式の積に分解される）わけではない。しかし、この構成を有限回繰り返し適用して P の全ての根を含む有限次拡大を構成することは可能である。このように得られる体は P の分解体と言う。またこれは、もっと一般の（既約とは限らない）多項式に対しても適用できる。 (ja)
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| has abstract
| - En Matemàtiques i més precisament en àlgebra en el marc de la teoria de Galois un cos de ruptura d'un polinomi P(X) amb coeficients en un cos K és una Extensió algebraica mínima de K que conté almenys una arrel del polinomi. Segons els autors, es poden trobar altres definicions del cos de ruptura (vegeu secció ). Es demostra que amb la definició escollida, si P és un polinomi irreductible, tots els cossos de ruptura de P(X) són isomorfs a K[X]/(P(X)), l'anell K[X] dels polinomis amb coeficients a K quocient l'ideal engendrat pel polinomi P(X). Un cos de ruptura permet trobar un cos en el qual el polinomi pot ser romput però, en general, amb aquesta construcció no n'hi ha prou a escindir totalment el polinomi, és a dir a descompondre'l en producte de factors de primer grau. La construcció d'un cos de ruptura no és doncs més que una etapa en la construcció del cos de descomposició en el qual el polinomi podrà ser totalment escindit. Són els cossos de descomposició que, en el cas en què el criteri de séparabilitat està assegurat, posseeixen les propietats adequades necessàries per aplicar el . Si un cos de ruptura no conté la totalitat de les arrels de P(X), llavors és possible reiterar l'operació fins que s'obtingui una extensió algebraica que contingui totes les arrels: s'obté el cos de descomposició del polinomi. (ca)
- Kořenové nadtěleso je pojem z matematiky, z abstraktní algebry. Pro těleso a mnohočlen z polynomiálního okruhu se jím rozumí nadtěleso tělesa generované kořenem polynomu . Jednoduchým příkladem je těleso komplexních čísel, které je kořenovým nadtělesem tělesa reálných čísel a mnohočlenu . V tomto případě navíc kořenové nadtěleso obsahuje všechny kořeny polynomu, jedná se tedy o rozkladové těleso. To ovšem není pravidlem, například máme-li těleso racionálních čísel a polynom , pak kořenové nadtěleso neobsahuje zbylé dva kořeny polynomu . (cs)
- En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la théorie des corps commutatifs, un corps de rupture d'un polynôme irréductible P(X) à coefficients dans un corps commutatif K est une extension minimale de K contenant au moins une racine du polynôme. On démontre qu'avec la définition choisie, si P(X) est un polynôme irréductible, tous les corps de rupture de P(X) sont isomorphes à K[X]/(P(X)), quotient de l'anneau commutatif K[X] des polynômes à une indéterminée et à coefficients dans K par l'idéal engendré par le polynôme P(X), que l'on peut voir aussi comme l'anneau des restes de la division euclidienne de ces polynômes par P(X). Ce quotient fournit une construction d'un corps de rupture de P. Ce corps peut ne pas contenir l'intégralité des racines de P, c'est-à-dire que P ne se décompose pas forcément en produit de facteurs du premier degré sur K[X]/(P(X)). Mais il est alors possible de réitérer l'opération jusqu'à ce qu'une extension finie contenant toutes les racines de P soit construite. On obtient par ce procédé le corps de décomposition de P, et plus généralement celui d'un polynôme quelconque (non nécessairement irréductible). Cette terminologie n'est pas toujours utilisée : étudier le corps de rupture de P revient en effet à étudier le quotient K[X]/(P(X)), et cette notation suffit à de nombreux auteurs, sans qu'un nom spécifique soit utilisé. Plus rarement certains utilisent l'expression « corps de rupture » pour désigner une autre notion (voir section ). (fr)
- En matemáticas y más precisamente en álgebra, en el marco de la teoría de cuerpos, un cuerpo de ruptura de un polinomio irreducible P(X) con coeficientes en un cuerpo conmutativo K es una extensión mínima de K que contiene al menos una raíz del polinomio. Se demuestra que con la definición elegida, si P(X) es un polinomio irreducible, todos los cuerpos de ruptura de P(X) son isomorfos en K[X]/(P(X)), cociente del anillo conmutativo K[X] de los polinomios con una variable y coeficientes enKpor el ideal generado por el polinomio P(X), que también se puede ver como el anillo de los restos de la división euclídea de estos polinomios por P(X). Este cociente proporciona una construcción de un cuerpo de ruptura en P. Este cuerpo puede no contener todas las raíces de P, es decir que P no necesariamente se descompone en un producto de factores de primer grado en K[X]/(P(X)). Pero es posible repetir la operación hasta que se construya una extensión finita que contenga todas las raíces de P. Mediante este proceso, se obtiene el cuerpo de descomposición de P, y más generalmente el de cualquier polinomio (no necesariamente irreducible). Esta terminología no siempre se usa: estudiar el cuerpo de ruptura de P equivale a estudiar el cociente K[X]/(P(X)), y esta notación es suficiente para muchos autores, sin que se utilice un nombre específico. Más raramente, en algunos libros se usa la expresión cuerpo de ruptura para designar otros conceptos. (es)
- In abstract algebra, a rupture field of a polynomial over a given field is a field extension of generated by a root of . For instance, if and then is a rupture field for . The notion is interesting mainly if is irreducible over . In that case, all rupture fields of over are isomorphic, non-canonically, to : if where is a root of , then the ring homomorphism defined by for all and is an isomorphism. Also, in this case the degree of the extension equals the degree of . A rupture field of a polynomial does not necessarily contain all the roots of that polynomial: in the above example the field does not contain the other two (complex) roots of (namely and where is a primitive cube root of unity). For a field containing all the roots of a polynomial, see Splitting field. (en)
- 抽象代数学における多項式の根体（こんたい、英: rupture field）は、与えられた多項式の根を少なくとも一つ含むような最小の非自明な拡大体を言う。すなわち、根体はその多項式の係数体にひとつの根を添加して与えられる拡大体を言う。 この概念は主に P(X) が係数体 K 上既約であるときに意味を持つ。この場合、P(X) の K 上の任意の根体が KP = K[X]/(P(X)) に同型（ただし標準同型ではない）になる。これは K に係数を持つ一変数多項式環 K[X] を P(X) の生成するイデアルで割った環であり、P(X) で割った剰余全体の成す環と見ることもできる。すなわち、この剰余環をとる操作が P(X) の根体構成である。 多項式 P の根体は必ずしも P の全ての根を含む（すなわち、KP において一次式の積に分解される）わけではない。しかし、この構成を有限回繰り返し適用して P の全ての根を含む有限次拡大を構成することは可能である。このように得られる体は P の分解体と言う。またこれは、もっと一般の（既約とは限らない）多項式に対しても適用できる。 「根体」という用語は必須のものではない。既に述べたように、根体を得るには剰余環 K[X]/(P(X)) をとればよいのであって、剰余環の概念を持ち出せば十分であることから、特段の名称を付けないというような文献も多い。加えて、「根体」("corps de rupture") を別の意味で用いることも稀にあるため注意を要する。 (ja)
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