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テイラー展開(テイラーてんかい、英: Taylor expansion)とは、無限回微分可能関数 f から、テイラー級数(テイラーきゅうすう、英: Taylor series)と呼ばれる冪級数を得ることを言う。名称は数学者ブルック・テイラーに由来する。 Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами.В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка. Em matemática, uma série de Taylor é a série de funções da forma: , onde é uma função analítica dada. Neste caso, a série acima é dita ser a série de Taylor de em torno do ponto . Associadamente, o polinômio de Taylor de ordem em torno de de uma dada função -vezes diferenciável neste ponto é dado por: No caso particular de , série acima também é chamada de Série de Maclaurin ou, quando for o caso, de polinômio de Maclaurin. 在数学中,泰勒级数(英语:Taylor series)用无限项连加式——级数来表示一个函数,这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英國数学家布魯克·泰勒(Sir Brook Taylor)来命名的。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做迈克劳林级数,以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。 拉格朗日在1797年之前,最先提出帶有餘項的現在形式的泰勒定理。实际应用中,泰勒级数需要截断,只取有限项,可以用泰勒定理估算这种近似的误差。一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒多项式。一个函数的泰勒级数是其泰勒多项式的极限(如果存在极限)。即使泰勒级数在每点都收敛,函数与其泰勒级数也可能不相等。开区间(或复平面开片)上,与自身泰勒级数相等的函数称为解析函数。 In der Analysis verwendet man die nach Brook Taylor benannte Taylorreihe, um eine glatte Funktion in der Umgebung einer Stelle durch eine Potenzreihe darzustellen. Die Reihe ist der Grenzwert der Taylor-Polynome und man nennt diese Reihenentwicklung Taylor-Entwicklung. In mathematics, a Taylor series is a representation of a function as an infinite sum of terms that are calculated from the values of the function's derivatives at a single point. The concept of a Taylor series was formulated by the Scottish mathematician James Gregory and formally introduced by the English mathematician Brook Taylor in 1715. If the Taylor series is centered at zero, then that series is also called a Maclaurin series, named after the Scottish mathematician Colin Maclaurin, who made extensive use of this special case of Taylor series in the 18th century. In de analyse, een deelgebied van de wiskunde, is een taylorreeks of taylorontwikkeling de voorstelling of benadering van een functie als een machtreeks waarvan de coëfficiënten worden berekend uit de waarden van de afgeleiden van deze functie in een bepaald punt. In analisi matematica, la serie di Taylor di una funzione in un punto è la rappresentazione della funzione come serie di termini calcolati a partire dalle derivate della funzione stessa nel punto. En matemáticas, una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. Si esta serie está centrada sobre el punto cero, , se le denomina serie de McLaurin. Esta aproximación tiene tres ventajas importantes: في الرياضيات، مجموع تايلور أو متسلسلة تايلور (بالإنجليزية: Taylor series) هو متسلسلة تمكن من كتابة دالة رياضية في شكل متسلسلة. اخترع مفهوم متسلسلات تايلور بشكل رسمي عالم الرياضيات الأنجليزي بروك تايلور. وكان ذلك عام 1715. En mathématiques, et plus précisément en analyse, la série de Taylor d'une fonction f (au voisinage d'un point a), appelée aussi le développement en série de Taylor de f, est une série entière construite à partir de f et de ses dérivées successives en a.
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In der Analysis verwendet man die nach Brook Taylor benannte Taylorreihe, um eine glatte Funktion in der Umgebung einer Stelle durch eine Potenzreihe darzustellen. Die Reihe ist der Grenzwert der Taylor-Polynome und man nennt diese Reihenentwicklung Taylor-Entwicklung. In mathematics, a Taylor series is a representation of a function as an infinite sum of terms that are calculated from the values of the function's derivatives at a single point. The concept of a Taylor series was formulated by the Scottish mathematician James Gregory and formally introduced by the English mathematician Brook Taylor in 1715. If the Taylor series is centered at zero, then that series is also called a Maclaurin series, named after the Scottish mathematician Colin Maclaurin, who made extensive use of this special case of Taylor series in the 18th century. A function can be approximated by using a finite number of terms of its Taylor series. Taylor's theorem gives quantitative estimates on the error introduced by the use of such an approximation. The polynomial formed by taking some initial terms of the Taylor series is called a Taylor polynomial. The Taylor series of a function is the limit of that function's Taylor polynomials as the degree increases, provided that the limit exists. A function may not be equal to its Taylor series, even if its Taylor series converges at every point. A function that is equal to its Taylor series in an open interval (or a disc in the complex plane) is known as an analytic function in that interval. Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами.В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка. En matemáticas, una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. Si esta serie está centrada sobre el punto cero, , se le denomina serie de McLaurin. Esta aproximación tiene tres ventajas importantes: * la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales; * se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones; * es posible calcular la optimidad de la aproximación. Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent). Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent. في الرياضيات، مجموع تايلور أو متسلسلة تايلور (بالإنجليزية: Taylor series) هو متسلسلة تمكن من كتابة دالة رياضية في شكل متسلسلة. اخترع مفهوم متسلسلات تايلور بشكل رسمي عالم الرياضيات الأنجليزي بروك تايلور. وكان ذلك عام 1715. 在数学中,泰勒级数(英语:Taylor series)用无限项连加式——级数来表示一个函数,这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英國数学家布魯克·泰勒(Sir Brook Taylor)来命名的。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做迈克劳林级数,以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。 拉格朗日在1797年之前,最先提出帶有餘項的現在形式的泰勒定理。实际应用中,泰勒级数需要截断,只取有限项,可以用泰勒定理估算这种近似的误差。一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒多项式。一个函数的泰勒级数是其泰勒多项式的极限(如果存在极限)。即使泰勒级数在每点都收敛,函数与其泰勒级数也可能不相等。开区间(或复平面开片)上,与自身泰勒级数相等的函数称为解析函数。 Em matemática, uma série de Taylor é a série de funções da forma: , onde é uma função analítica dada. Neste caso, a série acima é dita ser a série de Taylor de em torno do ponto . Associadamente, o polinômio de Taylor de ordem em torno de de uma dada função -vezes diferenciável neste ponto é dado por: No caso particular de , série acima também é chamada de Série de Maclaurin ou, quando for o caso, de polinômio de Maclaurin. Tais séries recebem seu nome em homenagem a Brook Taylor que as estudou no trabalho Methodus incrementorum directa et inversa em 1715. Condorcet atribuía estas séries a Taylor e d'Alembert. O nome série de Taylor só começou a ser usado em 1786, por l'Huillier. テイラー展開(テイラーてんかい、英: Taylor expansion)とは、無限回微分可能関数 f から、テイラー級数(テイラーきゅうすう、英: Taylor series)と呼ばれる冪級数を得ることを言う。名称は数学者ブルック・テイラーに由来する。 In de analyse, een deelgebied van de wiskunde, is een taylorreeks of taylorontwikkeling de voorstelling of benadering van een functie als een machtreeks waarvan de coëfficiënten worden berekend uit de waarden van de afgeleiden van deze functie in een bepaald punt. Het concept van een taylorreeks werd door de Schotse wiskundige James Gregory ontdekt en in 1715 formeel geïntroduceerd door de Engelse wiskundige Brook Taylor. Wanneer de taylorreeks is gecentreerd rondom nul, noemt men deze reeks ook wel een maclaurin-reeks, dit naar de Schotse wiskundige Colin Maclaurin, die in de 18e eeuw op grote schaal gebruik maakte van taylorreeksen. Het is gebruikelijk een ​​functie te benaderen door een eindig aantal termen van haar taylorreeks te gebruiken. De stelling van Taylor geeft kwantitatieve schattingen van de fout in deze benadering. Elk eindig aantal van initiële termen van de taylorreeks van een functie wordt een taylorpolynoom genoemd. De taylorreeks van een functie is de limiet van de taylorpolynomen van die functie, als deze limiet tenminste bestaat. Een functie hoeft niet gelijk te zijn aan haar taylorreeks, zelfs als de taylorreeks van deze functie op ieder punt convergeert. Een functie die in een open interval (of een schijf in het complexe vlak) gelijk is aan zijn eigen taylorreeks, staat bekend als een analytische functie. En mathématiques, et plus précisément en analyse, la série de Taylor d'une fonction f (au voisinage d'un point a), appelée aussi le développement en série de Taylor de f, est une série entière construite à partir de f et de ses dérivées successives en a. In analisi matematica, la serie di Taylor di una funzione in un punto è la rappresentazione della funzione come serie di termini calcolati a partire dalle derivate della funzione stessa nel punto.
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