. . . . "\uBAA8\uB4C8\uB7EC \uC0B0\uC220"@ko . . "Modula aritmetiko estas sistemo de aritmetiko por entjeroj, kie nombroj \"turni\u011Das reen\" post kiam ili atingas certan valoron \u2014 la modulon. Modulan aritmetikon prezentis Carl Friedrich Gauss en lia libro Disquisitiones Arithmeticae (publikigita en 1801). Ekzemplo por modula aritmetiko estas kutima horlo\u011Do: la aritmetiko de horoj sur la horlo\u011Do. Se la tempo estas 7 horoj do post 8 horoj estas 15 horoj (kiel en kutima aldono). Se la tempo estas 7 horoj do post 19 horoj estas (7+19)=26 horoj (la\u016D en kutima aldono), sed horlo\u011Do uzas modulon 24, do estas 26 mod 24=2 horoj (de la sekva diurno)."@eo . . . . . . . . . . . . . . . . "L'aritmetica modulare (a volte detta aritmetica dell'orologio poich\u00E9 su questo principio si basa il calcolo delle ore a cicli di 12 o 24) rappresenta un importante ramo della matematica. Trova applicazioni nella crittografia, nella teoria dei numeri (in particolare nella ricerca dei numeri primi) ed \u00E8 alla base di molte delle pi\u00F9 comuni operazioni aritmetiche e algebriche. Si tratta di un sistema di aritmetica degli interi, in cui i numeri \"si avvolgono su loro stessi\" ogni volta che raggiungono i multipli di un determinato numero , detto modulo. Per capire, si pensi al funzionamento di un orologio in formato da 12 ore: trascorse quest'ultime \"si ricomincia\" dal numero 1 a contare le ore. Dire \"sono le 3 del pomeriggio\" (formato 12 ore) equivale a dire \"sono le 15\" (formato 24 ore). Tradotto in termini matematici, significa che . Si legge, \u00E8 congruente a , modulo . L'aritmetica modulare e la notazione usuale delle congruenze vennero formalmente introdotte da Carl Friedrich Gauss nel suo trattato Disquisitiones Arithmeticae, pubblicato nel 1801."@it . "p/c024850"@en . . . "Modula aritmetiko"@eo . . . . . . . . "Aritm\u00E9tica modular"@pt . "29395"^^ . . . . . . "Em matem\u00E1tica, aritm\u00E9tica modular (chamada tamb\u00E9m de aritm\u00E9tica do rel\u00F3gio) \u00E9 um sistema de aritm\u00E9tica para inteiros, onde os n\u00FAmeros \"retrocedem\" quando atingem um certo valor, o m\u00F3dulo. O matem\u00E1tico su\u00ED\u00E7o Euler foi o pioneiro na abordagem de congru\u00EAncia por volta de 1750, quando ele explicitamente introduziu a ideia de congru\u00EAncia m\u00F3dulo um n\u00FAmero natural N. A abordagem moderna da aritm\u00E9tica modular foi desenvolvida por Carl Friedrich Gauss em seu livro Disquisitiones Arithmeticae, publicado em 1801."@pt . . . . . . . . . "Dalam matematika dan khususnya pada teori bilangan aljabar, aritmetika modular adalah metode aritmetika untuk menyelesaikan permasalahan mengenai bilangan bulat. Ide dasar dari aritmetika modular adalah bekerja dengan sisa hasil pembagian bilangan, bukan dengan bilangan itu sendiri. Salah satu contoh dari aritmetika modular ada pada sistem 12-jam, di mana hari dibagi menjadi dua periode 12-jam. Jika sekarang jarum jam menunjukan pukul 7:00, maka 8 jam kemudian akan menunjukan pukul 3:00. Penambahan sederhana akan menghasilkan 7 + 8 = 15. Namun karena jam \"berulang\" setiap 12 jam, angka 15 \"sama dengan\" angka 3; ini adalah contoh aritmetika modulo 12. Walau sudah dipelajari sejak kuno, sejarawan umumnya mengasosiasikan kemunculan aritmetika modular dengan tahun 1801, tahun publikasi buku Disquisitiones Arithmeticae karya Carl Friedrich Gauss. Pendekatan yang ia gunakan mempermudah penjelasan konjektur-konjektur terkenal, dan menyederhanakan bukti-bukti penting. Implikasi karya Gauss juga ditemukan pada bidang selain teori bilangan, seperti aljabar dan geometri. Kegunaan aritmetika modular meningkat pada abad ke-20. Operasi aritmetika dasar pada komputer yang bekerja pada jumlah bit yang tetap, pada dasarnya adalah operasi aritmetika modular. Penerapan pada bidang industri memicu perkembangan algoritma aritmetika modular."@in . . . . "Na rozd\u00EDl od b\u011B\u017En\u00E9 aritmetiky je modul\u00E1rn\u00ED aritmetika definov\u00E1na na n\u011Bjak\u00E9 kone\u010Dn\u00E9 mno\u017Ein\u011B \u2124n. Tato mno\u017Eina vznikne ze \u2124 tak, \u017Ee jsou v\u0161echna \u010D\u00EDsla se stejn\u00FDm zbytkem po d\u011Blen\u00ED \u010D\u00EDslem (zbytkov\u00E1 t\u0159\u00EDda) br\u00E1na jako kongruentn\u00ED a ztoto\u017En\u011Bna s jedin\u00FDm reprezentantem. Takov\u00E1 mno\u017Eina se pak naz\u00FDv\u00E1 mno\u017Eina zbytkov\u00FDch t\u0159\u00EDd."@cs . . . . . . "Modul\u00E4r aritmetik, modulor\u00E4kning eller kongruensr\u00E4kning \u00E4r ett omr\u00E5de inom aritmetiken, d\u00E4r man r\u00E4knar med ett begr\u00E4nsat antal tal. Andra tal r\u00E4knas som j\u00E4mlika (\"kongruenta\") med ett av dessa, n\u00E4mligen med det av talen som blir rest vid division med antalet tal man r\u00E4knar med. Den modul\u00E4ra aritmetiken anv\u00E4nds bland annat inom kryptologin. I den modul\u00E4ra matematiken analyseras och anv\u00E4nds kongruensrelationen. Tv\u00E5 tal a och b s\u00E4gs vara kongruenta modulo n om n delar differensen mellan a och b, vilket f\u00F6r alla nollskilda n \u00E4r ekvivalent med att de har samma principala rest vid division med n.Detta betecknas , och ibland \u00E4ven . Talen a och b \u00E4r kongruenta modulo 0 om och endast om a = b. Detta triviala slags kongruens bortser man ofta fr\u00E5n, och f\u00F6ruts\u00E4tter d\u00E5 i st\u00E4llet att n \u00E4r nollskilt, allts\u00E5 inte \u00E4r lika med noll. Under det extraantagandet kan man formellt beskriva definitionen och dess grundl\u00E4ggande egenskaper s\u00E5 h\u00E4r: har samma rest vid division med n ."@sv . . . . . . . . . . . . . . . "\u041C\u043E\u0434\u0443\u043B\u044C\u043D\u0430 \u0430\u0440\u0438\u0444\u043C\u0435\u0442\u0438\u043A\u0430"@uk . . . . . . . . . . . "En matem\u00E1tica, la aritm\u00E9tica modular es un sistema aritm\u00E9tico para clases de equivalencia de n\u00FAmeros enteros llamadas clases de congruencia. La aritm\u00E9tica modular fue introducida en 1801 por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae.\u200B Algunas veces se le llama, sugerentemente, aritm\u00E9tica del reloj, ya que los n\u00FAmeros \u00ABdan la vuelta\u00BB tras alcanzar cierto valor llamado m\u00F3dulo.\u200B"@es . . . "1120780300"^^ . . . "\u5408\u540C\u7B97\u8853"@ja . . . . . . "En matem\u00E1tica, la aritm\u00E9tica modular es un sistema aritm\u00E9tico para clases de equivalencia de n\u00FAmeros enteros llamadas clases de congruencia. La aritm\u00E9tica modular fue introducida en 1801 por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae.\u200B Algunas veces se le llama, sugerentemente, aritm\u00E9tica del reloj, ya que los n\u00FAmeros \u00ABdan la vuelta\u00BB tras alcanzar cierto valor llamado m\u00F3dulo.\u200B"@es . . "Aritmetika modularra, matematikaren esparruan, zenbaki osoko kongruentzia klaseetarako sistema aritmetikoa da. 1801ean Carl Friendrich Gaussek garatu zuen eta Disquisitiones Arithmeticae izeneko liburuan argitara eman zuen."@eu . . . . "\u0641\u064A \u0627\u0644\u0631\u064A\u0627\u0636\u064A\u0627\u062A \u0648\u0628\u0627\u0644\u062A\u062D\u062F\u064A\u062F \u0641\u064A \u0645\u062C\u0627\u0644 \u0627\u0644\u0646\u0638\u0631\u064A\u0629 \u0627\u0644\u062C\u0628\u0631\u064A\u0629 \u0644\u0644\u0623\u0639\u062F\u0627\u062F\u060C \u0627\u0644\u062D\u0633\u0627\u0628\u064A\u0627\u062A \u0627\u0644\u0646\u0645\u0637\u064A\u0629 (\u0628\u0627\u0644\u0625\u0646\u062C\u0644\u064A\u0632\u064A\u0629: modular arithmetics)\u200F \u0647\u064A \u0645\u062C\u0645\u0648\u0639\u0629 \u0645\u0646 \u0627\u0644\u0637\u0631\u0642 \u0627\u0644\u062A\u064A \u062A\u062A\u064A\u062D \u062D\u0644 \u0628\u0639\u0636 \u0627\u0644\u0645\u0633\u0627\u0626\u0644 \u0627\u0644\u062E\u0627\u0635\u0629 \u0628\u0627\u0644\u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0627\u0644\u0635\u062D\u064A\u062D\u0629 \u0648 \u0645\u0646 \u0636\u0645\u0646\u0647\u0627 \u0627\u0644\u0637\u0628\u064A\u0639\u064A\u0629. \u0648\u0647\u064A \u062A\u0631\u062A\u0643\u0632 \u0639\u0644\u0649 \u062F\u0631\u0627\u0633\u0629 \u0627\u0644\u0628\u0627\u0642\u064A \u0627\u0644\u062D\u0627\u0635\u0644 \u0645\u0646 \u0627\u0644\u0642\u0633\u0645\u0629 \u0627\u0644\u0625\u0642\u0644\u064A\u062F\u064A\u0629. \u062A\u0631\u062A\u0643\u0632 \u0627\u0644\u062D\u0633\u0627\u0628\u064A\u0627\u062A \u0627\u0644\u0646\u0645\u0637\u064A\u0629 \u0623\u0633\u0627\u0633\u0627 \u0639\u0644\u0649 \u0627\u0644\u0646\u0638\u0631 \u0625\u0644\u0649 \u0628\u0627\u0642\u064A \u0642\u0633\u0645\u0629 \u0627\u0644\u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0627\u0644\u0637\u0628\u064A\u0639\u064A\u0629 \u0639\u0644\u0649 \u0639\u062F\u062F \u0637\u0628\u064A\u0639\u064A \u0645\u0639\u064A\u0646 \u062B\u0627\u0628\u062A \u0645\u0627\u060C \u0628\u062F\u0644\u0627 \u0645\u0646 \u0627\u0644\u0646\u0638\u0631 \u0625\u0644\u0649 \u0647\u0630\u0647 \u0627\u0644\u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0630\u0627\u062A\u0647\u0627. \u064A\u0638\u0647\u0631 \u0647\u0630\u0627 \u062C\u0644\u064A\u0627 \u0641\u064A \u0645\u062B\u0627\u0644 \u062D\u0633\u0627\u0628\u064A\u0627\u062A \u0627\u0644\u0645\u0646\u0628\u0647\u060C \u0627\u0644\u0630\u064A \u064A\u0648\u0627\u0641\u0642 \u062D\u0627\u0644\u0629 n=12 : \u0627\u0644\u0639\u0642\u0631\u0628 \u0627\u0644\u0635\u063A\u064A\u0631 \u064A\u0648\u062C\u062F \u0641\u064A \u0646\u0641\u0633 \u0627\u0644\u0645\u0648\u0636\u0639 \u0641\u064A \u0644\u062D\u0638\u062A\u064A\u0646 \u062A\u0641\u0635\u0644 \u0628\u064A\u0646\u0647\u0645\u0627 \u0627\u062B\u0646\u062A\u0627 \u0639\u0634\u0631\u0629 \u0633\u0627\u0639\u0629\u060C \u0648\u0628\u0647\u0630\u0627 \u062A\u0635\u064A\u0631 \u0627\u0644\u0633\u0627\u0639\u0629 1 \u0643\u0627\u0644\u0633\u0627\u0639\u0629 13."@ar . . "\u6A21\u7B97\u6578\uFF08\u82F1\u8A9E\uFF1AModular arithmetic\uFF09\u662F\u4E00\u500B\u6574\u6570\u7684\u7B97\u672F\u7CFB\u7D71\uFF0C\u5176\u4E2D\u6578\u5B57\u8D85\u904E\u4E00\u5B9A\u503C\u5F8C\uFF08\u7A31\u70BA\u6A21\uFF09\u5F8C\u6703\u300C\u6372\u56DE\u300D\u5230\u8F03\u5C0F\u7684\u6578\u503C\uFF0C\u6A21\u7B97\u6578\u6700\u65E9\u662F\u51FA\u73FE\u5728\u5361\u723E\u00B7\u5F17\u91CC\u5FB7\u91CC\u5E0C\u00B7\u9AD8\u65AF\u57281801\u5E74\u51FA\u7248\u7684\u300A\u7B97\u672F\u7814\u7A76\u300B\u4E00\u66F8\u4E2D\u3002 \u6A21\u7B97\u6578\u5E38\u898B\u7684\u61C9\u7528\u662F\u5728\u5341\u4E8C\u5C0F\u6642\u5236\uFF0C\u5C07\u4E00\u5929\u5206\u70BA\u4E8C\u500B\u4EE5\u5341\u4E8C\u5C0F\u6642\u8A08\u7B97\u7684\u55AE\u4F4D\u3002\u5047\u8A2D\u73FE\u5728\u4E03\u9EDE\uFF0C\u516B\u5C0F\u6642\u5F8C\u6703\u662F\u4E09\u9EDE\u3002\u7528\u4E00\u822C\u7684\u7B97\u8853\u52A0\u6CD5\uFF0C\u6703\u5F97\u52307 + 8 = 15\uFF0C\u4F46\u5728\u5341\u4E8C\u5C0F\u6642\u5236\u4E2D\uFF0C\u8D85\u904E\u5341\u4E8C\u5C0F\u6642\u6703\u6B78\u96F6\uFF0C\u4E0D\u5B58\u5728\u300C\u5341\u4E94\u9EDE\u300D\u3002\u985E\u4F3C\u7684\u60C5\u5F62\uFF0C\u82E5\u6642\u9418\u76EE\u524D\u662F\u5341\u4E8C\u6642\uFF0C\u4E8C\u5341\u4E00\u5C0F\u6642\u5F8C\u6703\u662F\u4E5D\u9EDE\uFF0C\u800C\u4E0D\u662F\u4E09\u5341\u4E09\u9EDE\u3002\u5C0F\u6642\u6578\u8D85\u904E\u5341\u4E8C\u5F8C\u6703\u518D\u56DE\u5230\u4E00\uFF0C\u70BA\u6A2112\u7684\u6A21\u7B97\u6578\u7CFB\u7D71\u3002\u4F9D\u7167\u4E0A\u8FF0\u7684\u5B9A\u7FA9\uFF0C12\u548C12\u672C\u8EAB\u540C\u9918\uFF0C\u4E5F\u548C0\u540C\u9918\uFF0C\u56E0\u6B6412:00\u7684\u6642\u9593\u4E5F\u53EF\u4EE5\u7A31\u70BA\u662F0:00\uFF0C\u56E0\u70BA\u6A2112\u6642\uFF0C12\u548C0\u540C\u9918\u3002"@zh . . . . "Aritmetika modular"@eu . . . . . . . . . . . . "En math\u00E9matiques et plus pr\u00E9cis\u00E9ment en th\u00E9orie alg\u00E9brique des nombres, l\u2019arithm\u00E9tique modulaire est un ensemble de m\u00E9thodes permettant la r\u00E9solution de probl\u00E8mes sur les nombres entiers. Ces m\u00E9thodes d\u00E9rivent de l\u2019\u00E9tude du reste obtenu par une division euclidienne. L'id\u00E9e de base de l'arithm\u00E9tique modulaire est de travailler non sur les nombres eux-m\u00EAmes, mais sur les restes de leur division par quelque chose. Quand on fait par exemple une preuve par neuf \u00E0 l'\u00E9cole primaire, on effectue un peu d'arithm\u00E9tique modulaire sans le savoir : le diviseur est alors le nombre 9."@fr . . . . . . . . . . . . "Arithm\u00E9tique modulaire"@fr . . . . . . . . . . "Modul\u00E4r aritmetik"@sv . . "Aritmetica modulare"@it . "Aritmetika modular"@in . . . . . . "Modula aritmetiko estas sistemo de aritmetiko por entjeroj, kie nombroj \"turni\u011Das reen\" post kiam ili atingas certan valoron \u2014 la modulon. Modulan aritmetikon prezentis Carl Friedrich Gauss en lia libro Disquisitiones Arithmeticae (publikigita en 1801). Ekzemplo por modula aritmetiko estas kutima horlo\u011Do: la aritmetiko de horoj sur la horlo\u011Do. Se la tempo estas 7 horoj do post 8 horoj estas 15 horoj (kiel en kutima aldono). Se la tempo estas 7 horoj do post 19 horoj estas (7+19)=26 horoj (la\u016D en kutima aldono), sed horlo\u011Do uzas modulon 24, do estas 26 mod 24=2 horoj (de la sekva diurno)."@eo . "En matem\u00E0tiques, i m\u00E9s concretament en teoria de nombres algebraics, l'aritm\u00E8tica modular \u00E9s un conjunt de m\u00E8todes que permeten la resoluci\u00F3 de problemes sobre els nombres enters. Aquests m\u00E8todes sorgeixen de l'estudi del residu obtingut per una divisi\u00F3. La idea de base de l'aritm\u00E8tica modular \u00E9s de treballar no sobre els nombres mateixos, sin\u00F3 sobre els residus de la seva divisi\u00F3 per alguna cosa. Quan es fa, per exemple, la prova del nou, s'efectua una operaci\u00F3 d'aritm\u00E8tica modular sense saber-ho: el divisor \u00E9s el valor 9. Tot i que els seus or\u00EDgens es remunten a l'antiguitat, generalment, els historiadors associen el seu naixement l'any 1801, data de la publicaci\u00F3 del llibre Disquisitiones arithmeticae de Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855). El seu nou enfocament permet elucidar c\u00E8lebres conjectures i simplifica les demostracions d'importants resultats gr\u00E0cies a una major abstracci\u00F3. Si b\u00E9 l'\u00E0mbit natural d'aquests m\u00E8todes \u00E9s la teoria dels nombres, les conseq\u00FC\u00E8ncies de les idees de Gauss es troben tamb\u00E9 en altres camps de les matem\u00E0tiques, com l'\u00E0lgebra o la geometria. El segle xx modifica l'estatut de l'aritm\u00E8tica modular. D'una banda, es necessiten altres m\u00E8todes per progressar en la teoria dels nombres. D'altra banda, el desenvolupament de nombroses aplicacions industrials imposa la posada a punt d'algorismes procedents de les t\u00E8cniques modulars. Resolen essencialment q\u00FCestions sorgides en la teoria de la informaci\u00F3, una branca considerada actualment, sobretot, com matem\u00E0tiques aplicades."@ca . . . "Arytmetyka modularna"@pl . . . . . "\u6A21\u7B97\u6578\uFF08\u82F1\u8A9E\uFF1AModular arithmetic\uFF09\u662F\u4E00\u500B\u6574\u6570\u7684\u7B97\u672F\u7CFB\u7D71\uFF0C\u5176\u4E2D\u6578\u5B57\u8D85\u904E\u4E00\u5B9A\u503C\u5F8C\uFF08\u7A31\u70BA\u6A21\uFF09\u5F8C\u6703\u300C\u6372\u56DE\u300D\u5230\u8F03\u5C0F\u7684\u6578\u503C\uFF0C\u6A21\u7B97\u6578\u6700\u65E9\u662F\u51FA\u73FE\u5728\u5361\u723E\u00B7\u5F17\u91CC\u5FB7\u91CC\u5E0C\u00B7\u9AD8\u65AF\u57281801\u5E74\u51FA\u7248\u7684\u300A\u7B97\u672F\u7814\u7A76\u300B\u4E00\u66F8\u4E2D\u3002 \u6A21\u7B97\u6578\u5E38\u898B\u7684\u61C9\u7528\u662F\u5728\u5341\u4E8C\u5C0F\u6642\u5236\uFF0C\u5C07\u4E00\u5929\u5206\u70BA\u4E8C\u500B\u4EE5\u5341\u4E8C\u5C0F\u6642\u8A08\u7B97\u7684\u55AE\u4F4D\u3002\u5047\u8A2D\u73FE\u5728\u4E03\u9EDE\uFF0C\u516B\u5C0F\u6642\u5F8C\u6703\u662F\u4E09\u9EDE\u3002\u7528\u4E00\u822C\u7684\u7B97\u8853\u52A0\u6CD5\uFF0C\u6703\u5F97\u52307 + 8 = 15\uFF0C\u4F46\u5728\u5341\u4E8C\u5C0F\u6642\u5236\u4E2D\uFF0C\u8D85\u904E\u5341\u4E8C\u5C0F\u6642\u6703\u6B78\u96F6\uFF0C\u4E0D\u5B58\u5728\u300C\u5341\u4E94\u9EDE\u300D\u3002\u985E\u4F3C\u7684\u60C5\u5F62\uFF0C\u82E5\u6642\u9418\u76EE\u524D\u662F\u5341\u4E8C\u6642\uFF0C\u4E8C\u5341\u4E00\u5C0F\u6642\u5F8C\u6703\u662F\u4E5D\u9EDE\uFF0C\u800C\u4E0D\u662F\u4E09\u5341\u4E09\u9EDE\u3002\u5C0F\u6642\u6578\u8D85\u904E\u5341\u4E8C\u5F8C\u6703\u518D\u56DE\u5230\u4E00\uFF0C\u70BA\u6A2112\u7684\u6A21\u7B97\u6578\u7CFB\u7D71\u3002\u4F9D\u7167\u4E0A\u8FF0\u7684\u5B9A\u7FA9\uFF0C12\u548C12\u672C\u8EAB\u540C\u9918\uFF0C\u4E5F\u548C0\u540C\u9918\uFF0C\u56E0\u6B6412:00\u7684\u6642\u9593\u4E5F\u53EF\u4EE5\u7A31\u70BA\u662F0:00\uFF0C\u56E0\u70BA\u6A2112\u6642\uFF0C12\u548C0\u540C\u9918\u3002"@zh . . . . . . "\u03A3\u03C4\u03B1 \u03BC\u03B1\u03B8\u03B7\u03BC\u03B1\u03C4\u03B9\u03BA\u03AC, \u03B7 \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03B7\u03C4\u03B9\u03BA\u03AE \u03C5\u03C0\u03BF\u03BB\u03BF\u03AF\u03C0\u03C9\u03BD \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03AD\u03BD\u03B1 \u03C3\u03CD\u03C3\u03C4\u03B7\u03BC\u03B1 \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03B7\u03C4\u03B9\u03BA\u03AE\u03C2 \u03B3\u03B9\u03B1 \u03B1\u03BA\u03AD\u03C1\u03B1\u03B9\u03BF\u03C5\u03C2 \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03BF\u03CD\u03C2, \u03CC\u03C0\u03BF\u03C5 \u03BF\u03B9 \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03BF\u03AF \u00AB\u03B1\u03BD\u03B1\u03B4\u03B9\u03C0\u03BB\u03CE\u03BD\u03BF\u03BD\u03C4\u03B1\u03B9\u00BB \u03AD\u03C9\u03C2 \u03C4\u03B7\u03BD \u03B5\u03C0\u03AF\u03C4\u03B5\u03C5\u03BE\u03B7 \u03BC\u03B9\u03B1\u03C2 \u03BF\u03C1\u03B9\u03C3\u03BC\u03AD\u03BD\u03B7\u03C2 \u03C4\u03B9\u03BC\u03AE\u03C2 \u2014 \u03C3\u03C5\u03BD\u03C4\u03B5\u03BB\u03B5\u03C3\u03C4\u03AE \u03B1\u03BD\u03B1\u03B4\u03AF\u03C0\u03BB\u03C9\u03C3\u03B7\u03C2 (\u03B1\u03BD\u03B1\u03B4\u03B9\u03C0\u03BB\u03C9\u03C4\u03AE\u03C2: modulo \u03C0\u03BB\u03B7\u03B8\u03C5\u03BD\u03C4\u03B9\u03BA\u03CC\u03C2 moduli). \u0397 \u03C3\u03CD\u03B3\u03C7\u03C1\u03BF\u03BD\u03B7 \u03C0\u03C1\u03BF\u03C3\u03AD\u03B3\u03B3\u03B9\u03C3\u03B7 \u03B3\u03B9\u03B1 \u03C4\u03B7\u03BD \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03B7\u03C4\u03B9\u03BA\u03AE \u03C5\u03C0\u03BF\u03BB\u03BF\u03AF\u03C0\u03C9\u03BD \u03B1\u03BD\u03B1\u03C0\u03C4\u03CD\u03C7\u03B8\u03B7\u03BA\u03B5 \u03B1\u03C0\u03CC \u03C4\u03BF\u03BD \u039A\u03B1\u03C1\u03BB \u03A6\u03C1\u03AF\u03BD\u03C4\u03C1\u03B9\u03C7 \u0393\u03BA\u03AC\u03BF\u03C5\u03C2, \u03C3\u03C4\u03BF \u03B2\u03B9\u03B2\u03BB\u03AF\u03BF \u03C4\u03BF\u03C5 , \u03C0\u03BF\u03C5 \u03B4\u03B7\u03BC\u03BF\u03C3\u03B9\u03B5\u03CD\u03B8\u03B7\u03BA\u03B5 \u03C4\u03BF 1801."@el . . . . . "Em matem\u00E1tica, aritm\u00E9tica modular (chamada tamb\u00E9m de aritm\u00E9tica do rel\u00F3gio) \u00E9 um sistema de aritm\u00E9tica para inteiros, onde os n\u00FAmeros \"retrocedem\" quando atingem um certo valor, o m\u00F3dulo. O matem\u00E1tico su\u00ED\u00E7o Euler foi o pioneiro na abordagem de congru\u00EAncia por volta de 1750, quando ele explicitamente introduziu a ideia de congru\u00EAncia m\u00F3dulo um n\u00FAmero natural N. A abordagem moderna da aritm\u00E9tica modular foi desenvolvida por Carl Friedrich Gauss em seu livro Disquisitiones Arithmeticae, publicado em 1801. Um uso familiar da aritm\u00E9tica modular \u00E9 no rel\u00F3gio de ponteiro, no qual o dia \u00E9 divido em dois per\u00EDodos de 12 horas cada. Se s\u00E3o 7:00 agora, ent\u00E3o 8 horas depois ser\u00E3o 3:00. A adi\u00E7\u00E3o usual sugere que o tempo futuro deveria ser , mas o rel\u00F3gio \"retrocede\" a cada 12 horas. Da mesma forma, se o rel\u00F3gio come\u00E7a em 12:00(meio-dia) e 21 horas passam, ent\u00E3o a hora ser\u00E1 9:00 do dia seguinte, em vez de 33:00. Como o n\u00FAmero de horas come\u00E7a de novo depois que atinge 12, esta aritm\u00E9tica \u00E9 chamada aritm\u00E9tica m\u00F3dulo 12. Em termos da defini\u00E7\u00E3o abaixo, \u00E9 congruente com m\u00F3dulo , ent\u00E3o \"15:00\" em um \u00E9 exibido \"3:00 \"em um rel\u00F3gio de 12 horas."@pt . "\u041C\u043E\u0434\u0443\u043B\u044C\u043D\u0430 \u0430\u0440\u0438\u0444\u043C\u0435\u0442\u0438\u043A\u0430 \u2014 \u0446\u0435 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043C\u0430 \u0430\u0440\u0438\u0444\u043C\u0435\u0442\u0438\u043A\u0438 \u0446\u0456\u043B\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B,\u0432 \u044F\u043A\u0456\u0439 \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430 \u00AB\u043E\u0431\u0435\u0440\u0442\u0430\u044E\u0442\u044C\u0441\u044F \u043D\u0430\u0432\u043A\u043E\u043B\u043E\u00BB \u0434\u0435\u044F\u043A\u043E\u0433\u043E \u0437\u043D\u0430\u0447\u0435\u043D\u043D\u044F \u2014 \u043C\u043E\u0434\u0443\u043B\u044F. \u041D\u0430\u0439\u0431\u0456\u043B\u044C\u0448 \u0432\u0456\u0434\u043E\u043C\u0438\u0439 \u043F\u0440\u0438\u043A\u043B\u0430\u0434 \u043C\u043E\u0434\u0443\u043B\u044C\u043D\u043E\u0457 \u0430\u0440\u0438\u0444\u043C\u0435\u0442\u0438\u043A\u0438 \u2014 \u0446\u0435 \u0437\u0430\u043F\u0438\u0441 \u0447\u0430\u0441\u0443 \u0432 12-\u0433\u043E\u0434\u0438\u043D\u043D\u043E\u043C\u0443 \u0444\u043E\u0440\u043C\u0430\u0442\u0456, \u0432 \u044F\u043A\u043E\u043C\u0443 \u0434\u0435\u043D\u044C \u0434\u0456\u043B\u0438\u0442\u044C\u0441\u044F \u043D\u0430 \u0434\u0432\u0430 12-\u0433\u043E\u0434\u0438\u043D\u043D\u0438\u0445 \u043F\u0435\u0440\u0456\u043E\u0434\u0438. \u042F\u043A\u0449\u043E \u0437\u0430\u0440\u0430\u0437 9:00, \u0442\u043E \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 4 \u0433\u043E\u0434\u0438\u043D\u0438 \u043D\u0430 \u0433\u043E\u0434\u0438\u043D\u043D\u0438\u043A\u0443 \u0431\u0443\u0434\u0435 1:00. \u042F\u043A\u0449\u043E \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u043E \u0434\u043E\u0434\u0430\u0442\u0438, \u0442\u043E 9 + 4 = 13, \u0430\u043B\u0435 \u0446\u0435 \u043D\u0435\u043F\u0440\u0430\u0432\u0438\u043B\u044C\u043D\u0430 \u0432\u0456\u0434\u043F\u043E\u0432\u0456\u0434\u044C, \u0442\u043E\u043C\u0443 \u0449\u043E \u043D\u0430 \u0433\u043E\u0434\u0438\u043D\u043D\u0438\u043A\u0443 \u043F\u043E \u0434\u043E\u0441\u044F\u0433\u043D\u0435\u043D\u043D\u0456 \u0441\u0442\u0440\u0456\u043B\u043A\u0438 12-\u0457 \u0433\u043E\u0434\u0438\u043D\u0438, \u0437\u0430\u043C\u0456\u0441\u0442\u044C 12:00 \u043C\u0438 \u043E\u0442\u0440\u0438\u043C\u0443\u0454\u043C\u043E 00:00. \u0422\u043E\u043C\u0443 \u043F\u0440\u0430\u0432\u0438\u043B\u044C\u043D\u0430 \u0432\u0456\u0434\u043F\u043E\u0432\u0456\u0434\u044C, \u0449\u043E \u043D\u0430 \u0433\u043E\u0434\u0438\u043D\u043D\u0438\u043A\u0443 \u0431\u0443\u0434\u0435 1:00. \u0423 \u0441\u0443\u0447\u0430\u0441\u043D\u043E\u043C\u0443 \u0432\u0438\u0433\u043B\u044F\u0434\u0456 \u043C\u043E\u0434\u0443\u043B\u044C\u043D\u0430 \u0430\u0440\u0438\u0444\u043C\u0435\u0442\u0438\u043A\u0430 \u0431\u0443\u043B\u0430 \u0440\u043E\u0437\u0432\u0438\u043D\u0443\u0442\u0430 \u0413\u0430\u0443\u0441\u043E\u043C \u0432 (1801)."@uk . . . . . "In mathematics, modular arithmetic is a system of arithmetic for integers, where numbers \"wrap around\" when reaching a certain value, called the modulus. The modern approach to modular arithmetic was developed by Carl Friedrich Gauss in his book Disquisitiones Arithmeticae, published in 1801. A familiar use of modular arithmetic is in the 12-hour clock, in which the day is divided into two 12-hour periods. If the time is 7:00 now, then 8 hours later it will be 3:00. Simple addition would result in 7 + 8 = 15, but clocks \"wrap around\" every 12 hours. Because the hour number starts over at zero when it reaches 12, this is arithmetic modulo 12. In terms of the definition below, 15 is congruent to 3 modulo 12, so \"15:00\" on a 24-hour clock is displayed \"3:00\" on a 12-hour clock."@en . . . . . "En math\u00E9matiques et plus pr\u00E9cis\u00E9ment en th\u00E9orie alg\u00E9brique des nombres, l\u2019arithm\u00E9tique modulaire est un ensemble de m\u00E9thodes permettant la r\u00E9solution de probl\u00E8mes sur les nombres entiers. Ces m\u00E9thodes d\u00E9rivent de l\u2019\u00E9tude du reste obtenu par une division euclidienne. L'id\u00E9e de base de l'arithm\u00E9tique modulaire est de travailler non sur les nombres eux-m\u00EAmes, mais sur les restes de leur division par quelque chose. Quand on fait par exemple une preuve par neuf \u00E0 l'\u00E9cole primaire, on effectue un peu d'arithm\u00E9tique modulaire sans le savoir : le diviseur est alors le nombre 9. Si ses origines remontent \u00E0 l\u2019Antiquit\u00E9, les historiens associent g\u00E9n\u00E9ralement sa naissance \u00E0 l\u2019ann\u00E9e 1801, date de la publication du livre Disquisitiones arithmeticae de Carl Friedrich Gauss. Sa nouvelle approche permet d\u2019\u00E9lucider de c\u00E9l\u00E8bres conjectures et simplifie les d\u00E9monstrations d\u2019importants r\u00E9sultats par une plus grande abstraction. Si le domaine naturel de ces m\u00E9thodes est la th\u00E9orie des nombres, les cons\u00E9quences des id\u00E9es de Gauss se retrouvent dans d\u2019autres champs des math\u00E9matiques, comme l\u2019alg\u00E8bre ou la g\u00E9om\u00E9trie. Le XXe si\u00E8cle modifie le statut de l\u2019arithm\u00E9tique modulaire. L'arithm\u00E9tique de base des ordinateurs, celle qui travaille sur des mots m\u00E9moire de taille fixe, est n\u00E9cessairement une arithm\u00E9tique modulaire. Le d\u00E9veloppement de nombreuses applications industrielles impose la mise au point d\u2019algorithmes pour l'arithm\u00E9tique modulaire. Ils r\u00E9solvent essentiellement des questions soulev\u00E9es par le d\u00E9veloppement de l'informatique. L\u2019article \u00AB Congruence sur les entiers \u00BB propose une introduction plus math\u00E9matique ; \u00AB Anneau \u2124/n\u2124 \u00BB traite le m\u00EAme sujet de mani\u00E8re moins didactique et plus exhaustive."@fr . . . . . . . . . . . . . "Dalam matematika dan khususnya pada teori bilangan aljabar, aritmetika modular adalah metode aritmetika untuk menyelesaikan permasalahan mengenai bilangan bulat. Ide dasar dari aritmetika modular adalah bekerja dengan sisa hasil pembagian bilangan, bukan dengan bilangan itu sendiri. Salah satu contoh dari aritmetika modular ada pada sistem 12-jam, di mana hari dibagi menjadi dua periode 12-jam. Jika sekarang jarum jam menunjukan pukul 7:00, maka 8 jam kemudian akan menunjukan pukul 3:00. Penambahan sederhana akan menghasilkan 7 + 8 = 15. Namun karena jam \"berulang\" setiap 12 jam, angka 15 \"sama dengan\" angka 3; ini adalah contoh aritmetika modulo 12."@in . . . "Modulair rekenen, of rekenen modulo een getal, is een vorm van geheeltallig rekenen met een getal dat als bovengrens fungeert, de modulus. Een typisch voorbeeld is de klok waarop modulo 12, of modulo 24, gerekend wordt. Als het 6 uur is, dan staat de klok 8 uur later niet op 14, maar op 14 \u2212 12 = 2 uur. Bij modulair rekenen met modulus of rekenen modulo wordt gerekend met de getallen , waarna niet volgt maar weer opnieuw met 0 begonnen wordt. De getallen 0 tot en met staan als het ware in een kring. Het resultaat van een berekening modulo is de rest van het resultaat na geheeltallige deling door de modulus . De normale definities van optelling en vermenigvuldiging worden gebruikt, maar als het resultaat groter is dan of gelijk aan wordt net zo vaak afgetrokken tot het resultaat weer kleiner is dan . Getallen die modulo gelijk zijn, die dus een veelvoud van van elkaar verschillen, noemt men congruent modulo , genoteerd met het symbool . Bijvoorbeeld De verzameling getallen waarmee modulo gerekend wordt, wordt aangeduid als , naar het symbool dat de verzameling gehele getallen aanduidt."@nl . . . . "En matem\u00E0tiques, i m\u00E9s concretament en teoria de nombres algebraics, l'aritm\u00E8tica modular \u00E9s un conjunt de m\u00E8todes que permeten la resoluci\u00F3 de problemes sobre els nombres enters. Aquests m\u00E8todes sorgeixen de l'estudi del residu obtingut per una divisi\u00F3. La idea de base de l'aritm\u00E8tica modular \u00E9s de treballar no sobre els nombres mateixos, sin\u00F3 sobre els residus de la seva divisi\u00F3 per alguna cosa. Quan es fa, per exemple, la prova del nou, s'efectua una operaci\u00F3 d'aritm\u00E8tica modular sense saber-ho: el divisor \u00E9s el valor 9."@ca . . . "\u6A21\u7B97\u6578"@zh . . . . . . . . . . . . "Modulair rekenen, of rekenen modulo een getal, is een vorm van geheeltallig rekenen met een getal dat als bovengrens fungeert, de modulus. Een typisch voorbeeld is de klok waarop modulo 12, of modulo 24, gerekend wordt. Als het 6 uur is, dan staat de klok 8 uur later niet op 14, maar op 14 \u2212 12 = 2 uur. De verzameling getallen waarmee modulo gerekend wordt, wordt aangeduid als , naar het symbool dat de verzameling gehele getallen aanduidt."@nl . . . . . . . "Aritm\u00E8tica modular"@ca . "Aritmetika modularra, matematikaren esparruan, zenbaki osoko kongruentzia klaseetarako sistema aritmetikoa da. 1801ean Carl Friendrich Gaussek garatu zuen eta Disquisitiones Arithmeticae izeneko liburuan argitara eman zuen. Erlojuaren aritmetika moduan ere ezagutzen da, orduak 12:00-etara iristean berriro 00:00-tik kontatzen hasten baitira; 12 orduko erlojua aritmetika modularraren adibide argia da. Erloju analogikoetan, eguna 12 orduko bi zatitan banatuta dago; goizeko 7:00-ak badira eta 8 ordu pasa badira, 15:00-ak izan beharko lirateke, baina 0tik 12ra kontatzen duenez, 3:00-ak direla esaten dugu. Modu berean, 12:00-ak badira eta 21 ordu pasa badira, 9:00-ak direla esaten dugu 33:00-ak direla esan beharrean, erlojuaren orratza 12:00-ra iristean berriro ere 0tik kontatzen hasten delako. Hori horrela izanik, erloju analogikoetan 12 moduluko aritmetika egiten dela esango dugu."@eu . . . . . "\u041C\u043E\u0434\u0443\u043B\u044C\u043D\u0430\u044F \u0430\u0440\u0438\u0444\u043C\u0435\u0442\u0438\u043A\u0430"@ru . . . . . "Modular arithmetic"@en . . "\u0391\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03B7\u03C4\u03B9\u03BA\u03AE \u03C5\u03C0\u03BF\u03BB\u03BF\u03AF\u03C0\u03C9\u03BD"@el . . . . "\u062D\u0633\u0627\u0628\u064A\u0627\u062A \u0645\u0639\u064A\u0627\u0631\u064A\u0629"@ar . "Arytmetyka modularna, arytmetyka reszt \u2013 system liczb ca\u0142kowitych, w kt\u00F3rym liczby \u201Ezawijaj\u0105 si\u0119\u201D po osi\u0105gni\u0119ciu pewnej warto\u015Bci nazywanej modu\u0142em, cz\u0119sto okre\u015Blanej terminem modulo (skracane mod). Pierwszy pe\u0142ny wyk\u0142ad arytmetyki reszt przedstawi\u0142 Carl Friedrich Gauss w Disquisitiones Arithmeticae (\u201EBadania arytmetyczne\u201D, 1801)."@pl . . . . . . "\u6570\u5B66\u3001\u7279\u306B\u521D\u7B49\u4EE3\u6570\u7684\u6574\u6570\u8AD6\u306B\u304A\u3051\u308B\u5408\u540C\u7B97\u8853\uFF08\u3054\u3046\u3069\u3046\u3055\u3093\u3058\u3085\u3064\u3001\u82F1: modular arithmetic; \u30E2\u30B8\u30E5\u30E9\u8A08\u7B97\uFF09\u306F\u3001\uFF08\u5270\u4F59\u3092\u6301\u3064\u9664\u6CD5\u306E\u610F\u5473\u3067\uFF09\uFF09\u81EA\u7136\u6570\u3042\u308B\u3044\u306F\u6574\u6570\u3092\u3042\u308B\u7279\u5B9A\u306E\u81EA\u7136\u6570\u3067\u5272\u3063\u305F\u3068\u304D\u306E\u5270\u4F59\u306B\u6CE8\u76EE\u3057\u3066\u3001\u81EA\u7136\u6570\u3042\u308B\u3044\u306F\u6574\u6570\u306B\u95A2\u3059\u308B\u554F\u984C\u3092\u89E3\u6C7A\u3059\u308B\u4E00\u9023\u306E\u65B9\u6CD5\u306E\u7DCF\u79F0\u3067\u3042\u308B\u3002\u5408\u540C\u7B97\u8853\u306E\u8D77\u6E90\u306F\u3001\u4E00\u822C\u306B\u306F\u30AC\u30A6\u30B9\u304C\u8457\u4F5C\u300EDisquisitiones Arithmeticae\u300F\u3092\u51FA\u7248\u3059\u308B1801\u5E74\u306B\u307E\u3067\u9061\u308C\u308B\u3082\u306E\u3068\u3055\u308C\u308B\u3002\u30AC\u30A6\u30B9\u306B\u3088\u308B\u5408\u540C\u3092\u7528\u3044\u305F\u3053\u306E\u65B0\u3057\u3044\u624B\u6CD5\u306F\u3001\u6709\u540D\u306A\u5E73\u65B9\u5270\u4F59\u306E\u76F8\u4E92\u6CD5\u5247\u3092\u660E\u3089\u304B\u306B\u3057\u3001\u3088\u308A\u62BD\u8C61\u7684\u306A\u89B3\u70B9\u304B\u3089\u30A6\u30A3\u30EB\u30BD\u30F3\u306E\u5B9A\u7406\u306A\u3069\u306E\u5B9A\u7406\u306E\u8A18\u8FF0\u306E\u7C21\u7D20\u5316\u306B\u4E00\u5F79\u3092\u8CB7\u3063\u305F\u3002\u30AC\u30A6\u30B9\u306E\u7814\u7A76\u306F\u81EA\u7136\u6570\u3092\u6271\u3046\u6574\u6570\u8AD6\u306E\u307F\u306A\u3089\u305A\u3001\u4EE3\u6570\u5B66\u3084\u5E7E\u4F55\u5B66\u3068\u3044\u3063\u305F\u6570\u5B66\u306E\u307B\u304B\u306E\u4E3B\u8981\u306A\u5206\u91CE\u306B\u307E\u3067\u5F71\u97FF\u3092\u4E0E\u3048\u308B\u3082\u306E\u3067\u3042\u3063\u305F\u3002 \u3053\u306E\u624B\u6CD5\u306E\u57FA\u672C\u306F\u3001\u300C\u6570\u305D\u308C\u81EA\u4F53\u300D\u3067\u306F\u306A\u304F\u305D\u308C\u3092\u5225\u306A\u6570\u3067\u5272\u3063\u305F\uFF08\u5546\u304C\u3044\u304F\u3089\u306B\u306A\u308B\u304B\u3068\u3044\u3046\u3053\u3068\u306F\u7121\u8996\u3057\u3066\uFF09\u300C\u5270\u4F59\u3060\u3051\u300D\u3092\u8003\u3048\u308B\u3068\u3044\u3046\u3053\u3068\u306B\u3042\u308B\u3002\u3053\u3046\u3044\u3063\u305F\u8003\u3048\u65B9\u306F\u4F55\u304B\u7279\u6B8A\u3067\u9AD8\u5C1A\u306A\u3082\u306E\u3068\u3044\u3046\u3088\u3046\u306A\u3082\u306E\u3067\u306F\u306A\u304F\u3001\u5B9F\u969B\u306B\u65E5\u5E38\u751F\u6D3B\u306B\u304A\u3044\u3066\u3082\u6642\u523B\u3084\u89D2\u5EA6\u3068\u3044\u3063\u305F\u3082\u306E\u306E\u8A08\u7B97\u3084\u5358\u4F4D\u306E\u63DB\u7B97\u306A\u3069\u3067\u3001\u3061\u3087\u3063\u3068\u3057\u305F\u5408\u540C\u7B97\u8853\u304C\u7279\u5225\u306A\u77E5\u8B58\u7121\u304F\u3042\u308B\u3044\u306F\u7121\u610F\u8B58\u306B\u884C\u308F\u308C\u3066\u3044\u308B\u306E\u3067\u3042\u308B\u3002 20\u4E16\u7D00\u306B\u306F\u3001\u5408\u540C\u7B97\u8853\u306B\u307E\u3064\u308F\u308B\u72B6\u6CC1\u306F\u5927\u304D\u304F\u69D8\u5909\u308F\u308A\u3092\u3057\u3066\u3044\u308B\u3002\u8A08\u7B97\u6A5F\u3084\u30A6\u30A7\u30D6\u306E\u666E\u53CA\u306B\u4F34\u3063\u3066\u60C5\u5831\u30BB\u30AD\u30E5\u30EA\u30C6\u30A3\u306E\u89B3\u70B9\u304B\u3089\u306E\u6697\u53F7\u5316\u30A2\u30EB\u30B4\u30EA\u30BA\u30E0\u306E\u958B\u767A\u3084\u53D6\u308A\u6271\u3044\u3068\u3044\u3063\u305F\u3088\u3046\u306A\u5834\u9762\u3067\u53E4\u5178\u7684\u306A\u5408\u540C\u7B97\u8853\u306B\u95A2\u3059\u308B\u7406\u8AD6\u306E\u5DE5\u696D\u7684\u30FB\u5546\u696D\u7684\u5FDC\u7528\u304C\u983B\u7E41\u306B\u898B\u3089\u308C\u308B\u3088\u3046\u306B\u306A\u3063\u305F\u3002"@ja . . . . . . . . . "\u03A3\u03C4\u03B1 \u03BC\u03B1\u03B8\u03B7\u03BC\u03B1\u03C4\u03B9\u03BA\u03AC, \u03B7 \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03B7\u03C4\u03B9\u03BA\u03AE \u03C5\u03C0\u03BF\u03BB\u03BF\u03AF\u03C0\u03C9\u03BD \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03AD\u03BD\u03B1 \u03C3\u03CD\u03C3\u03C4\u03B7\u03BC\u03B1 \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03B7\u03C4\u03B9\u03BA\u03AE\u03C2 \u03B3\u03B9\u03B1 \u03B1\u03BA\u03AD\u03C1\u03B1\u03B9\u03BF\u03C5\u03C2 \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03BF\u03CD\u03C2, \u03CC\u03C0\u03BF\u03C5 \u03BF\u03B9 \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03BF\u03AF \u00AB\u03B1\u03BD\u03B1\u03B4\u03B9\u03C0\u03BB\u03CE\u03BD\u03BF\u03BD\u03C4\u03B1\u03B9\u00BB \u03AD\u03C9\u03C2 \u03C4\u03B7\u03BD \u03B5\u03C0\u03AF\u03C4\u03B5\u03C5\u03BE\u03B7 \u03BC\u03B9\u03B1\u03C2 \u03BF\u03C1\u03B9\u03C3\u03BC\u03AD\u03BD\u03B7\u03C2 \u03C4\u03B9\u03BC\u03AE\u03C2 \u2014 \u03C3\u03C5\u03BD\u03C4\u03B5\u03BB\u03B5\u03C3\u03C4\u03AE \u03B1\u03BD\u03B1\u03B4\u03AF\u03C0\u03BB\u03C9\u03C3\u03B7\u03C2 (\u03B1\u03BD\u03B1\u03B4\u03B9\u03C0\u03BB\u03C9\u03C4\u03AE\u03C2: modulo \u03C0\u03BB\u03B7\u03B8\u03C5\u03BD\u03C4\u03B9\u03BA\u03CC\u03C2 moduli). \u0397 \u03C3\u03CD\u03B3\u03C7\u03C1\u03BF\u03BD\u03B7 \u03C0\u03C1\u03BF\u03C3\u03AD\u03B3\u03B3\u03B9\u03C3\u03B7 \u03B3\u03B9\u03B1 \u03C4\u03B7\u03BD \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03B7\u03C4\u03B9\u03BA\u03AE \u03C5\u03C0\u03BF\u03BB\u03BF\u03AF\u03C0\u03C9\u03BD \u03B1\u03BD\u03B1\u03C0\u03C4\u03CD\u03C7\u03B8\u03B7\u03BA\u03B5 \u03B1\u03C0\u03CC \u03C4\u03BF\u03BD \u039A\u03B1\u03C1\u03BB \u03A6\u03C1\u03AF\u03BD\u03C4\u03C1\u03B9\u03C7 \u0393\u03BA\u03AC\u03BF\u03C5\u03C2, \u03C3\u03C4\u03BF \u03B2\u03B9\u03B2\u03BB\u03AF\u03BF \u03C4\u03BF\u03C5 , \u03C0\u03BF\u03C5 \u03B4\u03B7\u03BC\u03BF\u03C3\u03B9\u03B5\u03CD\u03B8\u03B7\u03BA\u03B5 \u03C4\u03BF 1801. \u039C\u03AF\u03B1 \u03B3\u03BD\u03C9\u03C3\u03C4\u03AE \u03C7\u03C1\u03AE\u03C3\u03B7 \u03C4\u03B7\u03C2 \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03B7\u03C4\u03B9\u03BA\u03AE\u03C2 \u03C5\u03C0\u03BF\u03BB\u03BF\u03AF\u03C0\u03C9\u03BD \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03C4\u03BF , \u03BA\u03B1\u03C4\u03AC \u03C4\u03BF \u03BF\u03C0\u03BF\u03AF\u03BF \u03B7 \u03BC\u03AD\u03C1\u03B1 \u03C7\u03C9\u03C1\u03AF\u03B6\u03B5\u03C4\u03B1\u03B9 \u03C3\u03B5 \u03B4\u03CD\u03BF 12-\u03C9\u03C1\u03B5\u03C2 \u03C0\u03B5\u03C1\u03B9\u03CC\u03B4\u03BF\u03C5\u03C2. \u0391\u03BD \u03C4\u03CE\u03C1\u03B1 \u03B7 \u03CE\u03C1\u03B1 \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 7:00, \u03C4\u03CC\u03C4\u03B5 \u03C3\u03B5 8 \u03CE\u03C1\u03B5\u03C2 \u03B1\u03C1\u03B3\u03CC\u03C4\u03B5\u03C1\u03B1 \u03B8\u03B1 \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 3:00. \u0395\u03C0\u03B9\u03C0\u03BB\u03AD\u03BF\u03BD, \u03C4\u03BF \u03C3\u03C5\u03BD\u03B7\u03B8\u03B9\u03C3\u03BC\u03AD\u03BD\u03BF \u03B8\u03B1 \u03AE\u03C4\u03B1\u03BD \u03BF \u03BC\u03B5\u03C4\u03B1\u03B3\u03B5\u03BD\u03AD\u03C3\u03C4\u03B5\u03C1\u03BF\u03C2 \u03C7\u03C1\u03CC\u03BD\u03BF\u03C2 \u03BD\u03B1 \u03C0\u03C1\u03AD\u03C0\u03B5\u03B9 \u03BD\u03B1 \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 7 + 8 = 15, \u03B1\u03BB\u03BB\u03AC \u03B1\u03C5\u03C4\u03CC \u03B4\u03B5\u03BD \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03BF\u03C1\u03B8\u03CC, \u03B4\u03B9\u03CC\u03C4\u03B9 \u03B7 \u03CE\u03C1\u03B1 \u03C4\u03BF\u03C5 \u03C1\u03BF\u03BB\u03BF\u03B3\u03B9\u03BF\u03CD \u00AB\u03B1\u03BD\u03B1\u03B4\u03B9\u03C0\u03BB\u03CE\u03BD\u03B5\u03C4\u03B1\u03B9\u00BB \u03BA\u03AC\u03B8\u03B5 12 \u03CE\u03C1\u03B5\u03C2: \u03C3\u03B5 \u03AD\u03BD\u03B1 12-\u03C9\u03C1\u03BF, \u03B4\u03B5\u03BD \u03C5\u03C0\u03AC\u03C1\u03C7\u03B5\u03B9 \u00AB\u03B7 \u03CE\u03C1\u03B1 15:00\u00BB. \u039F\u03BC\u03BF\u03AF\u03C9\u03C2, \u03B1\u03BD \u03C4\u03BF \u03C1\u03BF\u03BB\u03CC\u03B9 \u03BE\u03B5\u03BA\u03B9\u03BD\u03AC \u03C3\u03C4\u03B9\u03C2 12:00 (\u03C4\u03BF \u03BC\u03B5\u03C3\u03B7\u03BC\u03AD\u03C1\u03B9) \u03BA\u03B1\u03B9 \u03AD\u03C7\u03BF\u03C5\u03BD \u03C0\u03B1\u03C1\u03AD\u03BB\u03B8\u03B5\u03B9 21 \u03CE\u03C1\u03B5\u03C2, \u03C4\u03CC\u03C4\u03B5 \u03BF \u03C7\u03C1\u03CC\u03BD\u03BF\u03C2 \u03B8\u03B1 \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 9:00 \u03C4\u03B7\u03BD \u03B5\u03C0\u03CC\u03BC\u03B5\u03BD\u03B7 \u03BC\u03AD\u03C1\u03B1, \u03B1\u03BD\u03C4\u03AF \u03B3\u03B9\u03B1 33:00. \u0395\u03C0\u03B5\u03B9\u03B4\u03AE \u03B7 \u03CE\u03C1\u03B1 \u03BE\u03B5\u03BA\u03B9\u03BD\u03AC \u03BE\u03B1\u03BD\u03AC \u03B1\u03C0\u03CC \u03C4\u03B7\u03BD \u03B1\u03C1\u03C7\u03AE \u03B1\u03C6\u03BF\u03CD \u03C6\u03C4\u03AC\u03C3\u03B5\u03B9 \u03C3\u03C4\u03B9\u03C2 12:00, \u03B1\u03C5\u03C4\u03CC \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03B7\u03C4\u03B9\u03BA\u03AE modulo 12. \u03A3\u03CD\u03BC\u03C6\u03C9\u03BD\u03B1 \u03BC\u03B5 \u03C4\u03BF\u03BD \u03BF\u03C1\u03B9\u03C3\u03BC\u03CC \u03C0\u03B1\u03C1\u03B1\u03BA\u03AC\u03C4\u03C9, \u03C4\u03BF 12 \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03CC\u03C7\u03B9 \u03BC\u03CC\u03BD\u03BF \u03BC\u03B5 \u03C4\u03BF 12, \u03B1\u03BB\u03BB\u03AC \u03BA\u03B1\u03B9 \u03BC\u03B5 \u03C4\u03BF 0, \u03AD\u03C4\u03C3\u03B9 \u03CE\u03C3\u03C4\u03B5 \u03BF \u03C7\u03C1\u03CC\u03BD\u03BF\u03C2 \u03C0\u03BF\u03C5 \u03BF\u03BD\u03BF\u03BC\u03AC\u03B6\u03B5\u03C4\u03B1\u03B9 \"12:00\" \u03B8\u03B1 \u03BC\u03C0\u03BF\u03C1\u03BF\u03CD\u03C3\u03B5 \u03B5\u03C0\u03AF\u03C3\u03B7\u03C2 \u03BD\u03B1 \u03BF\u03BD\u03BF\u03BC\u03AC\u03B6\u03B5\u03C4\u03B1\u03B9 \"0:00\", \u03B1\u03C6\u03BF\u03CD \u03C4\u03BF 12 \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03B9\u03C3\u03CC\u03C4\u03B9\u03BC\u03BF \u03BC\u03B5 \u03C4\u03BF 0 modulo 12."@el . . . . . . . . . "In mathematics, modular arithmetic is a system of arithmetic for integers, where numbers \"wrap around\" when reaching a certain value, called the modulus. The modern approach to modular arithmetic was developed by Carl Friedrich Gauss in his book Disquisitiones Arithmeticae, published in 1801."@en . . . . . . . "Aritm\u00E9tica modular"@es . . . . "\u6570\u5B66\u3001\u7279\u306B\u521D\u7B49\u4EE3\u6570\u7684\u6574\u6570\u8AD6\u306B\u304A\u3051\u308B\u5408\u540C\u7B97\u8853\uFF08\u3054\u3046\u3069\u3046\u3055\u3093\u3058\u3085\u3064\u3001\u82F1: modular arithmetic; \u30E2\u30B8\u30E5\u30E9\u8A08\u7B97\uFF09\u306F\u3001\uFF08\u5270\u4F59\u3092\u6301\u3064\u9664\u6CD5\u306E\u610F\u5473\u3067\uFF09\uFF09\u81EA\u7136\u6570\u3042\u308B\u3044\u306F\u6574\u6570\u3092\u3042\u308B\u7279\u5B9A\u306E\u81EA\u7136\u6570\u3067\u5272\u3063\u305F\u3068\u304D\u306E\u5270\u4F59\u306B\u6CE8\u76EE\u3057\u3066\u3001\u81EA\u7136\u6570\u3042\u308B\u3044\u306F\u6574\u6570\u306B\u95A2\u3059\u308B\u554F\u984C\u3092\u89E3\u6C7A\u3059\u308B\u4E00\u9023\u306E\u65B9\u6CD5\u306E\u7DCF\u79F0\u3067\u3042\u308B\u3002\u5408\u540C\u7B97\u8853\u306E\u8D77\u6E90\u306F\u3001\u4E00\u822C\u306B\u306F\u30AC\u30A6\u30B9\u304C\u8457\u4F5C\u300EDisquisitiones Arithmeticae\u300F\u3092\u51FA\u7248\u3059\u308B1801\u5E74\u306B\u307E\u3067\u9061\u308C\u308B\u3082\u306E\u3068\u3055\u308C\u308B\u3002\u30AC\u30A6\u30B9\u306B\u3088\u308B\u5408\u540C\u3092\u7528\u3044\u305F\u3053\u306E\u65B0\u3057\u3044\u624B\u6CD5\u306F\u3001\u6709\u540D\u306A\u5E73\u65B9\u5270\u4F59\u306E\u76F8\u4E92\u6CD5\u5247\u3092\u660E\u3089\u304B\u306B\u3057\u3001\u3088\u308A\u62BD\u8C61\u7684\u306A\u89B3\u70B9\u304B\u3089\u30A6\u30A3\u30EB\u30BD\u30F3\u306E\u5B9A\u7406\u306A\u3069\u306E\u5B9A\u7406\u306E\u8A18\u8FF0\u306E\u7C21\u7D20\u5316\u306B\u4E00\u5F79\u3092\u8CB7\u3063\u305F\u3002\u30AC\u30A6\u30B9\u306E\u7814\u7A76\u306F\u81EA\u7136\u6570\u3092\u6271\u3046\u6574\u6570\u8AD6\u306E\u307F\u306A\u3089\u305A\u3001\u4EE3\u6570\u5B66\u3084\u5E7E\u4F55\u5B66\u3068\u3044\u3063\u305F\u6570\u5B66\u306E\u307B\u304B\u306E\u4E3B\u8981\u306A\u5206\u91CE\u306B\u307E\u3067\u5F71\u97FF\u3092\u4E0E\u3048\u308B\u3082\u306E\u3067\u3042\u3063\u305F\u3002 \u3053\u306E\u624B\u6CD5\u306E\u57FA\u672C\u306F\u3001\u300C\u6570\u305D\u308C\u81EA\u4F53\u300D\u3067\u306F\u306A\u304F\u305D\u308C\u3092\u5225\u306A\u6570\u3067\u5272\u3063\u305F\uFF08\u5546\u304C\u3044\u304F\u3089\u306B\u306A\u308B\u304B\u3068\u3044\u3046\u3053\u3068\u306F\u7121\u8996\u3057\u3066\uFF09\u300C\u5270\u4F59\u3060\u3051\u300D\u3092\u8003\u3048\u308B\u3068\u3044\u3046\u3053\u3068\u306B\u3042\u308B\u3002\u3053\u3046\u3044\u3063\u305F\u8003\u3048\u65B9\u306F\u4F55\u304B\u7279\u6B8A\u3067\u9AD8\u5C1A\u306A\u3082\u306E\u3068\u3044\u3046\u3088\u3046\u306A\u3082\u306E\u3067\u306F\u306A\u304F\u3001\u5B9F\u969B\u306B\u65E5\u5E38\u751F\u6D3B\u306B\u304A\u3044\u3066\u3082\u6642\u523B\u3084\u89D2\u5EA6\u3068\u3044\u3063\u305F\u3082\u306E\u306E\u8A08\u7B97\u3084\u5358\u4F4D\u306E\u63DB\u7B97\u306A\u3069\u3067\u3001\u3061\u3087\u3063\u3068\u3057\u305F\u5408\u540C\u7B97\u8853\u304C\u7279\u5225\u306A\u77E5\u8B58\u7121\u304F\u3042\u308B\u3044\u306F\u7121\u610F\u8B58\u306B\u884C\u308F\u308C\u3066\u3044\u308B\u306E\u3067\u3042\u308B\u3002"@ja . "Na rozd\u00EDl od b\u011B\u017En\u00E9 aritmetiky je modul\u00E1rn\u00ED aritmetika definov\u00E1na na n\u011Bjak\u00E9 kone\u010Dn\u00E9 mno\u017Ein\u011B \u2124n. Tato mno\u017Eina vznikne ze \u2124 tak, \u017Ee jsou v\u0161echna \u010D\u00EDsla se stejn\u00FDm zbytkem po d\u011Blen\u00ED \u010D\u00EDslem (zbytkov\u00E1 t\u0159\u00EDda) br\u00E1na jako kongruentn\u00ED a ztoto\u017En\u011Bna s jedin\u00FDm reprezentantem. Takov\u00E1 mno\u017Eina se pak naz\u00FDv\u00E1 mno\u017Eina zbytkov\u00FDch t\u0159\u00EDd."@cs . . . . "\uC218\uB860\uC5D0\uC11C \uBAA8\uB4C8\uB7EC \uC0B0\uC220(\uC601\uC5B4: modular arithmetic) \uB610\uB294 \uD569\uB3D9 \uC0B0\uC220(\u5408\u540C\u7B97\u8853)\uC740 \uC815\uC218\uC758 \uD569\uACFC \uACF1\uC744 \uC5B4\uB5A4 \uC8FC\uC5B4\uC9C4 \uC218\uC758 \uB098\uBA38\uC9C0\uC5D0 \uB300\uD558\uC5EC \uC815\uC758\uD558\uB294 \uBC29\uBC95\uC774\uB2E4. \uC815\uC218\uD658\uC758 \uBAAB\uD658 \uC758 \uD658 \uAD6C\uC870\uB85C \uC0DD\uAC01\uD560 \uC218 \uC788\uB2E4."@ko . . . . . . "Congruence"@en . . . . "\u041C\u043E\u0434\u0443\u043B\u044C\u043D\u0430 \u0430\u0440\u0438\u0444\u043C\u0435\u0442\u0438\u043A\u0430 \u2014 \u0446\u0435 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043C\u0430 \u0430\u0440\u0438\u0444\u043C\u0435\u0442\u0438\u043A\u0438 \u0446\u0456\u043B\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B,\u0432 \u044F\u043A\u0456\u0439 \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430 \u00AB\u043E\u0431\u0435\u0440\u0442\u0430\u044E\u0442\u044C\u0441\u044F \u043D\u0430\u0432\u043A\u043E\u043B\u043E\u00BB \u0434\u0435\u044F\u043A\u043E\u0433\u043E \u0437\u043D\u0430\u0447\u0435\u043D\u043D\u044F \u2014 \u043C\u043E\u0434\u0443\u043B\u044F. \u041D\u0430\u0439\u0431\u0456\u043B\u044C\u0448 \u0432\u0456\u0434\u043E\u043C\u0438\u0439 \u043F\u0440\u0438\u043A\u043B\u0430\u0434 \u043C\u043E\u0434\u0443\u043B\u044C\u043D\u043E\u0457 \u0430\u0440\u0438\u0444\u043C\u0435\u0442\u0438\u043A\u0438 \u2014 \u0446\u0435 \u0437\u0430\u043F\u0438\u0441 \u0447\u0430\u0441\u0443 \u0432 12-\u0433\u043E\u0434\u0438\u043D\u043D\u043E\u043C\u0443 \u0444\u043E\u0440\u043C\u0430\u0442\u0456, \u0432 \u044F\u043A\u043E\u043C\u0443 \u0434\u0435\u043D\u044C \u0434\u0456\u043B\u0438\u0442\u044C\u0441\u044F \u043D\u0430 \u0434\u0432\u0430 12-\u0433\u043E\u0434\u0438\u043D\u043D\u0438\u0445 \u043F\u0435\u0440\u0456\u043E\u0434\u0438. \u042F\u043A\u0449\u043E \u0437\u0430\u0440\u0430\u0437 9:00, \u0442\u043E \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 4 \u0433\u043E\u0434\u0438\u043D\u0438 \u043D\u0430 \u0433\u043E\u0434\u0438\u043D\u043D\u0438\u043A\u0443 \u0431\u0443\u0434\u0435 1:00. \u042F\u043A\u0449\u043E \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u043E \u0434\u043E\u0434\u0430\u0442\u0438, \u0442\u043E 9 + 4 = 13, \u0430\u043B\u0435 \u0446\u0435 \u043D\u0435\u043F\u0440\u0430\u0432\u0438\u043B\u044C\u043D\u0430 \u0432\u0456\u0434\u043F\u043E\u0432\u0456\u0434\u044C, \u0442\u043E\u043C\u0443 \u0449\u043E \u043D\u0430 \u0433\u043E\u0434\u0438\u043D\u043D\u0438\u043A\u0443 \u043F\u043E \u0434\u043E\u0441\u044F\u0433\u043D\u0435\u043D\u043D\u0456 \u0441\u0442\u0440\u0456\u043B\u043A\u0438 12-\u0457 \u0433\u043E\u0434\u0438\u043D\u0438, \u0437\u0430\u043C\u0456\u0441\u0442\u044C 12:00 \u043C\u0438 \u043E\u0442\u0440\u0438\u043C\u0443\u0454\u043C\u043E 00:00. \u0422\u043E\u043C\u0443 \u043F\u0440\u0430\u0432\u0438\u043B\u044C\u043D\u0430 \u0432\u0456\u0434\u043F\u043E\u0432\u0456\u0434\u044C, \u0449\u043E \u043D\u0430 \u0433\u043E\u0434\u0438\u043D\u043D\u0438\u043A\u0443 \u0431\u0443\u0434\u0435 1:00. \u0410\u043D\u0430\u043B\u043E\u0433\u0456\u0447\u043D\u0438\u043C \u0447\u0438\u043D\u043E\u043C, \u044F\u043A\u0449\u043E \u0433\u043E\u0434\u0438\u043D\u043D\u0438\u043A \u043F\u043E\u0447\u0438\u043D\u0430\u0454 \u0432\u0456\u0434\u043B\u0456\u043A \u043E 12:00 (\u043E\u043F\u0456\u0432\u0434\u043D\u0456) \u0456 \u043F\u0440\u043E\u0439\u0434\u0435 21 \u0433\u043E\u0434\u0438\u043D\u0430, \u0442\u043E \u0447\u0430\u0441 \u0431\u0443\u0434\u0435 9:00 \u043D\u0430\u0441\u0442\u0443\u043F\u043D\u043E\u0433\u043E \u0434\u043D\u044F, \u0430 \u043D\u0435 33:00. \u041E\u0441\u043A\u0456\u043B\u044C\u043A\u0438 \u0433\u043E\u0434\u0438\u043D\u043D\u0438\u043A \u043F\u043E\u0447\u0438\u043D\u0430\u0454 \u043D\u043E\u0432\u0438\u0439 \u0432\u0456\u0434\u043B\u0456\u043A \u0447\u0430\u0441\u0443 \u043F\u0456\u0441\u043B\u044F \u0434\u043E\u0441\u044F\u0433\u043D\u0435\u043D\u043D\u044F 12, \u0442\u043E \u0446\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435 \u0430\u0440\u0438\u0444\u043C\u0435\u0442\u0438\u043A\u0430 \u0437\u0430 \u043C\u043E\u0434\u0443\u043B\u0435\u043C 12. 12 \u0432\u0456\u0434\u043F\u043E\u0432\u0456\u0434\u0430\u0454 \u043D\u0435 \u0442\u0456\u043B\u044C\u043A\u0438 \u0437\u043D\u0430\u0447\u0435\u043D\u043D\u044E 12, \u0430\u043B\u0435 \u0442\u0430\u043A\u043E\u0436 \u0456 0, \u0442\u0430\u043A \u0449\u043E \u0447\u0430\u0441, \u044F\u043A\u0438\u0439 \u043D\u0430\u0437\u0438\u0432\u0430\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u00AB12:00\u00BB, \u0442\u0430\u043A\u043E\u0436 \u043C\u043E\u0436\u0435 \u0431\u0443\u0442\u0438 \u043D\u0430\u0437\u0432\u0430\u043D\u0438\u0439 \u00AB0:00\u00BB, \u043E\u0441\u043A\u0456\u043B\u044C\u043A\u0438 0 \u2261 12 mod 12. \u0429\u0435 \u043E\u0434\u0438\u043D \u043F\u0456\u0434\u0445\u0456\u0434 \u0434\u043E \u043C\u043E\u0434\u0443\u043B\u044C\u043D\u043E\u0457 \u0430\u0440\u0438\u0444\u043C\u0435\u0442\u0438\u043A\u0438 \u043F\u043E\u0432'\u044F\u0437\u0430\u043D\u0438\u0439 \u0437 \u043E\u0441\u0442\u0430\u0447\u0430\u043C\u0438 \u0432\u0456\u0434 \u0434\u0456\u043B\u0435\u043D\u043D\u044F \u0446\u0456\u043B\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B \u043D\u0430 \u043F\u0435\u0432\u043D\u0435 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043D\u0435 \u043D\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043B\u044C\u043D\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043B\u043E. \u0424\u0430\u043A\u0442\u0438\u0447\u043D\u043E \u0432 \u043D\u0456\u0439 \u0440\u043E\u0437\u0433\u043B\u044F\u0434\u0430\u044E\u0442\u044C\u0441\u044F \u043A\u043B\u0430\u0441\u0438 \u0435\u043A\u0432\u0456\u0432\u0430\u043B\u0435\u043D\u0442\u043D\u043E\u0441\u0442\u0456 \u043F\u0435\u0432\u043D\u043E\u0433\u043E \u043D\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E\u0433\u043E \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430. \u0423 \u0441\u0443\u0447\u0430\u0441\u043D\u043E\u043C\u0443 \u0432\u0438\u0433\u043B\u044F\u0434\u0456 \u043C\u043E\u0434\u0443\u043B\u044C\u043D\u0430 \u0430\u0440\u0438\u0444\u043C\u0435\u0442\u0438\u043A\u0430 \u0431\u0443\u043B\u0430 \u0440\u043E\u0437\u0432\u0438\u043D\u0443\u0442\u0430 \u0413\u0430\u0443\u0441\u043E\u043C \u0432 (1801)."@uk . "Modul\u00E4r aritmetik, modulor\u00E4kning eller kongruensr\u00E4kning \u00E4r ett omr\u00E5de inom aritmetiken, d\u00E4r man r\u00E4knar med ett begr\u00E4nsat antal tal. Andra tal r\u00E4knas som j\u00E4mlika (\"kongruenta\") med ett av dessa, n\u00E4mligen med det av talen som blir rest vid division med antalet tal man r\u00E4knar med. Den modul\u00E4ra aritmetiken anv\u00E4nds bland annat inom kryptologin. har samma rest vid division med n ."@sv . . . "\u0641\u064A \u0627\u0644\u0631\u064A\u0627\u0636\u064A\u0627\u062A \u0648\u0628\u0627\u0644\u062A\u062D\u062F\u064A\u062F \u0641\u064A \u0645\u062C\u0627\u0644 \u0627\u0644\u0646\u0638\u0631\u064A\u0629 \u0627\u0644\u062C\u0628\u0631\u064A\u0629 \u0644\u0644\u0623\u0639\u062F\u0627\u062F\u060C \u0627\u0644\u062D\u0633\u0627\u0628\u064A\u0627\u062A \u0627\u0644\u0646\u0645\u0637\u064A\u0629 (\u0628\u0627\u0644\u0625\u0646\u062C\u0644\u064A\u0632\u064A\u0629: modular arithmetics)\u200F \u0647\u064A \u0645\u062C\u0645\u0648\u0639\u0629 \u0645\u0646 \u0627\u0644\u0637\u0631\u0642 \u0627\u0644\u062A\u064A \u062A\u062A\u064A\u062D \u062D\u0644 \u0628\u0639\u0636 \u0627\u0644\u0645\u0633\u0627\u0626\u0644 \u0627\u0644\u062E\u0627\u0635\u0629 \u0628\u0627\u0644\u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0627\u0644\u0635\u062D\u064A\u062D\u0629 \u0648 \u0645\u0646 \u0636\u0645\u0646\u0647\u0627 \u0627\u0644\u0637\u0628\u064A\u0639\u064A\u0629. \u0648\u0647\u064A \u062A\u0631\u062A\u0643\u0632 \u0639\u0644\u0649 \u062F\u0631\u0627\u0633\u0629 \u0627\u0644\u0628\u0627\u0642\u064A \u0627\u0644\u062D\u0627\u0635\u0644 \u0645\u0646 \u0627\u0644\u0642\u0633\u0645\u0629 \u0627\u0644\u0625\u0642\u0644\u064A\u062F\u064A\u0629. \u062A\u0631\u062A\u0643\u0632 \u0627\u0644\u062D\u0633\u0627\u0628\u064A\u0627\u062A \u0627\u0644\u0646\u0645\u0637\u064A\u0629 \u0623\u0633\u0627\u0633\u0627 \u0639\u0644\u0649 \u0627\u0644\u0646\u0638\u0631 \u0625\u0644\u0649 \u0628\u0627\u0642\u064A \u0642\u0633\u0645\u0629 \u0627\u0644\u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0627\u0644\u0637\u0628\u064A\u0639\u064A\u0629 \u0639\u0644\u0649 \u0639\u062F\u062F \u0637\u0628\u064A\u0639\u064A \u0645\u0639\u064A\u0646 \u062B\u0627\u0628\u062A \u0645\u0627\u060C \u0628\u062F\u0644\u0627 \u0645\u0646 \u0627\u0644\u0646\u0638\u0631 \u0625\u0644\u0649 \u0647\u0630\u0647 \u0627\u0644\u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0630\u0627\u062A\u0647\u0627. \u064A\u0638\u0647\u0631 \u0647\u0630\u0627 \u062C\u0644\u064A\u0627 \u0641\u064A \u0645\u062B\u0627\u0644 \u062D\u0633\u0627\u0628\u064A\u0627\u062A \u0627\u0644\u0645\u0646\u0628\u0647\u060C \u0627\u0644\u0630\u064A \u064A\u0648\u0627\u0641\u0642 \u062D\u0627\u0644\u0629 n=12 : \u0627\u0644\u0639\u0642\u0631\u0628 \u0627\u0644\u0635\u063A\u064A\u0631 \u064A\u0648\u062C\u062F \u0641\u064A \u0646\u0641\u0633 \u0627\u0644\u0645\u0648\u0636\u0639 \u0641\u064A \u0644\u062D\u0638\u062A\u064A\u0646 \u062A\u0641\u0635\u0644 \u0628\u064A\u0646\u0647\u0645\u0627 \u0627\u062B\u0646\u062A\u0627 \u0639\u0634\u0631\u0629 \u0633\u0627\u0639\u0629\u060C \u0648\u0628\u0647\u0630\u0627 \u062A\u0635\u064A\u0631 \u0627\u0644\u0633\u0627\u0639\u0629 1 \u0643\u0627\u0644\u0633\u0627\u0639\u0629 13."@ar . . . . "Modulair rekenen"@nl . . "Modul\u00E1rn\u00ED aritmetika"@cs . "\uC218\uB860\uC5D0\uC11C \uBAA8\uB4C8\uB7EC \uC0B0\uC220(\uC601\uC5B4: modular arithmetic) \uB610\uB294 \uD569\uB3D9 \uC0B0\uC220(\u5408\u540C\u7B97\u8853)\uC740 \uC815\uC218\uC758 \uD569\uACFC \uACF1\uC744 \uC5B4\uB5A4 \uC8FC\uC5B4\uC9C4 \uC218\uC758 \uB098\uBA38\uC9C0\uC5D0 \uB300\uD558\uC5EC \uC815\uC758\uD558\uB294 \uBC29\uBC95\uC774\uB2E4. \uC815\uC218\uD658\uC758 \uBAAB\uD658 \uC758 \uD658 \uAD6C\uC870\uB85C \uC0DD\uAC01\uD560 \uC218 \uC788\uB2E4."@ko . . . . . "20087"^^ . . "L'aritmetica modulare (a volte detta aritmetica dell'orologio poich\u00E9 su questo principio si basa il calcolo delle ore a cicli di 12 o 24) rappresenta un importante ramo della matematica. Trova applicazioni nella crittografia, nella teoria dei numeri (in particolare nella ricerca dei numeri primi) ed \u00E8 alla base di molte delle pi\u00F9 comuni operazioni aritmetiche e algebriche. L'aritmetica modulare e la notazione usuale delle congruenze vennero formalmente introdotte da Carl Friedrich Gauss nel suo trattato Disquisitiones Arithmeticae, pubblicato nel 1801."@it . . "Arytmetyka modularna, arytmetyka reszt \u2013 system liczb ca\u0142kowitych, w kt\u00F3rym liczby \u201Ezawijaj\u0105 si\u0119\u201D po osi\u0105gni\u0119ciu pewnej warto\u015Bci nazywanej modu\u0142em, cz\u0119sto okre\u015Blanej terminem modulo (skracane mod). Pierwszy pe\u0142ny wyk\u0142ad arytmetyki reszt przedstawi\u0142 Carl Friedrich Gauss w Disquisitiones Arithmeticae (\u201EBadania arytmetyczne\u201D, 1801). Arytmetyka modularna pojawia si\u0119 wsz\u0119dzie tam, gdzie wyst\u0119puje powtarzalno\u015B\u0107 i cykliczno\u015B\u0107; dotyczy ona samego mierzenia czasu i jako taka jest podstaw\u0105 dzia\u0142ania kalendarza (zob. ). Ponadto korzysta si\u0119 z niej w teorii liczb, teorii grup, kryptografii, informatyce, przy tworzeniu sum kontrolnych, a nawet przy tworzeniu wzor\u00F3w. Zasada dzia\u0142ania szyfru RSA oraz Test Millera-Rabina opieraj\u0105 si\u0119 na w\u0142asno\u015Bciach mno\u017Cenia w arytmetyce modularnej liczb ca\u0142kowitych."@pl .