. "M\u00E5tt inom m\u00E5tteorin \u00E4r ett matematiskt begrepp som anv\u00E4nds f\u00F6r att ange \u201Dstorleken\u201D p\u00E5 en m\u00E4ngd. L\u00E4ngd, area och volym \u00E4r n\u00E5gra exempel p\u00E5 vanliga m\u00E5tt. Begreppet \u00E4r centralt f\u00F6r att p\u00E5 ett korrekt s\u00E4tt kunna definiera integralen av en funktion p\u00E5 ett generellt s\u00E4tt. M\u00E5tteori \u00E4r ett mycket viktigt omr\u00E5de inom matematisk analys och sannolikhetsteori."@sv . . . . . . . . . . . . . "A. Mukherjea and K. Pothoven"@en . "\u0642\u064A\u0627\u0633 (\u0631\u064A\u0627\u0636\u064A\u0627\u062A)"@ar . . . . . . . . . . "Miara (matematyka)"@pl . "\u6D4B\u5EA6\uFF08\u82F1\u8A9E\uFF1AMeasure\uFF09\u5728\u6570\u5B66\u5206\u6790\u91CC\u662F\u6307\u4E00\u4E2A\u51FD\u6570\uFF0C\u5B83\u5BF9\u4E00\u4E2A\u7ED9\u5B9A\u96C6\u5408\u7684\u67D0\u4E9B\u5B50\u96C6\u6307\u5B9A\u4E00\u4E2A\u6570\u3002\u611F\u5B98\u4E0A\uFF0C\u6D4B\u5EA6\u7684\u6982\u5FF5\u76F8\u5F53\u4E8E\u957F\u5EA6\u3001\u9762\u79EF\u3001\u4F53\u79EF\u7B49\u3002\u4E00\u4E2A\u7279\u522B\u91CD\u8981\u7684\u4F8B\u5B50\u662F\u6B27\u6C0F\u7A7A\u95F4\u4E0A\u7684\u52D2\u8D1D\u683C\u6D4B\u5EA6\uFF0C\u5B83\u628A\u6B27\u6C0F\u51E0\u4F55\u4E0A\u4F20\u7EDF\u7684\u8BF8\u5982\u957F\u5EA6\u3001\u9762\u79EF\u548C\u4F53\u79EF\u7B49\u6982\u5FF5\u8D4B\u4E88 n \u7EF4\u6B27\u5F0F\u7A7A\u95F4 Rn \u3002\u4F8B\u5982\uFF0C\u5B9E\u6570\u533A\u95F4 [0, 1] \u4E0A\u7684\u52D2\u8D1D\u683C\u6D4B\u5EA6\u5C31\u662F\u5B83\u663E\u800C\u6613\u89C1\u7684\u957F\u5EA6\uFF0C\u5373 1\u3002 \u4F20\u7EDF\u7684\u79EF\u5206\u662F\u5728\u533A\u95F4\u4E0A\u8FDB\u884C\u7684\uFF0C\u540E\u6765\u4EBA\u4EEC\u5E0C\u671B\u628A\u79EF\u5206\u63A8\u5E7F\u5230\u4EFB\u610F\u7684\u96C6\u5408\u4E0A\uFF0C\u5C31\u53D1\u5C55\u51FA\u6D4B\u5EA6\u7684\u6982\u5FF5\uFF0C\u5B83\u5728\u6570\u5B66\u5206\u6790\u548C\u6982\u7387\u8BBA\u6709\u91CD\u8981\u7684\u5730\u4F4D\u3002 \u6D4B\u5EA6\u8BBA\u662F\u5B9E\u5206\u6790\u7684\u4E00\u4E2A\u5206\u652F\uFF0C\u7814\u7A76\u5BF9\u8C61\u6709\u03C3\u4EE3\u6570\u3001\u6D4B\u5EA6\u3001\u53EF\u6D4B\u51FD\u6570\u548C\u79EF\u5206\uFF0C\u5176\u91CD\u8981\u6027\u5728\u6982\u7387\u8BBA\u548C\u7EDF\u8BA1\u5B66\u4E2D\u90FD\u6709\u6240\u4F53\u73B0\u3002"@zh . "Mesure (math\u00E9matiques)"@fr . "\u041C\u0456\u0440\u0430 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0438\u043D\u0438 \u2014 \u0441\u043F\u0456\u043B\u044C\u043D\u0430 \u043D\u0430\u0437\u0432\u0430 \u0440\u0456\u0437\u043D\u0438\u0445 \u0442\u0438\u043F\u0456\u0432 \u0443\u0437\u0430\u0433\u0430\u043B\u044C\u043D\u0435\u043D\u044C \u043F\u043E\u043D\u044F\u0442\u044C \u0435\u0432\u043A\u043B\u0456\u0434\u043E\u0432\u043E\u0457 \u0434\u043E\u0432\u0436\u0438\u043D\u0438, \u043F\u043B\u043E\u0449\u0456 \u043F\u043B\u043E\u0441\u043A\u0438\u0445 \u0444\u0456\u0433\u0443\u0440 \u0442\u0430 -\u0432\u0438\u043C\u0456\u0440\u043D\u043E\u0433\u043E \u043E\u0431'\u0454\u043C\u0443 \u0434\u043B\u044F \u0437\u0430\u0433\u0430\u043B\u044C\u043D\u0456\u0448\u0438\u0445 \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u043E\u0440\u0456\u0432. \u042F\u043A\u0449\u043E \u0437\u0432\u043E\u0440\u043E\u0442\u043D\u0435 \u043D\u0435 \u0432\u043A\u0430\u0437\u0430\u043D\u0435 \u044F\u0432\u043D\u043E, \u0442\u043E \u0437\u0430\u0437\u0432\u0438\u0447\u0430\u0439 \u043C\u0430\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u043D\u0430 \u0443\u0432\u0430\u0437\u0456 \u0437\u043B\u0456\u0447\u0435\u043D\u043D\u043E-\u0430\u0434\u0438\u0442\u0438\u0432\u043D\u0430 \u043C\u0456\u0440\u0430. \u041F\u043E\u043D\u044F\u0442\u0442\u044F \u043C\u0456\u0440\u0438 \u0432\u0438\u043D\u0438\u043A\u043B\u043E \u0432 \u0442\u0435\u043E\u0440\u0456\u0457 \u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0456\u0457 \u0434\u0456\u0439\u0441\u043D\u043E\u0457 \u0437\u043C\u0456\u043D\u043D\u043E\u0457, \u0430 \u0437\u0432\u0456\u0434\u0442\u0438 \u043F\u0435\u0440\u0435\u0439\u0448\u043B\u043E \u0434\u043E \u0442\u0435\u043E\u0440\u0456\u0457 \u0439\u043C\u043E\u0432\u0456\u0440\u043D\u043E\u0441\u0442\u0435\u0439, \u0442\u0435\u043E\u0440\u0456\u0457 \u0434\u0438\u043D\u0430\u043C\u0456\u0447\u043D\u0438\u0445 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043C, \u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0456\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E\u0433\u043E \u0430\u043D\u0430\u043B\u0456\u0437\u0443 \u0442\u0430 \u0431\u0430\u0433\u0430\u0442\u043E \u0456\u043D\u0448\u0438\u0445 \u043E\u0431\u043B\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439 \u043C\u0430\u0442\u0435\u043C\u0430\u0442\u0438\u043A\u0438."@uk . . . "19873"^^ . . "( \uC774 \uBB38\uC11C\uB294 \uC218\uD559\uC5D0\uC11C \uC9D1\uD569\uC758 \uD06C\uAE30\uB97C \uCE21\uC815\uD558\uB294 \uD568\uC218 \uCE21\uB3C4(\u6E2C\u5EA6)\uC5D0 \uAD00\uD55C \uAC83\uC785\uB2C8\uB2E4. \uC778\uCC9C\uAD11\uC5ED\uC2DC\uC758 \uC12C \uCE21\uB3C4(\u6E2C\u5CF6)\uC5D0 \uB300\uD574\uC11C\uB294 \uC120\uC7AC\uB3C4 \uBB38\uC11C\uB97C \uCC38\uACE0\uD558\uC2ED\uC2DC\uC624.) \uC218\uD559\uC5D0\uC11C \uCE21\uB3C4(\u6E2C\u5EA6, \uC601\uC5B4: measure)\uB294 \uD2B9\uC815 \uBD80\uBD84 \uC9D1\uD569\uC5D0 \uB300\uD574 \uC77C\uC885\uC758 \u2018\uD06C\uAE30\u2019\uB97C \uBD80\uC5EC\uD558\uBA70, \uADF8 \uD06C\uAE30\uB97C \uAC00\uC0B0\uAC1C\uB85C \uCABC\uAC1C\uC5B4 \uACC4\uC0B0\uD560 \uC218 \uC788\uAC8C \uD558\uB294 \uD568\uC218\uC774\uB2E4. \uCE21\uB3C4\uC758 \uAC1C\uB150\uC740 \uC720\uD55C \uC9D1\uD569\uC758 \uC6D0\uC18C\uC758 \uC218 \u00B7 \uC2E4\uC218 \uAD6C\uAC04\uC758 \uAE38\uC774 \u00B7 \uD3C9\uBA74 \uB3C4\uD615\uC758 \uB113\uC774 \u00B7 3\uCC28\uC6D0 \uC785\uCCB4\uC758 \uBD80\uD53C\uC758 \uAC1C\uB150\uC744 \uACF5\uD1B5\uC801\uC73C\uB85C \uC77C\uBC18\uD654\uD55C\uB2E4. \uCE21\uB3C4\uAC00 \uBD80\uC5EC\uB41C \uC9D1\uD569\uC744 \uCE21\uB3C4 \uACF5\uAC04(\u6E2C\u5EA6\u7A7A\u9593, \uC601\uC5B4: measure space)\uC774\uB77C\uACE0 \uD55C\uB2E4. \uC774\uC640 \uAC19\uC774 \uCE21\uB3C4\uC640 \uCE21\uB3C4 \uACF5\uAC04\uC744 \uC5F0\uAD6C\uD558\uB294 \uC218\uD559 \uBD84\uC57C\uB97C \uCE21\uB3C4\uB860(\u6E2C\u5EA6\u8AD6, \uC601\uC5B4: measure theory)\uC774\uB77C\uACE0 \uD55C\uB2E4."@ko . . . . . . "\u6D4B\u5EA6\uFF08\u82F1\u8A9E\uFF1AMeasure\uFF09\u5728\u6570\u5B66\u5206\u6790\u91CC\u662F\u6307\u4E00\u4E2A\u51FD\u6570\uFF0C\u5B83\u5BF9\u4E00\u4E2A\u7ED9\u5B9A\u96C6\u5408\u7684\u67D0\u4E9B\u5B50\u96C6\u6307\u5B9A\u4E00\u4E2A\u6570\u3002\u611F\u5B98\u4E0A\uFF0C\u6D4B\u5EA6\u7684\u6982\u5FF5\u76F8\u5F53\u4E8E\u957F\u5EA6\u3001\u9762\u79EF\u3001\u4F53\u79EF\u7B49\u3002\u4E00\u4E2A\u7279\u522B\u91CD\u8981\u7684\u4F8B\u5B50\u662F\u6B27\u6C0F\u7A7A\u95F4\u4E0A\u7684\u52D2\u8D1D\u683C\u6D4B\u5EA6\uFF0C\u5B83\u628A\u6B27\u6C0F\u51E0\u4F55\u4E0A\u4F20\u7EDF\u7684\u8BF8\u5982\u957F\u5EA6\u3001\u9762\u79EF\u548C\u4F53\u79EF\u7B49\u6982\u5FF5\u8D4B\u4E88 n \u7EF4\u6B27\u5F0F\u7A7A\u95F4 Rn \u3002\u4F8B\u5982\uFF0C\u5B9E\u6570\u533A\u95F4 [0, 1] \u4E0A\u7684\u52D2\u8D1D\u683C\u6D4B\u5EA6\u5C31\u662F\u5B83\u663E\u800C\u6613\u89C1\u7684\u957F\u5EA6\uFF0C\u5373 1\u3002 \u4F20\u7EDF\u7684\u79EF\u5206\u662F\u5728\u533A\u95F4\u4E0A\u8FDB\u884C\u7684\uFF0C\u540E\u6765\u4EBA\u4EEC\u5E0C\u671B\u628A\u79EF\u5206\u63A8\u5E7F\u5230\u4EFB\u610F\u7684\u96C6\u5408\u4E0A\uFF0C\u5C31\u53D1\u5C55\u51FA\u6D4B\u5EA6\u7684\u6982\u5FF5\uFF0C\u5B83\u5728\u6570\u5B66\u5206\u6790\u548C\u6982\u7387\u8BBA\u6709\u91CD\u8981\u7684\u5730\u4F4D\u3002 \u6D4B\u5EA6\u8BBA\u662F\u5B9E\u5206\u6790\u7684\u4E00\u4E2A\u5206\u652F\uFF0C\u7814\u7A76\u5BF9\u8C61\u6709\u03C3\u4EE3\u6570\u3001\u6D4B\u5EA6\u3001\u53EF\u6D4B\u51FD\u6570\u548C\u79EF\u5206\uFF0C\u5176\u91CD\u8981\u6027\u5728\u6982\u7387\u8BBA\u548C\u7EDF\u8BA1\u5B66\u4E2D\u90FD\u6709\u6240\u4F53\u73B0\u3002"@zh . . . . "M\u00EDra (matematika)"@cs . "En analitiko, mezuro estas bildigo, kiu asignas al \u0109iu mezurebla aro (elemento de sigma-al\u011Debro) nenegativan reelon a\u016D nefinion, la\u016D ia koncepto de \u201Cgrandeco\u201D (longo, areo, volumeno ktp.) de tiuj aroj."@eo . "\u041C\u0456\u0440\u0430 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0438\u043D\u0438"@uk . . . . . "Measure"@en . . . . . . . . "Miara \u2013 funkcja okre\u015Blaj\u0105ca \u201Ewielko\u015Bci\u201D mierzalnych podzbior\u00F3w ustalonego zbioru poprzez przypisanie im liczb nieujemnych b\u0105d\u017A niesko\u0144czono\u015Bci przy za\u0142o\u017Ceniu, \u017Ce zbi\u00F3r pusty ma miar\u0119 zero, a miara sumy zbior\u00F3w roz\u0142\u0105cznych jest sum\u0105 ich miar. Poj\u0119cie miary wyros\u0142o z og\u00F3lnego spojrzenia na zagadnienia d\u0142ugo\u015Bci, pola powierzchni czy obj\u0119to\u015Bci w pracach Lebesgue\u2019a. Jego miara jest uog\u00F3lnieniem tych poj\u0119\u0107 dla podzbior\u00F3w przestrzeni kt\u00F3re nale\u017C\u0105 do przestrzeni mierzalnej generowanej przez przedzia\u0142y n-wymiarowe (czyli zbiory postaci ). Na danym zbiorze mo\u017Cna okre\u015Bla\u0107 r\u00F3\u017Cne miary. Np. za\u0142\u00F3\u017Cmy, \u017Ce mamy 10 odr\u00F3\u017Cnialnych kostek do gry w r\u00F3\u017Cnych kolorach. Wtedy mo\u017Cemy zdefiniowa\u0107 miary: 1. \n* miara okre\u015Blaj\u0105ca liczby kostek o kolorze czerwonym w zadanych podzbiorach zbioru kostek, 2. \n* miara prawdopodobie\u0144stwa, np. okre\u015Blaj\u0105ca prawdopodobie\u0144stwo wyrzucenia podczas rzutu 10 kostek sumarycznej liczby oczek wi\u0119kszej ni\u017C 30, 3. \n* miara Diraca okre\u015Blaj\u0105ca, czy dany podzbi\u00F3r kostek posiada ustalon\u0105 kostk\u0119 itp. G\u0142\u00F3wnym zastosowaniem miar jest definicja og\u00F3lnego poj\u0119cia ca\u0142ki na zbiorach o strukturze bardziej skomplikowanej ni\u017C przedzia\u0142y na prostej rzeczywistej. Ca\u0142ki tego typu wykorzystuje si\u0119 w teorii prawdopodobie\u0144stwa i w r\u00F3\u017Cnych dzia\u0142ach analizy matematycznej. Czasem jest niemo\u017Cliwe lub niepotrzebne przypisywanie miary wszystkim podzbiorom danego zbioru, dlatego w definicji miary bierze si\u0119 pod uwag\u0119 zbiory nale\u017C\u0105ce do \u03C3-cia\u0142a danego zbioru. W\u0142asno\u015Bciami miar zajmuje si\u0119 teoria miary, b\u0119d\u0105ca ga\u0142\u0119zi\u0105 analizy matematycznej. Teoria miary bada \u03C3-cia\u0142a, miary, funkcje mierzalne oraz ca\u0142ki."@pl . . . . . . . "La teor\u00EDa de la medida es una rama del an\u00E1lisis y de la geometr\u00EDa que investiga las medidas, las funciones medibles y la integraci\u00F3n. Es de importancia central en geometr\u00EDa, probabilidad y en estad\u00EDstica."@es . . . . . . . . . . . . . . "In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een maat intu\u00EFtief gesproken een afbeelding die een grootte, volume of kans toekent aan objecten. Het resultaat is steeds positief of eventueel 0. Meer formeel gezien is een maat op een verzameling een systematische manier om aan elke geschikte deelverzameling een getal toe te kennen dat kan worden gezien als de grootte van deze deelverzameling. In die zin is een maat een veralgemening van de begrippen lengte, oppervlakte en volume. Een belangrijk voorbeeld is de lebesgue-maat op een euclidische ruimte die de conventionele begrippen lengte, oppervlakte en volume van de euclidische meetkunde aan geschikte deelverzamelingen van toekent. De lebesgue-maat van bijvoorbeeld het interval [0,1] in de re\u00EBle getallen is zijn lengte met de waarde 1. Niet iedere functie die een niet-negatief re\u00EBel getal of de waarde oneindig toekent aan de deelverzamelingen van een verzameling, kan fungeren als maat. Een belangrijke eigenschap van een maat is de sigma-additiviteit, die stelt dat de maat van de vereniging van een rij disjuncte deelverzamelingen gelijk is aan de som van de maten van de afzonderlijke deelverzamelingen. In het algemeen is het echter onmogelijk om op consistente wijze een maat te associ\u00EBren met elke deelverzameling van een gegeven verzameling, en tegelijkertijd ook te voldoen aan de andere eisen die aan een maat gesteld worden. Dit probleem werd opgelost door een maat slechts te defini\u00EBren op een geschikte deelcollectie van alle deelverzamelingen; de deelverzamelingen waarop de maat wordt gedefinieerd, worden meetbaar genoemd. Zij dienen een sigma-algebra te vormen, wat betekent dat de verenigingen, doorsneden en complementen van rijen van meetbare deelverzamelingen ook meetbaar zijn. Niet-meetbare verzamelingen in een euclidische ruimte, waarop de lebesgue-maat niet consequent kan worden gedefinieerd, zijn per definitie zo complex dat zij bijna onbegrijpelijk zijn, er is in zekere zin een ondoorzichtige mix van de verzameling en zijn complement. Men kan stellen dat hun bestaan een niet-triviaal gevolg is van het keuzeaxioma. Maattheorie werd in opeenvolgende fasen in de late 19e en de vroege 20e eeuw tot ontwikkeling gebracht door onder andere \u00C9mile Borel, Henri Lebesgue, Johann Radon en Maurice Ren\u00E9 Fr\u00E9chet. De belangrijkste toepassingen van maten zijn in de grondslagen van de lebesgue-integraal en in Andrei Kolmogorovs axiomatisering van de kansrekening. In de integraalrekening staat het specificeren van een maat het toe om integralen te defini\u00EBren op ruimten die algemener zijn dan deelverzamelingen van de euclidische ruimte. Verder zijn integralen met betrekking tot de lebesgue-maat op de euclidische ruimten algemener en hebben zij een rijkere theorie dan hun voorganger, de riemann-integraal. De kansrekening bestudeert maten die aan de gehele ruimte de maat 1 toewijzen, en beschouwt meetbare deelverzamelingen daarvan als gebeurtenissen, waarvan de kans door de maat wordt gegeven."@nl . . . . . "Real and Functional Analysis, Part A: Real Analysis"@en . "En math\u00E9matiques, une mesure positive (ou simplement mesure quand il n'y a pas de risque de confusion) est une fonction qui associe une grandeur num\u00E9rique \u00E0 certains sous-ensembles d'un ensemble donn\u00E9. Il s'agit d'un important concept en analyse et en th\u00E9orie des probabilit\u00E9s. Intuitivement, la mesure d'un ensemble ou sous-ensemble est similaire \u00E0 la notion de taille, ou de cardinal pour les ensembles discrets. Dans ce sens, la mesure est une g\u00E9n\u00E9ralisation des concepts de longueur, aire ou volume dans des espaces de dimension 1, 2 ou 3 respectivement."@fr . . . . "\u041C\u0435\u0301\u0440\u0430 \u043C\u043D\u043E\u0301\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u2014 \u0447\u0438\u0441\u043B\u043E\u0432\u0430\u044F \u0445\u0430\u0440\u0430\u043A\u0442\u0435\u0440\u0438\u0441\u0442\u0438\u043A\u0430 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430, \u0438\u043D\u0442\u0443\u0438\u0442\u0438\u0432\u043D\u043E \u0435\u0451 \u043C\u043E\u0436\u043D\u043E \u043F\u043E\u043D\u0438\u043C\u0430\u0442\u044C \u043A\u0430\u043A \u043C\u0430\u0441\u0441\u0443 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043F\u0440\u0438 \u043D\u0435\u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u043E\u043C \u0440\u0430\u0441\u043F\u0440\u0435\u0434\u0435\u043B\u0435\u043D\u0438\u0438 \u043C\u0430\u0441\u0441\u044B \u043F\u043E \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0440\u0430\u043D\u0441\u0442\u0432\u0443. \u041F\u043E\u043D\u044F\u0442\u0438\u0435 \u043C\u0435\u0440\u044B \u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0432\u043E\u0437\u043D\u0438\u043A\u043B\u043E \u0432 \u0442\u0435\u043E\u0440\u0438\u0438 \u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0438\u0439 \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043D\u043D\u043E\u0439 \u043F\u0435\u0440\u0435\u043C\u0435\u043D\u043D\u043E\u0439 \u043F\u0440\u0438 \u0440\u0430\u0437\u0432\u0438\u0442\u0438\u0438 \u043F\u043E\u043D\u044F\u0442\u0438\u044F \u0438\u043D\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043B\u0430. \u0421\u043E\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043D\u043D\u043E, \u043C\u0435\u0440\u0430 \u2014 \u044D\u0442\u043E \u043D\u0435\u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u0430\u044F \u0447\u0438\u0441\u043B\u043E\u0432\u0430\u044F \u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0438\u044F, \u0441\u0442\u0430\u0432\u044F\u0449\u0430\u044F \u0432 \u0441\u043E\u043E\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0438\u0435 \u043A\u0430\u0436\u0434\u043E\u043C\u0443 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443 (\u0438\u0437 \u043D\u0435\u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u043E\u0433\u043E \u0441\u0435\u043C\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432) \u043D\u0435\u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u043E\u0435 \u043D\u0435\u043E\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043B\u044C\u043D\u043E\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043B\u043E. \u041A\u0440\u043E\u043C\u0435 \u043D\u0435\u043E\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043B\u044C\u043D\u043E\u0441\u0442\u0438 \u043C\u0435\u0440\u0430 \u043A\u0430\u043A \u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0438\u044F \u0434\u043E\u043B\u0436\u043D\u0430 \u0442\u0430\u043A\u0436\u0435 \u043E\u0431\u043B\u0430\u0434\u0430\u0442\u044C \u0441\u0432\u043E\u0439\u0441\u0442\u0432\u043E\u043C \u0430\u0434\u0434\u0438\u0442\u0438\u0432\u043D\u043E\u0441\u0442\u0438 \u2014 \u043C\u0435\u0440\u0430 \u043E\u0431\u044A\u0435\u0434\u0438\u043D\u0435\u043D\u0438\u044F \u043D\u0435\u043F\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u043A\u0430\u044E\u0449\u0438\u0445\u0441\u044F \u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432 \u0434\u043E\u043B\u0436\u043D\u0430 \u0440\u0430\u0432\u043D\u044F\u0442\u044C\u0441\u044F \u0441\u0443\u043C\u043C\u0435 \u0438\u0445 \u043C\u0435\u0440. \u041D\u0435\u043E\u0431\u0445\u043E\u0434\u0438\u043C\u043E \u043E\u0442\u043C\u0435\u0442\u0438\u0442\u044C, \u0447\u0442\u043E \u043D\u0435 \u0432\u0441\u044F\u043A\u043E\u0435 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043E \u0438\u0437\u043C\u0435\u0440\u0438\u043C\u043E \u2014 \u0434\u043B\u044F \u043A\u0430\u0436\u0434\u043E\u0439 \u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0438\u0438 \u043C\u0435\u0440\u044B \u043E\u0431\u044B\u0447\u043D\u043E \u043F\u043E\u0434\u0440\u0430\u0437\u0443\u043C\u0435\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044F \u043D\u0435\u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u043E\u0435 \u0441\u0435\u043C\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u043E \u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432 (\u043D\u0430\u0437\u044B\u0432\u0430\u0435\u043C\u044B\u0445 \u0438\u0437\u043C\u0435\u0440\u0438\u043C\u044B\u043C\u0438 \u043F\u043E \u0434\u0430\u043D\u043D\u043E\u0439 \u043C\u0435\u0440\u0435), \u0434\u043B\u044F \u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u044B\u0445 \u043C\u0435\u0440\u0430 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442. \u0427\u0430\u0441\u0442\u043D\u044B\u043C \u0441\u043B\u0443\u0447\u0430\u0435\u043C \u043C\u0435\u0440\u044B \u044F\u0432\u043B\u044F\u0435\u0442\u0441\u044F \u043C\u0435\u0440\u0430 \u041B\u0435\u0431\u0435\u0433\u0430 \u0434\u043B\u044F \u043F\u043E\u0434\u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432 , \u043E\u0431\u043E\u0431\u0449\u0430\u044E\u0449\u0430\u044F \u043F\u043E\u043D\u044F\u0442\u0438\u0435 \u043E\u0431\u044A\u0451\u043C\u0430 , \u043F\u043B\u043E\u0449\u0430\u0434\u0438 \u0438\u043B\u0438 \u0434\u043B\u0438\u043D\u044B \u043D\u0430 \u0441\u043B\u0443\u0447\u0430\u0439 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432, \u0431\u043E\u043B\u0435\u0435 \u043E\u0431\u0449\u0438\u0445, \u0447\u0435\u043C \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u043E \u043E\u0433\u0440\u0430\u043D\u0438\u0447\u0435\u043D\u043D\u044B\u0435 \u0433\u043B\u0430\u0434\u043A\u043E\u0439 \u043F\u043E\u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u043E\u0441\u0442\u044C\u044E."@ru . . . . "20"^^ . . . . . . . "34153"^^ . . . . . . . . "Dalam matematika, ukuran adalah pemetaan yang menghubungkan himpunan bagian tertentu dengan suatu nilai, yang dianggap sebagai ukuran dari himpunan bagian tersebut. Ukuran dapat dipahami sebagai perumiman dari konsep seperti \"panjang\", \"luas\" dan \"volume\". Konsep ukuran ini penting untuk dapat dengan benar mendefinisikan integral dari suatu fungsi secara umum. Ukuran adalah konsep yang penting dalam analisis dan teori peluang. Teori ukuran adalah cabang analisis real yang menginvestigasi aljabar \u03C3, ukuran, fungsi ukuran dan integral. Gagasan mengenai teori ukuran sudah ada semenjak zaman Yunani kuno, ketika Archimeder hendak menghitung nilai eksak luas lingkaran. Tetapi teori ukuran sendiri baru berkembang di abad ke-20. Perintis dari teori ukuran adalah Henri Lebesgue, Georg Cantor, \u00C9mile Borel, and . Henri Lebesgue mengembangkan ukuran Lebesgue dan integral Lebesgue dalam . Georg Cantor dan \u00C9mile Borel kemudian mengidentifikasi besaran terukur dan besaran Borel. Constantin Carath\u00E9odory mendefinisikan dimensi eksternal dan konstruksi Carath\u00E9odory. Alfred Haar dikenal untuk ukuran Haar, konsep yang serupa dengan ukuran Lebesgue di grup topologis."@in . . . . . . . "\uCE21\uB3C4"@ko . "M\u00EDra je z\u00E1kladn\u00EDm pojmem teorie m\u00EDry. Z neform\u00E1ln\u00EDho hlediska je m\u00EDra zobecn\u011Bn\u00EDm pojm\u016F velikosti (d\u00E9lky, obsahu, objemu, p\u0159\u00EDpadn\u011B i po\u010Dtu). M\u00EDra je zvolen\u00FD zp\u016Fsob, jak\u00FDm se m\u011B\u0159\u00ED mno\u017Einy. M\u00EDrou mno\u017Einy se rozum\u00ED ji\u017E konkr\u00E9tn\u00ED v\u00FDsledek (\u010D\u00EDslo) p\u0159i\u0159azen\u00FD (nam\u011B\u0159en\u00FD) konkr\u00E9tn\u00ED mno\u017Ein\u011B t\u00EDmto zp\u016Fsobem."@cs . "La teor\u00EDa de la medida es una rama del an\u00E1lisis y de la geometr\u00EDa que investiga las medidas, las funciones medibles y la integraci\u00F3n. Es de importancia central en geometr\u00EDa, probabilidad y en estad\u00EDstica. En matem\u00E1ticas, una medida de un conjunto es una forma sistem\u00E1tica y rigurosa de asignar un n\u00FAmero a cada subconjunto apropiado de dicho conjunto. Intuitivamente, dicho n\u00FAmero puede ser interpretado como una cierta medida del tama\u00F1o de dicho subconjunto. En este sentido, la medida es una generalizaci\u00F3n de los conceptos de \"longitud\",\"\u00E1rea\", y \"volumen\". Dicha generalizaci\u00F3n se extiende tanto a mayores dimensiones (en el sentido de \"hipervol\u00FAmenes\") como a conceptos m\u00E1s abstractos, puesto que el conjunto sobre el que se aplica una medida no tiene por qu\u00E9 ser un subconjunto de un espacio geom\u00E9trico. Un ejemplo ser\u00EDa la medida de Lebesgue: cuando se aplica en un espacio Eucl\u00EDdeo , la medida de Lebesgue asigna los valores convencionales de longitud, \u00E1rea y volumen a subconjuntos apropiados del espacio Eucl\u00EDdeo n-dimensional. Por ejemplo, la medida de Lebesgue en el intervalo [0,1] es la longitud de dicho intervalo en el sentido convencional de la misma -- espec\u00EDficamente, 1. T\u00E9cnicamente, una medida es una funci\u00F3n que asigna un n\u00FAmero real no-negativo (o +\u221E) a ciertos subconjuntos de un conjunto X. La medida cumple una serie de propiedades: debe ser, por ejemplo, contable , en el sentido de que la medida de un subconjunto 'grande' puede siempre ser descompuesta en un n\u00FAmero finito (o contablemente infinito) de subconjuntos disjuntos m\u00E1s peque\u00F1os, de tal modo que la medida sea la suma de las medidas de dichos subconjuntos m\u00E1s peque\u00F1os. En general, si se pretende asociar un tama\u00F1o consistente a cada subconjunto de un conjunto dado y al mismo tiempo satisfacer el resto de axiomas de una medida, las \u00FAnicas medidas que se suelen poder definir son ejemplos triviales como la . Este problema fue resuelto definiendo la medida como aplicable a unas familias reducidas de subconjuntos, usualmente llamados los conjuntos medibles. Las condiciones de consistencia que deben cumplir los miembros de estas familias quedan encapsuladas en el concepto auxiliar de \u03C3-\u00E1lgebra. Esto significa que los subconjuntos no medibles, esto es, los subconjuntos para los que uno no puede definir una medida (sea de Lebesgue u otra) son muchos. Generalmente, la limitaci\u00F3n de que haya conjuntos no medibles puede interpretarse como una consecuencia no-trivial del axioma de elecci\u00F3n. Por ejemplo, con base en dicho axioma, la paradoja de Banach-Tarski se\u00F1ala que la bola unidad en tres dimensiones (esto es, una esfera de radio unidad) puede ser descompuesta en un n\u00FAmero finito de piezas (no menos de cinco) tales que pueden ser recompuestos para formar dos bolas unitarias. Esto es, uno puede formar dos esferas de radio unidad usando tan solo cinco piezas de una sola esfera de radio unidad. Si este es el caso, parece absurdo pretender definir la medida de una bola unitaria, puesto que por subaditividad contable uno puede asignar al menos dos valores distintos a la misma. La teor\u00EDa de la medida demarca las condiciones que los conjuntos tienen que cumplir para ser medibles."@es . . "\u041C\u0456\u0440\u0430 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0438\u043D\u0438 \u2014 \u0441\u043F\u0456\u043B\u044C\u043D\u0430 \u043D\u0430\u0437\u0432\u0430 \u0440\u0456\u0437\u043D\u0438\u0445 \u0442\u0438\u043F\u0456\u0432 \u0443\u0437\u0430\u0433\u0430\u043B\u044C\u043D\u0435\u043D\u044C \u043F\u043E\u043D\u044F\u0442\u044C \u0435\u0432\u043A\u043B\u0456\u0434\u043E\u0432\u043E\u0457 \u0434\u043E\u0432\u0436\u0438\u043D\u0438, \u043F\u043B\u043E\u0449\u0456 \u043F\u043B\u043E\u0441\u043A\u0438\u0445 \u0444\u0456\u0433\u0443\u0440 \u0442\u0430 -\u0432\u0438\u043C\u0456\u0440\u043D\u043E\u0433\u043E \u043E\u0431'\u0454\u043C\u0443 \u0434\u043B\u044F \u0437\u0430\u0433\u0430\u043B\u044C\u043D\u0456\u0448\u0438\u0445 \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u043E\u0440\u0456\u0432. \u042F\u043A\u0449\u043E \u0437\u0432\u043E\u0440\u043E\u0442\u043D\u0435 \u043D\u0435 \u0432\u043A\u0430\u0437\u0430\u043D\u0435 \u044F\u0432\u043D\u043E, \u0442\u043E \u0437\u0430\u0437\u0432\u0438\u0447\u0430\u0439 \u043C\u0430\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u043D\u0430 \u0443\u0432\u0430\u0437\u0456 \u0437\u043B\u0456\u0447\u0435\u043D\u043D\u043E-\u0430\u0434\u0438\u0442\u0438\u0432\u043D\u0430 \u043C\u0456\u0440\u0430. \u041F\u043E\u043D\u044F\u0442\u0442\u044F \u043C\u0456\u0440\u0438 \u0432\u0438\u043D\u0438\u043A\u043B\u043E \u0432 \u0442\u0435\u043E\u0440\u0456\u0457 \u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0456\u0457 \u0434\u0456\u0439\u0441\u043D\u043E\u0457 \u0437\u043C\u0456\u043D\u043D\u043E\u0457, \u0430 \u0437\u0432\u0456\u0434\u0442\u0438 \u043F\u0435\u0440\u0435\u0439\u0448\u043B\u043E \u0434\u043E \u0442\u0435\u043E\u0440\u0456\u0457 \u0439\u043C\u043E\u0432\u0456\u0440\u043D\u043E\u0441\u0442\u0435\u0439, \u0442\u0435\u043E\u0440\u0456\u0457 \u0434\u0438\u043D\u0430\u043C\u0456\u0447\u043D\u0438\u0445 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043C, \u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0456\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E\u0433\u043E \u0430\u043D\u0430\u043B\u0456\u0437\u0443 \u0442\u0430 \u0431\u0430\u0433\u0430\u0442\u043E \u0456\u043D\u0448\u0438\u0445 \u043E\u0431\u043B\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439 \u043C\u0430\u0442\u0435\u043C\u0430\u0442\u0438\u043A\u0438."@uk . "\u041C\u0435\u0440\u0430 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430"@ru . "Ma\u00DF (Mathematik)"@de . . . . . . . "\u041C\u0435\u0301\u0440\u0430 \u043C\u043D\u043E\u0301\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u2014 \u0447\u0438\u0441\u043B\u043E\u0432\u0430\u044F \u0445\u0430\u0440\u0430\u043A\u0442\u0435\u0440\u0438\u0441\u0442\u0438\u043A\u0430 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430, \u0438\u043D\u0442\u0443\u0438\u0442\u0438\u0432\u043D\u043E \u0435\u0451 \u043C\u043E\u0436\u043D\u043E \u043F\u043E\u043D\u0438\u043C\u0430\u0442\u044C \u043A\u0430\u043A \u043C\u0430\u0441\u0441\u0443 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043F\u0440\u0438 \u043D\u0435\u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u043E\u043C \u0440\u0430\u0441\u043F\u0440\u0435\u0434\u0435\u043B\u0435\u043D\u0438\u0438 \u043C\u0430\u0441\u0441\u044B \u043F\u043E \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0440\u0430\u043D\u0441\u0442\u0432\u0443. \u041F\u043E\u043D\u044F\u0442\u0438\u0435 \u043C\u0435\u0440\u044B \u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0432\u043E\u0437\u043D\u0438\u043A\u043B\u043E \u0432 \u0442\u0435\u043E\u0440\u0438\u0438 \u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0438\u0439 \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043D\u043D\u043E\u0439 \u043F\u0435\u0440\u0435\u043C\u0435\u043D\u043D\u043E\u0439 \u043F\u0440\u0438 \u0440\u0430\u0437\u0432\u0438\u0442\u0438\u0438 \u043F\u043E\u043D\u044F\u0442\u0438\u044F \u0438\u043D\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043B\u0430. \u0427\u0430\u0441\u0442\u043D\u044B\u043C \u0441\u043B\u0443\u0447\u0430\u0435\u043C \u043C\u0435\u0440\u044B \u044F\u0432\u043B\u044F\u0435\u0442\u0441\u044F \u043C\u0435\u0440\u0430 \u041B\u0435\u0431\u0435\u0433\u0430 \u0434\u043B\u044F \u043F\u043E\u0434\u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432 , \u043E\u0431\u043E\u0431\u0449\u0430\u044E\u0449\u0430\u044F \u043F\u043E\u043D\u044F\u0442\u0438\u0435 \u043E\u0431\u044A\u0451\u043C\u0430 , \u043F\u043B\u043E\u0449\u0430\u0434\u0438 \u0438\u043B\u0438 \u0434\u043B\u0438\u043D\u044B \u043D\u0430 \u0441\u043B\u0443\u0447\u0430\u0439 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432, \u0431\u043E\u043B\u0435\u0435 \u043E\u0431\u0449\u0438\u0445, \u0447\u0435\u043C \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u043E \u043E\u0433\u0440\u0430\u043D\u0438\u0447\u0435\u043D\u043D\u044B\u0435 \u0433\u043B\u0430\u0434\u043A\u043E\u0439 \u043F\u043E\u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u043E\u0441\u0442\u044C\u044E."@ru . "Teor\u00EDa de la medida"@es . . . . . . . "Theorem"@en . . "Mezuro (matematiko)"@eo . "yes"@en . "In analisi matematica, una misura, talvolta detta misura positiva, \u00E8 una funzione che assegna un numero reale a taluni sottoinsiemi di un dato insieme per rendere quantitativa la nozione della loro estensione. In particolare, si assegnano lunghezze a segmenti di curva, aree a superfici, volumi a figure tridimensionali e probabilit\u00E0 ad eventi. La nozione di misura, e quelle ad essa correlate, sono nate a cavallo tra il XIX secolo ed il XX secolo, nell'ambito appunto della formalizzazione della teoria della misura."@it . . . . . "Ukuran (matematika)"@in . . . . "Ein Ma\u00DF ist in der Mathematik eine Funktion, die geeigneten Teilmengen einer Grundmenge Zahlen zuordnet, die als \u201EMa\u00DF\u201C f\u00FCr die Gr\u00F6\u00DFe dieser Mengen interpretiert werden k\u00F6nnen. Dabei m\u00FCssen sowohl der Definitionsbereich eines Ma\u00DFes, also die messbaren Mengen, als auch die Zuordnung selbst gewisse Voraussetzungen erf\u00FCllen, wie sie beispielsweise durch elementargeometrische Begriffe der L\u00E4nge einer Strecke, dem Fl\u00E4cheninhalt einer geometrischen Figur oder dem Volumen eines K\u00F6rpers nahegelegt werden."@de . . . . . "Measures that are not semifinite are very wild when restricted to certain sets. Every measure is, in a sense, semifinite once its part is taken away."@en . "Dalam matematika, ukuran adalah pemetaan yang menghubungkan himpunan bagian tertentu dengan suatu nilai, yang dianggap sebagai ukuran dari himpunan bagian tersebut. Ukuran dapat dipahami sebagai perumiman dari konsep seperti \"panjang\", \"luas\" dan \"volume\". Konsep ukuran ini penting untuk dapat dengan benar mendefinisikan integral dari suatu fungsi secara umum. Ukuran adalah konsep yang penting dalam analisis dan teori peluang. Teori ukuran adalah cabang analisis real yang menginvestigasi aljabar \u03C3, ukuran, fungsi ukuran dan integral."@in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "1122054378"^^ . . . . . "In mathematics, the concept of a measure is a generalization and formalization of geometrical measures (length, area, volume) and other common notions, such as mass and probability of events. These seemingly distinct concepts have many similarities and can often be treated together in a single mathematical context. Measures are foundational in probability theory, integration theory, and can be generalized to assume negative values, as with electrical charge. Far-reaching generalizations (such as spectral measures and projection-valued measures) of measure are widely used in quantum physics and physics in general."@en . . . "\u064A\u0639\u062A\u0628\u0631 \u0627\u0644\u0642\u064A\u0627\u0633 \u0641\u064A \u0627\u0644\u0631\u064A\u0627\u0636\u064A\u0627\u062A \u062F\u0627\u0644\u0629 \u062A\u0642\u0648\u0645 \u0628\u0631\u0628\u0637 \u0639\u062F\u062F \u0645\u0627 \u064A\u062F\u0639\u0649 \u0627\u0644\u062D\u062C\u0645 \u0623\u0648 \u0627\u0644\u0633\u0639\u0629 \u0623\u0648 \u0627\u0644\u0627\u062D\u062A\u0645\u0627\u0644 \u0628\u0645\u062C\u0645\u0648\u0639\u0629 \u062C\u0632\u0626\u064A\u0629 \u0645\u0646 \u0645\u062C\u0645\u0648\u0639\u0629 \u0643\u0628\u0631\u0649. \u0648\u0647\u0630\u0627 \u0627\u0644\u0645\u0641\u0647\u0648\u0645 \u0644\u0644\u0642\u064A\u0627\u0633 \u0627\u0644\u0631\u064A\u0627\u0636\u064A \u064A\u0639\u062A\u0628\u0631 \u0623\u0633\u0627\u0633\u064A\u0627 \u0641\u064A \u0627\u0644\u062A\u062D\u0644\u064A\u0644 \u0627\u0644\u0631\u064A\u0627\u0636\u064A \u0648\u0646\u0638\u0631\u064A\u0629 \u0627\u0644\u0627\u062D\u062A\u0645\u0627\u0644\u0627\u062A. \u062A\u0637\u0648\u0631 \u0647\u0630\u0627 \u0627\u0644\u0645\u0641\u0647\u0648\u0645 \u0645\u0646 \u0627\u0644\u062D\u0627\u062C\u0629 \u0644\u0625\u062C\u0631\u0627\u0621 \u0645\u0643\u0627\u0645\u0644\u0629 \u0639\u0644\u0649 \u0645\u062C\u0645\u0648\u0639\u0627\u062A \u0627\u0639\u062A\u0628\u0627\u0631\u064A\u0629 \u063A\u064A\u0631 \u0645\u0639\u064A\u0646\u0629 \u0628\u062F\u0644\u0627 \u0645\u0646 \u0625\u062C\u0631\u0627\u0621 \u0627\u0644\u062A\u0643\u0627\u0645\u0644 \u0628\u0627\u0644\u0637\u0631\u064A\u0642\u0629 \u0627\u0644\u062A\u0642\u0644\u064A\u062F\u064A\u0629. \u0646\u0638\u0631\u064A\u0629 \u0627\u0644\u0642\u064A\u0627\u0633 \u062A\u0634\u0643\u0644 \u0623\u062D\u062F \u0623\u062C\u0632\u0627\u0621 \u0627\u0644\u062A\u062D\u0644\u064A\u0644 \u0627\u0644\u062D\u0642\u064A\u0642\u064A \u0627\u0644\u0630\u064A \u064A\u0628\u062D\u062B \u0641\u064A \u060C \u0627\u0644\u0642\u064A\u0627\u0633\u0627\u062A\u060C \u0648\u0627\u0644\u062A\u0643\u0627\u0645\u0644\u0627\u062A. \u0648\u062A\u0639\u062A\u0628\u0631 \u0630\u0627\u062A \u0623\u0647\u0645\u064A\u0629 \u062E\u0627\u0635\u0629 \u0641\u064A \u0646\u0638\u0631\u064A\u0629 \u0627\u0644\u0627\u062D\u062A\u0645\u0627\u0644\u0627\u062A \u0648\u0627\u0644\u0625\u062D\u0635\u0627\u0621."@ar . . . . "In analisi matematica, una misura, talvolta detta misura positiva, \u00E8 una funzione che assegna un numero reale a taluni sottoinsiemi di un dato insieme per rendere quantitativa la nozione della loro estensione. In particolare, si assegnano lunghezze a segmenti di curva, aree a superfici, volumi a figure tridimensionali e probabilit\u00E0 ad eventi. La teoria della misura \u00E8 la branca dell'analisi reale e complessa che studia sigma-algebre, spazi misurabili, insiemi misurabili, misure, funzioni misurabili ed integrali. La teoria astratta della misura ha come casi particolari la teoria della probabilit\u00E0, e trova numerose applicazioni in diversi settori della matematica pura ed applicata. La nozione di misura, e quelle ad essa correlate, sono nate a cavallo tra il XIX secolo ed il XX secolo, nell'ambito appunto della formalizzazione della teoria della misura."@it . . "Measure (mathematics)"@en . . . "( \uC774 \uBB38\uC11C\uB294 \uC218\uD559\uC5D0\uC11C \uC9D1\uD569\uC758 \uD06C\uAE30\uB97C \uCE21\uC815\uD558\uB294 \uD568\uC218 \uCE21\uB3C4(\u6E2C\u5EA6)\uC5D0 \uAD00\uD55C \uAC83\uC785\uB2C8\uB2E4. \uC778\uCC9C\uAD11\uC5ED\uC2DC\uC758 \uC12C \uCE21\uB3C4(\u6E2C\u5CF6)\uC5D0 \uB300\uD574\uC11C\uB294 \uC120\uC7AC\uB3C4 \uBB38\uC11C\uB97C \uCC38\uACE0\uD558\uC2ED\uC2DC\uC624.) \uC218\uD559\uC5D0\uC11C \uCE21\uB3C4(\u6E2C\u5EA6, \uC601\uC5B4: measure)\uB294 \uD2B9\uC815 \uBD80\uBD84 \uC9D1\uD569\uC5D0 \uB300\uD574 \uC77C\uC885\uC758 \u2018\uD06C\uAE30\u2019\uB97C \uBD80\uC5EC\uD558\uBA70, \uADF8 \uD06C\uAE30\uB97C \uAC00\uC0B0\uAC1C\uB85C \uCABC\uAC1C\uC5B4 \uACC4\uC0B0\uD560 \uC218 \uC788\uAC8C \uD558\uB294 \uD568\uC218\uC774\uB2E4. \uCE21\uB3C4\uC758 \uAC1C\uB150\uC740 \uC720\uD55C \uC9D1\uD569\uC758 \uC6D0\uC18C\uC758 \uC218 \u00B7 \uC2E4\uC218 \uAD6C\uAC04\uC758 \uAE38\uC774 \u00B7 \uD3C9\uBA74 \uB3C4\uD615\uC758 \uB113\uC774 \u00B7 3\uCC28\uC6D0 \uC785\uCCB4\uC758 \uBD80\uD53C\uC758 \uAC1C\uB150\uC744 \uACF5\uD1B5\uC801\uC73C\uB85C \uC77C\uBC18\uD654\uD55C\uB2E4. \uCE21\uB3C4\uAC00 \uBD80\uC5EC\uB41C \uC9D1\uD569\uC744 \uCE21\uB3C4 \uACF5\uAC04(\u6E2C\u5EA6\u7A7A\u9593, \uC601\uC5B4: measure space)\uC774\uB77C\uACE0 \uD55C\uB2E4. \uC774\uC640 \uAC19\uC774 \uCE21\uB3C4\uC640 \uCE21\uB3C4 \uACF5\uAC04\uC744 \uC5F0\uAD6C\uD558\uB294 \uC218\uD559 \uBD84\uC57C\uB97C \uCE21\uB3C4\uB860(\u6E2C\u5EA6\u8AD6, \uC601\uC5B4: measure theory)\uC774\uB77C\uACE0 \uD55C\uB2E4."@ko . . "En math\u00E9matiques, une mesure positive (ou simplement mesure quand il n'y a pas de risque de confusion) est une fonction qui associe une grandeur num\u00E9rique \u00E0 certains sous-ensembles d'un ensemble donn\u00E9. Il s'agit d'un important concept en analyse et en th\u00E9orie des probabilit\u00E9s. Intuitivement, la mesure d'un ensemble ou sous-ensemble est similaire \u00E0 la notion de taille, ou de cardinal pour les ensembles discrets. Dans ce sens, la mesure est une g\u00E9n\u00E9ralisation des concepts de longueur, aire ou volume dans des espaces de dimension 1, 2 ou 3 respectivement. L'\u00E9tude des espaces munis de mesures est l'objet de la th\u00E9orie de la mesure."@fr . "Miara \u2013 funkcja okre\u015Blaj\u0105ca \u201Ewielko\u015Bci\u201D mierzalnych podzbior\u00F3w ustalonego zbioru poprzez przypisanie im liczb nieujemnych b\u0105d\u017A niesko\u0144czono\u015Bci przy za\u0142o\u017Ceniu, \u017Ce zbi\u00F3r pusty ma miar\u0119 zero, a miara sumy zbior\u00F3w roz\u0142\u0105cznych jest sum\u0105 ich miar. Poj\u0119cie miary wyros\u0142o z og\u00F3lnego spojrzenia na zagadnienia d\u0142ugo\u015Bci, pola powierzchni czy obj\u0119to\u015Bci w pracach Lebesgue\u2019a. Jego miara jest uog\u00F3lnieniem tych poj\u0119\u0107 dla podzbior\u00F3w przestrzeni kt\u00F3re nale\u017C\u0105 do przestrzeni mierzalnej generowanej przez przedzia\u0142y n-wymiarowe (czyli zbiory postaci ). Na danym zbiorze mo\u017Cna okre\u015Bla\u0107 r\u00F3\u017Cne miary. itp."@pl . . . . "M\u00EDra je z\u00E1kladn\u00EDm pojmem teorie m\u00EDry. Z neform\u00E1ln\u00EDho hlediska je m\u00EDra zobecn\u011Bn\u00EDm pojm\u016F velikosti (d\u00E9lky, obsahu, objemu, p\u0159\u00EDpadn\u011B i po\u010Dtu). M\u00EDra je zvolen\u00FD zp\u016Fsob, jak\u00FDm se m\u011B\u0159\u00ED mno\u017Einy. M\u00EDrou mno\u017Einy se rozum\u00ED ji\u017E konkr\u00E9tn\u00ED v\u00FDsledek (\u010D\u00EDslo) p\u0159i\u0159azen\u00FD (nam\u011B\u0159en\u00FD) konkr\u00E9tn\u00ED mno\u017Ein\u011B t\u00EDmto zp\u016Fsobem."@cs . . . . . . . . "Misura (matematica)"@it . . . . . . . . . . "\u039C\u03AD\u03C4\u03C1\u03BF \u03C3\u03C4\u03B1 \u03BC\u03B1\u03B8\u03B7\u03BC\u03B1\u03C4\u03B9\u03BA\u03AC \u03BF\u03BD\u03BF\u03BC\u03AC\u03B6\u03B5\u03C4\u03B1\u03B9 \u03BF\u03C0\u03BF\u03B9\u03B1\u03B4\u03AE\u03C0\u03BF\u03C4\u03B5 \u03C3\u03C5\u03BD\u03AC\u03C1\u03C4\u03B7\u03C3\u03B7 \u03BF\u03C1\u03B9\u03C3\u03BC\u03AD\u03BD\u03B7 \u03C3\u03B5 \u03BC\u03AF\u03B1 \u03A3-\u03AC\u03BB\u03B3\u03B5\u03B2\u03C1\u03B1 \u03BC\u03B5 \u03C4\u03B9\u03C2 \u03B1\u03BA\u03CC\u03BB\u03BF\u03C5\u03B8\u03B5\u03C2 \u03B9\u03B4\u03B9\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B5\u03C2: \n* \u0391\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03AE\u03C3\u03B9\u03BC\u03B7 \u03C0\u03C1\u03BF\u03C3\u03B8\u03B5\u03C4\u03B9\u03BA\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B1: \u0393\u03B9\u03B1 \u03BA\u03AC\u03B8\u03B5 \u03C3\u03C5\u03BB\u03BB\u03BF\u03B3\u03AE \u03BE\u03AD\u03BD\u03C9\u03BD \u03B1\u03BD\u03B1 \u03BC\u03B5\u03C4\u03B1\u03BE\u03CD \u03C4\u03BF\u03C5\u03C2 \u03C3\u03C5\u03BD\u03CC\u03BB\u03C9\u03BD \n* \u039C\u03B7\u03B4\u03B5\u03BD\u03B9\u03BA\u03CC \u03BC\u03AD\u03C4\u03C1\u03BF \u03C3\u03C4\u03BF \u03BA\u03B5\u03BD\u03CC \u03C3\u03CD\u03BD\u03BF\u03BB\u03BF: \u03A3\u03C5\u03B3\u03BA\u03B5\u03BA\u03C1\u03B9\u03BC\u03AD\u03BD\u03B1 \u03BF \u03C0\u03B1\u03C1\u03B1\u03C0\u03AC\u03BD\u03C9 \u03BF\u03C1\u03B9\u03C3\u03BC\u03CC\u03C2 \u03BF\u03C1\u03AF\u03B6\u03B5\u03B9 \u03AD\u03BD\u03B1 \u03BC\u03B7-\u03B1\u03C1\u03BD\u03B7\u03C4\u03B9\u03BA\u03CC \u03BC\u03AD\u03C4\u03C1\u03BF. \u039C\u03AD\u03C4\u03C1\u03B1 \u03BC\u03B5 \u03C3\u03CD\u03BD\u03BF\u03BB\u03BF \u03C4\u03B9\u03BC\u03CE\u03BD \u03C4\u03BF \u03AE \u03C4\u03BF \u03B5\u03BE\u03B5\u03C4\u03AC\u03B6\u03BF\u03BD\u03C4\u03B1\u03B9 \u03C3\u03C4\u03B7\u03BD \u03B8\u03B5\u03C9\u03C1\u03AF\u03B1 \u03BF\u03BB\u03BF\u03BA\u03BB\u03AE\u03C1\u03C9\u03C3\u03B7\u03C2."@el . . . . . "Ein Ma\u00DF ist in der Mathematik eine Funktion, die geeigneten Teilmengen einer Grundmenge Zahlen zuordnet, die als \u201EMa\u00DF\u201C f\u00FCr die Gr\u00F6\u00DFe dieser Mengen interpretiert werden k\u00F6nnen. Dabei m\u00FCssen sowohl der Definitionsbereich eines Ma\u00DFes, also die messbaren Mengen, als auch die Zuordnung selbst gewisse Voraussetzungen erf\u00FCllen, wie sie beispielsweise durch elementargeometrische Begriffe der L\u00E4nge einer Strecke, dem Fl\u00E4cheninhalt einer geometrischen Figur oder dem Volumen eines K\u00F6rpers nahegelegt werden. Das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Konstruktion und der Untersuchung von Ma\u00DFen besch\u00E4ftigt, ist die Ma\u00DFtheorie. Der allgemeine Ma\u00DFbegriff geht zur\u00FCck auf Arbeiten von \u00C9mile Borel, Henri L\u00E9on Lebesgue, Johann Radon und Maurice Ren\u00E9 Fr\u00E9chet. Dabei stehen Ma\u00DFe stets in engem Zusammenhang mit der Integration von Funktionen und bilden die Grundlage moderner Integralbegriffe (siehe Lebesgue-Integral). Seit der Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitsrechnung durch Andrei Kolmogorow ist die Stochastik ein weiteres gro\u00DFes Anwendungsgebiet f\u00FCr Ma\u00DFe. Dort werden Wahrscheinlichkeitsma\u00DFe verwendet, um zuf\u00E4lligen Ereignissen, die als Teilmengen eines Ergebnisraums aufgefasst werden, Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen."@de . . "In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een maat intu\u00EFtief gesproken een afbeelding die een grootte, volume of kans toekent aan objecten. Het resultaat is steeds positief of eventueel 0. Meer formeel gezien is een maat op een verzameling een systematische manier om aan elke geschikte deelverzameling een getal toe te kennen dat kan worden gezien als de grootte van deze deelverzameling. In die zin is een maat een veralgemening van de begrippen lengte, oppervlakte en volume. Een belangrijk voorbeeld is de lebesgue-maat op een euclidische ruimte die de conventionele begrippen lengte, oppervlakte en volume van de euclidische meetkunde aan geschikte deelverzamelingen van toekent. De lebesgue-maat van bijvoorbeeld het interval [0,1] in de re\u00EBle getallen is zijn lengte met de waarde"@nl . . . . . . . . "Em matem\u00E1tica, uma medida \u00E9 uma fun\u00E7\u00E3o que atribui um valor aos subconjuntos de um conjunto S. Quando a medida \u00E9 positiva e a medida de S \u00E9 1, diz-se que a medida \u00E9 uma probabilidade."@pt . . . . . . . "Medida (matem\u00E1tica)"@pt . "For any measure on there exists a measure on such that for some semifinite measure on In fact, among such measures there exists a least measure Also, we have"@en . . . . . . . . . . . . "En analitiko, mezuro estas bildigo, kiu asignas al \u0109iu mezurebla aro (elemento de sigma-al\u011Debro) nenegativan reelon a\u016D nefinion, la\u016D ia koncepto de \u201Cgrandeco\u201D (longo, areo, volumeno ktp.) de tiuj aroj."@eo . . . . . "Maat (wiskunde)"@nl . . . "For any measure on there exists, among semifinite measures on that are less than or equal to a greatest element"@en . . . . . . . . . . "\u6D4B\u5EA6"@zh . . . "In mathematics, the concept of a measure is a generalization and formalization of geometrical measures (length, area, volume) and other common notions, such as mass and probability of events. These seemingly distinct concepts have many similarities and can often be treated together in a single mathematical context. Measures are foundational in probability theory, integration theory, and can be generalized to assume negative values, as with electrical charge. Far-reaching generalizations (such as spectral measures and projection-valued measures) of measure are widely used in quantum physics and physics in general. The intuition behind this concept dates back to ancient Greece, when Archimedes tried to calculate the area of a circle. But it was not until the late 19th and early 20th centuries that measure theory became a branch of mathematics. The foundations of modern measure theory were laid in the works of \u00C9mile Borel, Henri Lebesgue, Nikolai Luzin, Johann Radon, Constantin Carath\u00E9odory, and Maurice Fr\u00E9chet, among others."@en . . . . "M\u00E5tt (matematik)"@sv . . . "\u039C\u03AD\u03C4\u03C1\u03BF (\u03BC\u03B1\u03B8\u03B7\u03BC\u03B1\u03C4\u03B9\u03BA\u03AC)"@el . . . . . . . . . . . "p/m063240"@en . . . "\u039C\u03AD\u03C4\u03C1\u03BF \u03C3\u03C4\u03B1 \u03BC\u03B1\u03B8\u03B7\u03BC\u03B1\u03C4\u03B9\u03BA\u03AC \u03BF\u03BD\u03BF\u03BC\u03AC\u03B6\u03B5\u03C4\u03B1\u03B9 \u03BF\u03C0\u03BF\u03B9\u03B1\u03B4\u03AE\u03C0\u03BF\u03C4\u03B5 \u03C3\u03C5\u03BD\u03AC\u03C1\u03C4\u03B7\u03C3\u03B7 \u03BF\u03C1\u03B9\u03C3\u03BC\u03AD\u03BD\u03B7 \u03C3\u03B5 \u03BC\u03AF\u03B1 \u03A3-\u03AC\u03BB\u03B3\u03B5\u03B2\u03C1\u03B1 \u03BC\u03B5 \u03C4\u03B9\u03C2 \u03B1\u03BA\u03CC\u03BB\u03BF\u03C5\u03B8\u03B5\u03C2 \u03B9\u03B4\u03B9\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B5\u03C2: \n* \u0391\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03AE\u03C3\u03B9\u03BC\u03B7 \u03C0\u03C1\u03BF\u03C3\u03B8\u03B5\u03C4\u03B9\u03BA\u03CC\u03C4\u03B7\u03C4\u03B1: \u0393\u03B9\u03B1 \u03BA\u03AC\u03B8\u03B5 \u03C3\u03C5\u03BB\u03BB\u03BF\u03B3\u03AE \u03BE\u03AD\u03BD\u03C9\u03BD \u03B1\u03BD\u03B1 \u03BC\u03B5\u03C4\u03B1\u03BE\u03CD \u03C4\u03BF\u03C5\u03C2 \u03C3\u03C5\u03BD\u03CC\u03BB\u03C9\u03BD \n* \u039C\u03B7\u03B4\u03B5\u03BD\u03B9\u03BA\u03CC \u03BC\u03AD\u03C4\u03C1\u03BF \u03C3\u03C4\u03BF \u03BA\u03B5\u03BD\u03CC \u03C3\u03CD\u03BD\u03BF\u03BB\u03BF: \u03A3\u03C5\u03B3\u03BA\u03B5\u03BA\u03C1\u03B9\u03BC\u03AD\u03BD\u03B1 \u03BF \u03C0\u03B1\u03C1\u03B1\u03C0\u03AC\u03BD\u03C9 \u03BF\u03C1\u03B9\u03C3\u03BC\u03CC\u03C2 \u03BF\u03C1\u03AF\u03B6\u03B5\u03B9 \u03AD\u03BD\u03B1 \u03BC\u03B7-\u03B1\u03C1\u03BD\u03B7\u03C4\u03B9\u03BA\u03CC \u03BC\u03AD\u03C4\u03C1\u03BF. \u039C\u03AD\u03C4\u03C1\u03B1 \u03BC\u03B5 \u03C3\u03CD\u03BD\u03BF\u03BB\u03BF \u03C4\u03B9\u03BC\u03CE\u03BD \u03C4\u03BF \u03AE \u03C4\u03BF \u03B5\u03BE\u03B5\u03C4\u03AC\u03B6\u03BF\u03BD\u03C4\u03B1\u03B9 \u03C3\u03C4\u03B7\u03BD \u03B8\u03B5\u03C9\u03C1\u03AF\u03B1 \u03BF\u03BB\u03BF\u03BA\u03BB\u03AE\u03C1\u03C9\u03C3\u03B7\u03C2."@el . "\u064A\u0639\u062A\u0628\u0631 \u0627\u0644\u0642\u064A\u0627\u0633 \u0641\u064A \u0627\u0644\u0631\u064A\u0627\u0636\u064A\u0627\u062A \u062F\u0627\u0644\u0629 \u062A\u0642\u0648\u0645 \u0628\u0631\u0628\u0637 \u0639\u062F\u062F \u0645\u0627 \u064A\u062F\u0639\u0649 \u0627\u0644\u062D\u062C\u0645 \u0623\u0648 \u0627\u0644\u0633\u0639\u0629 \u0623\u0648 \u0627\u0644\u0627\u062D\u062A\u0645\u0627\u0644 \u0628\u0645\u062C\u0645\u0648\u0639\u0629 \u062C\u0632\u0626\u064A\u0629 \u0645\u0646 \u0645\u062C\u0645\u0648\u0639\u0629 \u0643\u0628\u0631\u0649. \u0648\u0647\u0630\u0627 \u0627\u0644\u0645\u0641\u0647\u0648\u0645 \u0644\u0644\u0642\u064A\u0627\u0633 \u0627\u0644\u0631\u064A\u0627\u0636\u064A \u064A\u0639\u062A\u0628\u0631 \u0623\u0633\u0627\u0633\u064A\u0627 \u0641\u064A \u0627\u0644\u062A\u062D\u0644\u064A\u0644 \u0627\u0644\u0631\u064A\u0627\u0636\u064A \u0648\u0646\u0638\u0631\u064A\u0629 \u0627\u0644\u0627\u062D\u062A\u0645\u0627\u0644\u0627\u062A. \u062A\u0637\u0648\u0631 \u0647\u0630\u0627 \u0627\u0644\u0645\u0641\u0647\u0648\u0645 \u0645\u0646 \u0627\u0644\u062D\u0627\u062C\u0629 \u0644\u0625\u062C\u0631\u0627\u0621 \u0645\u0643\u0627\u0645\u0644\u0629 \u0639\u0644\u0649 \u0645\u062C\u0645\u0648\u0639\u0627\u062A \u0627\u0639\u062A\u0628\u0627\u0631\u064A\u0629 \u063A\u064A\u0631 \u0645\u0639\u064A\u0646\u0629 \u0628\u062F\u0644\u0627 \u0645\u0646 \u0625\u062C\u0631\u0627\u0621 \u0627\u0644\u062A\u0643\u0627\u0645\u0644 \u0628\u0627\u0644\u0637\u0631\u064A\u0642\u0629 \u0627\u0644\u062A\u0642\u0644\u064A\u062F\u064A\u0629. \u0646\u0638\u0631\u064A\u0629 \u0627\u0644\u0642\u064A\u0627\u0633 \u062A\u0634\u0643\u0644 \u0623\u062D\u062F \u0623\u062C\u0632\u0627\u0621 \u0627\u0644\u062A\u062D\u0644\u064A\u0644 \u0627\u0644\u062D\u0642\u064A\u0642\u064A \u0627\u0644\u0630\u064A \u064A\u0628\u062D\u062B \u0641\u064A \u060C \u0627\u0644\u0642\u064A\u0627\u0633\u0627\u062A\u060C \u0648\u0627\u0644\u062A\u0643\u0627\u0645\u0644\u0627\u062A. \u0648\u062A\u0639\u062A\u0628\u0631 \u0630\u0627\u062A \u0623\u0647\u0645\u064A\u0629 \u062E\u0627\u0635\u0629 \u0641\u064A \u0646\u0638\u0631\u064A\u0629 \u0627\u0644\u0627\u062D\u062A\u0645\u0627\u0644\u0627\u062A \u0648\u0627\u0644\u0625\u062D\u0635\u0627\u0621."@ar . . . . . . "M\u00E5tt inom m\u00E5tteorin \u00E4r ett matematiskt begrepp som anv\u00E4nds f\u00F6r att ange \u201Dstorleken\u201D p\u00E5 en m\u00E4ngd. L\u00E4ngd, area och volym \u00E4r n\u00E5gra exempel p\u00E5 vanliga m\u00E5tt. Begreppet \u00E4r centralt f\u00F6r att p\u00E5 ett korrekt s\u00E4tt kunna definiera integralen av en funktion p\u00E5 ett generellt s\u00E4tt. M\u00E5tteori \u00E4r ett mycket viktigt omr\u00E5de inom matematisk analys och sannolikhetsteori. Id\u00E9er f\u00F6r m\u00E5tteori fanns i det antika Grekland, d\u00E5 Arkimedes ville fastst\u00E4lla det exakta v\u00E4rdet p\u00E5 cirkelns omr\u00E5de. Men m\u00E5tteori \u00E4r en 1900-talsuppfinning. Pionj\u00E4rerna inom m\u00E5tteori \u00E4r Henri Lebesgue, Georg Cantor, \u00C9mile Borel, Constantin Carath\u00E9odory och . Henri Lebesgue utvecklade det revolutionerande Lebesguem\u00E5ttet och Lebesgueintegralen i . Georg Cantor och \u00C9mile Borel identifierade senare m\u00E4tbara m\u00E4ngder och Borelm\u00E4ngder. Constantin Carath\u00E9odory definierade yttre m\u00E5tt och Carath\u00E9odorys konstruktion. Alfred Haar \u00E4r k\u00E4nd f\u00F6r Haarm\u00E5ttet, ett koncept som liknar Lebesguem\u00E5ttet i ."@sv . . . "Em matem\u00E1tica, uma medida \u00E9 uma fun\u00E7\u00E3o que atribui um valor aos subconjuntos de um conjunto S. Quando a medida \u00E9 positiva e a medida de S \u00E9 1, diz-se que a medida \u00E9 uma probabilidade."@pt . .