. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "Hyperbolische meetkunde"@nl . "\u53CC\u66F2\u51E0\u4F55"@zh . . . "\u03A3\u03C4\u03B1 \u03BC\u03B1\u03B8\u03B7\u03BC\u03B1\u03C4\u03B9\u03BA\u03AC, \u03B7 \u03C5\u03C0\u03B5\u03C1\u03B2\u03BF\u03BB\u03B9\u03BA\u03AE \u03B3\u03B5\u03C9\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AF\u03B1 (\u03B5\u03C0\u03AF\u03C3\u03B7\u03C2 \u03BF\u03BD\u03BF\u03BC\u03AC\u03B6\u03B5\u03C4\u03B1\u03B9 \u03B3\u03B5\u03C9\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AF\u03B1 \u03C4\u03BF\u03C5 \u039B\u03BF\u03BC\u03C0\u03B1\u03C4\u03C3\u03AD\u03C6\u03C3\u03BA\u03B9 (\u041B\u043E\u0431\u0430\u0447\u0435\u0301\u0432\u0441\u043A\u0438\u0439)) \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03BC\u03B9\u03B1 \u03BC\u03B7 \u03B5\u03C5\u03BA\u03BB\u03B5\u03AF\u03B4\u03B5\u03B9\u03B1 \u03B3\u03B5\u03C9\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AF\u03B1, \u03B4\u03B7\u03BB\u03B1\u03B4\u03AE \u03BC\u03B9\u03B1 \u03B3\u03B5\u03C9\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AF\u03B1 \u03C3\u03C4\u03B7\u03BD \u03BF\u03C0\u03BF\u03AF\u03B1 \u03BF\u03C1\u03B9\u03C3\u03BC\u03AD\u03BD\u03B1 \u03B1\u03C0\u03CC \u03C4\u03B1 \u03B1\u03BE\u03B9\u03CE\u03BC\u03B1\u03C4\u03B1 \u03C4\u03B7\u03C2 \u03B5\u03C5\u03BA\u03BB\u03B5\u03AF\u03B4\u03B5\u03B9\u03B1\u03C2 \u03B3\u03B5\u03C9\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AF\u03B1\u03C2 \u03B4\u03B5\u03BD \u03B9\u03C3\u03C7\u03CD\u03BF\u03C5\u03BD. \u03A3\u03C5\u03B3\u03BA\u03B5\u03BA\u03C1\u03B9\u03BC\u03AD\u03BD\u03B1, \u03C3\u03C4\u03B7\u03BD \u03C5\u03C0\u03B5\u03C1\u03B2\u03BF\u03BB\u03B9\u03BA\u03AE \u03B3\u03B5\u03C9\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AF\u03B1 \u03B4\u03B5\u03BD \u03B9\u03C3\u03C7\u03CD\u03B5\u03B9 \u03C4\u03BF \u03B1\u03BE\u03AF\u03C9\u03BC\u03B1 \u03C4\u03C9\u03BD \u03C0\u03B1\u03C1\u03B1\u03BB\u03BB\u03AE\u03BB\u03C9\u03BD. \u03A4\u03BF \u03B1\u03BE\u03AF\u03C9\u03BC\u03B1 \u03C4\u03C9\u03BD \u03C0\u03B1\u03C1\u03B1\u03BB\u03BB\u03AE\u03BB\u03C9\u03BD \u03C4\u03B7\u03C2 \u03B4\u03B9\u03C3\u03B4\u03B9\u03AC\u03C3\u03C4\u03B1\u03C4\u03B7\u03C2 \u03B5\u03C5\u03BA\u03BB\u03B5\u03AF\u03B4\u03B5\u03B9\u03B1\u03C2 \u03B3\u03B5\u03C9\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AF\u03B1\u03C2 \u03B1\u03BD\u03C4\u03B9\u03C3\u03C4\u03BF\u03B9\u03C7\u03B5\u03AF \u03C3\u03C4\u03B7\u03BD \u03C0\u03C1\u03CC\u03C4\u03B1\u03C3\u03B7 \u03CC\u03C4\u03B9, \u03B3\u03B9\u03B1 \u03BF\u03C0\u03BF\u03B9\u03B1\u03B4\u03AE\u03C0\u03BF\u03C4\u03B5 (\u03B5\u03C5\u03B8\u03B5\u03AF\u03B1) \u03B3\u03C1\u03B1\u03BC\u03BC\u03AE I \u03BA\u03B1\u03B9 \u03AD\u03BD\u03B1 \u03C3\u03B7\u03BC\u03B5\u03AF\u03BF P \u03C0\u03BF\u03C5 \u03B4\u03B5\u03BD \u03B1\u03BD\u03AE\u03BA\u03B5\u03B9 \u03C3\u03C4\u03B7\u03BD I \u03C5\u03C0\u03AC\u03C1\u03C7\u03B5\u03B9 \u03B1\u03BA\u03C1\u03B9\u03B2\u03CE\u03C2 \u03BC\u03AF\u03B1 \u03BA\u03B1\u03B9 \u03BC\u03CC\u03BD\u03BF (\u03B5\u03C5\u03B8\u03B5\u03AF\u03B1) \u03B3\u03C1\u03B1\u03BC\u03BC\u03AE \u03C0\u03BF\u03C5 \u03B4\u03B9\u03AD\u03C1\u03C7\u03B5\u03C4\u03B1\u03B9 \u03B1\u03C0\u03CC \u03C4\u03BF P \u03BA\u03B1\u03B9 \u03B4\u03B5\u03BD \u03C4\u03AD\u03BC\u03BD\u03B5\u03B9 \u03C4\u03B7\u03BD I, \u03B4\u03B7\u03BB\u03B1\u03B4\u03AE \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03C0\u03B1\u03C1\u03AC\u03BB\u03BB\u03B7\u03BB\u03B7 \u03C3\u03C4\u03B7\u03BD I. \u03A3\u03C4\u03B7\u03BD \u03C5\u03C0\u03B5\u03C1\u03B2\u03BF\u03BB\u03B9\u03BA\u03AE \u03B3\u03B5\u03C9\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AF\u03B1 \u03C5\u03C0\u03AC\u03C1\u03C7\u03BF\u03C5\u03BD \u03C4\u03BF\u03C5\u03BB\u03AC\u03C7\u03B9\u03C3\u03C4\u03BF\u03BD \u03B4\u03CD\u03BF \u03BE\u03B5\u03C7\u03C9\u03C1\u03B9\u03C3\u03C4\u03AD\u03C2 \u03B3\u03C1\u03B1\u03BC\u03BC\u03AD\u03C2 \u03C0\u03BF\u03C5 \u03B4\u03B9\u03AD\u03C1\u03C7\u03BF\u03BD\u03C4\u03B1\u03B9 \u03B1\u03C0\u03CC \u03C4\u03BF P \u03BA\u03B1\u03B9 \u03BF\u03B9 \u03BF\u03C0\u03BF\u03AF\u03B5\u03C2 \u03B4\u03B5\u03BD \u03C4\u03AD\u03BC\u03BD\u03BF\u03C5\u03BD \u03C4\u03B7\u03BD I, \u03BA\u03B1\u03B9 \u03C4\u03BF \u03B1\u03BE\u03AF\u03C9\u03BC\u03B1 \u03C4\u03C9\u03BD \u03C0\u03B1\u03C1\u03B1\u03BB\u03BB\u03AE\u03BB\u03C9\u03BD \u03B5\u03C5\u03B8\u03B5\u03B9\u03CE\u03BD \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03B3\u03B9\u03B1 \u03C4\u03B7\u03BD \u03C5\u03C0\u03B5\u03C1\u03B2\u03BF\u03BB\u03B9\u03BA\u03AE \u03B3\u03B5\u03C9\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AF\u03B1 \u03B5\u03C3\u03C6\u03B1\u03BB\u03BC\u03AD\u03BD\u03BF. \u0388\u03C7\u03BF\u03C5\u03BD \u03BA\u03B1\u03C4\u03B1\u03C3\u03BA\u03B5\u03C5\u03B1\u03C3\u03C4\u03B5\u03AF \u03BC\u03BF\u03BD\u03C4\u03AD\u03BB\u03B1 \u03B5\u03BD\u03C4\u03CC\u03C2 \u03C4\u03B7\u03C2 \u03B5\u03C5\u03BA\u03BB\u03B5\u03AF\u03B4\u03B5\u03B9\u03B1\u03C2 \u03C0\u03BF\u03C5 \u03C5\u03C0\u03B1\u03BA\u03BF\u03CD\u03BD \u03C3\u03C4\u03B1 \u03B1\u03BE\u03B9\u03CE\u03BC\u03B1\u03C4\u03B1 \u03C4\u03B7\u03C2 \u03C5\u03C0\u03B5\u03C1\u03B2\u03BF\u03BB\u03B9\u03BA\u03AE\u03C2 \u03B3\u03B5\u03C9\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AF\u03B1\u03C2, \u03C4\u03BF \u03BF\u03C0\u03BF\u03AF\u03BF \u03B4\u03B5\u03AF\u03C7\u03BD\u03B5\u03B9 \u03CC\u03C4\u03B9 \u03C4\u03BF \u03B1\u03BE\u03AF\u03C9\u03BC\u03B1 \u03C4\u03C9\u03BD \u03C0\u03B1\u03C1\u03B1\u03BB\u03BB\u03AE\u03BB\u03C9\u03BD \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03B1\u03BD\u03B5\u03BE\u03AC\u03C1\u03C4\u03B7\u03C4\u03BF \u03B1\u03C0\u03CC \u03C4\u03B1 \u03AC\u03BB\u03BB\u03B1 \u03B1\u03BE\u03B9\u03CE\u03BC\u03B1\u03C4\u03B1 \u03C4\u03BF\u03C5 \u0395\u03C5\u03BA\u03BB\u03B5\u03AF\u03B4\u03B7. \u0394\u03B5\u03BD \u03C5\u03C0\u03AC\u03C1\u03C7\u03B5\u03B9 \u03B1\u03BA\u03C1\u03B9\u03B2\u03AD\u03C2 \u03C5\u03C0\u03B5\u03C1\u03B2\u03BF\u03BB\u03B9\u03BA\u03CC \u03B1\u03BD\u03C4\u03AF\u03C3\u03C4\u03BF\u03B9\u03C7\u03BF \u03C4\u03C9\u03BD \u03B5\u03C5\u03BA\u03BB\u03B5\u03AF\u03B4\u03B5\u03B9\u03C9\u03BD \u03C0\u03B1\u03C1\u03AC\u03BB\u03BB\u03B7\u03BB\u03C9\u03BD \u03B5\u03C5\u03B8\u03B5\u03B9\u03CE\u03BD, \u03BC\u03B5 \u03B1\u03C0\u03BF\u03C4\u03AD\u03BB\u03B5\u03C3\u03BC\u03B1 \u03B7 \u03C7\u03C1\u03AE\u03C3\u03B7 \u03C4\u03BF\u03C5 \u03CC\u03C1\u03BF\u03C5 \u03C0\u03B1\u03C1\u03AC\u03BB\u03BB\u03B7\u03BB\u03BF \u03BD\u03B1 \u03C0\u03BF\u03B9\u03BA\u03AF\u03BB\u03B5\u03B9 \u03B1\u03BD\u03AC\u03BC\u03B5\u03C3\u03B1 \u03C3\u03C4\u03BF\u03C5\u03C2 \u03C3\u03C5\u03B3\u03B3\u03C1\u03B1\u03C6\u03B5\u03AF\u03C2. \u03A3 \u2019\u03B1\u03C5\u03C4\u03CC \u03C4\u03BF \u03AC\u03C1\u03B8\u03C1\u03BF, \u03B4\u03CD\u03BF \u03B3\u03C1\u03B1\u03BC\u03BC\u03AD\u03C2 \u03C0\u03BF\u03C5 \u03B4\u03B5\u03BD \u03C4\u03AD\u03BC\u03BD\u03BF\u03BD\u03C4\u03B1\u03B9 \u03CC\u03C3\u03BF \u03BA\u03B9 \u03B1\u03BD \u03C4\u03B9\u03C2 \u03B5\u03C0\u03B5\u03BA\u03C4\u03B5\u03AF\u03BD\u03BF\u03C5\u03BC\u03B5 \u03BF\u03BD\u03BF\u03BC\u03AC\u03B6\u03BF\u03BD\u03C4\u03B1\u03B9 \u03B1\u03C3\u03C5\u03BC\u03C0\u03C4\u03C9\u03C4\u03B9\u03BA\u03AD\u03C2 \u03BA\u03B1\u03B9 \u03B4\u03CD\u03BF \u03B3\u03C1\u03B1\u03BC\u03BC\u03AD\u03C2 \u03C0\u03BF\u03C5 \u03AD\u03C7\u03BF\u03C5\u03BD \u03BC\u03AF\u03B1 \u03BA\u03BF\u03B9\u03BD\u03AE \u03BA\u03AC\u03B8\u03B5\u03C4\u03BF \u03BF\u03BD\u03BF\u03BC\u03AC\u03B6\u03BF\u03BD\u03C4\u03B1\u03B9 \u03C5\u03C0\u03B5\u03C1\u03C0\u03B1\u03C1\u03AC\u03BB\u03BB\u03B7\u03BB\u03B5\u03C2: \u03B7 \u03B1\u03C0\u03BB\u03AE \u03BB\u03AD\u03BE\u03B7 \u03C0\u03B1\u03C1\u03AC\u03BB\u03BB\u03B7\u03BB\u03B7 \u03BC\u03C0\u03BF\u03C1\u03B5\u03AF \u03BD\u03B1 \u03B1\u03BD\u03B1\u03C6\u03AD\u03C1\u03B5\u03C4\u03B1\u03B9 \u03BA\u03B1\u03B9 \u03C3\u03C4\u03B1 \u03B4\u03CD\u03BF \u03B5\u03AF\u03B4\u03B7 \u03B3\u03C1\u03B1\u03BC\u03BC\u03CE\u03BD."@el . . . . . . . "\u0413\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0456\u044F \u041B\u043E\u0431\u0430\u0447\u0435\u0432\u0441\u044C\u043A\u043E\u0433\u043E"@uk . "Hyperbolische Geometrie"@de . . . . "\u0413\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u044F \u041B\u043E\u0431\u0430\u0447\u0435\u0432\u0441\u043A\u043E\u0433\u043E (\u0438\u043B\u0438 \u0433\u0438\u043F\u0435\u0440\u0431\u043E\u043B\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u0430\u044F \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u044F) \u2014 \u043E\u0434\u043D\u0430 \u0438\u0437 \u043D\u0435\u0435\u0432\u043A\u043B\u0438\u0434\u043E\u0432\u044B\u0445 \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0439, \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u0430\u044F \u0442\u0435\u043E\u0440\u0438\u044F, \u043E\u0441\u043D\u043E\u0432\u0430\u043D\u043D\u0430\u044F \u043D\u0430 \u0442\u0435\u0445 \u0436\u0435 \u043E\u0441\u043D\u043E\u0432\u043D\u044B\u0445 \u0430\u043A\u0441\u0438\u043E\u043C\u0430\u0445, \u0447\u0442\u043E \u0438 \u043E\u0431\u044B\u0447\u043D\u0430\u044F \u0435\u0432\u043A\u043B\u0438\u0434\u043E\u0432\u0430 \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u044F, \u0437\u0430 \u0438\u0441\u043A\u043B\u044E\u0447\u0435\u043D\u0438\u0435\u043C \u0430\u043A\u0441\u0438\u043E\u043C\u044B \u043E \u043F\u0430\u0440\u0430\u043B\u043B\u0435\u043B\u044C\u043D\u044B\u0445 \u043F\u0440\u044F\u043C\u044B\u0445, \u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u0430\u044F \u0437\u0430\u043C\u0435\u043D\u044F\u0435\u0442\u0441\u044F \u0435\u0451 \u043E\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u043D\u0438\u0435\u043C. \u0415\u0432\u043A\u043B\u0438\u0434\u043E\u0432\u0430 \u0430\u043A\u0441\u0438\u043E\u043C\u0430 \u043E \u043F\u0430\u0440\u0430\u043B\u043B\u0435\u043B\u044C\u043D\u044B\u0445 (\u0442\u043E\u0447\u043D\u0435\u0435, \u043E\u0434\u043D\u043E \u0438\u0437 \u044D\u043A\u0432\u0438\u0432\u0430\u043B\u0435\u043D\u0442\u043D\u044B\u0445 \u0435\u0439 \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0435\u043D\u0438\u0439, \u043F\u0440\u0438 \u043D\u0430\u043B\u0438\u0447\u0438\u0438 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0445 \u0430\u043A\u0441\u0438\u043E\u043C) \u043C\u043E\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044B\u0442\u044C \u0441\u0444\u043E\u0440\u043C\u0443\u043B\u0438\u0440\u043E\u0432\u0430\u043D\u0430 \u0441\u043B\u0435\u0434\u0443\u044E\u0449\u0438\u043C \u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u043E\u043C: \u041D\u0430 \u043F\u043B\u043E\u0441\u043A\u043E\u0441\u0442\u0438 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0442\u043E\u0447\u043A\u0443, \u043D\u0435 \u043B\u0435\u0436\u0430\u0449\u0443\u044E \u043D\u0430 \u0434\u0430\u043D\u043D\u043E\u0439 \u043F\u0440\u044F\u043C\u043E\u0439, \u043C\u043E\u0436\u043D\u043E \u043F\u0440\u043E\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0440\u043E\u0432\u043D\u043E \u043E\u0434\u043D\u0443 \u043F\u0440\u044F\u043C\u0443\u044E, \u043F\u0430\u0440\u0430\u043B\u043B\u0435\u043B\u044C\u043D\u0443\u044E \u0434\u0430\u043D\u043D\u043E\u0439. \u0412 \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0438 \u041B\u043E\u0431\u0430\u0447\u0435\u0432\u0441\u043A\u043E\u0433\u043E \u0432\u043C\u0435\u0441\u0442\u043E \u043D\u0435\u0451 \u043F\u0440\u0438\u043D\u0438\u043C\u0430\u0435\u0442\u0441\u044F \u0441\u043B\u0435\u0434\u0443\u044E\u0449\u0430\u044F \u0430\u043A\u0441\u0438\u043E\u043C\u0430:"@ru . . . . . . . "G\u00E9om\u00E9trie hyperbolique"@fr . . . . . . . . . . . "En math\u00E9matiques, la g\u00E9om\u00E9trie hyperbolique (nomm\u00E9e auparavant g\u00E9om\u00E9trie de Lobatchevski, lequel est le premier \u00E0 en avoir publi\u00E9 une \u00E9tude approfondie) est une g\u00E9om\u00E9trie non euclidienne v\u00E9rifiant les quatre premiers postulats d\u2019Euclide, mais pour laquelle le cinqui\u00E8me postulat, qui \u00E9quivaut \u00E0 affirmer que par un point ext\u00E9rieur \u00E0 une droite passe une et une seule droite qui lui est parall\u00E8le, est remplac\u00E9 par le postulat selon lequel \u00AB par un point ext\u00E9rieur \u00E0 une droite passent plusieurs droites parall\u00E8les \u00E0 celle-ci \u00BB (il en existe alors une infinit\u00E9)."@fr . . . . . . . . . . . . "p/l060030"@en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "\u53CC\u66F2\u5E7E\u4F55\u5B66\uFF08\u305D\u3046\u304D\u3087\u304F\u304D\u304B\u304C\u304F\u3001\u82F1\u8A9E: hyperbolic geometry\uFF09\u307E\u305F\u306F\u30DC\u30E4\u30A4\u30FB\u30ED\u30D0\u30C1\u30A7\u30D5\u30B9\u30AD\u30FC\u5E7E\u4F55\u5B66 (\u82F1: Bolyai-Lobachevskian geometry) \u3068\u306F\u3001\u307E\u3063\u3059\u3050\u306A\u7A7A\u9593\uFF08\u30E6\u30FC\u30AF\u30EA\u30C3\u30C9\u7A7A\u9593\u3001\u653E\u7269\u5E7E\u4F55\u7684\u7A7A\u9593\uFF09\u3067\u306F\u306A\u304F\u3001\u8CA0\u306E\u66F2\u7387\u3092\u6301\u3064\u66F2\u304C\u3063\u305F\u7A7A\u9593\u306B\u304A\u3051\u308B\u5E7E\u4F55\u5B66\u3067\u3042\u308B\u3002\u30E6\u30FC\u30AF\u30EA\u30C3\u30C9\u5E7E\u4F55\u5B66\u306E\u691C\u8A3C\u3068\u3044\u3046\u3053\u3068\u3067\u30B5\u30C3\u30B1\u30EA\u30FC\u306A\u3069\u3082\u5E7E\u3064\u304B\u306E\u5B9A\u7406\u3092\u5C0E\u3044\u3066\u3044\u308B\u304C\u3001\u5B8C\u5168\u3067\u77DB\u76FE\u306E\u306A\u3044\u516C\u7406\u7CFB\u3092\u6301\u3061\u306A\u304C\u3089\u30E6\u30FC\u30AF\u30EA\u30C3\u30C9\u5E7E\u4F55\u5B66\u3067\u306F\u306A\u3044\u3088\u3046\u306A\u65B0\u3057\u3044\u5E7E\u4F55\u5B66\u3068\u8A8D\u8B58\u3057\u3066\u307E\u3068\u3081\u305F\u306E\u306F\u540C\u6642\u671F\u306B\u305D\u308C\u305E\u308C\u72EC\u7ACB\u306B\u767A\u8868\u3057\u305F\u30ED\u30D0\u30C1\u30A7\u30D5\u30B9\u30AD\u30FC\uFF081829\u5E74\u767A\u8868\uFF09\u3001\u30DC\u30E4\u30A4\uFF081832\u5E74\u767A\u8868\uFF09\u3001\u304A\u3088\u3073\u30AC\u30A6\u30B9\uFF08\u767A\u8868\u305B\u305A\uFF09\u3089\u306E\u529F\u7E3E\u3067\u3042\u308B\u3002 \u30E6\u30FC\u30AF\u30EA\u30C3\u30C9\u306E\u30E6\u30FC\u30AF\u30EA\u30C3\u30C9\u539F\u8AD6\u306E5\u756A\u76EE\u306E\u516C\u6E96\uFF08\u4EFB\u610F\u306E\u76F4\u7DDA\u4E0A\u306B\u306A\u3044\u4E00\u70B9\u3092\u901A\u308B\u5E73\u884C\u306A\u76F4\u7DDA\u304C\u305F\u3060\u4E00\u672C\u5B58\u5728\u3059\u308B\u3053\u3068\u3001 \u5E73\u884C\u7DDA\u516C\u6E96\uFF09\u306B\u5BFE\u3057\u3066\u3001\u305D\u308C\u3092\u5426\u5B9A\u3059\u308B\u516C\u7406\u3092\u4ED8\u3051\u52A0\u3048\u3001\u305D\u306E\u65B0\u305F\u306A\u5E73\u884C\u7DDA\u516C\u7406\u3068\u7121\u77DB\u76FE\u306A\u4F53\u7CFB\u3068\u3057\u3066\u5F97\u3089\u308C\u308B\u5E7E\u4F55\u5B66\u3067\u3042\u308B\u975E\u30E6\u30FC\u30AF\u30EA\u30C3\u30C9\u5E7E\u4F55\u5B66\u306E\u4E00\u3064\u3067\u3042\u308B\u3002\u53CC\u66F2\u5E7E\u4F55\u5B66\u306E\u5834\u5408\u306B\u306F\u3001\u300C\u3042\u308B\u76F4\u7DDA L \u3068\u305D\u306E\u76F4\u7DDA\u306E\u5916\u306B\u3042\u308B\u70B9 p \u304C\u4E0E\u3048\u3089\u308C\u305F\u3068\u304D\u3001p \u3092\u901A\u308A L \u306B\u5E73\u884C\u306A\u76F4\u7DDA\u306F\u7121\u9650\u306B\u5B58\u5728\u3059\u308B\u300D\u3068\u3044\u3046\u516C\u7406\u306B\u652F\u3048\u3089\u308C\u3066\u69CB\u6210\u3055\u308C\u308B\u3002 \u53CC\u66F2\u5E7E\u4F55\u5B66\u3067\u306F\u3001\u30E6\u30FC\u30AF\u30EA\u30C3\u30C9\u539F\u8AD6\u306E\u5E73\u884C\u7DDA\u516C\u6E96\u4EE5\u5916\u306E\u516C\u7406\u516C\u6E96\u306F\u3059\u3079\u3066\u6210\u7ACB\u3059\u308B\u3002\u3053\u308C\u306F\u5E73\u884C\u7DDA\u516C\u6E96\u304C\u72EC\u7ACB\u3057\u305F\u516C\u6E96\u3067\u3042\u308A\u3001\u307B\u304B\u306E\u516C\u6E96\u304B\u3089\u306F\u8A3C\u660E\u3067\u304D\u306A\u3044\u3068\u3044\u3046\u3053\u3068\u3067\u3042\u308B\u3002\u306A\u305C\u306A\u3089\u3070\u4ED6\u306E\u516C\u6E96\u304B\u3089\u8A3C\u660E\u3067\u304D\u308B\u3068\u3059\u308C\u3070\u305D\u306E\u4ED6\u306E\u5168\u3066\u306E\u516C\u6E96\u304C\u6210\u308A\u7ACB\u3064\u53CC\u66F2\u5E7E\u4F55\u5B66\u3067\u3082\u5E73\u884C\u7DDA\u516C\u6E96\u304C\u6210\u308A\u7ACB\u3064\u306F\u305A\u3060\u304B\u3089\u3067\u3042\u308B\u3002\u3053\u306E\u5E7E\u4F55\u5B66\u306F\u3001\u3082\u3068\u3082\u3068\u5E73\u884C\u7DDA\u516C\u6E96\u3092\u30E6\u30FC\u30AF\u30EA\u30C3\u30C9\u539F\u8AD6\u306E\u307B\u304B\u306E\u516C\u6E96\u304B\u3089\u8A3C\u660E\u3057\u3088\u3046\u3068\u3057\u3066\u4F5C\u3089\u308C\u305F\u5E7E\u4F55\u5B66\u3060\u304C\u3001\u76AE\u8089\u306A\u3053\u3068\u306B\u3053\u306E\u5E7E\u4F55\u5B66\u306B\u3088\u308A\u5E73\u884C\u7DDA\u516C\u6E96\u306F\u72EC\u7ACB\u3067\u307B\u304B\u306E\u516C\u6E96\u304B\u3089\u306F\u8A3C\u660E\u3067\u304D\u306A\u3044\u3053\u3068\u304C\u8A3C\u660E\u3055\u308C\u305F\u3002"@ja . "In de wiskunde is de hyperbolische meetkunde, of Bolyai-Lobatsjevski meetkunde, een niet-euclidische meetkunde. In de hyperbolische meetkunde vervangt men het parallellenpostulaat uit de Euclidische meetkunde. Het parallellenpostulaat is in de Euclidische meetkunde equivalent met de bewering dat, in de twee dimensionale ruimte, voor elke gegeven lijn l en een punt P, dat niet op l ligt, er precies \u00E9\u00E9n lijn door P loopt, die l niet kruist, dat wil zeggen evenwijdig aan l loopt. In de hyperbolische meetkunde zijn er ten minste twee verschillende lijnen door P die l niet snijden. In de hyperbolische meetkunde wordt dus niet meer aan het parallellenpostulaat voldaan. Binnen de Euclidische meetkunde zijn ruimten gedefinieerd, die aan de axioma's van de hyperbolische meetkunde voldoen, waarmee werd bewezen dat het parallellenpostulaat onafhankelijk is van de andere postulaten van Euclides. De hyperbolische meetkunde is rond 1830 ontdekt. Grondleggers van de hyperbolische meetkunde waren J\u00E1nos Bolyai (1802\u20131860), die wordt beschouwd als een van de grondleggers van de niet-euclidische meetkunde, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) en Nikolaj Lobatsjevski (1792-1856), ook vooral bekend vanwege zijn prestaties op het gebied van de niet-euclidische meetkunde."@nl . . . . . "In mathematics, hyperbolic geometry (also called Lobachevskian geometry or Bolyai\u2013Lobachevskian geometry) is a non-Euclidean geometry. The parallel postulate of Euclidean geometry is replaced with: For any given line R and point P not on R, in the plane containing both line R and point P there are at least two distinct lines through P that do not intersect R. (Compare the above with Playfair's axiom, the modern version of Euclid's parallel postulate.) Hyperbolic plane geometry is also the geometry of pseudospherical surfaces, surfaces with a constant negative Gaussian curvature. Saddle surfaces have negative Gaussian curvature in at least some regions, where they locally resemble the hyperbolic plane. A modern use of hyperbolic geometry is in the theory of special relativity, particularly the Minkowski model. When geometers first realised they were working with something other than the standard Euclidean geometry, they described their geometry under many different names; Felix Klein finally gave the subject the name hyperbolic geometry to include it in the now rarely used sequence elliptic geometry (spherical geometry), parabolic geometry (Euclidean geometry), and hyperbolic geometry.In the former Soviet Union, it is commonly called Lobachevskian geometry, named after one of its discoverers, the Russian geometer Nikolai Lobachevsky. This page is mainly about the 2-dimensional (planar) hyperbolic geometry and the differences and similarities between Euclidean and hyperbolic geometry. See hyperbolic space for more information on hyperbolic geometry extended to three and more dimensions."@en . . "Geometri hiperbolik"@in . . "\u0413\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0456\u044F \u041B\u043E\u0431\u0430\u0447\u0435\u0432\u0441\u044C\u043A\u043E\u0433\u043E (\u0433\u0456\u043F\u0435\u0440\u0431\u043E\u043B\u0456\u0447\u043D\u0430 \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0456\u044F) \u2014 \u043E\u0434\u043D\u0430 \u0437 \u043D\u0435\u0435\u0432\u043A\u043B\u0456\u0434\u043E\u0432\u0438\u0445 \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0456\u0439, \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043D\u0430 \u0442\u0435\u043E\u0440\u0456\u044F, \u0449\u043E \u0431\u0430\u0437\u0443\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u043D\u0430 \u0442\u0438\u0445 \u0436\u0435 \u043E\u0441\u043D\u043E\u0432\u043D\u0438\u0445 \u043C\u0456\u0440\u043A\u0443\u0432\u0430\u043D\u043D\u044F\u0445, \u0449\u043E \u0456 \u0437\u0432\u0438\u0447\u0430\u0439\u043D\u0430 \u0435\u0432\u043A\u043B\u0456\u0434\u043E\u0432\u0430 \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0456\u044F, \u0437\u0430 \u0432\u0438\u043D\u044F\u0442\u043A\u043E\u043C \u0430\u043A\u0441\u0456\u043E\u043C\u0438 \u043F\u0440\u043E \u043F\u0430\u0440\u0430\u043B\u0435\u043B\u044C\u043D\u0456\u0441\u0442\u044C, \u0449\u043E \u0437\u0430\u043C\u0456\u043D\u044E\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u043D\u0430 \u0430\u043A\u0441\u0456\u043E\u043C\u0443 \u043F\u0440\u043E \u043F\u0430\u0440\u0430\u043B\u0435\u043B\u044C\u043D\u0456 \u041B\u043E\u0431\u0430\u0447\u0435\u0432\u0441\u044C\u043A\u043E\u0433\u043E. \u0415\u0432\u043A\u043B\u0456\u0434\u043E\u0432\u0430 \u0430\u043A\u0441\u0456\u043E\u043C\u0430 \u043F\u0440\u043E \u043F\u0430\u0440\u0430\u043B\u0435\u043B\u044C\u043D\u0456 \u0442\u0432\u0435\u0440\u0434\u0438\u0442\u044C: \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0442\u043E\u0447\u043A\u0443, \u0449\u043E \u043D\u0435 \u043B\u0435\u0436\u0438\u0442\u044C \u043D\u0430 \u0434\u0430\u043D\u0456\u0439 \u043F\u0440\u044F\u043C\u0456\u0439, \u043F\u0440\u043E\u0445\u043E\u0434\u0438\u0442\u044C \u0442\u0456\u043B\u044C\u043A\u0438 \u043E\u0434\u043D\u0430 \u043F\u0440\u044F\u043C\u0430, \u0449\u043E \u043B\u0435\u0436\u0438\u0442\u044C \u0437 \u0434\u0430\u043D\u043E\u044E \u043F\u0440\u044F\u043C\u043E\u044E \u0432 \u043E\u0434\u043D\u0456\u0439 \u043F\u043B\u043E\u0449\u0438\u043D\u0456 \u0456 \u043D\u0435 \u043F\u0435\u0440\u0435\u0442\u0438\u043D\u0430\u0454 \u0457\u0457. \u0412 \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0456\u0457 \u041B\u043E\u0431\u0430\u0447\u0435\u0432\u0441\u044C\u043A\u043E\u0433\u043E \u0437\u0430\u043C\u0456\u0441\u0442\u044C \u043D\u0435\u0457 \u043F\u0440\u0438\u0439\u043C\u0430\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u043D\u0430\u0441\u0442\u0443\u043F\u043D\u0430 \u0430\u043A\u0441\u0456\u043E\u043C\u0430:"@uk . . . "\u0413\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u044F \u041B\u043E\u0431\u0430\u0447\u0435\u0432\u0441\u043A\u043E\u0433\u043E (\u0438\u043B\u0438 \u0433\u0438\u043F\u0435\u0440\u0431\u043E\u043B\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u0430\u044F \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u044F) \u2014 \u043E\u0434\u043D\u0430 \u0438\u0437 \u043D\u0435\u0435\u0432\u043A\u043B\u0438\u0434\u043E\u0432\u044B\u0445 \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0439, \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u0430\u044F \u0442\u0435\u043E\u0440\u0438\u044F, \u043E\u0441\u043D\u043E\u0432\u0430\u043D\u043D\u0430\u044F \u043D\u0430 \u0442\u0435\u0445 \u0436\u0435 \u043E\u0441\u043D\u043E\u0432\u043D\u044B\u0445 \u0430\u043A\u0441\u0438\u043E\u043C\u0430\u0445, \u0447\u0442\u043E \u0438 \u043E\u0431\u044B\u0447\u043D\u0430\u044F \u0435\u0432\u043A\u043B\u0438\u0434\u043E\u0432\u0430 \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u044F, \u0437\u0430 \u0438\u0441\u043A\u043B\u044E\u0447\u0435\u043D\u0438\u0435\u043C \u0430\u043A\u0441\u0438\u043E\u043C\u044B \u043E \u043F\u0430\u0440\u0430\u043B\u043B\u0435\u043B\u044C\u043D\u044B\u0445 \u043F\u0440\u044F\u043C\u044B\u0445, \u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u0430\u044F \u0437\u0430\u043C\u0435\u043D\u044F\u0435\u0442\u0441\u044F \u0435\u0451 \u043E\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u043D\u0438\u0435\u043C. \u0415\u0432\u043A\u043B\u0438\u0434\u043E\u0432\u0430 \u0430\u043A\u0441\u0438\u043E\u043C\u0430 \u043E \u043F\u0430\u0440\u0430\u043B\u043B\u0435\u043B\u044C\u043D\u044B\u0445 (\u0442\u043E\u0447\u043D\u0435\u0435, \u043E\u0434\u043D\u043E \u0438\u0437 \u044D\u043A\u0432\u0438\u0432\u0430\u043B\u0435\u043D\u0442\u043D\u044B\u0445 \u0435\u0439 \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0435\u043D\u0438\u0439, \u043F\u0440\u0438 \u043D\u0430\u043B\u0438\u0447\u0438\u0438 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0445 \u0430\u043A\u0441\u0438\u043E\u043C) \u043C\u043E\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044B\u0442\u044C \u0441\u0444\u043E\u0440\u043C\u0443\u043B\u0438\u0440\u043E\u0432\u0430\u043D\u0430 \u0441\u043B\u0435\u0434\u0443\u044E\u0449\u0438\u043C \u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u043E\u043C: \u041D\u0430 \u043F\u043B\u043E\u0441\u043A\u043E\u0441\u0442\u0438 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0442\u043E\u0447\u043A\u0443, \u043D\u0435 \u043B\u0435\u0436\u0430\u0449\u0443\u044E \u043D\u0430 \u0434\u0430\u043D\u043D\u043E\u0439 \u043F\u0440\u044F\u043C\u043E\u0439, \u043C\u043E\u0436\u043D\u043E \u043F\u0440\u043E\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0440\u043E\u0432\u043D\u043E \u043E\u0434\u043D\u0443 \u043F\u0440\u044F\u043C\u0443\u044E, \u043F\u0430\u0440\u0430\u043B\u043B\u0435\u043B\u044C\u043D\u0443\u044E \u0434\u0430\u043D\u043D\u043E\u0439. \u0412 \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0438 \u041B\u043E\u0431\u0430\u0447\u0435\u0432\u0441\u043A\u043E\u0433\u043E \u0432\u043C\u0435\u0441\u0442\u043E \u043D\u0435\u0451 \u043F\u0440\u0438\u043D\u0438\u043C\u0430\u0435\u0442\u0441\u044F \u0441\u043B\u0435\u0434\u0443\u044E\u0449\u0430\u044F \u0430\u043A\u0441\u0438\u043E\u043C\u0430: \u0427\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0442\u043E\u0447\u043A\u0443, \u043D\u0435 \u043B\u0435\u0436\u0430\u0449\u0443\u044E \u043D\u0430 \u0434\u0430\u043D\u043D\u043E\u0439 \u043F\u0440\u044F\u043C\u043E\u0439, \u043F\u0440\u043E\u0445\u043E\u0434\u044F\u0442 \u043F\u043E \u043A\u0440\u0430\u0439\u043D\u0435\u0439 \u043C\u0435\u0440\u0435 \u0434\u0432\u0435 \u043F\u0440\u044F\u043C\u044B\u0435, \u043B\u0435\u0436\u0430\u0449\u0438\u0435 \u0441 \u0434\u0430\u043D\u043D\u043E\u0439 \u043F\u0440\u044F\u043C\u043E\u0439 \u0432 \u043E\u0434\u043D\u043E\u0439 \u043F\u043B\u043E\u0441\u043A\u043E\u0441\u0442\u0438 \u0438 \u043D\u0435 \u043F\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u043A\u0430\u044E\u0449\u0438\u0435 \u0435\u0451. \u0410\u043A\u0441\u0438\u043E\u043C\u0430 \u041B\u043E\u0431\u0430\u0447\u0435\u0432\u0441\u043A\u043E\u0433\u043E \u044F\u0432\u043B\u044F\u0435\u0442\u0441\u044F \u0442\u043E\u0447\u043D\u044B\u043C \u043E\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u043D\u0438\u0435\u043C \u0430\u043A\u0441\u0438\u043E\u043C\u044B \u0415\u0432\u043A\u043B\u0438\u0434\u0430 (\u043F\u0440\u0438 \u0432\u044B\u043F\u043E\u043B\u043D\u0435\u043D\u0438\u0438 \u0432\u0441\u0435\u0445 \u043E\u0441\u0442\u0430\u043B\u044C\u043D\u044B\u0445 \u0430\u043A\u0441\u0438\u043E\u043C), \u0442\u0430\u043A \u043A\u0430\u043A \u0441\u043B\u0443\u0447\u0430\u0439, \u043A\u043E\u0433\u0434\u0430 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0442\u043E\u0447\u043A\u0443, \u043D\u0435 \u043B\u0435\u0436\u0430\u0449\u0443\u044E \u043D\u0430 \u0434\u0430\u043D\u043D\u043E\u0439 \u043F\u0440\u044F\u043C\u043E\u0439, \u043D\u0435 \u043F\u0440\u043E\u0445\u043E\u0434\u0438\u0442 \u043D\u0438 \u043E\u0434\u043D\u043E\u0439 \u043F\u0440\u044F\u043C\u043E\u0439, \u043B\u0435\u0436\u0430\u0449\u0435\u0439 \u0441 \u0434\u0430\u043D\u043D\u043E\u0439 \u043F\u0440\u044F\u043C\u043E\u0439 \u0432 \u043E\u0434\u043D\u043E\u0439 \u043F\u043B\u043E\u0441\u043A\u043E\u0441\u0442\u0438 \u0438 \u043D\u0435 \u043F\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u043A\u0430\u044E\u0449\u0435\u0439 \u0435\u0451, \u0438\u0441\u043A\u043B\u044E\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044F \u0432 \u0441\u0438\u043B\u0443 \u043E\u0441\u0442\u0430\u043B\u044C\u043D\u044B\u0445 \u0430\u043A\u0441\u0438\u043E\u043C (\u0430\u043A\u0441\u0438\u043E\u043C\u044B \u0430\u0431\u0441\u043E\u043B\u044E\u0442\u043D\u043E\u0439 \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0438).\u0422\u0430\u043A, \u043D\u0430\u043F\u0440\u0438\u043C\u0435\u0440, \u0441\u0444\u0435\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u0430\u044F \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u044F \u0438 \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u044F \u0420\u0438\u043C\u0430\u043D\u0430, \u0432 \u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u044B\u0445 \u043B\u044E\u0431\u044B\u0435 \u0434\u0432\u0435 \u043F\u0440\u044F\u043C\u044B\u0435 \u043F\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u043A\u0430\u044E\u0442\u0441\u044F, \u0438 \u0441\u043B\u0435\u0434\u043E\u0432\u0430\u0442\u0435\u043B\u044C\u043D\u043E, \u043D\u0435 \u0432\u044B\u043F\u043E\u043B\u043D\u0435\u043D\u0430 \u043D\u0438 \u0430\u043A\u0441\u0438\u043E\u043C\u0430 \u043E \u043F\u0430\u0440\u0430\u043B\u043B\u0435\u043B\u044C\u043D\u044B\u0445 \u0415\u0432\u043A\u043B\u0438\u0434\u0430, \u043D\u0438 \u0430\u043A\u0441\u0438\u043E\u043C\u0430 \u041B\u043E\u0431\u0430\u0447\u0435\u0432\u0441\u043A\u043E\u0433\u043E, \u043D\u0435\u0441\u043E\u0432\u043C\u0435\u0441\u0442\u0438\u043C\u044B \u0441 \u0430\u0431\u0441\u043E\u043B\u044E\u0442\u043D\u043E\u0439 \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0435\u0439. \u0413\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u044F \u041B\u043E\u0431\u0430\u0447\u0435\u0432\u0441\u043A\u043E\u0433\u043E \u0438\u043C\u0435\u0435\u0442 \u043E\u0431\u0448\u0438\u0440\u043D\u044B\u0435 \u043F\u0440\u0438\u043C\u0435\u043D\u0435\u043D\u0438\u044F \u043A\u0430\u043A \u0432 \u043C\u0430\u0442\u0435\u043C\u0430\u0442\u0438\u043A\u0435, \u0442\u0430\u043A \u0438 \u0432 \u0444\u0438\u0437\u0438\u043A\u0435.\u0418\u0441\u0442\u043E\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u043E\u0435 \u0438 \u0444\u0438\u043B\u043E\u0441\u043E\u0444\u0441\u043A\u043E\u0435 \u0435\u0451 \u0437\u043D\u0430\u0447\u0435\u043D\u0438\u0435 \u0441\u043E\u0441\u0442\u043E\u0438\u0442 \u0432 \u0442\u043E\u043C, \u0447\u0442\u043E \u0435\u0451 \u043F\u043E\u0441\u0442\u0440\u043E\u0435\u043D\u0438\u0435\u043C \u041B\u043E\u0431\u0430\u0447\u0435\u0432\u0441\u043A\u0438\u0439 \u043F\u043E\u043A\u0430\u0437\u0430\u043B \u0432\u043E\u0437\u043C\u043E\u0436\u043D\u043E\u0441\u0442\u044C \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0438, \u043E\u0442\u043B\u0438\u0447\u043D\u043E\u0439 \u043E\u0442 \u0435\u0432\u043A\u043B\u0438\u0434\u043E\u0432\u043E\u0439, \u0447\u0442\u043E \u0437\u043D\u0430\u043C\u0435\u043D\u043E\u0432\u0430\u043B\u043E \u043D\u043E\u0432\u0443\u044E \u044D\u043F\u043E\u0445\u0443 \u0432 \u0440\u0430\u0437\u0432\u0438\u0442\u0438\u0438 \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0438, \u043C\u0430\u0442\u0435\u043C\u0430\u0442\u0438\u043A\u0438 \u0438 \u043D\u0430\u0443\u043A\u0438 \u0432 \u0446\u0435\u043B\u043E\u043C."@ru . . "V matematice je hyperbolick\u00E1 geometrie (nebo tak\u00E9 Loba\u010Devsk\u00E9ho geometrie) neeukleidovskou geometri\u00ED, co\u017E znamen\u00E1, \u017Ee nespl\u0148uje p\u00E1t\u00FD Eukleid\u016Fv postul\u00E1t (o rovnob\u011B\u017Ek\u00E1ch). Ten \u0159\u00EDk\u00E1, \u017Ee v dvourozm\u011Brn\u00E9m prostoru pro p\u0159\u00EDmku l a bod P le\u017E\u00EDc\u00ED mimo ni existuje pr\u00E1v\u011B jedna p\u0159\u00EDmka, kter\u00E1 bodem P proch\u00E1z\u00ED a z\u00E1rove\u0148 neprot\u00EDn\u00E1 l; neboli je rovnob\u011B\u017En\u00E1 s l. V hyperbolick\u00E9 geometrii takov\u00E9 p\u0159\u00EDmky existuj\u00ED alespo\u0148 dv\u011B, tak\u017Ee tento postul\u00E1t zde neplat\u00ED. Hyperbolick\u00E1 geometrie se d\u00E1 zkonstruovat axiomaticky, ale je tak\u00E9 mo\u017En\u00E9 ud\u011Blat jej\u00ED model zad\u00E1n\u00EDm jist\u00E9 metriky na hladk\u00E9 variet\u011B. Existence hyperbolick\u00E9 geometrie implikuje nez\u00E1vislost postul\u00E1tu o rovnob\u011B\u017Ek\u00E1ch na ostatn\u00EDch Eukleidov\u00FDch postul\u00E1tech. Lok\u00E1ln\u011B se d\u00E1 hyperbolick\u00E1 geometrie modelovat na \u010D\u00E1sti plochy, kter\u00E1 m\u00E1 z\u00E1pornou , nap\u0159. jednod\u00EDln\u00E9ho hyperboloidu nebo . Charakteristickou vlastnost\u00ED hyperbolick\u00E9 geometrie je, \u017Ee sou\u010Det vnit\u0159n\u00EDch \u00FAhl\u016F ka\u017Ed\u00E9ho troj\u00FAheln\u00EDku v t\u00E9to geometrii je men\u0161\u00ED ne\u017E 180\u00B0. Sou\u010Det vnit\u0159n\u00EDch \u00FAhl\u016F troj\u00FAheln\u00EDka m\u016F\u017Ee b\u00FDt libovoln\u011B mal\u00FD."@cs . . . . . "Em Matem\u00E1tica, geometria hiperb\u00F3lica, tamb\u00E9m chamada de geometria lobachevskiana ou geometria de Bolyai - Lobachevsky, \u00E9 uma geometria n\u00E3o-euclidiana, o que significa que o quinto postulados de Euclides, o cl\u00E1ssico postulado das paralelas da geometria euclidiana \u00E9 substitu\u00EDdo pelo postulado de Lobachesvky: \"Por um ponto fora de uma reta dada passa mais de uma paralela a essa reta.\" O postulado das paralelas, na geometria euclidiana, \u00E9 equivalente \u00E0 afirma\u00E7\u00E3o (axioma de Playfair) de que, no espa\u00E7o bidimensional, para qualquer reta R e ponto P n\u00E3o contido em R, existe somente uma reta que passa por P e n\u00E3o intercepta R, ou seja, uma linha que \u00E9 paralela a R. Na geometria hiperb\u00F3lica, existem infinitas retas distintas que passam por P e que n\u00E3o interceptam R, de modo que o postulado cl\u00E1ssico das paralelas \u00E9 falso. A geometria do plano hiperb\u00F3lico \u00E9 a geometria das superf\u00EDcies curvas com curvatura gaussiana negativa constante (tal como a pseudoesfera). Modelos t\u00EAm sido constru\u00EDdos dentro da geometria euclidiana, mas obedecendo aos axiomas da geometria hiperb\u00F3lica, provando assim que o postulado das paralelas \u00E9 independente dos outros postulados de Euclides (assumindo que os outros postulados s\u00E3o de fato consistentes). Uma vez que a geometria euclidiana e a geometria hiperb\u00F3lica s\u00E3o consistentes e est\u00E3o em um ambiente com uma pequena curvatura seccional muito semelhante, o observador ter\u00E1 dificuldade em determinar se o seu ambiente \u00E9 euclidiano ou hiperb\u00F3lico. N\u00F3s tamb\u00E9m n\u00E3o podemos decidir se o nosso mundo \u00E9 euclidiano ou hiperb\u00F3lico. Uma utiliza\u00E7\u00E3o moderna da geometria hiperb\u00F3lica \u00E9 na , particularmente no espa\u00E7o-tempo de Minkowski e no espa\u00E7o girovetorial. Dado que n\u00E3o h\u00E1 nenhuma analogia hiperb\u00F3lica precisa para linhas paralelas euclidianas , o uso hiperb\u00F3lico dos termos 'paralelas' e 'relacionadas' varia entre os autores. Neste artigo, vale citar que duas linhas limitantes s\u00E3o chamadas assint\u00F3ticas, e linhas que compartilham de uma perpendicular comum s\u00E3o chamadas ultra-paralelas (a palavra 'paralela simples' tamb\u00E9m \u00E9 recorrente). Uma caracter\u00EDstica da geometria hiperb\u00F3lica \u00E9 que a soma dos \u00E2ngulos internos de um tri\u00E2ngulo \u00E9 menor que dois \u00E2ngulos retos, ou seja, menor que 180\u00B0 (o que garante isso \u00E9 o Teorema de Gauss-Bonet. Dessa forma, no limite, tendendo os v\u00E9rtices para o infinito , existem tri\u00E2ngulos hiperb\u00F3licos ideais em que todos os tr\u00EAs \u00E2ngulos s\u00E3o 0\u00B0. Os modelos de espa\u00E7o hiperb\u00F3lico mais conhecidos s\u00E3o o Semiplano Hiperb\u00F3lico e o Disco de Poincar\u00E9. Os modelos de representa\u00E7\u00E3o do espa\u00E7o hiperb\u00F3lico foram desenvolvidos no s\u00E9culo XIX, e s\u00E3o exemplos de geometrias (essencialmente a mesma) em que n\u00E3o vale o Axioma de Playfair (o equivalente ao 5o postulado de Euclides). Nessa \u00E9poca tais modelos foram respons\u00E1veis por uma gigantesca revolu\u00E7\u00E3o na geometria. Para estud\u00E1-los \u00E9 necess\u00E1rio conhecermos as m\u00E9tricas riemannianas que produzem as suas respectivas geometrias. No entanto, \u00E9 poss\u00EDvel provar que a seguinte aplica\u00E7\u00E3o \u00E9 uma isometria entre os modelos. Isso significa que as dist\u00E2ncias s\u00E3o preservadas quando passamos do modelo do disco para o modelo do semiplano. Ent\u00E3o tomando a inversa dessa aplica\u00E7\u00E3o, conseguimos visualizar quais curvas s\u00E3o imagem de quais curvas via isometria. Note que a curva azul, e as curvas vermelhas formam um tri\u00E2ngulo geod\u00E9sico no modelo do disco e isso n\u00E3o era percept\u00EDvel no modelo do semiplano."@pt . . . . . "\u0627\u0644\u0647\u0646\u062F\u0633\u0629 \u0627\u0644\u0632\u0627\u0626\u062F\u064A\u0629 \u0623\u0648 \u0627\u0644\u0647\u0646\u062F\u0633\u0629 \u0627\u0644\u0642\u0637\u0639\u064A\u0629 \u0627\u0644\u0632\u0627\u0626\u062F\u064A\u0629 (\u0648\u0627\u0644\u062A\u064A \u062A\u0633\u0645\u0649 \u0623\u064A\u0636\u064B\u0627 \u0647\u0646\u062F\u0633\u0629 \u0644\u0648\u0628\u0627\u062A\u0634\u064A\u0641\u0633\u0643\u064A \u0623\u0648 \u0647\u0646\u062F\u0633\u0629 \u0628\u0648\u0644\u064A\u0627\u064A - \u0644\u0648\u0628\u0627\u062A\u0634\u064A\u0641\u0633\u0643\u064A) \u0647\u064A \u0647\u0646\u062F\u0633\u0629 \u0644\u0627\u0625\u0642\u0644\u064A\u062F\u064A\u0629\u060C \u062A\u0642\u0627\u0628\u0644 \u0645\u0633\u0644\u0645\u0629 \u0627\u0644\u062A\u0648\u0627\u0632\u064A \u0641\u064A \u0627\u0644\u0647\u0646\u062F\u0633\u0629 \u0627\u0644\u0625\u0642\u0644\u064A\u062F\u064A\u0629. \u0641\u0641\u064A \u0645\u0633\u0644\u0645\u0629 \u0627\u0644\u062A\u0648\u0627\u0632\u064A \u0641\u064A \u0627\u0644\u0647\u0646\u062F\u0633\u0629 \u0627\u0644\u0625\u0642\u0644\u064A\u062F\u064A\u0629\u060C \u0641\u064A \u0623\u064A \u0645\u0633\u062A\u0648\u0649 \u062B\u0646\u0627\u0626\u064A \u0627\u0644\u0623\u0628\u0639\u0627\u062F\u060C \u0645\u0646 \u0623\u064A \u0646\u0642\u0637\u0629 \u062E\u0627\u0631\u062C \u0645\u0633\u062A\u0642\u064A\u0645 \u0645\u0627\u060C \u064A\u0645\u0631 \u0645\u0633\u062A\u0642\u064A\u0645 \u0648\u062D\u064A\u062F \u0628\u062A\u0644\u0643 \u0627\u0644\u0646\u0642\u0637\u0629 \u0648\u0644\u0627 \u064A\u0642\u0637\u0639 \u0627\u0644\u0645\u0633\u062A\u0642\u064A\u0645 \u0627\u0644\u0623\u0648\u0644 (\u0623\u064A \u064A\u0648\u0627\u0632\u064A \u0627\u0644\u0645\u0633\u062A\u0642\u064A\u0645 \u0627\u0644\u0645\u0630\u0643\u0648\u0631). \u0623\u0645\u0627 \u0641\u064A \u0627\u0644\u0647\u0646\u062F\u0633\u0629 \u0627\u0644\u0632\u0627\u0626\u062F\u064A\u0629\u060C \u0641\u0647\u0646\u0627\u0643 \u0645\u0627 \u0644\u0627 \u064A\u0642\u0644 \u0639\u0646 \u062E\u0637\u064A\u0646 \u0622\u062E\u0631\u064A\u0646 \u064A\u0645\u0631\u0627\u0646 \u0628\u062A\u0644\u0643 \u0627\u0644\u0646\u0642\u0637\u0629 \u062E\u0627\u0631\u062C \u0627\u0644\u0645\u0633\u062A\u0642\u064A\u0645 \u0648\u0644\u0627 \u062A\u0642\u0637\u0639\u0627\u0646\u0647\u060C \u0648\u0628\u0627\u0644\u062A\u0627\u0644\u064A \u0641\u0625\u0646 \u0645\u0633\u0644\u0645\u0629 \u0627\u0644\u062A\u0648\u0627\u0632\u064A \u0641\u064A \u0647\u0630\u0647 \u0627\u0644\u062D\u0627\u0644\u0629 \u064A\u0645\u0643\u0646 \u062A\u0637\u0628\u064A\u0642\u0647\u0627. \u0647\u0646\u0627\u0643 \u0646\u0645\u0627\u0630\u062C \u062A\u0645 \u0625\u0646\u0634\u0627\u0624\u0647\u0627 \u0636\u0645\u0646 \u0627\u0644\u0647\u0646\u062F\u0633\u0629 \u0627\u0644\u0625\u0642\u0644\u064A\u062F\u064A\u0629\u060C \u062A\u062A\u0641\u0642 \u0645\u0639 \u0645\u0633\u0644\u0645\u0627\u062A \u0627\u0644\u0647\u0646\u062F\u0633\u0629 \u0627\u0644\u0632\u0627\u0626\u062F\u064A\u0629\u060C \u0645\u0645\u0627 \u064A\u062B\u0628\u062A \u0623\u0646 \u0645\u0633\u0644\u0645\u0629 \u0627\u0644\u062A\u0648\u0627\u0632\u064A \u062A\u062E\u062A\u0644\u0641 \u0639\u0646 \u063A\u064A\u0631\u0647\u0627 \u0645\u0646 \u0645\u0633\u0644\u0645\u0627\u062A \u0625\u0642\u0644\u064A\u062F\u0633. \u062E\u0627\u0635\u064A\u0629 \u0645\u0645\u064A\u0632\u0629 \u0644\u0644\u0647\u0646\u062F\u0633\u0629 \u0627\u0644\u0632\u0627\u0626\u062F\u064A\u0629 \u0647\u0648 \u0623\u0646 \u0632\u0648\u0627\u064A\u0627 \u0627\u0644\u0645\u062B\u0644\u062B \u0641\u064A \u0627\u0644\u0647\u0646\u062F\u0633\u0629 \u0627\u0644\u0632\u0627\u0626\u062F\u064A\u0629 \u064A\u0645\u0643\u0646 \u0623\u0646 \u062A\u0643\u0648\u0646 \u0623\u0642\u0644 \u0645\u0646 180\u00B0."@ar . "La geometria hiperb\u00F2lica (o Lobatxevskiana ) \u00E9s un model de geometria que satisf\u00E0 nom\u00E9s els quatre primers postulats de la geometria euclidiana. Encara que \u00E9s similar en molts aspectes i molts dels teoremes de la geometria euclidiana continuen sent v\u00E0lids en geometria hiperb\u00F2lica, no se satisf\u00E0 el cinqu\u00E8 postulat d'Euclides sobre les paral\u00B7leles. Igual que la geometria euclidiana i la geometria el\u00B7l\u00EDptica, la geometria hiperb\u00F2lica \u00E9s un model de curvatura constant:"@ca . . . . . . . . . . . . . . . "Die hyperbolische Geometrie (auch Lobatschewskische Geometrie oder Lobatschewski-Geometrie genannt) ist ein Beispiel f\u00FCr eine nichteuklidische Geometrie, das man erh\u00E4lt, wenn man zu den Axiomen der absoluten Geometrie anstelle des Parallelenaxioms, das die euklidischen Geometrien kennzeichnet, das diesem widersprechende hyperbolische Axiom hinzunimmt. Dieses besagt, dass es zu einer Geraden g und einem Punkt P (der nicht auf g liegt) nicht wie in der euklidischen Geometrie nur genau eine, sondern mindestens zwei Geraden (h und i) gibt, die durch P gehen und zu g parallel sind. Dass zwei Geraden \u201Eparallel\u201C zueinander sind, bedeutet hier aber lediglich, dass sie in derselben Ebene liegen und keine gemeinsamen Punkte haben, nicht dass sie \u00FCberall den gleichen Abstand haben (h und i haben nur "@de . . . . "Hyperbolick\u00E1 geometrie"@cs . . . . . . . . . "Hyperbolisk geometri"@sv . . . . . . "\u0647\u0646\u062F\u0633\u0629 \u0632\u0627\u0626\u062F\u064A\u0629"@ar . . . . . . . . "\u53CC\u66F2\u5E7E\u4F55\u5B66"@ja . . . . . . . . . . . "\u0413\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0456\u044F \u041B\u043E\u0431\u0430\u0447\u0435\u0432\u0441\u044C\u043A\u043E\u0433\u043E (\u0433\u0456\u043F\u0435\u0440\u0431\u043E\u043B\u0456\u0447\u043D\u0430 \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0456\u044F) \u2014 \u043E\u0434\u043D\u0430 \u0437 \u043D\u0435\u0435\u0432\u043A\u043B\u0456\u0434\u043E\u0432\u0438\u0445 \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0456\u0439, \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043D\u0430 \u0442\u0435\u043E\u0440\u0456\u044F, \u0449\u043E \u0431\u0430\u0437\u0443\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u043D\u0430 \u0442\u0438\u0445 \u0436\u0435 \u043E\u0441\u043D\u043E\u0432\u043D\u0438\u0445 \u043C\u0456\u0440\u043A\u0443\u0432\u0430\u043D\u043D\u044F\u0445, \u0449\u043E \u0456 \u0437\u0432\u0438\u0447\u0430\u0439\u043D\u0430 \u0435\u0432\u043A\u043B\u0456\u0434\u043E\u0432\u0430 \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0456\u044F, \u0437\u0430 \u0432\u0438\u043D\u044F\u0442\u043A\u043E\u043C \u0430\u043A\u0441\u0456\u043E\u043C\u0438 \u043F\u0440\u043E \u043F\u0430\u0440\u0430\u043B\u0435\u043B\u044C\u043D\u0456\u0441\u0442\u044C, \u0449\u043E \u0437\u0430\u043C\u0456\u043D\u044E\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u043D\u0430 \u0430\u043A\u0441\u0456\u043E\u043C\u0443 \u043F\u0440\u043E \u043F\u0430\u0440\u0430\u043B\u0435\u043B\u044C\u043D\u0456 \u041B\u043E\u0431\u0430\u0447\u0435\u0432\u0441\u044C\u043A\u043E\u0433\u043E. \u0415\u0432\u043A\u043B\u0456\u0434\u043E\u0432\u0430 \u0430\u043A\u0441\u0456\u043E\u043C\u0430 \u043F\u0440\u043E \u043F\u0430\u0440\u0430\u043B\u0435\u043B\u044C\u043D\u0456 \u0442\u0432\u0435\u0440\u0434\u0438\u0442\u044C: \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0442\u043E\u0447\u043A\u0443, \u0449\u043E \u043D\u0435 \u043B\u0435\u0436\u0438\u0442\u044C \u043D\u0430 \u0434\u0430\u043D\u0456\u0439 \u043F\u0440\u044F\u043C\u0456\u0439, \u043F\u0440\u043E\u0445\u043E\u0434\u0438\u0442\u044C \u0442\u0456\u043B\u044C\u043A\u0438 \u043E\u0434\u043D\u0430 \u043F\u0440\u044F\u043C\u0430, \u0449\u043E \u043B\u0435\u0436\u0438\u0442\u044C \u0437 \u0434\u0430\u043D\u043E\u044E \u043F\u0440\u044F\u043C\u043E\u044E \u0432 \u043E\u0434\u043D\u0456\u0439 \u043F\u043B\u043E\u0449\u0438\u043D\u0456 \u0456 \u043D\u0435 \u043F\u0435\u0440\u0435\u0442\u0438\u043D\u0430\u0454 \u0457\u0457. \u0412 \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0456\u0457 \u041B\u043E\u0431\u0430\u0447\u0435\u0432\u0441\u044C\u043A\u043E\u0433\u043E \u0437\u0430\u043C\u0456\u0441\u0442\u044C \u043D\u0435\u0457 \u043F\u0440\u0438\u0439\u043C\u0430\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u043D\u0430\u0441\u0442\u0443\u043F\u043D\u0430 \u0430\u043A\u0441\u0456\u043E\u043C\u0430: \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0442\u043E\u0447\u043A\u0443, \u0449\u043E \u043D\u0435 \u043B\u0435\u0436\u0438\u0442\u044C \u043D\u0430 \u0434\u0430\u043D\u0456\u0439 \u043F\u0440\u044F\u043C\u0456\u0439, \u043F\u0440\u043E\u0445\u043E\u0434\u044F\u0442\u044C \u0449\u043E\u043D\u0430\u0439\u043C\u0435\u043D\u0448\u0435 \u0434\u0432\u0456 \u043F\u0440\u044F\u043C\u0456, \u0449\u043E \u043B\u0435\u0436\u0430\u0442\u044C \u0437 \u0434\u0430\u043D\u043E\u044E \u043F\u0440\u044F\u043C\u043E\u044E \u0432 \u043E\u0434\u043D\u0456\u0439 \u043F\u043B\u043E\u0449\u0438\u043D\u0456 \u0456 \u043D\u0435 \u043F\u0435\u0440\u0435\u0442\u0438\u043D\u0430\u044E\u0442\u044C \u0457\u0457. \u0413\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0456\u044F \u041B\u043E\u0431\u0430\u0447\u0435\u0432\u0441\u044C\u043A\u043E\u0433\u043E \u043C\u0430\u0454 \u0448\u0438\u0440\u043E\u043A\u0435 \u0437\u0430\u0441\u0442\u043E\u0441\u0443\u0432\u0430\u043D\u043D\u044F \u044F\u043A \u0432 \u043C\u0430\u0442\u0435\u043C\u0430\u0442\u0438\u0446\u0456, \u0442\u0430\u043A \u0456 \u0443 \u0444\u0456\u0437\u0438\u0446\u0456.\u0406\u0441\u0442\u043E\u0440\u0438\u0447\u043D\u0435 \u0457\u0457 \u0437\u043D\u0430\u0447\u0435\u043D\u043D\u044F \u043F\u043E\u043B\u044F\u0433\u0430\u0454 \u0443 \u0442\u043E\u043C\u0443, \u0449\u043E \u0457\u0457 \u043F\u043E\u0431\u0443\u0434\u043E\u0432\u043E\u044E \u041B\u043E\u0431\u0430\u0447\u0435\u0432\u0441\u044C\u043A\u0438\u0439 \u043F\u043E\u043A\u0430\u0437\u0430\u0432 \u043C\u043E\u0436\u043B\u0438\u0432\u0456\u0441\u0442\u044C \u0456\u0441\u043D\u0443\u0432\u0430\u043D\u043D\u044F \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0456\u0457, \u0432\u0456\u0434\u043C\u0456\u043D\u043D\u043E\u0457 \u0432\u0456\u0434 \u0435\u0432\u043A\u043B\u0456\u0434\u043E\u0432\u043E\u0457. \u0426\u0435 \u043E\u0437\u043D\u0430\u043C\u0435\u043D\u0443\u0432\u0430\u043B\u043E \u043D\u043E\u0432\u0443 \u0435\u043F\u043E\u0445\u0443 \u0432 \u0440\u043E\u0437\u0432\u0438\u0442\u043A\u0443 \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0456\u0457 \u0456 \u043C\u0430\u0442\u0435\u043C\u0430\u0442\u0438\u043A\u0438 \u0437\u0430\u0433\u0430\u043B\u043E\u043C."@uk . "Dalam matematika, Geometri hiperbolik atau disebut juga Geometri Lobachevskian atau Geometri Bolyai-Lobachevskian) adalah geometri non-Euklides. dari geometri Euklides diganti dengan: Untuk setiap garis R dan titik P bukan pada R , di bidang yang mengandung kedua garis R dan titik P setidaknya ada dua garis yang berbeda melalui P yang tidak berpotongan R .(bandingkan ini dengan , versi modern Euklides) Bidang hiperbolik geometri juga merupakan geometri dan , permukaan dengan konstanta negatif ."@in . . "In mathematics, hyperbolic geometry (also called Lobachevskian geometry or Bolyai\u2013Lobachevskian geometry) is a non-Euclidean geometry. The parallel postulate of Euclidean geometry is replaced with: For any given line R and point P not on R, in the plane containing both line R and point P there are at least two distinct lines through P that do not intersect R. (Compare the above with Playfair's axiom, the modern version of Euclid's parallel postulate.) A modern use of hyperbolic geometry is in the theory of special relativity, particularly the Minkowski model."@en . . . "1122974848"^^ . . . . "\uC30D\uACE1\uAE30\uD558\uD559"@ko . . "Hyperbolic Geometry"@en . . . . . . . . . "La geometr\u00EDa hiperb\u00F3lica /o lobachevskiana/ es un modelo de geometr\u00EDa que satisface solo los cuatro primeros postulados de la geometr\u00EDa euclidiana. Aunque es similar en muchos aspectos y muchos de los teoremas de la geometr\u00EDa euclidiana siguen siendo v\u00E1lidos en geometr\u00EDa hiperb\u00F3lica, no se satisface el quinto postulado de Euclides sobre las paralelas. Al igual que la geometr\u00EDa euclidiana y la geometr\u00EDa el\u00EDptica, la geometr\u00EDa hiperb\u00F3lica es un modelo de curvatura constante:"@es . . . . . . "241291"^^ . . . . . . . . . . . . . . . . "En matematiko, hiperbola geometrio (nomata anka\u016D geometrio de Loba\u0109evskij a\u016D geometrio de Bolyai\u2013Loba\u0109evskij) estas ne-E\u016Dklida geometrio. La paralela postulato de E\u016Dklida geometrio estas anstata\u016Data jene: Por \u0109iu havigita rekto R kaj punkto P ne sur R, en la ebeno enhavanta kaj la rekto R kaj la punkto P estas almena\u016D du diferencaj rektoj tra P kiuj ne intersekcias R.(komparu tion kun la aksiomo de Playfair, nome moderna versio de la paralela postulato de E\u016Dklido) Hiperbola geometrio de ebenoj, estas anka\u016D la geometrio de selaj kaj pse\u016Ddosferaj surfacoj, nome surfacoj kun konstanta negativa Gauss-a kurbeco. Moderna uzado de hiperbola geometrio estas en la teorio de speciala relativeco, partikulare de la Spaco de Minkowski kaj de girovektora spaco. Kiam geometriistoj por la unua fojo konstatis, ke ili estas laboranta pri io disde la normiga E\u016Dklida geometrio, ili priskribis sian geometrion la\u016D tre diferencaj nomoj; Felix Klein finfine havigis al la fako la nomon hiperbola geometrio por inkludi \u011Din en la nune rare uzata sekvenco elipsa geometrio (sfera geometrio), parabola geometrio (E\u016Dklida geometrio), kaj hiperbola geometrio.En iama Sovetunio, \u011Di estas ofte nomata geometrio de Loba\u0109evskij, nome la\u016D unu el ties malkovrintoj, nome la rusa geometro Nikolaj Ivanovi\u0109 Loba\u0109evskij. Hiperbola geometrio povas esti komprenita al 3-a kaj pliaj dimensioj; vidu koncepton hiperbola spaco por pli ol tri kaj pli altaj dimensiaj okazoj."@eo . . . . . . . . . . . . . . . "Hiperbola geometrio"@eo . . . . . . . . "V matematice je hyperbolick\u00E1 geometrie (nebo tak\u00E9 Loba\u010Devsk\u00E9ho geometrie) neeukleidovskou geometri\u00ED, co\u017E znamen\u00E1, \u017Ee nespl\u0148uje p\u00E1t\u00FD Eukleid\u016Fv postul\u00E1t (o rovnob\u011B\u017Ek\u00E1ch). Ten \u0159\u00EDk\u00E1, \u017Ee v dvourozm\u011Brn\u00E9m prostoru pro p\u0159\u00EDmku l a bod P le\u017E\u00EDc\u00ED mimo ni existuje pr\u00E1v\u011B jedna p\u0159\u00EDmka, kter\u00E1 bodem P proch\u00E1z\u00ED a z\u00E1rove\u0148 neprot\u00EDn\u00E1 l; neboli je rovnob\u011B\u017En\u00E1 s l. V hyperbolick\u00E9 geometrii takov\u00E9 p\u0159\u00EDmky existuj\u00ED alespo\u0148 dv\u011B, tak\u017Ee tento postul\u00E1t zde neplat\u00ED."@cs . . . "Dalam matematika, Geometri hiperbolik atau disebut juga Geometri Lobachevskian atau Geometri Bolyai-Lobachevskian) adalah geometri non-Euklides. dari geometri Euklides diganti dengan: Untuk setiap garis R dan titik P bukan pada R , di bidang yang mengandung kedua garis R dan titik P setidaknya ada dua garis yang berbeda melalui P yang tidak berpotongan R .(bandingkan ini dengan , versi modern Euklides) Bidang hiperbolik geometri juga merupakan geometri dan , permukaan dengan konstanta negatif . Penggunaan modern dari geometri hiperbolik ada dalam teori relativitas khusus, khususnya dan . Ketika geometer pertama kali menyadari bahwa mereka bekerja dengan sesuatu selain geometri Euclid standar, mereka mendeskripsikan geometri mereka dengan banyak nama berbeda.; Felix Klein akhirnya memberi subjek itu nama 'geometri hiperbolik' untuk memasukkannya ke dalam urutan (geometri bola), geometri parabola (Euklides).Di bekas Uni Soviet, geometri ini biasa disebut geometri Lobachevskian, dinamai menurut salah satu penemunya, ahli ilmu ukur Rusia Nikolai Lobachevsky. Halaman ini terutama membahas tentang geometri hiperbolik 2-dimensi (planar) dan perbedaan serta persamaan antara geometri Euclidean dan hiperbolik. Geometri hiperbolik dapat diperluas menjadi tiga dimensi atau lebih; lihat untuk lebih lanjut tentang kasus tiga dimensi dan lebih tinggi."@in . . . . "Gauss\u2013Bolyai\u2013Lobachevsky Space"@en . . . . . . "Hyperbolisk geometri \u00E4r en typ av icke-euklidisk geometri. Termen hyperbolisk geometri introducerades av Felix Klein \u00E5r 1871. Tv\u00E5 hyperboliska linjer definieras som parallella om dessa \u00E4r disjunkta, vilket betyder att dessa inte har n\u00E5gra gemensamma punkter."@sv . . . . . . . . . . . . . . "En math\u00E9matiques, la g\u00E9om\u00E9trie hyperbolique (nomm\u00E9e auparavant g\u00E9om\u00E9trie de Lobatchevski, lequel est le premier \u00E0 en avoir publi\u00E9 une \u00E9tude approfondie) est une g\u00E9om\u00E9trie non euclidienne v\u00E9rifiant les quatre premiers postulats d\u2019Euclide, mais pour laquelle le cinqui\u00E8me postulat, qui \u00E9quivaut \u00E0 affirmer que par un point ext\u00E9rieur \u00E0 une droite passe une et une seule droite qui lui est parall\u00E8le, est remplac\u00E9 par le postulat selon lequel \u00AB par un point ext\u00E9rieur \u00E0 une droite passent plusieurs droites parall\u00E8les \u00E0 celle-ci \u00BB (il en existe alors une infinit\u00E9). En g\u00E9om\u00E9trie hyperbolique, la plupart des propri\u00E9t\u00E9s m\u00E9triques de la g\u00E9om\u00E9trie euclidienne ne sont plus valables ; en particulier le th\u00E9or\u00E8me de Pythagore n'est plus v\u00E9rifi\u00E9, et la somme des angles d'un triangle est toujours inf\u00E9rieure \u00E0 180\u00B0. Les droites restent cependant les lignes de plus court chemin joignant deux points, ce qui a permis \u00E0 Beltrami, dans le cas du plan hyperbolique, de les mod\u00E9liser comme des g\u00E9od\u00E9siques sur une surface de courbure constante n\u00E9gative, comme les droites de la g\u00E9om\u00E9trie elliptique sont mod\u00E9lis\u00E9es par des grands cercles sur une sph\u00E8re. \u00C0 la suite de Beltrami, Klein et Poincar\u00E9 ont construit plusieurs autres mod\u00E8les de g\u00E9om\u00E9trie hyperbolique, comme le mod\u00E8le de l'hyperbolo\u00EFde ou celui du disque de Poincar\u00E9. Ces mod\u00E8les montrent l'ind\u00E9pendance de l'axiome des parall\u00E8les, c'est-\u00E0-dire l'impossibilit\u00E9 de le d\u00E9montrer (ou de le r\u00E9futer) \u00E0 partir des autres axiomes ; cela revient \u00E9galement \u00E0 dire que si la g\u00E9om\u00E9trie euclidienne ne contient pas de contradiction, il en est de m\u00EAme de la g\u00E9om\u00E9trie hyperbolique. La d\u00E9termination de la \u00AB vraie \u00BB g\u00E9om\u00E9trie de notre espace physique s'est pos\u00E9e d\u00E8s la d\u00E9couverte des g\u00E9om\u00E9tries non euclidiennes ; au d\u00E9but du XXIe si\u00E8cle, les tests exp\u00E9rimentaux ne permettent toujours pas de d\u00E9cider ce qu'il en est, ce qui constitue le probl\u00E8me de la platitude, l'une des questions non r\u00E9solues de la cosmologie."@fr . "Geometria hiperboliczna (zwana tak\u017Ce geometri\u0105 siod\u0142a, geometri\u0105 \u0141obaczewskiego lub geometri\u0105 Bolyaia-\u0141obaczewskiego) \u2013 jedna z geometrii nieeuklidesowych."@pl . . . "Geometria hiperboliczna (zwana tak\u017Ce geometri\u0105 siod\u0142a, geometri\u0105 \u0141obaczewskiego lub geometri\u0105 Bolyaia-\u0141obaczewskiego) \u2013 jedna z geometrii nieeuklidesowych."@pl . . . . "Die hyperbolische Geometrie (auch Lobatschewskische Geometrie oder Lobatschewski-Geometrie genannt) ist ein Beispiel f\u00FCr eine nichteuklidische Geometrie, das man erh\u00E4lt, wenn man zu den Axiomen der absoluten Geometrie anstelle des Parallelenaxioms, das die euklidischen Geometrien kennzeichnet, das diesem widersprechende hyperbolische Axiom hinzunimmt. Dieses besagt, dass es zu einer Geraden g und einem Punkt P (der nicht auf g liegt) nicht wie in der euklidischen Geometrie nur genau eine, sondern mindestens zwei Geraden (h und i) gibt, die durch P gehen und zu g parallel sind. Dass zwei Geraden \u201Eparallel\u201C zueinander sind, bedeutet hier aber lediglich, dass sie in derselben Ebene liegen und keine gemeinsamen Punkte haben, nicht dass sie \u00FCberall den gleichen Abstand haben (h und i haben nur einen gemeinsamen Punkt P). Es l\u00E4sst sich zeigen, dass es dann zu einer beliebigen Geraden g durch jeden Punkt au\u00DFerhalb von g unendlich viele Nichtschneidende (\u201EParallelen\u201C) gibt, die in der durch den Punkt und die Gerade bestimmten Ebene liegen. Zwei davon sind in einer Grenzlage und hei\u00DFen grenzparallel (auch: horoparallel) zur Geraden, w\u00E4hrend die restlichen Geraden \u00FCberparallel (auch: hyperparallel) genannt werden."@de . "La geometria iperbolica, anche chiamata geometria di Bolyai-Lobachevskij, \u00E8 una geometria non euclidea ottenuta rimpiazzando il postulato delle parallele con il cosiddetto postulato iperbolico. \u00C8 stata inizialmente studiata da Saccheri nel secolo XVIII, che tuttavia l'ha creduta inconsistente, e pi\u00F9 tardi da Bolyai, Gauss e Loba\u010Devskij, con il nome di geometria astrale. A 150 anni dalla sua nascita, la geometria iperbolica \u00E8 ancora un argomento centrale della matematica, ravvivato alla fine degli anni settanta dalle scoperte di William Thurston."@it . . "La geometria hiperb\u00F2lica (o Lobatxevskiana ) \u00E9s un model de geometria que satisf\u00E0 nom\u00E9s els quatre primers postulats de la geometria euclidiana. Encara que \u00E9s similar en molts aspectes i molts dels teoremes de la geometria euclidiana continuen sent v\u00E0lids en geometria hiperb\u00F2lica, no se satisf\u00E0 el cinqu\u00E8 postulat d'Euclides sobre les paral\u00B7leles. Igual que la geometria euclidiana i la geometria el\u00B7l\u00EDptica, la geometria hiperb\u00F2lica \u00E9s un model de curvatura constant: \n* La geometria euclidiana satisf\u00E0 els cinc postulats d'Euclides i t\u00E9 curvatura zero. \n* La geometria hiperb\u00F2lica satisf\u00E0 nom\u00E9s els quatre primers postulats d'Euclides i t\u00E9 curvatura negativa. \n* La geometria el\u00B7l\u00EDptica satisf\u00E0 nom\u00E9s els quatre primers postulats d'Euclides i t\u00E9 curvatura positiva."@ca . "Geometria hiperb\u00F2lica"@ca . . . . . . . "\u53CC\u66F2\u51E0\u4F55\u53C8\u540D\u7F57\u6C0F\u51E0\u4F55\uFF08\u7F57\u5DF4\u5207\u592B\u65AF\u57FA\u51E0\u4F55\uFF09\uFF0C\u662F\u975E\u6B27\u51E0\u91CC\u5FB7\u51E0\u4F55\u7684\u4E00\u79CD\u7279\u4F8B\u3002\u8207\u6B27\u51E0\u91CC\u5FB7\u51E0\u4F55\u7684\u5DEE\u5225\u5728\u65BC\u7B2C\u4E94\u689D\u516C\u7406\uFF08\u516C\u8A2D\uFF09\uFF0D\u5E73\u884C\u516C\u8A2D\u3002\u5728\u6B27\u51E0\u91CC\u5FB7\u51E0\u4F55\u4E2D\uFF0C\u82E5\u5E73\u9762\u4E0A\u6709\u4E00\u689D\u76F4\u7DDAR\u548C\u7DDA\u5916\u7684\u4E00\u9EDEP\uFF0C\u5247\u5B58\u5728\u552F\u4E00\u7684\u4E00\u689D\u7DDA\u6EFF\u8DB3\u901A\u904EP\u9EDE\u4E14\u4E0D\u8207R\u76F8\u4EA4\uFF08\u5373R\u7684\u5E73\u884C\u7DDA\uFF09\u3002\u4F46\u5728\u96D9\u66F2\u5E7E\u4F55\u4E2D\uFF0C\u81F3\u5C11\u53EF\u4EE5\u627E\u5230\u5169\u689D\u76F8\u7570\u7684\u76F4\u7DDA\uFF0C\u4E14\u90FD\u901A\u904EP\u9EDE\uFF0C\u4E26\u4E0D\u8207R\u76F8\u4EA4\uFF0C\u56E0\u6B64\u5B83\u9055\u53CD\u4E86\u5E73\u884C\u516C\u8A2D\u3002\u7136\u800C\uFF0C\u53D6\u4EE3\u6B27\u51E0\u91CC\u5FB7\u51E0\u4F55\u4E2D\u7684\u5E73\u884C\u516C\u8A2D\u7684\u96D9\u66F2\u5E7E\u4F55\u672C\u8EAB\u4E26\u7121\u77DB\u76FE\u4E4B\u8655\uFF0C\u4ECD\u53EF\u4EE5\u63A8\u5F97\u4E00\u7CFB\u5217\u5C6C\u65BC\u5B83\u7684\u5B9A\u7406\uFF0C\u9019\u4E5F\u8AAA\u660E\u4E86\u5E73\u884C\u516C\u8A2D\u7368\u7ACB\u65BC\u524D\u56DB\u689D\u516C\u8A2D\uFF0C\u63DB\u53E5\u8A71\u8AAA\uFF0C\u7121\u6CD5\u7531\u524D\u56DB\u689D\u516C\u8A2D\u63A8\u5F97\u5E73\u884C\u516C\u8A2D\u3002 \u5230\u76EE\u524D\u70BA\u6B62\uFF0C\u6578\u5B78\u5BB6\u5C0D\u96D9\u66F2\u5E7E\u4F55\u4E2D\u5E73\u884C\u7DDA\u7684\u5B9A\u7FA9\u5C1A\u672A\u6709\u5171\u8B58\uFF0C\u4E0D\u540C\u7684\u4F5C\u8005\u6703\u7D66\u4E88\u4E0D\u540C\u7684\u5B9A\u7FA9\u3002\u8FD9\u91CC\u5B9A\u7FA9\u5169\u689D\u9010\u6F38\u9760\u8FD1\u7684\u7DDA\u70BA\u6F38\u8FD1\u7DDA\uFF0C\u5B83\u5011\u4E92\u76F8\u6F38\u9032\uFF1B\u5169\u689D\u6709\u5171\u540C\u5782\u76F4\u7DDA\u7684\u7DDA\u70BA\u8D85\u5E73\u884C\u7DDA\uFF0C\u5B83\u5011\u4E92\u76F8\u8D85\u5E73\u884C\uFF0C\u4E26\u4E14\u5169\u689D\u7DDA\u70BA\u5E73\u884C\u7DDA\u4EE3\u8868\u5B83\u5011\u4E92\u76F8\u6F38\u9032\u6216\u4E92\u76F8\u8D85\u5E73\u884C\u3002\u96D9\u66F2\u5E7E\u4F55\u9084\u6709\u4E00\u9805\u6027\u8CEA\uFF0C\u5C31\u662F\u4E09\u89D2\u5F62\u7684\u5167\u89D2\u548C\u5C0F\u65BC\u4E00\u500B\u5E73\u89D2\uFF08180\u00B0\uFF09\u3002\u5728\u6975\u7AEF\u7684\u60C5\u6CC1\uFF0C\u4E09\u89D2\u5F62\u7684\u4E09\u908A\u9577\u8DA8\u8FD1\u65BC\u7121\u9650\uFF0C\u800C\u4E09\u5167\u89D2\u8DA8\u8FD1\u65BC0\u00B0\uFF0C\u6B64\u6642\u8A72\u4E09\u89D2\u5F62\u7A31\u4F5C\u3002 \u53CC\u66F2\u51E0\u4F55\u4E13\u95E8\u7814\u7A76\u5F53\u5E73\u9762\u53D8\u6210\u978D\u9A6C\u578B\u4E4B\u540E\uFF0C\u5E73\u9762\u51E0\u4F55\u5230\u5E95\u8FD8\u6709\u54EA\u4E9B\u53EF\u4EE5\u9002\u7528\uFF0C\u4EE5\u53CA\u4F1A\u6709\u751A\u9EBC\u7279\u5225\u7684\u73B0\u8C61\u7522\u751F\u3002\u5728\u53CC\u66F2\u51E0\u4F55\u7684\u73AF\u5883\u88E1\uFF0C\u5E73\u9762\u7684\u66F2\u7387\u662F\u8CA0\u6570\u3002"@zh . . . "In de wiskunde is de hyperbolische meetkunde, of Bolyai-Lobatsjevski meetkunde, een niet-euclidische meetkunde. In de hyperbolische meetkunde vervangt men het parallellenpostulaat uit de Euclidische meetkunde. Het parallellenpostulaat is in de Euclidische meetkunde equivalent met de bewering dat, in de twee dimensionale ruimte, voor elke gegeven lijn l en een punt P, dat niet op l ligt, er precies \u00E9\u00E9n lijn door P loopt, die l niet kruist, dat wil zeggen evenwijdig aan l loopt. In de hyperbolische meetkunde zijn er ten minste twee verschillende lijnen door P die l niet snijden. In de hyperbolische meetkunde wordt dus niet meer aan het parallellenpostulaat voldaan. Binnen de Euclidische meetkunde zijn ruimten gedefinieerd, die aan de axioma's van de hyperbolische meetkunde voldoen, waarmee w"@nl . . . . . . . . "\u53CC\u66F2\u5E7E\u4F55\u5B66\uFF08\u305D\u3046\u304D\u3087\u304F\u304D\u304B\u304C\u304F\u3001\u82F1\u8A9E: hyperbolic geometry\uFF09\u307E\u305F\u306F\u30DC\u30E4\u30A4\u30FB\u30ED\u30D0\u30C1\u30A7\u30D5\u30B9\u30AD\u30FC\u5E7E\u4F55\u5B66 (\u82F1: Bolyai-Lobachevskian geometry) \u3068\u306F\u3001\u307E\u3063\u3059\u3050\u306A\u7A7A\u9593\uFF08\u30E6\u30FC\u30AF\u30EA\u30C3\u30C9\u7A7A\u9593\u3001\u653E\u7269\u5E7E\u4F55\u7684\u7A7A\u9593\uFF09\u3067\u306F\u306A\u304F\u3001\u8CA0\u306E\u66F2\u7387\u3092\u6301\u3064\u66F2\u304C\u3063\u305F\u7A7A\u9593\u306B\u304A\u3051\u308B\u5E7E\u4F55\u5B66\u3067\u3042\u308B\u3002\u30E6\u30FC\u30AF\u30EA\u30C3\u30C9\u5E7E\u4F55\u5B66\u306E\u691C\u8A3C\u3068\u3044\u3046\u3053\u3068\u3067\u30B5\u30C3\u30B1\u30EA\u30FC\u306A\u3069\u3082\u5E7E\u3064\u304B\u306E\u5B9A\u7406\u3092\u5C0E\u3044\u3066\u3044\u308B\u304C\u3001\u5B8C\u5168\u3067\u77DB\u76FE\u306E\u306A\u3044\u516C\u7406\u7CFB\u3092\u6301\u3061\u306A\u304C\u3089\u30E6\u30FC\u30AF\u30EA\u30C3\u30C9\u5E7E\u4F55\u5B66\u3067\u306F\u306A\u3044\u3088\u3046\u306A\u65B0\u3057\u3044\u5E7E\u4F55\u5B66\u3068\u8A8D\u8B58\u3057\u3066\u307E\u3068\u3081\u305F\u306E\u306F\u540C\u6642\u671F\u306B\u305D\u308C\u305E\u308C\u72EC\u7ACB\u306B\u767A\u8868\u3057\u305F\u30ED\u30D0\u30C1\u30A7\u30D5\u30B9\u30AD\u30FC\uFF081829\u5E74\u767A\u8868\uFF09\u3001\u30DC\u30E4\u30A4\uFF081832\u5E74\u767A\u8868\uFF09\u3001\u304A\u3088\u3073\u30AC\u30A6\u30B9\uFF08\u767A\u8868\u305B\u305A\uFF09\u3089\u306E\u529F\u7E3E\u3067\u3042\u308B\u3002 \u30E6\u30FC\u30AF\u30EA\u30C3\u30C9\u306E\u30E6\u30FC\u30AF\u30EA\u30C3\u30C9\u539F\u8AD6\u306E5\u756A\u76EE\u306E\u516C\u6E96\uFF08\u4EFB\u610F\u306E\u76F4\u7DDA\u4E0A\u306B\u306A\u3044\u4E00\u70B9\u3092\u901A\u308B\u5E73\u884C\u306A\u76F4\u7DDA\u304C\u305F\u3060\u4E00\u672C\u5B58\u5728\u3059\u308B\u3053\u3068\u3001 \u5E73\u884C\u7DDA\u516C\u6E96\uFF09\u306B\u5BFE\u3057\u3066\u3001\u305D\u308C\u3092\u5426\u5B9A\u3059\u308B\u516C\u7406\u3092\u4ED8\u3051\u52A0\u3048\u3001\u305D\u306E\u65B0\u305F\u306A\u5E73\u884C\u7DDA\u516C\u7406\u3068\u7121\u77DB\u76FE\u306A\u4F53\u7CFB\u3068\u3057\u3066\u5F97\u3089\u308C\u308B\u5E7E\u4F55\u5B66\u3067\u3042\u308B\u975E\u30E6\u30FC\u30AF\u30EA\u30C3\u30C9\u5E7E\u4F55\u5B66\u306E\u4E00\u3064\u3067\u3042\u308B\u3002\u53CC\u66F2\u5E7E\u4F55\u5B66\u306E\u5834\u5408\u306B\u306F\u3001\u300C\u3042\u308B\u76F4\u7DDA L \u3068\u305D\u306E\u76F4\u7DDA\u306E\u5916\u306B\u3042\u308B\u70B9 p \u304C\u4E0E\u3048\u3089\u308C\u305F\u3068\u304D\u3001p \u3092\u901A\u308A L \u306B\u5E73\u884C\u306A\u76F4\u7DDA\u306F\u7121\u9650\u306B\u5B58\u5728\u3059\u308B\u300D\u3068\u3044\u3046\u516C\u7406\u306B\u652F\u3048\u3089\u308C\u3066\u69CB\u6210\u3055\u308C\u308B\u3002"@ja . . . . . . . . . "Geometria hiperb\u00F3lica"@pt . . . "Hyperbolisk geometri \u00E4r en typ av icke-euklidisk geometri. Termen hyperbolisk geometri introducerades av Felix Klein \u00E5r 1871. Tv\u00E5 hyperboliska linjer definieras som parallella om dessa \u00E4r disjunkta, vilket betyder att dessa inte har n\u00E5gra gemensamma punkter."@sv . . . . . . . . "Lobachevskii geometry"@en . . . . "Geometr\u00EDa hiperb\u00F3lica"@es . . . . . . . . . . "La geometria iperbolica, anche chiamata geometria di Bolyai-Lobachevskij, \u00E8 una geometria non euclidea ottenuta rimpiazzando il postulato delle parallele con il cosiddetto postulato iperbolico. \u00C8 stata inizialmente studiata da Saccheri nel secolo XVIII, che tuttavia l'ha creduta inconsistente, e pi\u00F9 tardi da Bolyai, Gauss e Loba\u010Devskij, con il nome di geometria astrale. A 150 anni dalla sua nascita, la geometria iperbolica \u00E8 ancora un argomento centrale della matematica, ravvivato alla fine degli anni settanta dalle scoperte di William Thurston."@it . . . . . "Geometria hiperboliczna"@pl . . . . "Hyperbolic geometry"@en . . . . . . "Geometria iperbolica"@it . . . . . . "En matematiko, hiperbola geometrio (nomata anka\u016D geometrio de Loba\u0109evskij a\u016D geometrio de Bolyai\u2013Loba\u0109evskij) estas ne-E\u016Dklida geometrio. La paralela postulato de E\u016Dklida geometrio estas anstata\u016Data jene: Por \u0109iu havigita rekto R kaj punkto P ne sur R, en la ebeno enhavanta kaj la rekto R kaj la punkto P estas almena\u016D du diferencaj rektoj tra P kiuj ne intersekcias R.(komparu tion kun la aksiomo de Playfair, nome moderna versio de la paralela postulato de E\u016Dklido)"@eo . . . "\u03A3\u03C4\u03B1 \u03BC\u03B1\u03B8\u03B7\u03BC\u03B1\u03C4\u03B9\u03BA\u03AC, \u03B7 \u03C5\u03C0\u03B5\u03C1\u03B2\u03BF\u03BB\u03B9\u03BA\u03AE \u03B3\u03B5\u03C9\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AF\u03B1 (\u03B5\u03C0\u03AF\u03C3\u03B7\u03C2 \u03BF\u03BD\u03BF\u03BC\u03AC\u03B6\u03B5\u03C4\u03B1\u03B9 \u03B3\u03B5\u03C9\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AF\u03B1 \u03C4\u03BF\u03C5 \u039B\u03BF\u03BC\u03C0\u03B1\u03C4\u03C3\u03AD\u03C6\u03C3\u03BA\u03B9 (\u041B\u043E\u0431\u0430\u0447\u0435\u0301\u0432\u0441\u043A\u0438\u0439)) \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03BC\u03B9\u03B1 \u03BC\u03B7 \u03B5\u03C5\u03BA\u03BB\u03B5\u03AF\u03B4\u03B5\u03B9\u03B1 \u03B3\u03B5\u03C9\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AF\u03B1, \u03B4\u03B7\u03BB\u03B1\u03B4\u03AE \u03BC\u03B9\u03B1 \u03B3\u03B5\u03C9\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AF\u03B1 \u03C3\u03C4\u03B7\u03BD \u03BF\u03C0\u03BF\u03AF\u03B1 \u03BF\u03C1\u03B9\u03C3\u03BC\u03AD\u03BD\u03B1 \u03B1\u03C0\u03CC \u03C4\u03B1 \u03B1\u03BE\u03B9\u03CE\u03BC\u03B1\u03C4\u03B1 \u03C4\u03B7\u03C2 \u03B5\u03C5\u03BA\u03BB\u03B5\u03AF\u03B4\u03B5\u03B9\u03B1\u03C2 \u03B3\u03B5\u03C9\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AF\u03B1\u03C2 \u03B4\u03B5\u03BD \u03B9\u03C3\u03C7\u03CD\u03BF\u03C5\u03BD. \u03A3\u03C5\u03B3\u03BA\u03B5\u03BA\u03C1\u03B9\u03BC\u03AD\u03BD\u03B1, \u03C3\u03C4\u03B7\u03BD \u03C5\u03C0\u03B5\u03C1\u03B2\u03BF\u03BB\u03B9\u03BA\u03AE \u03B3\u03B5\u03C9\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AF\u03B1 \u03B4\u03B5\u03BD \u03B9\u03C3\u03C7\u03CD\u03B5\u03B9 \u03C4\u03BF \u03B1\u03BE\u03AF\u03C9\u03BC\u03B1 \u03C4\u03C9\u03BD \u03C0\u03B1\u03C1\u03B1\u03BB\u03BB\u03AE\u03BB\u03C9\u03BD. \u03A4\u03BF \u03B1\u03BE\u03AF\u03C9\u03BC\u03B1 \u03C4\u03C9\u03BD \u03C0\u03B1\u03C1\u03B1\u03BB\u03BB\u03AE\u03BB\u03C9\u03BD \u03C4\u03B7\u03C2 \u03B4\u03B9\u03C3\u03B4\u03B9\u03AC\u03C3\u03C4\u03B1\u03C4\u03B7\u03C2 \u03B5\u03C5\u03BA\u03BB\u03B5\u03AF\u03B4\u03B5\u03B9\u03B1\u03C2 \u03B3\u03B5\u03C9\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AF\u03B1\u03C2 \u03B1\u03BD\u03C4\u03B9\u03C3\u03C4\u03BF\u03B9\u03C7\u03B5\u03AF \u03C3\u03C4\u03B7\u03BD \u03C0\u03C1\u03CC\u03C4\u03B1\u03C3\u03B7 \u03CC\u03C4\u03B9, \u03B3\u03B9\u03B1 \u03BF\u03C0\u03BF\u03B9\u03B1\u03B4\u03AE\u03C0\u03BF\u03C4\u03B5 (\u03B5\u03C5\u03B8\u03B5\u03AF\u03B1) \u03B3\u03C1\u03B1\u03BC\u03BC\u03AE I \u03BA\u03B1\u03B9 \u03AD\u03BD\u03B1 \u03C3\u03B7\u03BC\u03B5\u03AF\u03BF P \u03C0\u03BF\u03C5 \u03B4\u03B5\u03BD \u03B1\u03BD\u03AE\u03BA\u03B5\u03B9 \u03C3\u03C4\u03B7\u03BD I \u03C5\u03C0\u03AC\u03C1\u03C7\u03B5\u03B9 \u03B1\u03BA\u03C1\u03B9\u03B2\u03CE\u03C2 \u03BC\u03AF\u03B1 \u03BA\u03B1\u03B9 \u03BC\u03CC\u03BD\u03BF (\u03B5\u03C5\u03B8\u03B5\u03AF\u03B1) \u03B3\u03C1\u03B1\u03BC\u03BC\u03AE \u03C0\u03BF\u03C5 \u03B4\u03B9\u03AD\u03C1\u03C7\u03B5\u03C4\u03B1\u03B9 \u03B1\u03C0\u03CC \u03C4\u03BF P \u03BA\u03B1\u03B9 \u03B4\u03B5\u03BD \u03C4\u03AD\u03BC\u03BD\u03B5\u03B9 \u03C4\u03B7\u03BD I, \u03B4\u03B7\u03BB\u03B1\u03B4\u03AE \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03C0\u03B1\u03C1\u03AC\u03BB\u03BB\u03B7\u03BB\u03B7 \u03C3\u03C4\u03B7\u03BD I. \u03A3\u03C4\u03B7\u03BD \u03C5\u03C0\u03B5\u03C1\u03B2\u03BF\u03BB\u03B9\u03BA\u03AE \u03B3\u03B5\u03C9\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AF\u03B1 \u03C5\u03C0\u03AC\u03C1\u03C7\u03BF\u03C5\u03BD \u03C4\u03BF\u03C5\u03BB\u03AC\u03C7\u03B9\u03C3\u03C4\u03BF\u03BD \u03B4\u03CD\u03BF \u03BE\u03B5\u03C7\u03C9\u03C1\u03B9\u03C3\u03C4\u03AD\u03C2 \u03B3\u03C1\u03B1\u03BC\u03BC\u03AD\u03C2 \u03C0\u03BF\u03C5 \u03B4\u03B9\u03AD\u03C1\u03C7\u03BF\u03BD\u03C4\u03B1\u03B9 \u03B1\u03C0\u03CC \u03C4\u03BF P \u03BA\u03B1\u03B9 \u03BF\u03B9 \u03BF\u03C0\u03BF\u03AF\u03B5\u03C2 \u03B4\u03B5\u03BD \u03C4\u03AD\u03BC\u03BD\u03BF\u03C5\u03BD \u03C4\u03B7\u03BD I, \u03BA\u03B1\u03B9 \u03C4\u03BF \u03B1\u03BE\u03AF\u03C9\u03BC\u03B1 \u03C4\u03C9\u03BD \u03C0\u03B1\u03C1\u03B1\u03BB\u03BB\u03AE\u03BB\u03C9\u03BD \u03B5\u03C5\u03B8\u03B5\u03B9\u03CE\u03BD \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03B3\u03B9\u03B1 \u03C4\u03B7\u03BD \u03C5\u03C0\u03B5\u03C1\u03B2\u03BF\u03BB\u03B9\u03BA\u03AE \u03B3\u03B5\u03C9\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AF\u03B1 \u03B5\u03C3"@el . "Gauss-Bolyai-LobachevskySpace"@en . . . . "\uC30D\uACE1\uAE30\uD558\uD559\uC774\uB780 \uD3C9\uD589\uC120 \uACF5\uC900\uC744 \uB300\uCCB4\uD558\uC5EC \uC5BB\uB294 \uAE30\uD558\uD559\uC774\uB2E4. \uD3C9\uD589\uC120 \uACF5\uC900\uC744 \uBAA8\uB4E0 \uC9C1\uC120 R\uACFC \uC9C1\uC120 R \uBC16 \uD55C \uC810 P\uC5D0 \uB300\uD574, P\uB97C \uC9C0\uB098\uBA74\uC11C R\uACFC \uAD50\uCC28\uD558\uC9C0 \uC54A\uB294 \uC9C1\uC120(\uD3C9\uD589\uC120)\uC740 \uC801\uC5B4\uB3C4 2\uAC1C \uC874\uC7AC\uD55C\uB2E4\uB85C \uBC14\uAFBC \uAC83\uC774\uB2E4. \uD3C9\uD589\uC120 \uACF5\uC900\uACFC \uB3D9\uCE58\uC778 \uAC00 \uC8FC\uC5B4\uC9C4 \uC9C1\uC120 \uBC16 \uD55C \uC810\uC744 \uC9C0\uB098\uB294, \uADF8 \uC9C1\uC120\uC758 \uD3C9\uD589\uC120\uC740 \uB9CE\uC544\uC57C \uD558\uB098 \uC874\uC7AC\uD55C\uB2E4. \uC778 \uBC18\uBA74\uC5D0 \uC30D\uACE1\uAE30\uD558\uD559\uC5D0\uC11C\uB294 \uD3C9\uD589\uC120\uC774 2\uAC1C \uC774\uC0C1 \uC874\uC7AC\uD55C\uB2E4. \uADF8 \uC911\uC5D0\uC11C R\uC758 \uD55C\uCABD \uB05D\uC5D0\uC11C \uAC70\uB9AC\uAC00 0\uC73C\uB85C \uC811\uADFC\uD558\uB294 \uD3C9\uD589\uC120\uC740 \uAC01\uAC01\uC758 \uBC29\uD5A5\uC5D0 \uB300\uD574 \uD558\uB098\uC529 \uC874\uC7AC\uD558\uB294\uB370, \uC774\uB7EC\uD55C \uAD00\uACC4\uB97C \uADF9\uD55C\uD3C9\uD589\uC774\uB77C\uACE0 \uD55C\uB2E4. [[\uC30D\uACE1\uAE30\uD558\uD559\uC740 \uC548\uC7A5\uACE1\uBA74\uACFC \uC720\uC0AC\uAD6C(Pseudosphere)\uC758 \uAE30\uD558\uD559\uC774\uAE30\uB3C4 \uD558\uB2E4."@ko . . . . . "56643"^^ . "La geometr\u00EDa hiperb\u00F3lica /o lobachevskiana/ es un modelo de geometr\u00EDa que satisface solo los cuatro primeros postulados de la geometr\u00EDa euclidiana. Aunque es similar en muchos aspectos y muchos de los teoremas de la geometr\u00EDa euclidiana siguen siendo v\u00E1lidos en geometr\u00EDa hiperb\u00F3lica, no se satisface el quinto postulado de Euclides sobre las paralelas. Al igual que la geometr\u00EDa euclidiana y la geometr\u00EDa el\u00EDptica, la geometr\u00EDa hiperb\u00F3lica es un modelo de curvatura constante: \n* La geometr\u00EDa euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero. \n* La geometr\u00EDa hiperb\u00F3lica satisface solo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa. \n* La geometr\u00EDa el\u00EDptica satisface solo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva."@es . "\u53CC\u66F2\u51E0\u4F55\u53C8\u540D\u7F57\u6C0F\u51E0\u4F55\uFF08\u7F57\u5DF4\u5207\u592B\u65AF\u57FA\u51E0\u4F55\uFF09\uFF0C\u662F\u975E\u6B27\u51E0\u91CC\u5FB7\u51E0\u4F55\u7684\u4E00\u79CD\u7279\u4F8B\u3002\u8207\u6B27\u51E0\u91CC\u5FB7\u51E0\u4F55\u7684\u5DEE\u5225\u5728\u65BC\u7B2C\u4E94\u689D\u516C\u7406\uFF08\u516C\u8A2D\uFF09\uFF0D\u5E73\u884C\u516C\u8A2D\u3002\u5728\u6B27\u51E0\u91CC\u5FB7\u51E0\u4F55\u4E2D\uFF0C\u82E5\u5E73\u9762\u4E0A\u6709\u4E00\u689D\u76F4\u7DDAR\u548C\u7DDA\u5916\u7684\u4E00\u9EDEP\uFF0C\u5247\u5B58\u5728\u552F\u4E00\u7684\u4E00\u689D\u7DDA\u6EFF\u8DB3\u901A\u904EP\u9EDE\u4E14\u4E0D\u8207R\u76F8\u4EA4\uFF08\u5373R\u7684\u5E73\u884C\u7DDA\uFF09\u3002\u4F46\u5728\u96D9\u66F2\u5E7E\u4F55\u4E2D\uFF0C\u81F3\u5C11\u53EF\u4EE5\u627E\u5230\u5169\u689D\u76F8\u7570\u7684\u76F4\u7DDA\uFF0C\u4E14\u90FD\u901A\u904EP\u9EDE\uFF0C\u4E26\u4E0D\u8207R\u76F8\u4EA4\uFF0C\u56E0\u6B64\u5B83\u9055\u53CD\u4E86\u5E73\u884C\u516C\u8A2D\u3002\u7136\u800C\uFF0C\u53D6\u4EE3\u6B27\u51E0\u91CC\u5FB7\u51E0\u4F55\u4E2D\u7684\u5E73\u884C\u516C\u8A2D\u7684\u96D9\u66F2\u5E7E\u4F55\u672C\u8EAB\u4E26\u7121\u77DB\u76FE\u4E4B\u8655\uFF0C\u4ECD\u53EF\u4EE5\u63A8\u5F97\u4E00\u7CFB\u5217\u5C6C\u65BC\u5B83\u7684\u5B9A\u7406\uFF0C\u9019\u4E5F\u8AAA\u660E\u4E86\u5E73\u884C\u516C\u8A2D\u7368\u7ACB\u65BC\u524D\u56DB\u689D\u516C\u8A2D\uFF0C\u63DB\u53E5\u8A71\u8AAA\uFF0C\u7121\u6CD5\u7531\u524D\u56DB\u689D\u516C\u8A2D\u63A8\u5F97\u5E73\u884C\u516C\u8A2D\u3002 \u5230\u76EE\u524D\u70BA\u6B62\uFF0C\u6578\u5B78\u5BB6\u5C0D\u96D9\u66F2\u5E7E\u4F55\u4E2D\u5E73\u884C\u7DDA\u7684\u5B9A\u7FA9\u5C1A\u672A\u6709\u5171\u8B58\uFF0C\u4E0D\u540C\u7684\u4F5C\u8005\u6703\u7D66\u4E88\u4E0D\u540C\u7684\u5B9A\u7FA9\u3002\u8FD9\u91CC\u5B9A\u7FA9\u5169\u689D\u9010\u6F38\u9760\u8FD1\u7684\u7DDA\u70BA\u6F38\u8FD1\u7DDA\uFF0C\u5B83\u5011\u4E92\u76F8\u6F38\u9032\uFF1B\u5169\u689D\u6709\u5171\u540C\u5782\u76F4\u7DDA\u7684\u7DDA\u70BA\u8D85\u5E73\u884C\u7DDA\uFF0C\u5B83\u5011\u4E92\u76F8\u8D85\u5E73\u884C\uFF0C\u4E26\u4E14\u5169\u689D\u7DDA\u70BA\u5E73\u884C\u7DDA\u4EE3\u8868\u5B83\u5011\u4E92\u76F8\u6F38\u9032\u6216\u4E92\u76F8\u8D85\u5E73\u884C\u3002\u96D9\u66F2\u5E7E\u4F55\u9084\u6709\u4E00\u9805\u6027\u8CEA\uFF0C\u5C31\u662F\u4E09\u89D2\u5F62\u7684\u5167\u89D2\u548C\u5C0F\u65BC\u4E00\u500B\u5E73\u89D2\uFF08180\u00B0\uFF09\u3002\u5728\u6975\u7AEF\u7684\u60C5\u6CC1\uFF0C\u4E09\u89D2\u5F62\u7684\u4E09\u908A\u9577\u8DA8\u8FD1\u65BC\u7121\u9650\uFF0C\u800C\u4E09\u5167\u89D2\u8DA8\u8FD1\u65BC0\u00B0\uFF0C\u6B64\u6642\u8A72\u4E09\u89D2\u5F62\u7A31\u4F5C\u3002 \u53CC\u66F2\u51E0\u4F55\u4E13\u95E8\u7814\u7A76\u5F53\u5E73\u9762\u53D8\u6210\u978D\u9A6C\u578B\u4E4B\u540E\uFF0C\u5E73\u9762\u51E0\u4F55\u5230\u5E95\u8FD8\u6709\u54EA\u4E9B\u53EF\u4EE5\u9002\u7528\uFF0C\u4EE5\u53CA\u4F1A\u6709\u751A\u9EBC\u7279\u5225\u7684\u73B0\u8C61\u7522\u751F\u3002\u5728\u53CC\u66F2\u51E0\u4F55\u7684\u73AF\u5883\u88E1\uFF0C\u5E73\u9762\u7684\u66F2\u7387\u662F\u8CA0\u6570\u3002"@zh . . . . . "\u0627\u0644\u0647\u0646\u062F\u0633\u0629 \u0627\u0644\u0632\u0627\u0626\u062F\u064A\u0629 \u0623\u0648 \u0627\u0644\u0647\u0646\u062F\u0633\u0629 \u0627\u0644\u0642\u0637\u0639\u064A\u0629 \u0627\u0644\u0632\u0627\u0626\u062F\u064A\u0629 (\u0648\u0627\u0644\u062A\u064A \u062A\u0633\u0645\u0649 \u0623\u064A\u0636\u064B\u0627 \u0647\u0646\u062F\u0633\u0629 \u0644\u0648\u0628\u0627\u062A\u0634\u064A\u0641\u0633\u0643\u064A \u0623\u0648 \u0647\u0646\u062F\u0633\u0629 \u0628\u0648\u0644\u064A\u0627\u064A - \u0644\u0648\u0628\u0627\u062A\u0634\u064A\u0641\u0633\u0643\u064A) \u0647\u064A \u0647\u0646\u062F\u0633\u0629 \u0644\u0627\u0625\u0642\u0644\u064A\u062F\u064A\u0629\u060C \u062A\u0642\u0627\u0628\u0644 \u0645\u0633\u0644\u0645\u0629 \u0627\u0644\u062A\u0648\u0627\u0632\u064A \u0641\u064A \u0627\u0644\u0647\u0646\u062F\u0633\u0629 \u0627\u0644\u0625\u0642\u0644\u064A\u062F\u064A\u0629. \u0641\u0641\u064A \u0645\u0633\u0644\u0645\u0629 \u0627\u0644\u062A\u0648\u0627\u0632\u064A \u0641\u064A \u0627\u0644\u0647\u0646\u062F\u0633\u0629 \u0627\u0644\u0625\u0642\u0644\u064A\u062F\u064A\u0629\u060C \u0641\u064A \u0623\u064A \u0645\u0633\u062A\u0648\u0649 \u062B\u0646\u0627\u0626\u064A \u0627\u0644\u0623\u0628\u0639\u0627\u062F\u060C \u0645\u0646 \u0623\u064A \u0646\u0642\u0637\u0629 \u062E\u0627\u0631\u062C \u0645\u0633\u062A\u0642\u064A\u0645 \u0645\u0627\u060C \u064A\u0645\u0631 \u0645\u0633\u062A\u0642\u064A\u0645 \u0648\u062D\u064A\u062F \u0628\u062A\u0644\u0643 \u0627\u0644\u0646\u0642\u0637\u0629 \u0648\u0644\u0627 \u064A\u0642\u0637\u0639 \u0627\u0644\u0645\u0633\u062A\u0642\u064A\u0645 \u0627\u0644\u0623\u0648\u0644 (\u0623\u064A \u064A\u0648\u0627\u0632\u064A \u0627\u0644\u0645\u0633\u062A\u0642\u064A\u0645 \u0627\u0644\u0645\u0630\u0643\u0648\u0631). \u0623\u0645\u0627 \u0641\u064A \u0627\u0644\u0647\u0646\u062F\u0633\u0629 \u0627\u0644\u0632\u0627\u0626\u062F\u064A\u0629\u060C \u0641\u0647\u0646\u0627\u0643 \u0645\u0627 \u0644\u0627 \u064A\u0642\u0644 \u0639\u0646 \u062E\u0637\u064A\u0646 \u0622\u062E\u0631\u064A\u0646 \u064A\u0645\u0631\u0627\u0646 \u0628\u062A\u0644\u0643 \u0627\u0644\u0646\u0642\u0637\u0629 \u062E\u0627\u0631\u062C \u0627\u0644\u0645\u0633\u062A\u0642\u064A\u0645 \u0648\u0644\u0627 \u062A\u0642\u0637\u0639\u0627\u0646\u0647\u060C \u0648\u0628\u0627\u0644\u062A\u0627\u0644\u064A \u0641\u0625\u0646 \u0645\u0633\u0644\u0645\u0629 \u0627\u0644\u062A\u0648\u0627\u0632\u064A \u0641\u064A \u0647\u0630\u0647 \u0627\u0644\u062D\u0627\u0644\u0629 \u064A\u0645\u0643\u0646 \u062A\u0637\u0628\u064A\u0642\u0647\u0627. \u0647\u0646\u0627\u0643 \u0646\u0645\u0627\u0630\u062C \u062A\u0645 \u0625\u0646\u0634\u0627\u0624\u0647\u0627 \u0636\u0645\u0646 \u0627\u0644\u0647\u0646\u062F\u0633\u0629 \u0627\u0644\u0625\u0642\u0644\u064A\u062F\u064A\u0629\u060C \u062A\u062A\u0641\u0642 \u0645\u0639 \u0645\u0633\u0644\u0645\u0627\u062A \u0627\u0644\u0647\u0646\u062F\u0633\u0629 \u0627\u0644\u0632\u0627\u0626\u062F\u064A\u0629\u060C \u0645\u0645\u0627 \u064A\u062B\u0628\u062A \u0623\u0646 \u0645\u0633\u0644\u0645\u0629 \u0627\u0644\u062A\u0648\u0627\u0632\u064A \u062A\u062E\u062A\u0644\u0641 \u0639\u0646 \u063A\u064A\u0631\u0647\u0627 \u0645\u0646 \u0645\u0633\u0644\u0645\u0627\u062A \u0625\u0642\u0644\u064A\u062F\u0633. \u062E\u0627\u0635\u064A\u0629 \u0645\u0645\u064A\u0632\u0629 \u0644\u0644\u0647\u0646\u062F\u0633\u0629 \u0627\u0644\u0632\u0627\u0626\u062F\u064A\u0629 \u0647\u0648 \u0623\u0646 \u0632\u0648\u0627\u064A\u0627 \u0627\u0644\u0645\u062B\u0644\u062B \u0641\u064A \u0627\u0644\u0647\u0646\u062F\u0633\u0629 \u0627\u0644\u0632\u0627\u0626\u062F\u064A\u0629 \u064A\u0645\u0643\u0646 \u0623\u0646 \u062A\u0643\u0648\u0646 \u0623\u0642\u0644 \u0645\u0646 180\u00B0."@ar . . . . . . . "\uC30D\uACE1\uAE30\uD558\uD559\uC774\uB780 \uD3C9\uD589\uC120 \uACF5\uC900\uC744 \uB300\uCCB4\uD558\uC5EC \uC5BB\uB294 \uAE30\uD558\uD559\uC774\uB2E4. \uD3C9\uD589\uC120 \uACF5\uC900\uC744 \uBAA8\uB4E0 \uC9C1\uC120 R\uACFC \uC9C1\uC120 R \uBC16 \uD55C \uC810 P\uC5D0 \uB300\uD574, P\uB97C \uC9C0\uB098\uBA74\uC11C R\uACFC \uAD50\uCC28\uD558\uC9C0 \uC54A\uB294 \uC9C1\uC120(\uD3C9\uD589\uC120)\uC740 \uC801\uC5B4\uB3C4 2\uAC1C \uC874\uC7AC\uD55C\uB2E4\uB85C \uBC14\uAFBC \uAC83\uC774\uB2E4. \uD3C9\uD589\uC120 \uACF5\uC900\uACFC \uB3D9\uCE58\uC778 \uAC00 \uC8FC\uC5B4\uC9C4 \uC9C1\uC120 \uBC16 \uD55C \uC810\uC744 \uC9C0\uB098\uB294, \uADF8 \uC9C1\uC120\uC758 \uD3C9\uD589\uC120\uC740 \uB9CE\uC544\uC57C \uD558\uB098 \uC874\uC7AC\uD55C\uB2E4. \uC778 \uBC18\uBA74\uC5D0 \uC30D\uACE1\uAE30\uD558\uD559\uC5D0\uC11C\uB294 \uD3C9\uD589\uC120\uC774 2\uAC1C \uC774\uC0C1 \uC874\uC7AC\uD55C\uB2E4. \uADF8 \uC911\uC5D0\uC11C R\uC758 \uD55C\uCABD \uB05D\uC5D0\uC11C \uAC70\uB9AC\uAC00 0\uC73C\uB85C \uC811\uADFC\uD558\uB294 \uD3C9\uD589\uC120\uC740 \uAC01\uAC01\uC758 \uBC29\uD5A5\uC5D0 \uB300\uD574 \uD558\uB098\uC529 \uC874\uC7AC\uD558\uB294\uB370, \uC774\uB7EC\uD55C \uAD00\uACC4\uB97C \uADF9\uD55C\uD3C9\uD589\uC774\uB77C\uACE0 \uD55C\uB2E4. [[\uC30D\uACE1\uAE30\uD558\uD559\uC740 \uC548\uC7A5\uACE1\uBA74\uACFC \uC720\uC0AC\uAD6C(Pseudosphere)\uC758 \uAE30\uD558\uD559\uC774\uAE30\uB3C4 \uD558\uB2E4."@ko . . . "\u0413\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u044F \u041B\u043E\u0431\u0430\u0447\u0435\u0432\u0441\u043A\u043E\u0433\u043E"@ru . . . . "\u03A5\u03C0\u03B5\u03C1\u03B2\u03BF\u03BB\u03B9\u03BA\u03AE \u03B3\u03B5\u03C9\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03AF\u03B1"@el . . . . "HyperbolicGeometry"@en . . "Em Matem\u00E1tica, geometria hiperb\u00F3lica, tamb\u00E9m chamada de geometria lobachevskiana ou geometria de Bolyai - Lobachevsky, \u00E9 uma geometria n\u00E3o-euclidiana, o que significa que o quinto postulados de Euclides, o cl\u00E1ssico postulado das paralelas da geometria euclidiana \u00E9 substitu\u00EDdo pelo postulado de Lobachesvky: \"Por um ponto fora de uma reta dada passa mais de uma paralela a essa reta.\" A geometria do plano hiperb\u00F3lico \u00E9 a geometria das superf\u00EDcies curvas com curvatura gaussiana negativa constante (tal como a pseudoesfera)."@pt . .