"Stelling van Herbrand-Ribet"@nl . . . . . "En matem\u00E1ticas, el Teorema de Herbrand\u2013Ribet es un resultado del n\u00FAmero de clase de ciertos campos de n\u00FAmeros. Es un refuerzo del en el sentido que el n\u00FAmero primo p divide el del campo ciclot\u00F3mico de la p-i\u00E9simas ra\u00EDces de la unidad si y solo si p divide al numerador del n-\u00E9simo n\u00FAmero de Bernoulli Bn para alg\u00FAn n, 0 < n < p \u2212 1. El teorema de Herbrand\u2013Ribet especifica en particular, cuando es que p divide a Bn. Podemos dividir la parte p del grupo de clase ideal G de por medio de sus idempotentes; si G es el grupo de clase ideal, entonces Gn = \u03B5n(G)."@es . "Le th\u00E9or\u00E8me de Herbrand-Ribet renforce le th\u00E9or\u00E8me de Kummer selon lequel le nombre premier p divise le nombre de classes du corps cyclotomique des racines p-i\u00E8mes de l'unit\u00E9 si et seulement si p divise le num\u00E9rateur du n-i\u00E8me nombre de Bernoulli Bn pour un certain entier n strictement compris entre 0 et p-1. Le th\u00E9or\u00E8me de Herbrand-Ribet pr\u00E9cise ce que veut dire, en particulier, l'\u00E9ventuelle divisibilit\u00E9 par p de Bn. . Nous pouvons maintenant s\u00E9parer la p-composante du groupe G des classes d'id\u00E9aux de \u211A(\u03B6) par identification des idempotents ; si G est le groupe des classes d'id\u00E9aux, alors ."@fr . . . "In mathematics, the Herbrand\u2013Ribet theorem is a result on the class group of certain number fields. It is a strengthening of Ernst Kummer's theorem to the effect that the prime p divides the class number of the cyclotomic field of p-th roots of unity if and only if p divides the numerator of the n-th Bernoulli number Bn for some n, 0 < n < p \u2212 1. The Herbrand\u2013Ribet theorem specifies what, in particular, it means when p divides such an Bn."@en . . . . . . . . . "In mathematics, the Herbrand\u2013Ribet theorem is a result on the class group of certain number fields. It is a strengthening of Ernst Kummer's theorem to the effect that the prime p divides the class number of the cyclotomic field of p-th roots of unity if and only if p divides the numerator of the n-th Bernoulli number Bn for some n, 0 < n < p \u2212 1. The Herbrand\u2013Ribet theorem specifies what, in particular, it means when p divides such an Bn."@en . . "5478"^^ . . . "In de algebra\u00EFsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de stelling van Herbrand-Ribet een resultaat voor het klassegetal van bepaalde getallenlichamen. Het is een versterking van de stelling van Ernst Kummer in de zin dat het priemgetal het klassegetal van het cyclotomisch veld van de -e eenheidswortel dan en slechts dan deelt, als de teller van het -e Bernoulli-getal deelt voor enige . De stelling van Herbrand-Ribet geeft in het bijzonder aan wat het betekent als een deler is van zo'n . De galoisgroep van het cyclotomisch lichaam van de -e eenheidswortels voor een oneven priemgetal met bestaat uit de groepselementen , waar . Als een gevolg van de kleine stelling van Fermat zijn er in de ring van -adische gehele getallen eenheidswortels, die elk modulo congruent zijn aan een van de getallen 1 tot en met . Wij kunnen daarom een Dirichlet-karakter defini\u00EBren; (het Teichm\u00FCller-karakter) met waarden in door te eisen dat voor relatief priem met , modulo congruent is met . Het -e deel van de klassegroep is een -module (aangezien het -primair is), dus een module over de . We defini\u00EBren voor elke idempotente elementen van de groepsring, als Het is relatief eenvoudig in te zien dat en , waarin de Kronecker-delta is. Dit stelt ons in staat de gedeelten van de ideale klassegroep van op te breken door gebruik te maken van idempotente elementen; als de ideale klasgroep is en :, hebben wij De stelling van Herbrand-Ribet stelt dat dan en slechts dan niet-triviaal is als deler is van het Bernoulli-getal Het deel dat zegt dat deelt op als niet triviaal is, is te danken aan Jacques Herbrand. Het omgekeerde, dat als deler is van , dat dan niet-triviaal is, is te danken aan Kenneth Ribet, en is aanzienlijk moeilijker. Vanwege de klasseveldtheorie kan dit alleen maar waar zijn, als er een onvertakte uitbreiding van het veld van -e eenheidswortels bestaat door een cyclisch uitbreiding van de graad , dat zich op de aangegeven wijze gedraagt onder de actie van \u03A3. Ribet bewijst dit door daadwerkelijk een dergelijke uitbreiding te construeren met behulp van methoden uit de theorie van de modulaire vormen. Een meer elementair bewijs van Ribets omkering van de stelling van Herbrand, een gevolg van de theorie van de , kan worden gevonden in het boek van Washington Ribets methoden werden verder ontwikkeld door Barry Mazur en Andrew Wiles, dit met het oog op het bewijs van het hoofdvermoeden van de Iwasawa-theorie, waarvan een corollarium een versterking van de stelling van Herbrand-Ribet betekent: de macht van de die deelt is precies gelijk aan de macht van die de orde van deelt."@nl . . . "Le th\u00E9or\u00E8me de Herbrand-Ribet renforce le th\u00E9or\u00E8me de Kummer selon lequel le nombre premier p divise le nombre de classes du corps cyclotomique des racines p-i\u00E8mes de l'unit\u00E9 si et seulement si p divise le num\u00E9rateur du n-i\u00E8me nombre de Bernoulli Bn pour un certain entier n strictement compris entre 0 et p-1. Le th\u00E9or\u00E8me de Herbrand-Ribet pr\u00E9cise ce que veut dire, en particulier, l'\u00E9ventuelle divisibilit\u00E9 par p de Bn. Le groupe de Galois du corps cyclotomique des racines p-i\u00E8mes de l'unit\u00E9 pour un nombre premier impair p, \u211A(\u03B6) avec , est constitu\u00E9 des \u00E9l\u00E9ments , o\u00F9 est d\u00E9fini par le fait que . Comme cons\u00E9quence du petit th\u00E9or\u00E8me de Fermat, dans l'anneau des entiers p-adiques \u2124p, nous avons racines de l'unit\u00E9, chacune d'elles est congrue mod p \u00E0 un certain nombre dans l'intervalle 1 \u00E0 p - 1 ; nous pouvons par cons\u00E9quent d\u00E9finir un caract\u00E8re de Dirichlet (le caract\u00E8re de Teichm\u00FCller) \u00E0 valeurs dans \u2124p en requ\u00E9rant que pour n premier \u00E0 p, \u03C9(n) soit congru \u00E0 n modulo p. Le p-composant du groupe de classes, c'est-\u00E0-dire le sous-groupe de ce groupe form\u00E9 par les \u00E9l\u00E9ments dont les ordres sont des puissances de p, est un \u2124p-module, et nous pouvons appliquer les \u00E9l\u00E9ments de l'anneau \u2124p[\u03A3] vers elle et obtenir les \u00E9l\u00E9ments du groupe de classes. Nous pouvons maintenant d\u00E9finir un \u00E9l\u00E9ment idempotent de l'anneau pour chaque n de 1 \u00E0 p - 1, comme . Nous pouvons maintenant s\u00E9parer la p-composante du groupe G des classes d'id\u00E9aux de \u211A(\u03B6) par identification des idempotents ; si G est le groupe des classes d'id\u00E9aux, alors . Alors, nous avons le th\u00E9or\u00E8me de Herbrand-Ribet : est non trivial si et seulement si p divise le nombre de Bernoulli . La partie exprimant p divise si est non trivial est due \u00E0 Jacques Herbrand. La r\u00E9ciproque (si divise alors est non trivial) est due \u00E0 Ken Ribet, et est consid\u00E9rablement plus difficile. Par la th\u00E9orie des corps de classes, ceci n'est possible que s'il existe une extension non ramifi\u00E9e du corps des racines -i\u00E8mes de l'unit\u00E9 par une extension cyclique de degr\u00E9 qui se comporte de la mani\u00E8re prescrite sous l'action de ; Ribet d\u00E9montra ceci en 1976, par une construction concr\u00E8te d'une telle extension."@fr . . . . . "In de algebra\u00EFsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de stelling van Herbrand-Ribet een resultaat voor het klassegetal van bepaalde getallenlichamen. Het is een versterking van de stelling van Ernst Kummer in de zin dat het priemgetal het klassegetal van het cyclotomisch veld van de -e eenheidswortel dan en slechts dan deelt, als de teller van het -e Bernoulli-getal deelt voor enige . De stelling van Herbrand-Ribet geeft in het bijzonder aan wat het betekent als een deler is van zo'n ."@nl . . . . . . . . . "Teorema de Herbrand-Ribet"@es . . "1056523727"^^ . "Th\u00E9or\u00E8me de Herbrand-Ribet"@fr . . . . . . . "En matem\u00E1ticas, el Teorema de Herbrand\u2013Ribet es un resultado del n\u00FAmero de clase de ciertos campos de n\u00FAmeros. Es un refuerzo del en el sentido que el n\u00FAmero primo p divide el del campo ciclot\u00F3mico de la p-i\u00E9simas ra\u00EDces de la unidad si y solo si p divide al numerador del n-\u00E9simo n\u00FAmero de Bernoulli Bn para alg\u00FAn n, 0 < n < p \u2212 1. El teorema de Herbrand\u2013Ribet especifica en particular, cuando es que p divide a Bn. El grupo de Galois \u03A3 del campo ciclot\u00F3mico de las p-i\u00E9simas ra\u00EDces de la unidad de un primo p, con , consiste de p \u2212 1 elementos del grupo \u03C3a, donde \u03C3a est\u00E1 definido por . De acuerdo al peque\u00F1o teorema de Fermat, en el anillo de los enteros p-\u00E1dicos se tienen p \u2212 1 ra\u00EDces de la unidad, cada una de las cuales es congruente mod p con alg\u00FAn n\u00FAmero en el rango entre 1 y p \u2212 1; por lo tanto se puede definir un car\u00E1cter de Dirichlet \u03C9 (el car\u00E1cter de Teichm\u00FCller) con valores en si se requiere que para n coprimos a p, \u03C9(n) sea congruente con n m\u00F3dulo p. La parte p del grupo de clase es un -m\u00F3dulo, y se pueden aplicar elementos en el a \u00E9l y obtener elementos del grupo de clase. Definiendo un elemento de idempotencia del anillo de grupo para cada n desde 1 hasta p \u2212 1, como Podemos dividir la parte p del grupo de clase ideal G de por medio de sus idempotentes; si G es el grupo de clase ideal, entonces Gn = \u03B5n(G). Entonces se tiene el teorema de Herbrand\u2013Ribet:\u200B Gn es notrivial si y solo si p divide al n\u00FAmero de Bernoulli Bp\u2212n. Las parte que dice que p divide Bp\u2212n si Gn no es trivial es el aporte de . El inverso, que si p divide Bp\u2212n entonces Gn no es trivial se debe a Kenneth Ribet, y es significativamente m\u00E1s dif\u00EDcil. Por la teor\u00EDa de campos de clase, esto s\u00F3lo puede ser verdadero si existe una extensi\u00F3n no-ramificada del campo de las p-\u00E9simas ra\u00EDces de la unidad por una extensi\u00F3n c\u00EDclica de grado p que se comporta en la forma especificada bajo la acci\u00F3n de \u03A3; Ribet demostr\u00F3 esto construyendo esta extensi\u00F3n utilizando m\u00E9todos de la teor\u00EDa de las formas modulares. Una demostraci\u00F3n m\u00E1s simple del aporte de Ribet al teorema de Herbrand se puede consultar en el libro de Washington.\u200B Barry Mazur y Andrew Wiles, ampliaron y desarrollaron los m\u00E9todos de Ribet en sus trabajos por demostrar la Conjetura principal de la Teor\u00EDa de Iwasawa,\u200B un corolario de la cual es el refuerzo del teorema de Herbrand-Ribet: la potencia de p que divide Bp\u2212n es exactamente la potencia de p que divide el orden de Gn."@es . . . . . . . . . "1078637"^^ . . . "Herbrand\u2013Ribet theorem"@en . .