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Série génératrice Voortbrengende functie Função geradora دالة مولدة Funkcja tworząca 母関数 Generating function Erzeugende Funktion Funzione generatrice Метод производящих функций Función generadora 母函数
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In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik versteht man unter der erzeugenden Funktion einer Folge die formale Potenzreihe . Zum Beispiel ist die erzeugende Funktion der konstanten Folge die geometrische Reihe Die Reihe konvergiert für alle und besitzt den Wert . Wegen der Verwendung formaler Potenzreihen spielen allerdings im Allgemeinen Konvergenzfragen keine Rolle – ist lediglich ein Symbol. Diese explizitere Darstellung als Potenzreihe ermöglicht oft Rückschlüsse auf die Folge. Funkcja tworząca dla ciągu jest zdefiniowana jako . Ciąg może być w szczególnym przypadku ciągiem liczbowym (wartości są liczbami naturalnymi, jak to się dzieje, gdy odpowiada on zliczaniu obiektów kombinatorycznych, rzeczywistymi, zespolonymi) jednak w ogólności jego wartości mogą być inne (np. funkcje). Tymczasem jednomiany mogą być rozpatrywane jako wyrazy pierścienia szeregu formalnego (gdy interesują nas wyłącznie algebraiczne właściwości funkcji tworzącej) albo liczby (rzeczywiste lub zespolone). Метод производящих функций — применяемый в комбинаторике метод основанный на сходимости рядов. Производящие функции дают возможность просто описывать многие сложные последовательности в комбинаторике, а иногда помогают найти для них явные формулы. 数学において、母関数(ぼかんすう、英: generating function; 生成関数)は、(自然数で添字付けられた)数列 {an} に関する情報を内包した係数を持つ、形式冪級数である。母関数は、一般線型回帰問題の解決のためにド・モアブルによって1730年に初めて用いられた。複数の自然数で添字付けられる数の配列(多重数列)の情報を取り込んだ多変数冪級数を同様に考えることもできる。 母関数には、通常型母関数 (ordinary generating function)、指数型母関数 (exponential generating function)、ランベルト級数 (Lambert series)、ベル級数 (Bell series)、ディリクレ級数 (Dirichlet series) など様々なものがある。これらについては定義と例を後述する。原理的にはあらゆる列についてそれぞれの種類の母関数が存在する(ただし、ランベルト級数とディリクレ型は添字を 1 から始めることが必要)が、扱い易さについてはそれぞれの種類で相当異なるかもしれない。どの母関数が最も有効かは、その列の性質と解くべき問題の詳細に依存する。 慣例的に母「関数」と呼ばれてはいるが、始域から終域への写像という関数の厳密な意味に照らして言えば母関数は関数ではなく、今日的には生成級数(母級数)と呼ぶこともしばしばである。 De voortbrengende functie van een rij an is de formele machtreeks (waarbij niet op convergentie wordt gelet) Een eenvoudig voorbeeld is de voortbrengende functie van de constante rij 1, 1, 1, 1, ..., die luidt die alleen tot convergentie leidt voor |x|<1. Voortbrengende functies zijn een hulpmiddel voor het oplossen van recursies en differentievergelijkingen. In mathematics, generating function is used to describe an infinite sequence of numbers (an) by treating them as the coefficients of a series expansion. The sum of this infinite series is the generating function. Unlike an ordinary series, this formal series is allowed to diverge, meaning that the generating function is not always a true function and the "variable" is actually an indeterminate. Generating functions were first introduced by Abraham de Moivre in 1730, in order to solve the general linear recurrence problem. One can generalize to formal series in more than one indeterminate, to encode information about arrays of numbers indexed by several natural numbers. En mathématiques, et notamment en analyse et en combinatoire, une série génératrice (appelée autrefois fonction génératrice, terminologie encore utilisée en particulier dans le contexte de la théorie des probabilités) est une série formelle dont les coefficients codent une suite an de nombres (ou plus généralement de polynômes, etc.) ; on dit que la série est associée à la suite. Ces séries furent introduites par Abraham de Moivre en 1730, pour obtenir des formules explicites pour des suites définies par récurrence linéaire. 在数学中,某个序列 的母函数(又称生成函数,英语:Generating function)是一种形式幂级数,其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。 母函数可分为很多种,包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题,因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。 母函数的表示一般使用解析形式,即写成关于某个形式变量x的形式幂级数。对幂级数的收敛半径中的某一点,可以求母函数在这一点的级数和。但无论如何,由于母函数是形式幂级数的一种,其级数和不一定对每个x的值都存在。 母函数方法不仅在概率论的计算中有重要地位,而且已成为组合数学中一种重要方法。此外,母函数在有限差分计算、特殊函数论等数学领域中都有着广泛的应用。 注意母函数本身并不是一个从某个定义域射到某个上域的函数,名字中的“函数”只是出于历史原因而保留。 In matematica una funzione generatrice è una serie formale di potenze i cui coefficienti costituiscono i componenti an di una successione indicizzata dai numeri naturali; spesso questa successione viene rappresentata efficacemente dalla funzione generatrice, specialmente quando per questa si trova qualche espressione sufficientemente maneggevole e significativa. En matemáticas, una función generadora o función generatriz es una serie formal de potencias cuyos coeficientes codifican información sobre una sucesión an cuyo índice corre sobre los enteros no negativos. Las funciones generadoras son expresiones cerradas en un argumento formal x. A veces, una función generadora se «evalúa» en un valor específico x=a pero hay que tener en cuenta que las funciones generadoras son series formales de potencias, por lo que no se considera ni se analiza el problema de la convergencia en todos los valores de x. Herbert Wilf في الرياضيات، دالة مولدة (بالإنجليزية: Generating function) هي متسلسلة قوى شكلية بمتغير واحد معاملاتها تحتوي على تمثيل ضمني لمتتالية من الأعداد an . Em matemática, uma função geradora ou função geratriz é uma série formal cujos coeficientes codificam informações sobre uma sucessão an cujo índice percorre os números naturais. Existem vários tipos de funções geradoras: funções geradoras ordinárias, funções geradoras exponenciais, série de Lambert, série de Bell, série de Fourier, série de Eisenstein e a série de Dirichlet; das quais existem muitos exemplos. Cada sucessão tem uma função geradora de certo tipo. Este tipo de função geradora que é apropiada num contexto dado depende da natureza da sucessão e dos detalhes do problema analisado.
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数学において、母関数(ぼかんすう、英: generating function; 生成関数)は、(自然数で添字付けられた)数列 {an} に関する情報を内包した係数を持つ、形式冪級数である。母関数は、一般線型回帰問題の解決のためにド・モアブルによって1730年に初めて用いられた。複数の自然数で添字付けられる数の配列(多重数列)の情報を取り込んだ多変数冪級数を同様に考えることもできる。 母関数には、通常型母関数 (ordinary generating function)、指数型母関数 (exponential generating function)、ランベルト級数 (Lambert series)、ベル級数 (Bell series)、ディリクレ級数 (Dirichlet series) など様々なものがある。これらについては定義と例を後述する。原理的にはあらゆる列についてそれぞれの種類の母関数が存在する(ただし、ランベルト級数とディリクレ型は添字を 1 から始めることが必要)が、扱い易さについてはそれぞれの種類で相当異なるかもしれない。どの母関数が最も有効かは、その列の性質と解くべき問題の詳細に依存する。 母関数を、形式冪級数に対する演算・操作を用いるなどして(級数の形ではなく)閉じた形の式で表すこともよく行われる。このような母関数の表示は、母関数の不定元を x とすれば、四則演算、母関数のx に関する微分、他の母関数へ代入すること、などを行った結果として得られる。これらの操作は関数に対しても定義されるものであるし、結果として得られる式もやはり x の関数であるかのように見える。実際、母関数を x の(十分小さい)具体的な値で評価することのできる関数として解釈することができる場合も少なくない(このとき、母関数の冪級数表示は、母関数の閉じた形の式のテイラー級数と解釈される)のであり、それがこの式が「母関数」と呼ばれる所以でもある。しかし、形式冪級数は x に何らかの数値を代入したときに収束するかどうかは問題にしないのであって、母関数についてそのような関数としての解釈が可能であるということは必ずしも要求されるものではないし、同様に x の関数として意味を持つ式がいずれも形式冪級数に対して意味を持つわけではない。 慣例的に母「関数」と呼ばれてはいるが、始域から終域への写像という関数の厳密な意味に照らして言えば母関数は関数ではなく、今日的には生成級数(母級数)と呼ぶこともしばしばである。 في الرياضيات، دالة مولدة (بالإنجليزية: Generating function) هي متسلسلة قوى شكلية بمتغير واحد معاملاتها تحتوي على تمثيل ضمني لمتتالية من الأعداد an . 在数学中,某个序列 的母函数(又称生成函数,英语:Generating function)是一种形式幂级数,其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。 母函数可分为很多种,包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题,因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。 母函数的表示一般使用解析形式,即写成关于某个形式变量x的形式幂级数。对幂级数的收敛半径中的某一点,可以求母函数在这一点的级数和。但无论如何,由于母函数是形式幂级数的一种,其级数和不一定对每个x的值都存在。 母函数方法不仅在概率论的计算中有重要地位,而且已成为组合数学中一种重要方法。此外,母函数在有限差分计算、特殊函数论等数学领域中都有着广泛的应用。 注意母函数本身并不是一个从某个定义域射到某个上域的函数,名字中的“函数”只是出于历史原因而保留。 De voortbrengende functie van een rij an is de formele machtreeks (waarbij niet op convergentie wordt gelet) Een eenvoudig voorbeeld is de voortbrengende functie van de constante rij 1, 1, 1, 1, ..., die luidt die alleen tot convergentie leidt voor |x|<1. Voortbrengende functies zijn een hulpmiddel voor het oplossen van recursies en differentievergelijkingen. En matemáticas, una función generadora o función generatriz es una serie formal de potencias cuyos coeficientes codifican información sobre una sucesión an cuyo índice corre sobre los enteros no negativos. Hay varios tipos de funciones generadoras: funciones generadoras ordinarias, funciones generadoras exponenciales, la serie de Lambert, la serie de Bell y la serie de Dirichlet; de las cuales abajo se ofrecen definiciones y ejemplos. Cada sucesión tiene una función generadora de cierto tipo. El tipo de función generadora que es apropiada en un contexto dado depende de la naturaleza de la sucesión y los detalles del problema que se analiza. Las funciones generadoras son expresiones cerradas en un argumento formal x. A veces, una función generadora se «evalúa» en un valor específico x=a pero hay que tener en cuenta que las funciones generadoras son series formales de potencias, por lo que no se considera ni se analiza el problema de la convergencia en todos los valores de x. Por lo mismo es importante observar que las funciones generadoras no son realmente funciones en en el sentido usual de ser mapeos entre un dominio y un codominio; el nombre es únicamente el resultado del desarrollo histórico de su estudio. Una función generadora es una cuerda de tender en la que colgamos una sucesión de números para mostrarla Herbert Wilf Em matemática, uma função geradora ou função geratriz é uma série formal cujos coeficientes codificam informações sobre uma sucessão an cujo índice percorre os números naturais. Existem vários tipos de funções geradoras: funções geradoras ordinárias, funções geradoras exponenciais, série de Lambert, série de Bell, série de Fourier, série de Eisenstein e a série de Dirichlet; das quais existem muitos exemplos. Cada sucessão tem uma função geradora de certo tipo. Este tipo de função geradora que é apropiada num contexto dado depende da natureza da sucessão e dos detalhes do problema analisado. As funções geradoras são expressões fechadas num argumento formal x. Às vezes, uma função geradora é avaliada num valor específico x=a pelo que se deve ter em conta que as funções geradoras são series formais, que não se considera nem se analisa o problema da convergência para todos os valores de x. Por isto mesmo é importante observar que as funções geradoras não são realmente funções no sentido usual de ser uma relação entre dois conjuntos, ou seja, entre um domínio e um contradomínio. O nome é unicamente o resultado do desenvolvimento histórico de seu estudo. Uma função geradora é uma corda de estender em que penduramos uma sucessão de números para mostrá-los Herbert Wilf In matematica una funzione generatrice è una serie formale di potenze i cui coefficienti costituiscono i componenti an di una successione indicizzata dai numeri naturali; spesso questa successione viene rappresentata efficacemente dalla funzione generatrice, specialmente quando per questa si trova qualche espressione sufficientemente maneggevole e significativa. Sono studiati vari tipi di funzioni generatrici, come funzioni generatrici ordinarie, funzioni generatrici esponenziali, serie di Lambert, serie di Bell e serie di Dirichlet; qui di seguito ne sono date le definizioni e alcuni esempi. Ad ogni successione possono essere associate le funzioni generatrici di tutti i tipi. Quale può essere la particolare funzione generatrice che risulta più utile in un dato contesto dipende dalla natura della successione e dai dettagli del problema che si sta affrontando. Le funzioni generatrici sono spesso individuate in una forma chiusa come funzioni di una variabile formale x. Talvolta risulta utile valutare una funzione generatrice per uno specifico valore reale o complesso della x. Tuttavia occorre tenere presente che le funzioni generatrici sono serie formali di potenze e per esse non viene necessariamente richiesta la convergenza per determinati valori attribuiti alla x. In mathematics, generating function is used to describe an infinite sequence of numbers (an) by treating them as the coefficients of a series expansion. The sum of this infinite series is the generating function. Unlike an ordinary series, this formal series is allowed to diverge, meaning that the generating function is not always a true function and the "variable" is actually an indeterminate. Generating functions were first introduced by Abraham de Moivre in 1730, in order to solve the general linear recurrence problem. One can generalize to formal series in more than one indeterminate, to encode information about arrays of numbers indexed by several natural numbers. There are various types of generating functions, including ordinary generating functions, exponential generating functions, Lambert series, Bell series, and Dirichlet series; definitions and examples are given below. Every sequence in principle has a generating function of each type (except that Lambert and Dirichlet series require indices to start at 1 rather than 0), but the ease with which they can be handled may differ considerably. The particular generating function, if any, that is most useful in a given context will depend upon the nature of the sequence and the details of the problem being addressed. Generating functions are often expressed in closed form (rather than as a series), by some expression involving operations defined for formal series. These expressions in terms of the indeterminate x may involve arithmetic operations, differentiation with respect to x and composition with (i.e., substitution into) other generating functions; since these operations are also defined for functions, the result looks like a function of x. Indeed, the closed form expression can often be interpreted as a function that can be evaluated at (sufficiently small) concrete values of x, and which has the formal series as its series expansion; this explains the designation "generating functions". However such interpretation is not required to be possible, because formal series are not required to give a convergent series when a nonzero numeric value is substituted for x. Also, not all expressions that are meaningful as functions of x are meaningful as expressions designating formal series; for example, negative and fractional powers of x are examples of functions that do not have a corresponding formal power series. Generating functions are not functions in the formal sense of a mapping from a domain to a codomain. Generating functions are sometimes called generating series, in that a series of terms can be said to be the generator of its sequence of term coefficients. Метод производящих функций — применяемый в комбинаторике метод основанный на сходимости рядов. Производящие функции дают возможность просто описывать многие сложные последовательности в комбинаторике, а иногда помогают найти для них явные формулы. Funkcja tworząca dla ciągu jest zdefiniowana jako . Ciąg może być w szczególnym przypadku ciągiem liczbowym (wartości są liczbami naturalnymi, jak to się dzieje, gdy odpowiada on zliczaniu obiektów kombinatorycznych, rzeczywistymi, zespolonymi) jednak w ogólności jego wartości mogą być inne (np. funkcje). Tymczasem jednomiany mogą być rozpatrywane jako wyrazy pierścienia szeregu formalnego (gdy interesują nas wyłącznie algebraiczne właściwości funkcji tworzącej) albo liczby (rzeczywiste lub zespolone). En mathématiques, et notamment en analyse et en combinatoire, une série génératrice (appelée autrefois fonction génératrice, terminologie encore utilisée en particulier dans le contexte de la théorie des probabilités) est une série formelle dont les coefficients codent une suite an de nombres (ou plus généralement de polynômes, etc.) ; on dit que la série est associée à la suite. Ces séries furent introduites par Abraham de Moivre en 1730, pour obtenir des formules explicites pour des suites définies par récurrence linéaire. Il existe plusieurs sortes de séries génératrices, comme les séries génératrices exponentielles, les séries de Lambert, les séries de Dirichlet, etc. On peut associer à toute suite une série génératrice de chaque type, mais la facilité de manipulation de la série dépend considérablement de la nature de la suite associée, et du problème qu'on cherche à étudier. Il est souvent possible d'étudier une suite donnée à l'aide de manipulations formelles de la série génératrice associée, ainsi qu'en utilisant les propriétés analytiques de la fonction somme de la série, du moins si celle-ci converge pour un ensemble assez grand de valeurs ; c'est ce dernier cas, assez fréquent en pratique, qui justifie la dénomination de fonction génératrice. In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik versteht man unter der erzeugenden Funktion einer Folge die formale Potenzreihe . Zum Beispiel ist die erzeugende Funktion der konstanten Folge die geometrische Reihe Die Reihe konvergiert für alle und besitzt den Wert . Wegen der Verwendung formaler Potenzreihen spielen allerdings im Allgemeinen Konvergenzfragen keine Rolle – ist lediglich ein Symbol. Diese explizitere Darstellung als Potenzreihe ermöglicht oft Rückschlüsse auf die Folge.
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