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アーベル群 Abelian group Abelsche Gruppe Groupe abélien Grupo abeliano زمرة أبيلية Grupo abeliano 阿贝尔群 Grupa przemienna Gruppo abeliano Abelse groep Абелева группа
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Eine abelsche Gruppe (nach dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel) oder kommutative Gruppe ist in der Gruppentheorie eine Gruppe, für die das Kommutativgesetz gilt. Eine Gruppe ist eine Menge mit einer zweistelligen inneren Verknüpfung, für die bestimmte Bedingungen gelten: das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen Elementen. Bei abelschen Gruppen gilt zusätzlich das Kommutativgesetz, das heißt, man kann die Operanden vertauschen, ohne dass sich das Ergebnis der Verknüpfung ändert. Ein einfaches Beispiel ist die Menge Un gruppo abeliano, o gruppo commutativo, è un gruppo la cui operazione binaria gode della proprietà commutativa: il gruppo è abeliano se Il nome deriva dal matematico norvegese Niels Henrik Abel. I gruppi abeliani sono una generalizzazione dell'operazione aritmetica di somma sui numeri interi. Un gruppo la cui operazione non è commutativa, viene chiamato gruppo non-abeliano o gruppo non-commutativo. А́белева (или коммутати́вная) гру́ппа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа абелева, если для любых двух элементов . Обычно для обозначения групповой операции в абелевой группе используется аддитивная запись, то есть групповая операция обозначается знаком и называется сложением. Название дано в честь норвежского математика Н. Абеля за его вклад в исследование групп подстановок. Em álgebra abstrata, um grupo abeliano, chamado também de grupo comutativo, é um grupo em que para quaisquer e em . Em outras palavras, a aplicação da operação binária não depende da ordem dos elementos do grupo. Os grupos abelianos receberam esse nome devido a Niels Henrik Abel. Os grupos que não são comutativos são chamados não-abelianos (ou não-comutativos). Em geral, a teoria dos grupos abelianos é mais simples do que a dos não abelianos, e os grupos abelianos finitos são bem compreendidos. Por outro lado, os grupos abelianos infinitos são um tópico de pesquisa científica atual. في الجبر التجريدي، زمرة أبيلية (بالإنجليزية: Abelian group)، وتسمى أيضا زمرة تبادلية، هي زمرة حيث نتيجة تطبيق عملية الزمرة على عنصرين لا يتعلق بالترتيب الذي جاءا به هذان العنصران أثناء تطبيق العملية. سميت هذه الزمر هكذا نسبة إلى نيلس هنريك أبيل. Grupa przemienna (abelowa) – grupa, w której działanie jest przemienne. Zwyczajowo, w przypadku grup przemiennych stosuje się zapis addytywny. Nazwa abelowa pochodzi od nazwiska Nielsa Abela, norweskiego matematyka, w którego pracach implicite pojawia się to pojęcie. Grupę, która nie jest przemienna nazywamy nieprzemienną lub nieabelową. Een abelse groep, ook wel commutatieve groep genoemd, is een groep die voldoet aan de additionele eis dat het product van twee elementen niet afhangt van de volgorde waarin de groepsbewerking wordt uitgevoerd (het axioma van commutativiteit). Abelse groepen zijn genoemd naar de Noorse wiskundige Niels Henrik Abel. Abelse groepen veralgemenen de rekenkunde van de optelling van de gehele getallen. Dada una estructura algebraica sobre un conjunto A, y con una operación o ley de composición interna binaria: " ". Se dice que la estructura es un Grupo abeliano con respecto a la operación si: 1. * tiene estructura algebraica Grupo. 2. * tiene la Propiedad conmutativa. Los grupos abelianos son así llamados en honor al matemático noruego Niels Henrik Abel, quien utilizó estos grupos en el estudio de las ecuaciones algebraicas solubles por radicales. Los grupos que no son conmutativos se denominan no abelianos (también no conmutativos, con menos frecuencia). In abstract algebra, an abelian group, also called a commutative group, is a group in which the result of applying the group operation to two group elements does not depend on the order in which they are written (the axiom of commutativity). Abelian groups generalize the arithmetic of addition of integers. They are named after Niels Henrik Abel. 阿貝爾群(Abelian group)也稱爲交換群(commutative group)或可交換群,它是滿足其元素的運算不依賴於它們的次序(交換律公理)的群。阿貝爾群推廣了整數集合的加法運算。阿貝爾群以挪威數學家尼尔斯·阿貝爾命名。 阿貝爾群的概念是抽象代數的基本概念之一。其基本研究對象是模和向量空間。阿貝爾群的理論比其他非阿貝爾群簡單。有限阿貝爾群已經被徹底地研究了。無限阿貝爾群理論則是目前正在研究的領域。 数学、とくに抽象代数学におけるアーベル群(アーベルぐん、英: abelian group)または可換群(かかんぐん、英: commutative group)とは、定義される乗法が可換な群のことである。名称は、ノルウェーの数学者ニールス・アーベルに因む。しばしば、演算は "+" を用いて加法的に記されて加法群(かほうぐん、英: additive group)ともよばれる。また、加群(かぐん、英: module)とも呼ばれることがあるがこの場合、別の代数系からの作用とともに考えていることが多い(環上の加群、群上の加群など)。Z 上の加群のことを単に加群と言うことも多い。Z 上の加群とアーベル群は自然に同一視される。 Un groupe abélien (du nom de Niels Abel), ou groupe commutatif, est un groupe dont la loi de composition interne est commutative. Vu autrement, un groupe commutatif peut aussi être défini comme un module sur l'anneau commutatif ℤ des entiers relatifs ; l'étude des groupes abéliens apparaît alors comme un cas particulier de la théorie des modules. On sait classifier de façon simple et explicite les groupes abéliens de type fini à isomorphisme près, et en particulier décrire les groupes abéliens finis.
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في الجبر التجريدي، زمرة أبيلية (بالإنجليزية: Abelian group)، وتسمى أيضا زمرة تبادلية، هي زمرة حيث نتيجة تطبيق عملية الزمرة على عنصرين لا يتعلق بالترتيب الذي جاءا به هذان العنصران أثناء تطبيق العملية. سميت هذه الزمر هكذا نسبة إلى نيلس هنريك أبيل. Een abelse groep, ook wel commutatieve groep genoemd, is een groep die voldoet aan de additionele eis dat het product van twee elementen niet afhangt van de volgorde waarin de groepsbewerking wordt uitgevoerd (het axioma van commutativiteit). Abelse groepen zijn genoemd naar de Noorse wiskundige Niels Henrik Abel. Abelse groepen veralgemenen de rekenkunde van de optelling van de gehele getallen. Het concept van een abelse groep is een van de eerste concepten die men tegenkomt in de abstracte algebra. Modules en vectorruimtes kunnen als verfijningen van abelse groepen worden gezien. De theorie van de abelse groepen is in het algemeen eenvoudiger dan die van de niet-abelse groepen. Eindige abelse groepen worden goed begrepen. De theorie van de oneindige abelse groepen is echter een gebied waarnaar ook nu nog veel onderzoek wordt verricht. Eine abelsche Gruppe (nach dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel) oder kommutative Gruppe ist in der Gruppentheorie eine Gruppe, für die das Kommutativgesetz gilt. Eine Gruppe ist eine Menge mit einer zweistelligen inneren Verknüpfung, für die bestimmte Bedingungen gelten: das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen Elementen. Bei abelschen Gruppen gilt zusätzlich das Kommutativgesetz, das heißt, man kann die Operanden vertauschen, ohne dass sich das Ergebnis der Verknüpfung ändert. Ein einfaches Beispiel ist die Menge der ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung. Eine Gruppe ist genau dann abelsch, wenn ihre Verknüpfungstafel symmetrisch zur Hauptdiagonalen ist. Jede Untergruppe einer abelschen Gruppe ist ein Normalteiler der Gruppe. Jeder abelschen Gruppe lässt sich auch ein Rang zuordnen. Die endlich erzeugten abelschen Gruppen sind vollständig klassifiziert. In abstract algebra, an abelian group, also called a commutative group, is a group in which the result of applying the group operation to two group elements does not depend on the order in which they are written (the axiom of commutativity). Abelian groups generalize the arithmetic of addition of integers. They are named after Niels Henrik Abel. The concept of an abelian group is one of the first concepts encountered in undergraduate abstract algebra, from which many other basic concepts, such as modules and vector spaces are developed. The theory of abelian groups is generally simpler than that of their non-abelian counterparts, and finite abelian groups are very well understood. On the other hand, the theory of infinite abelian groups is an area of current research. Un groupe abélien (du nom de Niels Abel), ou groupe commutatif, est un groupe dont la loi de composition interne est commutative. Vu autrement, un groupe commutatif peut aussi être défini comme un module sur l'anneau commutatif ℤ des entiers relatifs ; l'étude des groupes abéliens apparaît alors comme un cas particulier de la théorie des modules. On sait classifier de façon simple et explicite les groupes abéliens de type fini à isomorphisme près, et en particulier décrire les groupes abéliens finis. Grupa przemienna (abelowa) – grupa, w której działanie jest przemienne. Zwyczajowo, w przypadku grup przemiennych stosuje się zapis addytywny. Nazwa abelowa pochodzi od nazwiska Nielsa Abela, norweskiego matematyka, w którego pracach implicite pojawia się to pojęcie. Grupę, która nie jest przemienna nazywamy nieprzemienną lub nieabelową. Dada una estructura algebraica sobre un conjunto A, y con una operación o ley de composición interna binaria: " ". Se dice que la estructura es un Grupo abeliano con respecto a la operación si: 1. * tiene estructura algebraica Grupo. 2. * tiene la Propiedad conmutativa. Los grupos abelianos son así llamados en honor al matemático noruego Niels Henrik Abel, quien utilizó estos grupos en el estudio de las ecuaciones algebraicas solubles por radicales. Los grupos que no son conmutativos se denominan no abelianos (también no conmutativos, con menos frecuencia). А́белева (или коммутати́вная) гру́ппа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа абелева, если для любых двух элементов . Обычно для обозначения групповой операции в абелевой группе используется аддитивная запись, то есть групповая операция обозначается знаком и называется сложением. Название дано в честь норвежского математика Н. Абеля за его вклад в исследование групп подстановок. 阿貝爾群(Abelian group)也稱爲交換群(commutative group)或可交換群,它是滿足其元素的運算不依賴於它們的次序(交換律公理)的群。阿貝爾群推廣了整數集合的加法運算。阿貝爾群以挪威數學家尼尔斯·阿貝爾命名。 阿貝爾群的概念是抽象代數的基本概念之一。其基本研究對象是模和向量空間。阿貝爾群的理論比其他非阿貝爾群簡單。有限阿貝爾群已經被徹底地研究了。無限阿貝爾群理論則是目前正在研究的領域。 Un gruppo abeliano, o gruppo commutativo, è un gruppo la cui operazione binaria gode della proprietà commutativa: il gruppo è abeliano se Il nome deriva dal matematico norvegese Niels Henrik Abel. I gruppi abeliani sono una generalizzazione dell'operazione aritmetica di somma sui numeri interi. Un gruppo la cui operazione non è commutativa, viene chiamato gruppo non-abeliano o gruppo non-commutativo. 数学、とくに抽象代数学におけるアーベル群(アーベルぐん、英: abelian group)または可換群(かかんぐん、英: commutative group)とは、定義される乗法が可換な群のことである。名称は、ノルウェーの数学者ニールス・アーベルに因む。しばしば、演算は "+" を用いて加法的に記されて加法群(かほうぐん、英: additive group)ともよばれる。また、加群(かぐん、英: module)とも呼ばれることがあるがこの場合、別の代数系からの作用とともに考えていることが多い(環上の加群、群上の加群など)。Z 上の加群のことを単に加群と言うことも多い。Z 上の加群とアーベル群は自然に同一視される。 Em álgebra abstrata, um grupo abeliano, chamado também de grupo comutativo, é um grupo em que para quaisquer e em . Em outras palavras, a aplicação da operação binária não depende da ordem dos elementos do grupo. Os grupos abelianos receberam esse nome devido a Niels Henrik Abel. Os grupos que não são comutativos são chamados não-abelianos (ou não-comutativos). Em geral, a teoria dos grupos abelianos é mais simples do que a dos não abelianos, e os grupos abelianos finitos são bem compreendidos. 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