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- En teoria de nombres, el Teorema de von Staudt-Clausen (o Teorema de Staudt-Clausen) diu que: on és un nombre de Bernoulli, és un nombre enter i els són els nombres primers que satisfan , és a dir que és divisor de . Aquest teorema permet caracteritzar els denominadors de tots els nombres de Bernoulli, que sempre seran un producte de nombres primers (i, per tant, mai quadrats perfectes) i sempre seran divisibles per . (ca)
- مبرهنة فون شتاوت-كلاوسن (بالإنجليزية: Von Staudt–Clausen theorem) هي نتيجة تمكن من تحديد من أعداد بيرنولي. برهن على هذه المبرهنة كارل جورج كريستيان فون شتاوت (عام 1840) و (عام 1840) بمعزل الواحد منهما عن الآخر. (ar)
- En teoría de números, el teorema de von Staudt–Clausen es un resultado que determina la parte fraccionaria de los números de Bernoulli, descubierto independientemente porKarl von Staudt y Thomas Clausen en 1840. Concretamente, si n es un entero positivo y se suma 1/p al número de Bernoulli B2n por cada primo p tal que p − 1 divida a 2n, se obtiene un entero, i.e., Este hecho permite inmediatamente caracterizar los denominadores de los números de Bernoulli B2n distindos de cero como el producto de todos los primos p tales que p − 1 divida 2n; consecuentemente los denominadores son libres de cuadrados y divisibles por 6. Estos denominadores son 6, 30, 42, 30, 66, 2730, 6, 510, 798, 330, 138, 2730, 6, 870, 14322, 510, 6, 1919190, 6, 13530, ... (sucesión A002445 en OEIS). (es)
- En théorie des nombres, le théorème de von Staudt-Clausen est un résultat sur la partie fractionnaire des nombres de Bernoulli non entiers. Précisément, si n = 2k est un entier pair non nul et si l'on ajoute 1⁄p à Bn pour tous les nombres premiers p tel que p – 1 divise n, on obtient un nombre entier : La propriété est également vérifiée pour n = 1 : B1 + 1⁄2 = 0. (Pour les autres nombres de Bernoulli d'indice impair, on obtient 1⁄2.) Par conséquent, les nombres de Bernoulli non nuls de rang pair B2k (k ≥ 1) s'écrivent : où A2k est un nombre entier. Ce fait permet immédiatement de caractériser les dénominateurs des nombres de Bernoulli Bn non entiers comme le produit de tous les nombres premiers p tel que p – 1 divise n ; par conséquent, les dénominateurs sont sans carré et, si n est pair, divisibles par 6. Le résultat fut nommé ainsi en l'honneur de Karl von Staudt et Thomas Clausen, qui l'ont découvert indépendamment en 1840. (fr)
- In number theory, the von Staudt–Clausen theorem is a result determining the fractional part of Bernoulli numbers, found independently byKarl von Staudt and Thomas Clausen. Specifically, if n is a positive integer and we add 1/p to the Bernoulli number B2n for every prime p such that p − 1 divides 2n, we obtain an integer, i.e., This fact immediately allows us to characterize the denominators of the non-zero Bernoulli numbers B2n as the product of all primes p such that p − 1 divides 2n; consequently the denominators are square-free and divisible by 6. These denominators are 6, 30, 42, 30, 66, 2730, 6, 510, 798, 330, 138, 2730, 6, 870, 14322, 510, 6, 1919190, 6, 13530, ... (sequence in the OEIS). The sequence of integers is 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, -6, 56, -528, 6193, -86579, 1425518, -27298230, ... (sequence in the OEIS). (en)
- De stelling van von Staudt-Clausen is een stelling uit de getaltheorie over de Bernoulligetallen. De stelling is genoemd naar en , die ze onafhankelijk van elkaar formuleerden in 1840. De stelling zegt dat, als bij het Bernouilligetal met positieve even index de reciproquen van alle priemgetallen optelt waarvoor een deler is van , men een geheel getal verkrijgt: Bijgevolg kan men de Bernouilligetallen uitdrukken als: waarin een geheel getal is. Hieruit blijkt dat de noemer van het Bernouilligetal gelijk is aan het product van alle priemgetallen waarvoor een deler is van . Deze noemers zijn kwadraatvrij en steeds een veelvoud van zes, vermits de priemgetallen 2 en 3 in elke som voorkomen. De gehele getallen voor zijn: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, −6, 56, −528, ... (nl)
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- En teoria de nombres, el Teorema de von Staudt-Clausen (o Teorema de Staudt-Clausen) diu que: on és un nombre de Bernoulli, és un nombre enter i els són els nombres primers que satisfan , és a dir que és divisor de . Aquest teorema permet caracteritzar els denominadors de tots els nombres de Bernoulli, que sempre seran un producte de nombres primers (i, per tant, mai quadrats perfectes) i sempre seran divisibles per . (ca)
- مبرهنة فون شتاوت-كلاوسن (بالإنجليزية: Von Staudt–Clausen theorem) هي نتيجة تمكن من تحديد من أعداد بيرنولي. برهن على هذه المبرهنة كارل جورج كريستيان فون شتاوت (عام 1840) و (عام 1840) بمعزل الواحد منهما عن الآخر. (ar)
- En teoría de números, el teorema de von Staudt–Clausen es un resultado que determina la parte fraccionaria de los números de Bernoulli, descubierto independientemente porKarl von Staudt y Thomas Clausen en 1840. Concretamente, si n es un entero positivo y se suma 1/p al número de Bernoulli B2n por cada primo p tal que p − 1 divida a 2n, se obtiene un entero, i.e., Estos denominadores son 6, 30, 42, 30, 66, 2730, 6, 510, 798, 330, 138, 2730, 6, 870, 14322, 510, 6, 1919190, 6, 13530, ... (sucesión A002445 en OEIS). (es)
- En théorie des nombres, le théorème de von Staudt-Clausen est un résultat sur la partie fractionnaire des nombres de Bernoulli non entiers. Précisément, si n = 2k est un entier pair non nul et si l'on ajoute 1⁄p à Bn pour tous les nombres premiers p tel que p – 1 divise n, on obtient un nombre entier : La propriété est également vérifiée pour n = 1 : B1 + 1⁄2 = 0. (Pour les autres nombres de Bernoulli d'indice impair, on obtient 1⁄2.) Par conséquent, les nombres de Bernoulli non nuls de rang pair B2k (k ≥ 1) s'écrivent : où A2k est un nombre entier. (fr)
- In number theory, the von Staudt–Clausen theorem is a result determining the fractional part of Bernoulli numbers, found independently byKarl von Staudt and Thomas Clausen. Specifically, if n is a positive integer and we add 1/p to the Bernoulli number B2n for every prime p such that p − 1 divides 2n, we obtain an integer, i.e., This fact immediately allows us to characterize the denominators of the non-zero Bernoulli numbers B2n as the product of all primes p such that p − 1 divides 2n; consequently the denominators are square-free and divisible by 6. These denominators are (en)
- De stelling van von Staudt-Clausen is een stelling uit de getaltheorie over de Bernoulligetallen. De stelling is genoemd naar en , die ze onafhankelijk van elkaar formuleerden in 1840. De stelling zegt dat, als bij het Bernouilligetal met positieve even index de reciproquen van alle priemgetallen optelt waarvoor een deler is van , men een geheel getal verkrijgt: Bijgevolg kan men de Bernouilligetallen uitdrukken als: waarin een geheel getal is. De gehele getallen voor zijn: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, −6, 56, −528, ... (nl)
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