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- En matemàtiques, el grup circular, simbolitzat per T, és el grup multiplicatiu de tots els nombres complexos amb valor absolut 1, és a dir, la circumferència unitat en el pla complex o, senzillament, els nombres complexos unitaris El grup circular és un subgrup de C×, el grup multiplicatiu de tots els nombres complexos no-nuls. Com que C× és abelià, llavors T també ho és. El grup circular també és el grup U(1) de matrius unitàries de dimensió 1×1 amb entrades complexes; aquestes matrius actuen sobre el pla complex per rotació al voltant de l'origen. El grup circular es pot parametritzar per l'angle θ de rotació mitjançant Aquesta és l'aplicació exponencial per al grup circular. El grup circular juga un rol molt important en la dualitat de Pontryagin, i en la teoria de grups de Lie. La notació T per al grup circular prové del fet que, amb la topologia estàndard, el grup circular és un 1-tor. Més en general, Tn (el producte directe de T amb ell n vegades) és geomètricament un n-tor. (ca)
- زمرة الدائرة (بالإنجليزية: Circle group) هي زمرة تتكون من مجموعة الأعداد العقدية التي تساوي قيمتها المطلقة 1, مزودةً بعملية الجداء. يرمز إليها بالرمز T أو . على سبيل المثال فإن دائرة الوحدة للمستوي العقدي تعطى بالشكل: (ar)
- Die Kreisgruppe oder Torusgruppe ist in der Mathematik eine Gruppe, die die Drehungen um einen festen Punkt im zweidimensionalen Raum (einer Ebene) zusammenfasst und die Hintereinanderausführung dieser Drehungen beschreibt. Eine solche Drehung lässt sich eindeutig durch einen Winkel beschreiben, die Hintereinanderausführung zweier Drehungen entspricht gerade der Drehung um die Summe der beiden Winkel der einzelnen Drehungen. Eine volle Umdrehung wird dabei wiederum mit keiner Drehung identifiziert. (de)
- In mathematics, the circle group, denoted by or , is the multiplicative group of all complex numbers with absolute value 1, that is, the unit circle in the complex plane or simply the unit complex numbers The circle group forms a subgroup of , the multiplicative group of all nonzero complex numbers. Since is abelian, it follows that is as well. A unit complex number in the circle group represents a rotation of the complex plane about the origin and can be parametrized by the angle measure : This is the exponential map for the circle group. The circle group plays a central role in Pontryagin duality and in the theory of Lie groups. The notation for the circle group stems from the fact that, with the standard topology (see below), the circle group is a 1-torus. More generally, (the direct product of with itself times) is geometrically an -torus. The circle group is isomorphic to the special orthogonal group . (en)
- El grupo circular, representado por , es el grupo multiplicativo formado por los números complejos ubicados sobre la circunferencia unidad del plano complejo, es decir, los números complejos cuyo valor absoluto es 1. En símbolos, , con la operación de grupo la multiplicación de números complejos. Puesto que el producto de números complejos es conmutativo, se trata de un grupo abeliano. Todo elemento de es de la forma , con e la base del logaritmo natural, i la unidad imaginaria y θ un número real cualquiera. Esta caracterización de los elementos de hace manifiesta la interpretación geométrica de su producto, pues , lo que muestra que el producto de elementos de equivale a una rotación respecto del origen del plano complejo. El grupo circular es un subgrupo del grupo multiplicativo de los números complejos no nulos, . Un resultado interesante es que, de hecho, los grupos multiplicativos y son isomorfos. Una forma equivalente de definir al grupo circular es como el grupo multiplicativo de las matrices unitarias complejas de , representado por . (es)
- 군론에서 원군(圓群, 영어: circle group)은 절댓값이 1인 복소수로 구성된 1차원 리 군이다. SO(2) 또는 U(1)으로 불리며, 폰트랴긴 쌍대성을 발생시킨다. (ko)
- In matematica, il gruppo circolare (indicato in grassetto da lavagna con o in semplice grassetto con T) è il gruppo moltiplicativo di tutti i numeri complessi con valore assoluto pari a 1, cioè il cerchio unitario nel piano complesso, dotato dell'ordinaria moltiplicazione del campo complesso. Il gruppo circolare forma un sottogruppo di C×, il gruppo moltiplicativo di tutti i numeri complessi non nulli. Poiché C× è abeliano, segue che anche T lo è.La notazione T per il gruppo circolare deriva dal fatto che Tn (il prodotto diretto di T con sé stesso n volte) è geometricamente un n-toro. Il gruppo circolare è quindi un 1-toro. (it)
- 数学における円周群（えんしゅうぐん、英: circle group; 円群）とは、絶対値 1 の複素数（単位複素数）全体（つまり複素数平面上の単位円）のなす乗法群のことである。記号で と表し、(T, ×) はアーベル群 C× の部分群である。 円周群は複素 1次ユニタリ行列全体のなす群 U(1) と見ることもできて、これは複素数平面上で原点中心の回転として作用する。 円周群は角 θ による媒介変数表示が可能で、写像 は円周群に対する指数写像となる。 円周群はポントリャーギン双対性において中心的な役割を果たし、あるいはリー群論においても重要である。 円周群 T の回転群としての解釈は、標準位相に関して円周群が一次元トーラスに位相群として同型であるという事実に発する。より一般に、T の n重直積群 Tn は幾何学的に n次元トーラスである。 (ja)
- In de wiskunde is de cirkelgroep, aangeduid door of , de multiplicatieve groep van de complexe getallen met absolute waarde gelijk aan 1. De elementen van zijn dus de punten op de eenheidscirkel in het complexe vlak en de bewerking is de vermenigvuldiging. Een isomorfe representatie is als de additieve groep (nl)
- Grupa okręgu – podgrupa grupy multiplikatywnej ciała liczb zespolonych złożona ze wszystkich liczb o module równym 1; W grupie jako podgrupie grupy multiplikatywnej ciała działaniem jest zwykłe mnożenie liczb zespolonych, a elementem neutralnym jest Grupa okręgu w naturalny sposób daje się utożsamić z grupą obrotów płaszczyzny wokół ustalonego punktu, zwykle początku, z działaniem ich składania. Grupa ta pełni istotną rolę w teorii grup Liego. Traktując płaszczyznę jako rzeczywistą przestrzeń liniową bądź jako przestrzeń unitarną (euklidesową) grupę okręgu można utożsamiać z grupą przekształceń liniowych, lub odpowiednio, przekształceń unitarnych o wyznaczniku 1 (z działaniem ich składania). Przestrzeń produktowa dwóch kopii grupy okręgu jest homeomorficzna z torusem (2-torusem ), a zatem okrąg może być interpretowany jako 1-torus, skąd pochodzi oznaczenie (pl)
- (унитарная группа порядка 1) в математике — мультипликативная абелева группа всех комплексных чисел, равных по модулю единице: . Является также одномерной группой Ли и представляет собой окружность. Изоморфна группе вращений двумерного вещественного пространства. (ru)
- 在數學裡，圓群標記為T，為所有模為1之複數所組成的乘法群，即在複數平面上的單位圓。 圓群為所有非零複數所組成之乘法群C×的子群。由于C×可交換，T也是可交換的。 圓群的符號T源自於Tn（n個T的直積）幾何上是個n-環面的此一事實。而圓群即正是一個1-環面。 (zh)
- (унітарна група порядку 1) в математиці — мультиплікативна абелева група всіх комплексних чисел, що за модулем дорівнюють одиниці: . Є також одновимірної групою Лі і являє собою коло. Ізоморфна групі обертань двовимірного дійсного простору. (uk)
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- زمرة الدائرة (بالإنجليزية: Circle group) هي زمرة تتكون من مجموعة الأعداد العقدية التي تساوي قيمتها المطلقة 1, مزودةً بعملية الجداء. يرمز إليها بالرمز T أو . على سبيل المثال فإن دائرة الوحدة للمستوي العقدي تعطى بالشكل: (ar)
- Die Kreisgruppe oder Torusgruppe ist in der Mathematik eine Gruppe, die die Drehungen um einen festen Punkt im zweidimensionalen Raum (einer Ebene) zusammenfasst und die Hintereinanderausführung dieser Drehungen beschreibt. Eine solche Drehung lässt sich eindeutig durch einen Winkel beschreiben, die Hintereinanderausführung zweier Drehungen entspricht gerade der Drehung um die Summe der beiden Winkel der einzelnen Drehungen. Eine volle Umdrehung wird dabei wiederum mit keiner Drehung identifiziert. (de)
- 군론에서 원군(圓群, 영어: circle group)은 절댓값이 1인 복소수로 구성된 1차원 리 군이다. SO(2) 또는 U(1)으로 불리며, 폰트랴긴 쌍대성을 발생시킨다. (ko)
- 数学における円周群（えんしゅうぐん、英: circle group; 円群）とは、絶対値 1 の複素数（単位複素数）全体（つまり複素数平面上の単位円）のなす乗法群のことである。記号で と表し、(T, ×) はアーベル群 C× の部分群である。 円周群は複素 1次ユニタリ行列全体のなす群 U(1) と見ることもできて、これは複素数平面上で原点中心の回転として作用する。 円周群は角 θ による媒介変数表示が可能で、写像 は円周群に対する指数写像となる。 円周群はポントリャーギン双対性において中心的な役割を果たし、あるいはリー群論においても重要である。 円周群 T の回転群としての解釈は、標準位相に関して円周群が一次元トーラスに位相群として同型であるという事実に発する。より一般に、T の n重直積群 Tn は幾何学的に n次元トーラスである。 (ja)
- In de wiskunde is de cirkelgroep, aangeduid door of , de multiplicatieve groep van de complexe getallen met absolute waarde gelijk aan 1. De elementen van zijn dus de punten op de eenheidscirkel in het complexe vlak en de bewerking is de vermenigvuldiging. Een isomorfe representatie is als de additieve groep (nl)
- (унитарная группа порядка 1) в математике — мультипликативная абелева группа всех комплексных чисел, равных по модулю единице: . Является также одномерной группой Ли и представляет собой окружность. Изоморфна группе вращений двумерного вещественного пространства. (ru)
- 在數學裡，圓群標記為T，為所有模為1之複數所組成的乘法群，即在複數平面上的單位圓。 圓群為所有非零複數所組成之乘法群C×的子群。由于C×可交換，T也是可交換的。 圓群的符號T源自於Tn（n個T的直積）幾何上是個n-環面的此一事實。而圓群即正是一個1-環面。 (zh)
- (унітарна група порядку 1) в математиці — мультиплікативна абелева група всіх комплексних чисел, що за модулем дорівнюють одиниці: . Є також одновимірної групою Лі і являє собою коло. Ізоморфна групі обертань двовимірного дійсного простору. (uk)
- En matemàtiques, el grup circular, simbolitzat per T, és el grup multiplicatiu de tots els nombres complexos amb valor absolut 1, és a dir, la circumferència unitat en el pla complex o, senzillament, els nombres complexos unitaris Aquesta és l'aplicació exponencial per al grup circular. El grup circular juga un rol molt important en la dualitat de Pontryagin, i en la teoria de grups de Lie. La notació T per al grup circular prové del fet que, amb la topologia estàndard, el grup circular és un 1-tor. Més en general, Tn (el producte directe de T amb ell n vegades) és geomètricament un n-tor. (ca)
- In mathematics, the circle group, denoted by or , is the multiplicative group of all complex numbers with absolute value 1, that is, the unit circle in the complex plane or simply the unit complex numbers The circle group forms a subgroup of , the multiplicative group of all nonzero complex numbers. Since is abelian, it follows that is as well. A unit complex number in the circle group represents a rotation of the complex plane about the origin and can be parametrized by the angle measure : This is the exponential map for the circle group. (en)
- El grupo circular, representado por , es el grupo multiplicativo formado por los números complejos ubicados sobre la circunferencia unidad del plano complejo, es decir, los números complejos cuyo valor absoluto es 1. En símbolos, , con la operación de grupo la multiplicación de números complejos. Puesto que el producto de números complejos es conmutativo, se trata de un grupo abeliano. El grupo circular es un subgrupo del grupo multiplicativo de los números complejos no nulos, . Un resultado interesante es que, de hecho, los grupos multiplicativos y son isomorfos. (es)
- In matematica, il gruppo circolare (indicato in grassetto da lavagna con o in semplice grassetto con T) è il gruppo moltiplicativo di tutti i numeri complessi con valore assoluto pari a 1, cioè il cerchio unitario nel piano complesso, dotato dell'ordinaria moltiplicazione del campo complesso. (it)
- Grupa okręgu – podgrupa grupy multiplikatywnej ciała liczb zespolonych złożona ze wszystkich liczb o module równym 1; W grupie jako podgrupie grupy multiplikatywnej ciała działaniem jest zwykłe mnożenie liczb zespolonych, a elementem neutralnym jest Grupa okręgu w naturalny sposób daje się utożsamić z grupą obrotów płaszczyzny wokół ustalonego punktu, zwykle początku, z działaniem ich składania. Grupa ta pełni istotną rolę w teorii grup Liego. (pl)
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