| dbo:abstract
|
- La paradoxa de Russell descrita per Bertrand Russell el 1901 demostra que la teoria originària de conjunts formulada per Cantor i Frege és contradictòria. Suposem un conjunt que consta de conceptes que no són membres de si mateixos. Un exemple descrit és el conjunt que consta d'"idees abstractes", que és membre de si mateix perquè el conjunt és ell mateix una idea abstracta, mentre que un conjunt que consta de "llibres" no és membre de si mateix perquè el conjunt no és un llibre. En la seua paradoxa, Russell preguntava (en carta escrita a Frege el 1902) si el conjunt de conceptes que no formen part de si mateixos formen part de si mateix. Si no forma part de si mateix, pertanyen al tipus de conjunts que sí que formen part de si mateixos. Anomenem M el "conjunt de tots els conjunts que no es contenen a si mateixos com a membres". Llavors, M és un element de M si i només si M no és un element de M, la qual cosa és absurda. Un desenvolupament més formal es presenta en la teoria intuïtiva de conjunts. (ca)
- مُفَارَقَةُ رَاسِلْ (بالإنجليزية: Russell's paradox) والمعروفة أيضًا بـِتَنَاقُض قَوَانِينِ رَاسِلْ والتي وضعها برتراند راسل في عام 1901، توضّح أن نظرية المجموعات المبسطة التي وضعها جورج كانتور تؤدي إلى التناقض. وكانت نفس المفارقة قد اكتشفت من قِبل إرنست تسيرميلو قبل اكتشاف راسل لها بعام ولكنه لم ينشر الفكرة التي بقيت معروفة فقط لهيلبيرت، وهوسرل وأعضاء آخرين من جامعة غوتنغن. وطبقًا لنظرية المجموعات المبسطة، فإن أية مجموعة معرفة هي مجموعة. افترض أن آر هي مجموعة لكل المجموعات التي لا تكوّن مجموعة بنفسها. وإذا كانت آر مؤهلة لتكون مجموعة بنفسها، فإنه يتعارض مع تعريفها الخاص كـمجموعة تحتوي علي كل المجموعات ولا تكون مجموعة بنفسها. ومن ناحية أخرى، إذا كانت المجموعة لا تكون مجموعة بنفسها، فإنها تكون مؤهله لتكوين مجموعة بنفسها طبقًا لنفس التعريف. هذا التناقض هو مفارقة راسل. وفي عام 1908، اقترحت طريقتين لتجنب التناقض، نظرية النمط (type theory) لراسل ونظرية زيرميلو للمجموعة (Zermelo set theory)، والاقتراح الأول أنشأ نظرية المجموعات البديهية (axiomatic set theory). ذهبت بديهيات زرميلو الي ما وراء بديهيات كوتلب فريج في الامتدادية ومجموعة التجريد (set abstraction) اللامحدودة، وطورت الي نظرية زرميلو- فرينكل (Zermelo–Fraenkel set theory) للكنسية المعاصرة (زي إف). (ar)
- Russellův paradox (též Russellova antinomie) je paradox, objevený v roce 1901 Bertrandem Russellem, který ukazuje, že Cantorova intuitivní teorie množin (naivní teorie množin) je vnitřně sporná. (cs)
- Στη θεμελίωση των μαθηματικών, το παράδοξο του Ράσελ (επίσης γνωστό ως αντινομία του Ράσελ), που ανακαλύφθηκε από τον Μπέρτραντ Ράσελ το 1901, έδειξε ότι η αφελής θεωρία συνόλων που δημιουργήθηκε από τον Γκέοργκ Κάντορ οδηγεί σε μια αντίφαση. Το ίδιο παράδοξο είχε ανακαλυφθεί ένα χρόνο πριν από τον , αλλά δεν είχε δημοσιεύσει την ιδέα, που έμεινε γνωστή μόνο στους Χίλμπερτ, Έντμουντ Χούσερλ και άλλα μέλη του Πανεπιστημίου του Γκέτινγκεν. Σύμφωνα με τη θεωρία συνόλων, κάθε προσδιορίσιμη συλλογή είναι ένα σύνολο. Έστω R το σύνολο όλων των συνόλων που δεν είναι μέλη του εαυτού τους. Αν R μπορεί να θεωρηθεί μέλος του εαυτού του, θα ήταν αντίθετος με τον δικό της ορισμό της ως σύνολο που περιέχει όλα τα σύνολα που δεν είναι μέλη του εαυτού τους. Από την άλλη πλευρά, εάν ένα τέτοιο σύνολο δεν είναι μέλος του εαυτού του, θα μπορούσε να χαρακτηρισθεί μέλος της ίδιας από τον ίδιο ορισμό. Αυτή η αντίφαση είναι το παράδοξο του Ράσελ. Το παράδοξο του Ράσελ αποτέλεσε τη βάση την αιτιολόγησης, η οποία τον οδήγησε να διαγράψει οποιαδήποτε ελπίδα έτρεφε για τη θεμελίωση των μαθηματικών σε όρους λογικής. Ο σκοπός της έρευνας ήταν η θεωρία των συνόλων. Και η σκέψη του Ράσελ ήταν ότι, κάθε είδος συνόλου θα πρέπει να ανήκει σε ένα ευρύτερο σύνολο, αλλά η αιτιολόγησή του οδήγησε σε ένα παράδοξο. Ανακάλυψε ότι υπήρχαν σύνολα που δεν ανήκουν σε κανένα άλλο σύνολο, αποδεικνύοντας ότι αυτή η λογική δεν ευσταθεί: το σύνολο όλων των συνόλων (τα οποία δεν περιέχουν τον εαυτό τους), θα πρέπει να περιέχει και να μην περιέχει τον εαυτό του, ταυτόχρονα. Ο Ράσελ το εξήγησε αυτό με μία μικρή ιστορία: «Σε μια χώρα που όλοι οι άντρες είναι καθημερινά ξυρισμένοι, υπάρχει ένας μόνο κουρέας. Αυτός ξυρίζει όλους τους άντρες που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Τότε όμως ποιος ξυρίζει τον κουρέα;». Αναλύοντας το πρόβλημα με τη βοήθεια της Θεωρίας των Συνόλων, είναι σαφές ότι στη χώρα υπάρχουν το σύνολο εκείνων που ξυρίζονται μόνοι τους και το σύνολο εκείνων που ξυρίζονται στον κουρέα. Όλοι, λοιπόν, βάσει του ενός ή του άλλου τρόπου είναι ξυρισμένοι. Το πρόβλημα του φαύλου κύκλου ξεκινά με τον κουρέα. Πώς μπορεί αυτός να είναι ξυρισμένος; Ξυρίζεται μόνος του; Αδύνατον, αφού αυτός ξυρίζει μόνο όλους αυτούς που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Τον ξυρίζει κάποιος άλλος; Όχι, γιατί μόνο ο κουρέας ξυρίζει όλους αυτούς που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Βρισκόμαστε εδώ μπροστά σ’ ένα παράδοξο. Σύμφωνα με τον Ράσελ, για να το ξεπεράσουμε πρέπει να διορθώσουμε τη δική μας λανθασμένη αντίληψη ότι για κάθε ιδιότητα πρέπει οπωσδήποτε να υπάρχει ένα σύνολο. Σ’ αυτή την περίπτωση δε δημιουργείται κανένα ομοιογενές σύνολο. (el)
- Die Russellsche Antinomie ist ein von Bertrand Russell und Ernst Zermelo entdecktes Paradoxon der naiven Mengenlehre, das Russell 1903 publizierte und das daher seinen Namen trägt. (de)
- La Rusela paradokso (aŭ paradokso de Russell) estas matematika paradokso malkovrita de Bertrand Russell en 1901. Ĝi pruvas ke la naiva arteorio uzata ĝis tiam (precipe grava en la teorioj de Georg Cantor kaj Gottlob Frege) estas memkontraŭdira. Konsideru la aron M difinitan kiel "la aro de ĉiuj aroj kiuj ne entenas sin mem". Formale: Ĉi tiu difino kondukas al kontraŭdiro: Se M entenas sin mem, ĝi ne entenas sin mem pro la difino de M. Kaj se M ne entenas sin mem, ĝi entenas sin mem, denove pro la difino de M. En la sistemo de Cantor, M estas aro, do ĝi devus aŭ enteni sin mem aŭ ne enteni sin mem. En la sistemo de Frege, la aro M respondas al la de la nocio "estas plivastigo de iu nocio kaj ne havas la econ de tiu nocio". Ĉi tiu plivastigo havas la econ de tiu nocio se kaj nur se ĝi ne havas tiun econ. (eo)
- La paradoja de Russell o paradoja del barbero, acreditada a Bertrand Russell, demuestra que la teoría original de conjuntos formulada por Cantor y Frege es contradictoria. (es)
- In mathematical logic, Russell's paradox (also known as Russell's antinomy) is a set-theoretic paradox discovered by the British philosopher and mathematician Bertrand Russell in 1901. Russell's paradox shows that every set theory that contains an unrestricted comprehension principle leads to contradictions. The paradox had already been discovered independently in 1899 by the German mathematician Ernst Zermelo. However, Zermelo did not publish the idea, which remained known only to David Hilbert, Edmund Husserl, and other academics at the University of Göttingen. At the end of the 1890s, Georg Cantor – considered the founder of modern set theory – had already realized that his theory would lead to a contradiction, which he told Hilbert and Richard Dedekind by letter. According to the unrestricted comprehension principle, for any sufficiently well-defined property, there is the set of all and only the objects that have that property. Let R be the set of all sets that are not members of themselves. If R is not a member of itself, then its definition entails that it is a member of itself; if it is a member of itself, then it is not a member of itself, since it is the set of all sets that are not members of themselves. The resulting contradiction is Russell's paradox. In symbols: Russell also showed that a version of the paradox could be derived in the axiomatic system constructed by the German philosopher and mathematician Gottlob Frege, hence undermining Frege's attempt to reduce mathematics to logic and questioning the logicist programme. Two influential ways of avoiding the paradox were both proposed in 1908: Russell's own type theory and the Zermelo set theory. In particular, Zermelo's axioms restricted the unlimited comprehension principle. With the additional contributions of Abraham Fraenkel, Zermelo set theory developed into the now-standard Zermelo–Fraenkel set theory (commonly known as ZFC when including the axiom of choice). The main difference between Russell's and Zermelo's solution to the paradox is that Zermelo modified the axioms of set theory while maintaining a standard logical language, while Russell modified the logical language itself. The language of ZFC, with the help of Thoralf Skolem, turned out to be that of first-order logic. (en)
- ラッセルのパラドックス（英: Russell's paradox）とは、素朴集合論において矛盾を導くパラドックスである。バートランド・ラッセルからゴットロープ・フレーゲへの1902年6月16日付けの書簡における、フレーゲの『』における矛盾を指摘する記述に表れる。これは1903年に出版されたフレーゲの『算術の基本法則』第II巻（独: Grundgesetze der Arithmetik II）の後書きに収録されている。同じパラドックスはツェルメロが1年先に発見していたが、彼はその発見を公開せず、ヒルベルトやフッサールなどのゲッティンゲン大学の同僚たちだけに知られているだけだった。 ラッセルが型理論（階型理論）を生み出した目的にはこの種のパラドックスを解消するということも含まれていた。 (ja)
- Le paradoxe de Russell, ou antinomie de Russell, est un paradoxe très simple de la théorie des ensembles (Russell lui-même parle de théorie des classes, en un sens équivalent), qui a joué un rôle important dans la formalisation de celle-ci. Il fut découvert par Bertrand Russell vers 1901 et publié en 1903. Il était en fait déjà connu à Göttingen, où il avait été découvert indépendamment par Ernst Zermelo, à la même époque, mais ce dernier ne l'a pas publié. (fr)
- Il paradosso di Russell, formulato dal filosofo e logico britannico Bertrand Russell tra il 1901 e il 1902, è una delle antinomie più importanti della storia della filosofia e della logica.Può essere enunciato così: Si tratta più propriamente di un'antinomia che di un paradosso: un paradosso è una conclusione logica e non contraddittoria che si scontra con il nostro modo abituale di vedere le cose, mentre un'antinomia è una proposizione che risulta autocontraddittoria sia nel caso che sia vera, sia nel caso che sia falsa. L'antinomia di Russell può essere espressa in modo "intuitivo" per mezzo di altre formulazioni, come il paradosso del barbiere o quello del bibliotecario; inoltre, essa è basata su un ragionamento analogo a quello che porta sia al paradosso dell'eterologicità di Grelling-Nelson, che, in ultima analisi, anche al paradosso del mentitore. Il paradosso di Russell ebbe un ruolo fondamentale nella crisi dei fondamenti della matematica, la quale a sua volta ebbe un peso notevole nella più ampia crisi che interessò le certezze fondamentali della fisica, della filosofia e appunto della matematica all'inizio del XX secolo, crisi che spesso è associata al crollo delle dottrine filosofiche di stampo positivista. In particolare, dimostrò la contraddittorietà della teoria ingenua (o intuitiva) degli insiemi di Georg Cantor, che faceva uso di strumenti matematici analoghi a quelli su cui si era basato Gottlob Frege nel tentativo di produrre una completa fondazione della matematica sulla logica (tale tentativo va sotto il nome di Logicismo). Nel tentativo di risolvere l'antinomia, in modo tale da conservare la validità dell'idea (alla base del Logicismo) per cui la matematica può essere fondata completamente dalla logica, Russell sviluppò in collaborazione con Alfred North Whitehead la teoria dei tipi, esposta nel loro libro Principia Mathematica. (it)
- 논리학에서 러셀의 역설(-逆說, 영어: Russell's paradox)은 버트런드 러셀이 1901년에 발견한 역설이다. 고틀로프 프레게의 《산술의 기본 법칙》과 게오르크 칸토어의 소박한 집합론 따위의 논리 체계가 모순을 지닌다는 것을 보여준다. 예를 들어, 칸토어의 집합론에서 자기 자신의 원소가 아닌 모든 집합들의 집합을 정의하고 이 집합이 자기 자신의 원소인지 여부를 물으면, 이에 대한 긍정과 부정 가운데 어느 하나를 가정하더라도 모순이 유도된다. 형 이론과 공리적 집합론이 도입되면서 해결되었다. (ko)
- De russellparadox, ook antinomie van Russell genoemd, is een paradox in de naïeve verzamelingenleer over verzamelingen waarvan de elementen zelf ook weer verzamelingen zijn. De paradox toonde aan dat bepaalde pogingen om de intuïteve verzamelingenleer, zoals die door Georg Cantor geformuleerd was, te formaliseren, tot een tegenspraak leiden. De paradox veroorzaakte een schok in de wereld van de grondslagen van de wiskunde. De paradox werd ontdekt in 1901 door Bertrand Russell, en onafhankelijk van hem een jaar daarvoor, maar niet gepubliceerd, door Ernst Zermelo. (nl)
- Russellparadoxen eller Russells paradox (efter Bertrand Russell som upptäckte den) visar att den till synes naturliga och självklara abstraktionsprincipen ger upphov till motsägelser i mängdteorin. Russell upptäckte detta 1901 under läsning av första bandet av Gottlob Freges Grundgesetze. Russell meddelade Frege detta, varpå Frege gjorde ett tillägg i slutet på andra bandet av Grundgesetze där han skriver "En större olycka kan knappast drabba en vetenskaplig författare än att få en av grunderna för sitt verk raserad, när verket själv fullbordats". Ett exempel på paradoxen är följande: En manlig barberare i en by rakar precis alla män som inte rakar sig själva. Frågan är: Rakar barberaren då sig själv? Om barberaren rakar sig själv så rakar barberaren en man som rakar sig själv och detta går i strid mot definitionen och därför kan han ej raka sig själv. Men om barberaren inte rakar sig själv så är han en man som ej rakar sig själv och följaktligen måste han rakas av barberaren – alltså måste barberaren raka sig själv. Denna motsägelse är Russells paradox. Formellt uttrycks paradoxen som följer. Abstraktionsprincipen säger att för varje egenskap A kan vi bilda mängden av alla objekt som har denna egenskap. Beteckningen {x : A(x)} betyder mängden av alla x som har egenskapen A. Om till exempel egenskapen G är egenskapen att vara grön så är {x : G(x)} mängden av alla gröna objekt. Bilda nu, med hjälp av abstraktionsprincipen, mängden {x : ¬(x∈x)}, dvs mängden av alla x som inte är element i sig själva. Låt oss kalla denna mängd för S. Gäller S∈S? Om svaret är ja innebär det att S har egenskapen att inte tillhöra sig själv eftersom alla element i S har denna egenskap. Detta stämmer inte om S∈S. Alltså kan inte S∈S gälla. Men ¬(S∈S) kan inte heller gälla eftersom då har S egenskapen som gör att den kvalificerar som medlem i S samtidigt som satsen ¬(S∈S) säger att S inte tillhör S. Detta motsägelsefulla resultat är Russells paradox. Felet ligger i att vi antog abstraktionsprincipen helt oinskränkt för vilka egenskaper som helst. Egenskapen för vilken mängden S bildades var ju "att inte tillhöra sig själv". I konkret logik kan paradoxen härledas formellt enligt följande. Låt S beteckna mängden av alla mängder som inte innehåller sig själv. Anta att S innehåller sig själv. Av definitionen av S följer då att S är en mängd som inte innehåller sig själv. Men om S inte innehåller sig själv så kvalificerar S in i S som en mängd som inte innehåller sig själv, och följaktligen innehåller S sig själv. Slutsatsen av paradoxen är att abstraktionsprincipen uppenbarligen är alldeles för liberal. Den tillåter bildandet av mängder som ger upphov till motsägelser. I en axiomatisk mängdteori kan därför inte abstraktionsprincipen ingå som axiom. I Zermelo–Fraenkels mängdteori (ZFC) ersätts abstraktionsprincipen med delmängdsaxiomet. Detta axiom är något mindre liberalt med vilka mängder vi får bilda. Den ursprungliga lösningen på problemet var dock Russells egen , men denna har numera nästan övergivits eftersom den gav upphov till andra svårigheter. Cantor kände givetvis till denna "paradox" tidigare än Russells publikation. Man erhåller lätt det hela genom att tillämpa resonemanget som leder till att de reella talen inte är uppräkneliga, dvs diagonalisering, på mängden av alla mängder. Han använde också en mängd med liknande egenskaper för att bevisa Cantors sats. (sv)
- Парадо́кс Ра́ссела (антино́мия Ра́ссела, также парадо́кс Ра́ссела — Це́рмело) — теоретико-множественный парадокс (антиномия), открытый в 1901 году британским математиком Бертраном Расселом и демонстрирующий противоречивость логической системы Фреге, являвшейся ранней попыткой формализации наивной теории множеств Георга Кантора. Был открыт ранее, но не опубликован Эрнстом Цермело. На неформальном языке парадокс можно описать следующим образом. Условимся называть множество «обычным», если оно не является своим собственным элементом. Например, множество всех людей является «обычным», так как само множество — не человек. Примером «необычного» множества является множество всех множеств, так как оно само является множеством, а следовательно, само является собственным элементом. Можно рассмотреть множество, состоящее только из всех «обычных» множеств, такое множество называется ра́сселовским мно́жеством. Парадокс возникает при попытке определить, является ли это множество «обычным» или нет, то есть содержит ли оно себя в качестве элемента. Есть две возможности.
* С одной стороны, если оно «обычное», то оно должно включать себя в качестве элемента, так как оно по определению состоит из всех «обычных» множеств. Но тогда оно не может быть «обычным», так как «обычные» множества — это те, которые себя не включают.
* Остаётся предположить, что это множество «необычное». Однако оно не может включать себя в качестве элемента, так как оно по определению должно состоять только из «обычных» множеств. Но если оно не включает себя в качестве элемента, то это «обычное» множество. В любом случае получается противоречие. (ru)
- O Paradoxo de Russell é um paradoxo descoberto por Bertrand Russell em 1901 e que mostra que no sistema do livro de Frege Leis fundamentais da aritmética pode ser derivada uma contradição. O paradoxo foi comunicado por uma carta a Frege de 1902. Frege publicou o paradoxo no segundo volume de seu livro em 1903, num posfácio, mas Russell o publicou antes no seu livro Princípios das Matemáticas. Parece ter sido descoberta independentemente, mas não publicada, por Ernst Zermelo, pertencente ao círculo de Hilbert, e permaneceu conhecida apenas por David Hilbert, Edmund Husserl, e outros acadêmicos na Universidade de Göttingen. Posteriormente, foi publicado no clássico Principia Mathematica e em muitos outro lugares. No final da década de 1890, Georg Cantor―considerado o fundador da moderna teoria dos conjuntos―já havia percebido que sua teoria levaria a uma contradição, o que ele contou a Hilbert e Richard Dedekind por carta. (pt)
- Antynomia Russella lub paradoks Russella – sprzeczność wykryta w naiwnej teorii mnogości przez Bertranda Russella w 1901 roku. Sprzeczność ta stanowiła duży cios dla rozwoju logicyzmu, będącego próbą aksjomatyzacji matematyki, zgodnie z którym wszystkie obiekty matematyczne powinny dać się wyrazić jako zbiory. Obserwacje dokonane przez Russella zmusiły matematyków do rewizji tego fundamentalnego stanowiska i następnie przyjęcia, że istnieją obiekty niebędące zbiorami, opisywane formułami logicznymi – nazywa się je klasami właściwymi. Paradoks ten wynika z autoreferencji, czyli odwoływania się do samego siebie, i ma charakter podobny do takich paradoksów jak paradoks zbioru wszystkich zbiorów, paradoks kłamcy czy paradoks Berry’ego; por. twierdzenia Gödla i problem stopu. (pl)
- 罗素悖论（英語：Russell's paradox），也称为理发师悖论、書目悖論，是英國哲學家罗素於1901年提出的悖论，一个关于类的内涵问题。 (zh)
- Парадо́кс Ра́сселла (антиномія Расселла, також парадокс Расселла — Цермело) — відкритий 1901 року Бертраном Расселлом теоретико-множинний парадокс (антиномія), що демонструє суперечливість логічної системи Фреге, яка була ранньою спробою формалізації наївної теорії множин Георга Кантора. Був відкритий раніше, однак не опублікований, Ернстом Цермело. Неформальною мовою парадокс можна описати так. Умовимось називати множину «звичайною», якщо вона не є своїм власним елементом. Наприклад, множина всіх людей є «звичайною», оскільки сама множина — не людина. Прикладом «незвичайної» множини є множина всіх множин, оскільки вона сама є множиною, а отже й своїм власним елементом (тобто містить саму себе). Можна розглядати множину, що складається лише з усіх «звичайних» множин, така множина називається расселловою множиною. Парадокс виникає за спроби визначити, чи є ця множина «звичайною» чи ні, тобто, чи містить вона сама себе як елемент. Є два варіанти.
* З одного боку, якщо вона «звичайна», то повинна містити сама себе за елемент, оскільки вона за визначенням складається з усіх «звичайних» множин. Але тоді вона не може бути «звичайною», оскільки «звичайні» множини — це ті, які самі себе не містять.
* Залишається припустити, що ця множина є «незвичайною». Однак, вона не може містити себе за елемент, оскільки за визначенням має складатися лише зі «звичайних» множин. Але, якщо вона не містить себе за елемент, то це «звичайна» множина. В обох випадках — суперечність. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- Russellův paradox (též Russellova antinomie) je paradox, objevený v roce 1901 Bertrandem Russellem, který ukazuje, že Cantorova intuitivní teorie množin (naivní teorie množin) je vnitřně sporná. (cs)
- Die Russellsche Antinomie ist ein von Bertrand Russell und Ernst Zermelo entdecktes Paradoxon der naiven Mengenlehre, das Russell 1903 publizierte und das daher seinen Namen trägt. (de)
- La paradoja de Russell o paradoja del barbero, acreditada a Bertrand Russell, demuestra que la teoría original de conjuntos formulada por Cantor y Frege es contradictoria. (es)
- ラッセルのパラドックス（英: Russell's paradox）とは、素朴集合論において矛盾を導くパラドックスである。バートランド・ラッセルからゴットロープ・フレーゲへの1902年6月16日付けの書簡における、フレーゲの『』における矛盾を指摘する記述に表れる。これは1903年に出版されたフレーゲの『算術の基本法則』第II巻（独: Grundgesetze der Arithmetik II）の後書きに収録されている。同じパラドックスはツェルメロが1年先に発見していたが、彼はその発見を公開せず、ヒルベルトやフッサールなどのゲッティンゲン大学の同僚たちだけに知られているだけだった。 ラッセルが型理論（階型理論）を生み出した目的にはこの種のパラドックスを解消するということも含まれていた。 (ja)
- Le paradoxe de Russell, ou antinomie de Russell, est un paradoxe très simple de la théorie des ensembles (Russell lui-même parle de théorie des classes, en un sens équivalent), qui a joué un rôle important dans la formalisation de celle-ci. Il fut découvert par Bertrand Russell vers 1901 et publié en 1903. Il était en fait déjà connu à Göttingen, où il avait été découvert indépendamment par Ernst Zermelo, à la même époque, mais ce dernier ne l'a pas publié. (fr)
- 논리학에서 러셀의 역설(-逆說, 영어: Russell's paradox)은 버트런드 러셀이 1901년에 발견한 역설이다. 고틀로프 프레게의 《산술의 기본 법칙》과 게오르크 칸토어의 소박한 집합론 따위의 논리 체계가 모순을 지닌다는 것을 보여준다. 예를 들어, 칸토어의 집합론에서 자기 자신의 원소가 아닌 모든 집합들의 집합을 정의하고 이 집합이 자기 자신의 원소인지 여부를 물으면, 이에 대한 긍정과 부정 가운데 어느 하나를 가정하더라도 모순이 유도된다. 형 이론과 공리적 집합론이 도입되면서 해결되었다. (ko)
- De russellparadox, ook antinomie van Russell genoemd, is een paradox in de naïeve verzamelingenleer over verzamelingen waarvan de elementen zelf ook weer verzamelingen zijn. De paradox toonde aan dat bepaalde pogingen om de intuïteve verzamelingenleer, zoals die door Georg Cantor geformuleerd was, te formaliseren, tot een tegenspraak leiden. De paradox veroorzaakte een schok in de wereld van de grondslagen van de wiskunde. De paradox werd ontdekt in 1901 door Bertrand Russell, en onafhankelijk van hem een jaar daarvoor, maar niet gepubliceerd, door Ernst Zermelo. (nl)
- Antynomia Russella lub paradoks Russella – sprzeczność wykryta w naiwnej teorii mnogości przez Bertranda Russella w 1901 roku. Sprzeczność ta stanowiła duży cios dla rozwoju logicyzmu, będącego próbą aksjomatyzacji matematyki, zgodnie z którym wszystkie obiekty matematyczne powinny dać się wyrazić jako zbiory. Obserwacje dokonane przez Russella zmusiły matematyków do rewizji tego fundamentalnego stanowiska i następnie przyjęcia, że istnieją obiekty niebędące zbiorami, opisywane formułami logicznymi – nazywa się je klasami właściwymi. Paradoks ten wynika z autoreferencji, czyli odwoływania się do samego siebie, i ma charakter podobny do takich paradoksów jak paradoks zbioru wszystkich zbiorów, paradoks kłamcy czy paradoks Berry’ego; por. twierdzenia Gödla i problem stopu. (pl)
- 罗素悖论（英語：Russell's paradox），也称为理发师悖论、書目悖論，是英國哲學家罗素於1901年提出的悖论，一个关于类的内涵问题。 (zh)
- مُفَارَقَةُ رَاسِلْ (بالإنجليزية: Russell's paradox) والمعروفة أيضًا بـِتَنَاقُض قَوَانِينِ رَاسِلْ والتي وضعها برتراند راسل في عام 1901، توضّح أن نظرية المجموعات المبسطة التي وضعها جورج كانتور تؤدي إلى التناقض. وكانت نفس المفارقة قد اكتشفت من قِبل إرنست تسيرميلو قبل اكتشاف راسل لها بعام ولكنه لم ينشر الفكرة التي بقيت معروفة فقط لهيلبيرت، وهوسرل وأعضاء آخرين من جامعة غوتنغن. (ar)
- La paradoxa de Russell descrita per Bertrand Russell el 1901 demostra que la teoria originària de conjunts formulada per Cantor i Frege és contradictòria. Suposem un conjunt que consta de conceptes que no són membres de si mateixos. Un exemple descrit és el conjunt que consta d'"idees abstractes", que és membre de si mateix perquè el conjunt és ell mateix una idea abstracta, mentre que un conjunt que consta de "llibres" no és membre de si mateix perquè el conjunt no és un llibre. En la seua paradoxa, Russell preguntava (en carta escrita a Frege el 1902) si el conjunt de conceptes que no formen part de si mateixos formen part de si mateix. Si no forma part de si mateix, pertanyen al tipus de conjunts que sí que formen part de si mateixos. (ca)
- Στη θεμελίωση των μαθηματικών, το παράδοξο του Ράσελ (επίσης γνωστό ως αντινομία του Ράσελ), που ανακαλύφθηκε από τον Μπέρτραντ Ράσελ το 1901, έδειξε ότι η αφελής θεωρία συνόλων που δημιουργήθηκε από τον Γκέοργκ Κάντορ οδηγεί σε μια αντίφαση. Το ίδιο παράδοξο είχε ανακαλυφθεί ένα χρόνο πριν από τον , αλλά δεν είχε δημοσιεύσει την ιδέα, που έμεινε γνωστή μόνο στους Χίλμπερτ, Έντμουντ Χούσερλ και άλλα μέλη του Πανεπιστημίου του Γκέτινγκεν. (el)
- La Rusela paradokso (aŭ paradokso de Russell) estas matematika paradokso malkovrita de Bertrand Russell en 1901. Ĝi pruvas ke la naiva arteorio uzata ĝis tiam (precipe grava en la teorioj de Georg Cantor kaj Gottlob Frege) estas memkontraŭdira. Konsideru la aron M difinitan kiel "la aro de ĉiuj aroj kiuj ne entenas sin mem". Formale: Ĉi tiu difino kondukas al kontraŭdiro: Se M entenas sin mem, ĝi ne entenas sin mem pro la difino de M. Kaj se M ne entenas sin mem, ĝi entenas sin mem, denove pro la difino de M. (eo)
- In mathematical logic, Russell's paradox (also known as Russell's antinomy) is a set-theoretic paradox discovered by the British philosopher and mathematician Bertrand Russell in 1901. Russell's paradox shows that every set theory that contains an unrestricted comprehension principle leads to contradictions. The paradox had already been discovered independently in 1899 by the German mathematician Ernst Zermelo. However, Zermelo did not publish the idea, which remained known only to David Hilbert, Edmund Husserl, and other academics at the University of Göttingen. At the end of the 1890s, Georg Cantor – considered the founder of modern set theory – had already realized that his theory would lead to a contradiction, which he told Hilbert and Richard Dedekind by letter. (en)
- Il paradosso di Russell, formulato dal filosofo e logico britannico Bertrand Russell tra il 1901 e il 1902, è una delle antinomie più importanti della storia della filosofia e della logica.Può essere enunciato così: Si tratta più propriamente di un'antinomia che di un paradosso: un paradosso è una conclusione logica e non contraddittoria che si scontra con il nostro modo abituale di vedere le cose, mentre un'antinomia è una proposizione che risulta autocontraddittoria sia nel caso che sia vera, sia nel caso che sia falsa. (it)
- O Paradoxo de Russell é um paradoxo descoberto por Bertrand Russell em 1901 e que mostra que no sistema do livro de Frege Leis fundamentais da aritmética pode ser derivada uma contradição. O paradoxo foi comunicado por uma carta a Frege de 1902. Frege publicou o paradoxo no segundo volume de seu livro em 1903, num posfácio, mas Russell o publicou antes no seu livro Princípios das Matemáticas. Parece ter sido descoberta independentemente, mas não publicada, por Ernst Zermelo, pertencente ao círculo de Hilbert, e permaneceu conhecida apenas por David Hilbert, Edmund Husserl, e outros acadêmicos na Universidade de Göttingen. Posteriormente, foi publicado no clássico Principia Mathematica e em muitos outro lugares. No final da década de 1890, Georg Cantor―considerado o fundador da moderna teor (pt)
- Russellparadoxen eller Russells paradox (efter Bertrand Russell som upptäckte den) visar att den till synes naturliga och självklara abstraktionsprincipen ger upphov till motsägelser i mängdteorin. Russell upptäckte detta 1901 under läsning av första bandet av Gottlob Freges Grundgesetze. Russell meddelade Frege detta, varpå Frege gjorde ett tillägg i slutet på andra bandet av Grundgesetze där han skriver "En större olycka kan knappast drabba en vetenskaplig författare än att få en av grunderna för sitt verk raserad, när verket själv fullbordats". (sv)
- Парадо́кс Ра́ссела (антино́мия Ра́ссела, также парадо́кс Ра́ссела — Це́рмело) — теоретико-множественный парадокс (антиномия), открытый в 1901 году британским математиком Бертраном Расселом и демонстрирующий противоречивость логической системы Фреге, являвшейся ранней попыткой формализации наивной теории множеств Георга Кантора. Был открыт ранее, но не опубликован Эрнстом Цермело. В любом случае получается противоречие. (ru)
- Парадо́кс Ра́сселла (антиномія Расселла, також парадокс Расселла — Цермело) — відкритий 1901 року Бертраном Расселлом теоретико-множинний парадокс (антиномія), що демонструє суперечливість логічної системи Фреге, яка була ранньою спробою формалізації наївної теорії множин Георга Кантора. Був відкритий раніше, однак не опублікований, Ернстом Цермело. В обох випадках — суперечність. (uk)
|
