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- En matemàtiques, el teorema de Radon–Nikodym és un resultat en teoria de la mesura que expressa la relació entre dues mesures definides en un cert espai mesurable. Una mesura és una funció de conjunt que assigna una magnitud consistent a subconjunts mesurables d'un espai mesurable. Exemples de mesura inclouen l'àrea i el volum, on els subconjunts són conjunts de punts; o la probabilitat d'un esdeveniment, que és un subconjunt de possibles resultats en un espai de probabilitat més ampli. Una manera de derivar una nova mesura a partir d'una que és donada és assignar una densitat a cada punt de l'espai, llavors integrar al llarg del subconjunt mesurable d'interès. Això es pot expressar com on ν és la nova mesura que s'està definint per tot subconjunt mesurable A i la funció f és la densitat en un punt donat. La integral es fa respecte a una mesura existent μ, que sol ser la mesura de Lebesgue en la recta real R o l'espai euclidià d'n dimensions Rn (que corresponen a les nocions estàndards de longitud, àrea i volum). Per exemple, si f representés la densitat de massa i μ fos la mesura de Lebesgue en l'espai tridimensional R3, llavors ν(A) seria igual a la massa total en una regió de l'espai A. El teorema de Radon–Nikodym afirma essencialment que, sota unes certes condicions, es pot expressar qualsevol mesura ν d'aquesta manera respecte a una altra mesura μ en el mateix espai. Així doncs, s'anomena derivada de Radon-Nikodym a la funció f i es denota com . Una aplicació important del teorema és en teoria de la probabilitat, donant lloc a la funció de densitat de probabilitat d'una variable aleatòria. El teorema duu el nom de Johann Radon, que va demostrar el teorema per un cas especial en què l'espai subjacent és Rn l'any 1913, i d'Otto Nikodym que va demostrar-ne el cas general l'any 1930. Al 1936 Hans Freudenthal va generalitzar el teorema de Radon–Nikodym demostrant el , un resultat en la teoria dels espais de Riesz; aquest conté el teorema de Radon–Nikodym com a cas especial. Es diu que un espai de Banach Y té la propietat de Radon–Nikodym si la generalització del teorema de Radon–Nikodym també hi aplica, mutatis mutandis, per funcions amb valors en Y. Tots els espais de Hilbert tenen la propietat de Radon–Nikodym. (ca)
- In der Mathematik verallgemeinert der Satz von Radon-Nikodým die Ableitung einer Funktion auf Maße und signierte Maße. Er gibt darüber Auskunft, wann ein (signiertes) Maß durch das Lebesgue-Integral einer Funktion darstellbar ist, und ist sowohl für die Maß- als auch für die Wahrscheinlichkeitstheorie von zentraler Bedeutung. Benannt ist der Satz nach dem österreichischen Mathematiker Johann Radon, der 1913 den Spezialfall bewies, und dem Polen Otton Marcin Nikodým, der 1930 den allgemeinen Fall beweisen konnte. Weiterentwicklungen und neuartige Ansätze des Theorems existieren. (de)
- En matemáticas y particularmente en teoría de la medida, el teorema de Radon–Nikodym establece condiciones bajo las cuales se pueden generar medidas con signo absolutamente continuas respecto a una medida dada. El teorema está asociado a los nombres de Johann Radon, que lo probó en 1913 para el caso particular en que el espacio subyacente es R'N, y Otto M. Nikodym, que lo extendió al caso general en 1930. (es)
- Le théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue est un théorème d'analyse, une branche des mathématiques qui est constituée du calcul différentiel et intégral et des domaines associés. (fr)
- In mathematics, the Radon–Nikodym theorem is a result in measure theory that expresses the relationship between two measures defined on the same measurable space. A measure is a set function that assigns a consistent magnitude to the measurable subsets of a measurable space. Examples of a measure include area and volume, where the subsets are sets of points; or the probability of an event, which is a subset of possible outcomes within a wider probability space. One way to derive a new measure from one already given is to assign a density to each point of the space, then integrate over the measurable subset of interest. This can be expressed as where ν is the new measure being defined for any measurable subset A and the function f is the density at a given point. The integral is with respect to an existing measure μ, which may often be the canonical Lebesgue measure on the real line R or the n-dimensional Euclidean space Rn (corresponding to our standard notions of length, area and volume). For example, if f represented mass density and μ was the Lebesgue measure in three-dimensional space R3, then ν(A) would equal the total mass in a spatial region A. The Radon–Nikodym theorem essentially states that, under certain conditions, any measure ν can be expressed in this way with respect to another measure μ on the same space. The function f is then called the Radon–Nikodym derivative and is denoted by . An important application is in probability theory, leading to the probability density function of a random variable. The theorem is named after Johann Radon, who proved the theorem for the special case where the underlying space is Rn in 1913, and for Otto Nikodym who proved the general case in 1930. In 1936 Hans Freudenthal generalized the Radon–Nikodym theorem by proving the Freudenthal spectral theorem, a result in Riesz space theory; this contains the Radon–Nikodym theorem as a special case. A Banach space Y is said to have the Radon–Nikodym property if the generalization of the Radon–Nikodym theorem also holds, mutatis mutandis, for functions with values in Y. All Hilbert spaces have the Radon–Nikodym property. (en)
- 数学におけるラドン＝ニコディムの定理（ラドン＝ニコディムのていり、英: Radon–Nikodým theorem）は、測度論の分野における一結果で、ある可測空間 (X, Σ) が与えられたとき、(X, Σ) 上のある ν が別の (X, Σ) 上の σ-有限測度 μ に関して絶対連続であるなら、任意の可測部分集合 A ⊂ X に対して次を満たす可測函数 f : X → [0, ∞) が存在することを述べた定理である： この函数 f はラドン＝ニコディム微分と呼ばれ、dν/dμ と表記される。 この定理の名は、1913年に空間 RN での特別な場合について証明を与えたと、1930年に一般の場合の証明を与えたに由来する。1936年にハンス・フロイデンタールは、この定理を特別な場合として含む、リース空間での一結果であるフロイデンタールのスペクトル定理を証明することによって、その結果の更なる一般化に成功した。 Y がバナッハ空間であり、ラドン＝ニコディムの定理が Y に値を取る函数に対して同様に成り立つなら、Y はラドン＝ニコディム性を備えると言われる。全てのヒルベルト空間はラドン＝ニコディム性を備えている。 (ja)
- In matematica, in particolare in teoria della misura, il teorema di Radon-Nikodym è un risultato di notevole importanza nell'ambito delle misure assolutamente continue. Il teorema è di particolare importanza nella teoria della probabilità, in quanto estende l'idea di misure discrete e misure continue di probabilità attraverso il concetto di misura di probabilità su un insieme arbitrario. Tra le applicazioni del teorema vi è inoltre la matematica finanziaria, che lo utilizza nel prezzamento dei derivati. (it)
- Twierdzenie Radona-Nikodýma – twierdzenie teorii miary mówiące o reprezentacji pewnych σ-addytywnych funkcjonałów na przestrzeniach mierzalnych, czyli miar. Twierdzenie sformułowane przez Johanna Radona zostało uogólnione przez Ottona M. Nikodýma w 1930 r. opisuje to twierdzenie oraz środki techniczne potrzebne do jego dowodu jako znajdujące się wśród sześciu najważniejszych wyników teorii miary. (pl)
- Radon-Nikodyms sats är ett resultat inom integrationsteori som säger att om (X,Σ) är en σ-algebra, μ är ett -ändligt mått på (X,Σ) och v är ett annat mått på som uppfyller att för alla mätbara mängder A sådana att , så finns en mätbar funktion med värdemängd i [0,∞) f sådan att för alla mätbara mängder E. (sv)
- Теоре́ма Радо́на — Ніко́дима в функціональному аналізі і суміжних дисциплінах описує загальний вид міри, абсолютно неперервної щодо іншої міри. (uk)
- Теоре́ма Радо́на — Нико́дима в функциональном анализе и смежных дисциплинах описывает общий вид меры, абсолютно непрерывной относительно другой меры. Названа в честь Отто Никодима и Иоганна Радона. (ru)
- 拉东-尼科迪姆定理是数学中测度论里的一个结果。拉东-尼科迪姆定理说明了在给定了一个测度空间的时候，如果测度空间上的一个σ-有限测度关于另一个σ-有限测度绝对连续，那么存在一个在上可测的函数，其取值范围为非负实数（），并且对所有的可测集合，都有： 这个定理得名于数学家约翰·拉东以及。拉东在1913年证明了这个定理在背景空间为时的情况；尼科迪姆则在1930年证明了定理的一般情形。1936年，将这个定理推广，证明了理论中的。拉东·尼科迪姆定理是后者的一个特例。 拉东-尼科迪姆导数是 (zh)
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- In der Mathematik verallgemeinert der Satz von Radon-Nikodým die Ableitung einer Funktion auf Maße und signierte Maße. Er gibt darüber Auskunft, wann ein (signiertes) Maß durch das Lebesgue-Integral einer Funktion darstellbar ist, und ist sowohl für die Maß- als auch für die Wahrscheinlichkeitstheorie von zentraler Bedeutung. Benannt ist der Satz nach dem österreichischen Mathematiker Johann Radon, der 1913 den Spezialfall bewies, und dem Polen Otton Marcin Nikodým, der 1930 den allgemeinen Fall beweisen konnte. Weiterentwicklungen und neuartige Ansätze des Theorems existieren. (de)
- En matemáticas y particularmente en teoría de la medida, el teorema de Radon–Nikodym establece condiciones bajo las cuales se pueden generar medidas con signo absolutamente continuas respecto a una medida dada. El teorema está asociado a los nombres de Johann Radon, que lo probó en 1913 para el caso particular en que el espacio subyacente es R'N, y Otto M. Nikodym, que lo extendió al caso general en 1930. (es)
- Le théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue est un théorème d'analyse, une branche des mathématiques qui est constituée du calcul différentiel et intégral et des domaines associés. (fr)
- 数学におけるラドン＝ニコディムの定理（ラドン＝ニコディムのていり、英: Radon–Nikodým theorem）は、測度論の分野における一結果で、ある可測空間 (X, Σ) が与えられたとき、(X, Σ) 上のある ν が別の (X, Σ) 上の σ-有限測度 μ に関して絶対連続であるなら、任意の可測部分集合 A ⊂ X に対して次を満たす可測函数 f : X → [0, ∞) が存在することを述べた定理である： この函数 f はラドン＝ニコディム微分と呼ばれ、dν/dμ と表記される。 この定理の名は、1913年に空間 RN での特別な場合について証明を与えたと、1930年に一般の場合の証明を与えたに由来する。1936年にハンス・フロイデンタールは、この定理を特別な場合として含む、リース空間での一結果であるフロイデンタールのスペクトル定理を証明することによって、その結果の更なる一般化に成功した。 Y がバナッハ空間であり、ラドン＝ニコディムの定理が Y に値を取る函数に対して同様に成り立つなら、Y はラドン＝ニコディム性を備えると言われる。全てのヒルベルト空間はラドン＝ニコディム性を備えている。 (ja)
- In matematica, in particolare in teoria della misura, il teorema di Radon-Nikodym è un risultato di notevole importanza nell'ambito delle misure assolutamente continue. Il teorema è di particolare importanza nella teoria della probabilità, in quanto estende l'idea di misure discrete e misure continue di probabilità attraverso il concetto di misura di probabilità su un insieme arbitrario. Tra le applicazioni del teorema vi è inoltre la matematica finanziaria, che lo utilizza nel prezzamento dei derivati. (it)
- Twierdzenie Radona-Nikodýma – twierdzenie teorii miary mówiące o reprezentacji pewnych σ-addytywnych funkcjonałów na przestrzeniach mierzalnych, czyli miar. Twierdzenie sformułowane przez Johanna Radona zostało uogólnione przez Ottona M. Nikodýma w 1930 r. opisuje to twierdzenie oraz środki techniczne potrzebne do jego dowodu jako znajdujące się wśród sześciu najważniejszych wyników teorii miary. (pl)
- Radon-Nikodyms sats är ett resultat inom integrationsteori som säger att om (X,Σ) är en σ-algebra, μ är ett -ändligt mått på (X,Σ) och v är ett annat mått på som uppfyller att för alla mätbara mängder A sådana att , så finns en mätbar funktion med värdemängd i [0,∞) f sådan att för alla mätbara mängder E. (sv)
- Теоре́ма Радо́на — Ніко́дима в функціональному аналізі і суміжних дисциплінах описує загальний вид міри, абсолютно неперервної щодо іншої міри. (uk)
- Теоре́ма Радо́на — Нико́дима в функциональном анализе и смежных дисциплинах описывает общий вид меры, абсолютно непрерывной относительно другой меры. Названа в честь Отто Никодима и Иоганна Радона. (ru)
- 拉东-尼科迪姆定理是数学中测度论里的一个结果。拉东-尼科迪姆定理说明了在给定了一个测度空间的时候，如果测度空间上的一个σ-有限测度关于另一个σ-有限测度绝对连续，那么存在一个在上可测的函数，其取值范围为非负实数（），并且对所有的可测集合，都有： 这个定理得名于数学家约翰·拉东以及。拉东在1913年证明了这个定理在背景空间为时的情况；尼科迪姆则在1930年证明了定理的一般情形。1936年，将这个定理推广，证明了理论中的。拉东·尼科迪姆定理是后者的一个特例。 拉东-尼科迪姆导数是 (zh)
- In mathematics, the Radon–Nikodym theorem is a result in measure theory that expresses the relationship between two measures defined on the same measurable space. A measure is a set function that assigns a consistent magnitude to the measurable subsets of a measurable space. Examples of a measure include area and volume, where the subsets are sets of points; or the probability of an event, which is a subset of possible outcomes within a wider probability space. (en)
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