| dbo:abstract
|
- Jako maximální prvek množiny se označuje takový prvek, který není menší než žádný jiný prvek této množiny. Formálně: prvek a ∈ A je maximálním prvkem množiny A (která je podmnožinou nějaké částečně uspořádané množiny), pokud platí: pro libovolný prvek b ∈ A platí: pokud a ≤ b, pak a = b. Obdobně je definován minimální prvek, který není větší než žádný jiný prvek množiny (a ve formální definici se tedy objevuje opačná podmínka: pokud b ≤ a, pak a = b). Důležité je, že maximální prvek obecně nemusí být největším prvkem, tzn. zatímco není menší než libovolný jiný prvek, nemusí být větší než všechny ostatní prvky (totéž platí o minimálním prvku, který obecně nemusí být nejmenším prvkem). Maximálních prvků může být v jedné množině víc. Pokud však množina má největší (resp. nejmenší) prvek, je tento prvek jediným maximálním (resp. minimálním) prvkem. Na úplně uspořádaných množinách je však každý maximální prvek zároveň největším (totéž pro minimální a nejmenší). (cs)
- En matemàtiques, especialment en teoria de l'ordre, un element maximal d'un conjunt parcialment ordenat P és un element de P que no és menor que cap altre. El terme element minimal es defineix de manera dual. (ca)
- Die Begriffe maximales Element und minimales Element werden in der Mengenlehre, genauer in der Ordnungstheorie verwendet. Ein Element einer geordneten Menge ist maximal, wenn es kein größeres gibt. Es ist minimal, wenn es kein kleineres gibt. In einer total geordneten Menge stimmen die Begriffe maximales Element und größtes Element sowie minimales Element und kleinstes Element überein. Ein maximales bzw. minimales Element einer partiell geordneten Menge ist jedoch nicht automatisch deren größtes bzw. kleinstes Element. (de)
- In mathematics, especially in order theory, a maximal element of a subset S of some preordered set is an element of S that is not smaller than any other element in S. A minimal element of a subset S of some preordered set is defined dually as an element of S that is not greater than any other element in S. The notions of maximal and minimal elements are weaker than those of greatest element and least element which are also known, respectively, as maximum and minimum. The maximum of a subset of a preordered set is an element of which is greater than or equal to any other element of and the minimum of is again defined dually. In the particular case of a partially ordered set, while there can be at most one maximum and at most one minimum there may be multiple maximal or minimal elements. Specializing further to totally ordered sets, the notions of maximal element and maximum coincide, and the notions of minimal element and minimum coincide. As an example, in the collection ordered by containment, the element {d, o} is minimal as it contains no sets in the collection, the element {g, o, a, d} is maximal as there are no sets in the collection which contain it, the element {d, o, g} is neither, and the element {o, a, f} is both minimal and maximal. By contrast, neither a maximum nor a minimum exists for Zorn's lemma states that every partially ordered set for which every totally ordered subset has an upper bound contains at least one maximal element. This lemma is equivalent to the well-ordering theorem and the axiom of choice and implies major results in other mathematical areas like the Hahn–Banach theorem, the Kirszbraun theorem, Tychonoff's theorem, the existence of a Hamel basis for every vector space, and the existence of an algebraic closure for every field. (en)
- En matemáticas, especialmente en teoría del orden, un elemento maximal de un conjunto parcialmente ordenado A es un elemento de A que no está por debajo (en el orden correspondiente) de ningún otro. Un elemento x ∈ A es maximal con respecto a la relación (≤) si no existe ningún elemento y ∈ A tal que: x ≤ y Análogamente, si la relación es del tipo (≥), entonces un elemento x ∈ A es maximal con respecto a la relación (≥) si no existe ningún elemento y ∈ A tal que: y ≥ x La definición de máximo es, como no podía ser de otra manera: m ∈ A es elemento máximo de A si cualquier otro elemento en A será menor o igual que m, es decir, si: (∀ x ∈ A) : x ≤ m El término elemento minimal se define de manera dual. En la figura, dado el conjunto A, los elementos d, h y l son maximales de A, los elementos a, h y k son minimales, los elementos maximal y minimal no tienen por qué ser únicos en el conjunto. Además, el elemento h de la figura es maximal y minimal al mismo tiempo. (es)
- Dans un ensemble ordonné, un élément maximal est un élément tel qu'il n'existe aucun autre élément de cet ensemble qui lui soit supérieur, c'est-à-dire que a est dit élément maximal d'un ensemble ordonné (E, ≤) si a est un élément de E tel que : De même, a est un élément minimal de E si : Pour tout élément a de E, on a les équivalences et l'implication (stricte) : a est un majorant de E ⇔ a est la borne supérieure de E ⇔ a est l'élément maximum (ou « plus grand élément ») de E ⇒ a est l'unique élément maximal de E. Si l'ordre est total, les notions d'élément maximal et de plus grand élément sont confondues (de même pour élément minimal et plus petit élément). (fr)
- 수학, 특히 순서론에서 극대 원소(極大元素, 영어: maximal element)와 극소 원소(極小元素, 영어: minimal element)는 부분 순서 집합에서 그와 비교 가능한 원소들 가운데 가장 크거나 가장 작은 원소이다. 이는 최대 원소, 최소 원소보다 약한 개념이다. 줄여서 극대원, 극소원이라고도 한다. 극대·극소 원소는 각각 존재하지 않을 수도, 유일하게 존재할 수도, 둘 이상 존재할 수도 있다. 극대 원소가 존재할 충분조건은 초른 보조정리에 의해 제시된다. 이 정리에 의하면, 부분 순서 집합의 모든 사슬이 상계를 가지면 그 부분 순서 집합은 극대 원소를 가진다. 이는 정렬 정리, 선택 공리와 동치인 명제이다. (ko)
- In de ordetheorie, een deelgebied van wiskunde, heet een element van een deelverzameling van een verzameling met een preorde een maximaal element als er geen groter element is. heet een element een minimaal element als er geen kleiner element is. De begrippen maximaal en minimaal element zijn zwakker dan die van grootste en kleinste element (die ook bekendstaan als respectievelijk het maximum en het minimum); partieel geordende verzamelingen kunnen meerdere maximale en/of minimale elementen hebben. (nl)
- Elementem minimalnym w zbiorze częściowo uporządkowanym nazywamy każdy taki element że nie ma w elementów mniejszych od niego. Symbolicznie: Dualnie, elementem maksymalnym w zbiorze częściowo uporządkowanym nazywamy każdy taki element że nie ma w elementów większych od niego. Symbolicznie: (pl)
- Elemento minimal de um conjunto é um elemento que não é maior que nenhum outro elemento do conjunto. Isso não é equivalente a dizer que todos os elementos do conjuntos são maiores que ele, pois nem toda relação de ordem permite comparar qualquer dois elementos entre si. Um elemento que é menor que todos os outros elementos de um conjunto de chama "menor elemento" do conjunto, o que não é o mesmo que elemento minimal do conjunto. Dada uma relação de ordem estrita sobre um conjunto , um elemento é denominado minimal quando não existe outro elemento que seja menor que ele: Portanto, no exemplo abaixo: S = {{d, o}, {d, o, g}, {g, o, a, d}, {o, a, f}} ordenados por subconjunto, {d, o} é minimal. (pt)
- Ett maximum, ofta förkortat max, är den högsta gränsen för något, till exempel den maximala vätskenivån. Inom matematik är maximum för en ordnad mängd , eller , det element som uppfyller . En generalisering av maximum till mängder som saknar sådana element är supremum. Som flertalsform av ordet används antingen maxima eller maximum, och som sammansättningsform maximi-. Motsvarande begrepp för minsta gräns kallas minimum. En invers funktion till max är arg max. (sv)
- Элемент частично упорядоченного множества называется максимальным элементом, если
* Аналогично, элемент называется минимальным, если
* Записывается как (соотв. свойство минимальности записывается как ). В случае линейно упорядоченного множества (например, в случае подмножества вещественной прямой с естественным порядком) понятие максимального (соотв. минимального) элемента совпадает с понятием наибольшего (соотв. наименьшего) элемента, но в общем случае эти понятия различаются: наибольший элемент всегда является максимальным, обратное не всегда верно, так как для максимального элемента могут существовать несравнимые с ним элементы. Не существует максимального элемента подмножества , если оно не ограничено сверху. Даже если это множество ограничено сверху, максимального элемента также может не существовать (хотя и инфимум, и супремум существуют для любого ограниченного множества). Например, для интервала не существует ни минимального, ни максимального элемента. (ru)
- У математиці, а саме в теорії порядку, для частково впорядкованої множини (P,≤) максимальним елементом називається такий елемент для якого справедливо: мінімальним елементом називається такий елемент для якого справедливо: Максимальні та мінімальні елементи в частково впорядкованих множинах можуть існувати, а можуть і не існувати, їх може бути кілька, як показують наведені нижче приклади: Приклад 1: (R,≤) - множина дійсних чисел. У цій множині немає ні максимального, ні мінімального елементів. Приклад 2: В множині[0;1]Є максимальний елемент a=1, та мінімальний елемент b=0. В множині(0;1]Є максимальний елемент, але немає мінімального. В множині[0;1)Є мінімальний елемент, але немає максимального. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- En matemàtiques, especialment en teoria de l'ordre, un element maximal d'un conjunt parcialment ordenat P és un element de P que no és menor que cap altre. El terme element minimal es defineix de manera dual. (ca)
- Die Begriffe maximales Element und minimales Element werden in der Mengenlehre, genauer in der Ordnungstheorie verwendet. Ein Element einer geordneten Menge ist maximal, wenn es kein größeres gibt. Es ist minimal, wenn es kein kleineres gibt. In einer total geordneten Menge stimmen die Begriffe maximales Element und größtes Element sowie minimales Element und kleinstes Element überein. Ein maximales bzw. minimales Element einer partiell geordneten Menge ist jedoch nicht automatisch deren größtes bzw. kleinstes Element. (de)
- 수학, 특히 순서론에서 극대 원소(極大元素, 영어: maximal element)와 극소 원소(極小元素, 영어: minimal element)는 부분 순서 집합에서 그와 비교 가능한 원소들 가운데 가장 크거나 가장 작은 원소이다. 이는 최대 원소, 최소 원소보다 약한 개념이다. 줄여서 극대원, 극소원이라고도 한다. 극대·극소 원소는 각각 존재하지 않을 수도, 유일하게 존재할 수도, 둘 이상 존재할 수도 있다. 극대 원소가 존재할 충분조건은 초른 보조정리에 의해 제시된다. 이 정리에 의하면, 부분 순서 집합의 모든 사슬이 상계를 가지면 그 부분 순서 집합은 극대 원소를 가진다. 이는 정렬 정리, 선택 공리와 동치인 명제이다. (ko)
- In de ordetheorie, een deelgebied van wiskunde, heet een element van een deelverzameling van een verzameling met een preorde een maximaal element als er geen groter element is. heet een element een minimaal element als er geen kleiner element is. De begrippen maximaal en minimaal element zijn zwakker dan die van grootste en kleinste element (die ook bekendstaan als respectievelijk het maximum en het minimum); partieel geordende verzamelingen kunnen meerdere maximale en/of minimale elementen hebben. (nl)
- Elementem minimalnym w zbiorze częściowo uporządkowanym nazywamy każdy taki element że nie ma w elementów mniejszych od niego. Symbolicznie: Dualnie, elementem maksymalnym w zbiorze częściowo uporządkowanym nazywamy każdy taki element że nie ma w elementów większych od niego. Symbolicznie: (pl)
- Ett maximum, ofta förkortat max, är den högsta gränsen för något, till exempel den maximala vätskenivån. Inom matematik är maximum för en ordnad mängd , eller , det element som uppfyller . En generalisering av maximum till mängder som saknar sådana element är supremum. Som flertalsform av ordet används antingen maxima eller maximum, och som sammansättningsform maximi-. Motsvarande begrepp för minsta gräns kallas minimum. En invers funktion till max är arg max. (sv)
- Jako maximální prvek množiny se označuje takový prvek, který není menší než žádný jiný prvek této množiny. Formálně: prvek a ∈ A je maximálním prvkem množiny A (která je podmnožinou nějaké částečně uspořádané množiny), pokud platí: pro libovolný prvek b ∈ A platí: pokud a ≤ b, pak a = b. Obdobně je definován minimální prvek, který není větší než žádný jiný prvek množiny (a ve formální definici se tedy objevuje opačná podmínka: pokud b ≤ a, pak a = b). Na úplně uspořádaných množinách je však každý maximální prvek zároveň největším (totéž pro minimální a nejmenší). (cs)
- In mathematics, especially in order theory, a maximal element of a subset S of some preordered set is an element of S that is not smaller than any other element in S. A minimal element of a subset S of some preordered set is defined dually as an element of S that is not greater than any other element in S. As an example, in the collection (en)
- En matemáticas, especialmente en teoría del orden, un elemento maximal de un conjunto parcialmente ordenado A es un elemento de A que no está por debajo (en el orden correspondiente) de ningún otro. Un elemento x ∈ A es maximal con respecto a la relación (≤) si no existe ningún elemento y ∈ A tal que: x ≤ y Análogamente, si la relación es del tipo (≥), entonces un elemento x ∈ A es maximal con respecto a la relación (≥) si no existe ningún elemento y ∈ A tal que: y ≥ x (∀ x ∈ A) : x ≤ m (es)
- Dans un ensemble ordonné, un élément maximal est un élément tel qu'il n'existe aucun autre élément de cet ensemble qui lui soit supérieur, c'est-à-dire que a est dit élément maximal d'un ensemble ordonné (E, ≤) si a est un élément de E tel que : De même, a est un élément minimal de E si : Pour tout élément a de E, on a les équivalences et l'implication (stricte) : a est un majorant de E ⇔ a est la borne supérieure de E ⇔ a est l'élément maximum (ou « plus grand élément ») de E ⇒ a est l'unique élément maximal de E. (fr)
- Элемент частично упорядоченного множества называется максимальным элементом, если
* Аналогично, элемент называется минимальным, если
* Записывается как (соотв. свойство минимальности записывается как ). В случае линейно упорядоченного множества (например, в случае подмножества вещественной прямой с естественным порядком) понятие максимального (соотв. минимального) элемента совпадает с понятием наибольшего (соотв. наименьшего) элемента, но в общем случае эти понятия различаются: наибольший элемент всегда является максимальным, обратное не всегда верно, так как для максимального элемента могут существовать несравнимые с ним элементы. (ru)
- Elemento minimal de um conjunto é um elemento que não é maior que nenhum outro elemento do conjunto. Isso não é equivalente a dizer que todos os elementos do conjuntos são maiores que ele, pois nem toda relação de ordem permite comparar qualquer dois elementos entre si. Um elemento que é menor que todos os outros elementos de um conjunto de chama "menor elemento" do conjunto, o que não é o mesmo que elemento minimal do conjunto. Dada uma relação de ordem estrita sobre um conjunto , um elemento é denominado minimal quando não existe outro elemento que seja menor que ele: (pt)
- У математиці, а саме в теорії порядку, для частково впорядкованої множини (P,≤) максимальним елементом називається такий елемент для якого справедливо: мінімальним елементом називається такий елемент для якого справедливо: Максимальні та мінімальні елементи в частково впорядкованих множинах можуть існувати, а можуть і не існувати, їх може бути кілька, як показують наведені нижче приклади: Приклад 1: (R,≤) - множина дійсних чисел. У цій множині немає ні максимального, ні мінімального елементів. Приклад 2: В множині[0;1]Є максимальний елемент a=1, та мінімальний елемент b=0. (uk)
|
