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- Die Level-Set-Methode (LSM) oder Niveaumengenmethode ist ein numerisches Verfahren, um geometrische Objekte und deren Bewegung approximativ zu verfolgen. Der Vorteil der Level-Set-Methode liegt darin, dass man Kurven und Oberflächen auf einem räumlich festen (Eulerschen) Koordinatensystem berechnen kann, ohne Parametrisierungen dieser Objekte verwenden zu müssen. Insbesondere muss bei der Level-Set-Methode die Topologie (zum Beispiel die Anzahl der zusammenhängenden Gebiete) nicht bekannt sein, und sie kann sich während der Berechnung ändern. Dies erlaubt die einfache Verfolgung der Ränder beweglicher Objekte, beispielsweise eines Airbags oder eines Tropfens Öl, der in Wasser schwimmt. Bei der Level-Set-Methode wird im -dimensionalen Raum ein -dimensionaler Rand (etwa eine Kurve für ) als Nullstellenmenge („level-set“) einer -dimensionalen Hilfsfunktion beschrieben: Die Hilfsfunktion wird auf dem ganzen betrachteten Gebiet definiert, und zwar mit positiven Werten auf der einen und negativen Werten auf der anderen Seite von . Bei einem zeitlich veränderlichen Rand kann analog eine zeitabhängige Hilfsfunktion definiert werden. Bewegt sich solch ein Rand entlang seiner Normalenrichtung mit einer Geschwindigkeit in Richtung positiver , kann man diese Bewegung mittels einer sogenannten Hamilton-Jacobi-Gleichung für die Hilfsfunktion darstellen: Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von numerischen Näherungsmethoden (Finiten Differenzen) auf einem numerischen Gitter berechnet werden. Um die Kurve zu verschiedenen Zeitpunkten der Bewegung darzustellen, muss nun die Nullstellenmenge der Funktion verfolgt werden. Häufig wird zusätzlich die Eigenschaft einer vorzeichenbehafteten Abstandsfunktion aufgeprägt. Dadurch wird die numerische Verfolgung der Nullstellenmenge erleichtert. Die numerische Herstellung dieser Eigenschaft wird genannt. Häufig ist nur für physikalisch sinnvoll definiert (bspw. Ausbreitungsgeschwindigkeiten bei der Simulation von Vormischflammen), so dass abseits von eine künstliche Geschwindigkeit vorgegeben werden muss. Soll die Eigenschaft erhalten bleiben, ist dort sicherzustellen. Neben der expliziten Sicherstellung von durch Reinitialisierung existieren Ansätze der impliziten Einbettung in die Formulierung von . So können (beispielsweise durch Einführung eines Regularisierungsterms) solche Bewegungen bevorzugt werden, die in einer approximativ vorzeichenbehafteten Abstandsfunktion resultieren. Entwickelt wird die Level-Set Methode als numerisches Verfahren seit den 1980er Jahren vor allem von den amerikanischen Mathematikern Stanley Osher und James Sethian. Sie wird seitdem in vielen Bereichen (numerische Strömungsmechanik, Computergrafik) erfolgreich eingesetzt. (de)
- El método del conjunto de nivel es una técnica numérica para delinear interfaces y formas. La ventaja del método del conjunto de nivel es que se puede realizar cálculos numéricos que involucran curvas y superficies sobre una cuadrícula cartesiana fija sin tener que parametrizar estos objetos (esto se llama el enfoque euleriano). Además, el método del conjunto de nivel hace que sea muy fácil seguir las formas que cambian de topología, por ejemplo, cuando una forma se divide en dos, crea agujeros o la inversa de estas operaciones. Todo esto hace que este método sea una gran herramienta para el modelado de objetos que cambian en el tiempo, como el inflado de un airbag o una gota de aceite flotando en el agua. (es)
- Level-set methods (LSM) are a conceptual framework for using level sets as a tool for numerical analysis of surfaces and shapes. The advantage of the level-set model is that one can perform numerical computations involving curves and surfaces on a fixed Cartesian grid without having to parameterize these objects (this is called the Eulerian approach). Also, the level-set method makes it very easy to follow shapes that change topology, for example, when a shape splits in two, develops holes, or the reverse of these operations. All these make the level-set method a great tool for modeling time-varying objects, like inflation of an airbag, or a drop of oil floating in water. The figure on the right illustrates several important ideas about the level-set method. In the upper-left corner we see a shape; that is, a bounded region with a well-behaved boundary. Below it, the red surface is the graph of a level set function determining this shape, and the flat blue region represents the xy plane. The boundary of the shape is then the zero-level set of , while the shape itself is the set of points in the plane for which is positive (interior of the shape) or zero (at the boundary). In the top row we see the shape changing its topology by splitting in two. It would be quite hard to describe this transformation numerically by parameterizing the boundary of the shape and following its evolution. One would need an algorithm able to detect the moment the shape splits in two, and then construct parameterizations for the two newly obtained curves. On the other hand, if we look at the bottom row, we see that the level set function merely translated downward. This is an example of when it can be much easier to work with a shape through its level-set function than with the shape directly, where using the shape directly would need to consider and handle all the possible deformations the shape might undergo. Thus, in two dimensions, the level-set method amounts to representing a closed curve (such as the shape boundary in our example) using an auxiliary function , called the level-set function. is represented as the zero-level set of by and the level-set method manipulates implicitly, through the function . This function is assumed to take positive values inside the region delimited by the curve and negative values outside. (en)
- La méthode des surfaces de niveau est une technique numérique d'analyse de surfaces et de formes. Elle permet par exemple d'étudier le mouvement d'un objet en contact avec un objet déformable. Si l'objet déformable est une courbe, l'idée consiste à considérer que cette courbe est la section d'un objet volumique fixe par un plan mobile, donc une courbe de niveau ; la troisième dimension représente le temps. De même, une surface déformable peut être traitée dans un espace à quatre dimensions. Cette modification du point de vue suffit pour esquiver certains problèmes posés dans l'espace physique par les modifications de la topologie, par exemple quand une forme se partage en deux, fait apparaître des trous ou l'inverse. (fr)
- 레벨집합 방법은 레벨집합을 이용해 곡면에 대한 수치해석을 하는 방법이다. 알랭 데르비유(Alain Dervieux)가 개발하여 (Stanley Osher)와 (James Sethian)에 의해 연구되었다. (ko)
- Metoda poziomic (szerzej znana pod angielską nazwą level set method) – numeryczna metoda pozwalająca na śledzenie hiperpowierzchni (krzywych w przestrzeni dwuwymiarowej, powierzchni w przestrzeni trójwymiarowej) ewoluującej pod wpływem pewnego pola prędkości zdefiniowanego w jej punktach, bez konieczności tej hiperpowierzchni. Jest to możliwe dzięki rezygnacji z jawnej reprezentacji hiperpowierzchni (explicit) kosztem reprezentacji uwikłanej (implicit, co oznacza, że hiperpowierzchnię definiujemy jako poziomicę funkcji skalarnej zdefiniowanej we wszystkich punktach przestrzeni), gdzie funkcja ta reprezentowana jest poprzez zbiór swoich wartości w punktach węzłowych zdefiniowanej w interesującym nas obszarze przestrzeni. Funkcja skalarna użyta w powyższej definicji nazywana jest funkcją dystansu. (pl)
- 水平集方法（Level Set Method） 是一种用于界面追踪和的数值技术.水平集方法的优点是可以在（Cartesian grid）上对演化中的曲线曲面进行数值计算而不必对曲线曲面（这是所谓的欧拉法（Eulerian approach））.）.水平集方法的另一个优点是可以方便地追踪物体的拓扑结构改变.例如当物体的形状一分为二，产生空洞，或者相反的这些操作.所有这些使得水平集方法成为随时间变化的物体建模的有力工具，例如膨胀中的气囊， 掉落到水中的油滴. (zh)
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- El método del conjunto de nivel es una técnica numérica para delinear interfaces y formas. La ventaja del método del conjunto de nivel es que se puede realizar cálculos numéricos que involucran curvas y superficies sobre una cuadrícula cartesiana fija sin tener que parametrizar estos objetos (esto se llama el enfoque euleriano). Además, el método del conjunto de nivel hace que sea muy fácil seguir las formas que cambian de topología, por ejemplo, cuando una forma se divide en dos, crea agujeros o la inversa de estas operaciones. Todo esto hace que este método sea una gran herramienta para el modelado de objetos que cambian en el tiempo, como el inflado de un airbag o una gota de aceite flotando en el agua. (es)
- La méthode des surfaces de niveau est une technique numérique d'analyse de surfaces et de formes. Elle permet par exemple d'étudier le mouvement d'un objet en contact avec un objet déformable. Si l'objet déformable est une courbe, l'idée consiste à considérer que cette courbe est la section d'un objet volumique fixe par un plan mobile, donc une courbe de niveau ; la troisième dimension représente le temps. De même, une surface déformable peut être traitée dans un espace à quatre dimensions. Cette modification du point de vue suffit pour esquiver certains problèmes posés dans l'espace physique par les modifications de la topologie, par exemple quand une forme se partage en deux, fait apparaître des trous ou l'inverse. (fr)
- 레벨집합 방법은 레벨집합을 이용해 곡면에 대한 수치해석을 하는 방법이다. 알랭 데르비유(Alain Dervieux)가 개발하여 (Stanley Osher)와 (James Sethian)에 의해 연구되었다. (ko)
- 水平集方法（Level Set Method） 是一种用于界面追踪和的数值技术.水平集方法的优点是可以在（Cartesian grid）上对演化中的曲线曲面进行数值计算而不必对曲线曲面（这是所谓的欧拉法（Eulerian approach））.）.水平集方法的另一个优点是可以方便地追踪物体的拓扑结构改变.例如当物体的形状一分为二，产生空洞，或者相反的这些操作.所有这些使得水平集方法成为随时间变化的物体建模的有力工具，例如膨胀中的气囊， 掉落到水中的油滴. (zh)
- Die Level-Set-Methode (LSM) oder Niveaumengenmethode ist ein numerisches Verfahren, um geometrische Objekte und deren Bewegung approximativ zu verfolgen. Der Vorteil der Level-Set-Methode liegt darin, dass man Kurven und Oberflächen auf einem räumlich festen (Eulerschen) Koordinatensystem berechnen kann, ohne Parametrisierungen dieser Objekte verwenden zu müssen. Insbesondere muss bei der Level-Set-Methode die Topologie (zum Beispiel die Anzahl der zusammenhängenden Gebiete) nicht bekannt sein, und sie kann sich während der Berechnung ändern. Dies erlaubt die einfache Verfolgung der Ränder beweglicher Objekte, beispielsweise eines Airbags oder eines Tropfens Öl, der in Wasser schwimmt. (de)
- Level-set methods (LSM) are a conceptual framework for using level sets as a tool for numerical analysis of surfaces and shapes. The advantage of the level-set model is that one can perform numerical computations involving curves and surfaces on a fixed Cartesian grid without having to parameterize these objects (this is called the Eulerian approach). Also, the level-set method makes it very easy to follow shapes that change topology, for example, when a shape splits in two, develops holes, or the reverse of these operations. All these make the level-set method a great tool for modeling time-varying objects, like inflation of an airbag, or a drop of oil floating in water. (en)
- Metoda poziomic (szerzej znana pod angielską nazwą level set method) – numeryczna metoda pozwalająca na śledzenie hiperpowierzchni (krzywych w przestrzeni dwuwymiarowej, powierzchni w przestrzeni trójwymiarowej) ewoluującej pod wpływem pewnego pola prędkości zdefiniowanego w jej punktach, bez konieczności tej hiperpowierzchni. Jest to możliwe dzięki rezygnacji z jawnej reprezentacji hiperpowierzchni (explicit) kosztem reprezentacji uwikłanej (implicit, co oznacza, że hiperpowierzchnię definiujemy jako poziomicę funkcji skalarnej zdefiniowanej we wszystkich punktach przestrzeni), gdzie funkcja ta reprezentowana jest poprzez zbiór swoich wartości w punktach węzłowych zdefiniowanej w interesującym nas obszarze przestrzeni. (pl)
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- Level-Set-Methode (de)
- Método del conjunto de nivel (es)
- Méthode des surfaces de niveau (fr)
- Level-set method (en)
- 레벨집합 방법 (ko)
- Metoda poziomic (pl)
- 水平集方法 (zh)
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