| dbo:abstract
|
- Landen's transformation is a mapping of the parameters of an elliptic integral, useful for the efficient numerical evaluation of elliptic functions. It was originally due to John Landen and independently rediscovered by Carl Friedrich Gauss. (en)
- ランデン変換 (Landen's transformation) は、数学において楕円積分や楕円関数の母数を増減させる恒等式。楕円関数の数値計算に有用である。 (ja)
- Преобразова́ние Ла́ндена относится к эллиптическим интегралам. Имеет смысл говорить о преобразовании Ландена в узком смысле и в широком смысле. В узком смысле, о котором будет идти речь ниже, британский математик Джон Ланден (1719—1790) в 1775 году предложил очень удачную замену переменной в неопределённом интеграле, определяющем значение неполного эллиптического интеграла первого рода то есть в первообразной функции Предложенная Ланденом замена переменной описывается следующей формулой: В результате такой замены переменной неопределённый интеграл преобразуется в следующий: Параметры x и x1 связаны зависимостями: Таким образом, в результате подстановки Ландена неопределённый интеграл преобразуется в неопределённый интеграл того же вида, но с другим параметром и умноженный на некий коэффициент, зависящий от нового параметра. При последовательном применении преобразования параметр x стремится к 1, параметр x1 к 0. Для этих крайних значений параметра величины неопределённых интегралов очевидны: Эллиптические интегралы часто представляют в виде функции ряда различных аргументов. Эти различные аргументы полностью эквивалентны (они дают одни и те же интегралы), но может возникнуть путаница, связанная с их различным происхождением. В вышеприведённых формулах мы использовали т. н. модуль эллиптического интеграла x (x1). Этот модуль связан с модулярным углом и параметром эллиптического интеграла формулами — модулярный угол; — модуль эллиптического интеграла; — параметр эллиптического интеграла. Легко видеть, что формулы, связывающие значения x и x1 и углы φ и θ, для случая, когда итерации начинаются с параметров x1 и θ, можно представить в виде: Если же итерации начинаются с параметров x и φ, то формулы имеют вид: Следует указать на некоторую особенность предложенной Ланденом замены переменной, то есть перехода независимой переменной от θ к φ. При изменении угла φ от 0 до π/2 угол θ терпит разрыв. Это обстоятельство необходимо учитывать при численной реализации формулы Ландена. В широком смысле Ланденом был открыт новый способ вычисления, причём не только эллиптических функций. Его основная идея, заключающаяся в том, что вычисляемую функцию можно представить в виде такого же вида функции, но с другими параметрами, которые при рекурсии стремятся к некоторым пределам, была в дальнейшем широко использована в вычислительной математике. Укажем, что наряду с указанной Ланденом и приведенной выше формулой замены переменной интегрирования, существуют и другие, например такая: В результате такой замены переменной неопределённый интеграл преобразуется в следующий: Параметры x и x1 связаны зависимостями: (ru)
|
