| p:abstract
| - Idempotence describes the property of operations in mathematics and computer science which yield the same result after the operation is applied multiple times. The concept of idempotence arises in a number of places in abstract algebra (in particular, in the theory of projectors, closure operators and functional programming, in which it is connected to the property of referential transparency).
There are several meanings of idempotence, depending on what the concept is applied to:
*A unary operation (or function) is called idempotent if, whenever it is applied twice to any value, it gives the same result as if it were applied once. For example, the absolute value function is idempotent as a function from the set of real numbers to the set of real numbers: .
*A binary operation is called idempotent if, whenever it is applied to two equal values, it gives that value as the result. For example, the operation giving the maximum value of two values is idempotent: .
*Given a binary operation, an idempotent element (or simply an idempotent) for the operation is a value for which the operation, when given that value for both of its operands, gives the value as the result. For example, the number 1 is an idempotent of multiplication: . (en)
- En matemática, la idempotencia es la propiedad para realizar una acción determinada varias veces y aún así conseguir el mismo resultado que se obtendría si se realizase una sola vez. Un elemento que cumple esta propiedad es un elemento idempotente, o un idempotente. De esta manera, si un elemento al multiplicarse por sí mismo sucesivas veces da él mismo, este elemento es idempotente. Por ejemplo, los dos únicos números reales que son idempotentes son 0 y 1.
Formalmente, si S es un magma, es decir, un conjunto con una operación binaria *, entonces un elemento s \in S se dice idempotente si s*s = s. Si todo s fuese idempotente bajo *, entonces la operación en sí se denominaría operación idempotente.
En particular, cualquier elemento identidad es un idempotente bajo *.
En álgebra conjuntista, las operaciones de unión e intersección de conjuntos son idempotentes. En efecto, la unión o intersección de un conjunto consigo mismo, entregan como resultado el conjunto mismo.
Análogamente, en álgebra booleana, los operadores Y (and, \land) y O (or, \lor) son idempotentes. En efecto, si V=Verdadero, F=Falso: \mbox{V} \land \mbox{V} = \mbox{V},\;\;\mbox{V} \lor \mbox{V} = \mbox{V}. Análogamente para F.
En álgebra lineal, la proyección es idempotente. Es decir, cualquier matriz que proyecta todos los vectores sobre un subespacio V (no necesariamente ortogonalmente) es idempotente, si V mismo está fijo punto por punto.
Una función f de un conjunto M a sí mismo se llama idempotente si se cumple que para la composición de funciones, f \circ f = f, es decir: \forall x \in M,\; f(f(x)) = f(x), es decir: Esto es equivalente a decir que f(x) = x, también para todo x en f (M). Ejemplos triviales de funciones idempotentes en S son la función identidad y las funciones constantes. Ejemplos menos triviales son el valor absoluto y la función que asigna a cada subconjunto U de un cierto espacio topológico X la clausura de U. La última es una función idempotente en el conjunto de partes de X. Es un ejemplo de operador de clausura; todos los operadores de clausura son funciones idempotentes.
Un anillo en el cual la multiplicación es idempotente (x\times x = x) se llama anillo de Boole. Puede ser demostrado que en cada tal anillo, la multiplicación es conmutativa, y cada elemento es su propio inverso aditivo.
Categoría:Álgebra abstracta (es)
- Idempotenz ist ein Begriff aus der Mathematik und Informatik.
Er bezeichnet die Eigenschaft einer Funktion (oder in der Informatik auch einer Methode), in Verknüpfung mit sich selbst das gleiche Ergebnis zu liefern wie bei einmaliger Verwendung. Die beiden grundlegenden und wichtigsten Definitionen lauten:
Bei Funktionen oder unären Operationen bezeichnet man eine Funktion genau dann als idempotent, wenn gilt
:f(x) = f(f(x)),
das mehrmalige Anwenden einer Funktion also äquivalent mit der einmaligen Anwendung ist. Dafür kann man auch sagen:
:f = (f\circ f).
Bei einer binären Operation bezeichnet man die Elemente, welche mit sich selbst verknüpft wieder sich selbst ergeben, also
:x \, \mbox{Op} \, x = x,
als idempotente Elemente. (de)
- Funktion sanotaan olevan idempotentti, jos sillä suoritettava operaatio tuottaa saman tuloksen riippumatta siitä, suoritetaanko se vain yhden vai useamman kerran. Esimerkiksi funktio f(x) on idempotentti, jos ja vain jos
:f(x) = f(f(x))\,.
Reaalilukujen joukossa on vain kaksi idempotenttia: luvut 0 ja 1. Matriisilaskennassa erilaisia idempotentteja voidaan määritellä runsaastikin. Dynamiikassa systeemin aikakehitystä kuvaavan funktion idempotenssi vastaa systeemin päätymistä kiintopisteeseen.
Tietotekniikassa funktio on idempotentti, jos sen vaikutukset ovat samat riippumatta siitä, suoritetaanko se vain yhden vai useamman kerran (huomaa, että funktiolla voi olla ohjelman tilaa muuttavia sivuvaikutuksia, vaikka se olisi idempotentti). Esimerkiksi C-kieliset otsikkotiedostot on suunniteltu idempotenteiksi - on tärkeää, että ohjelman toimintaan ei vaikuta se, että otetaanko jokin tiedosto mukaan käännettäessä #include -direktiivillä yhden vai useamman kerran.
Samoin WWW:n tiedonsiirrossa käytetyn HTTP-protokollan GET-pyynnön tulisi aina olla idempotentti, eli saman pyynnön suorittamisen pitäisi tuottaa aina sama tulos. POST-pyynnön taas voidaan olettaa olevan ei-idempotentti (usein näin ei kuitenkaan ole, vaan järjestelmän tilaa muuttavat toiminnot kuten päivitykset ja poistot on toteutettu GET:illä) (fi)
- En mathematiques, le concept d' idempotence signifie basiquement qu'une opération a le même effet qu'on l'applique une ou plusieurs fois, ou encore qu'en la réappliquant on ne modifiera pas le résultat. On la retrouve en algèbre générale, en particulier dans la théorie des opérateurs de projections et des opérateurs de clôture. (fr)
- In matematica, e in particolare in algebra, l'idempotenza è una proprietà che può caratterizzare endofunzioni, ovvero operazioni unarie, operazioni binarie ed elementi di strutture algebriche dotate di una operazione binaria, cioè elementi di magmi e di loro arricchimenti (in particolare di anelli e di algebre).
Una endofunzione idempotente ovvero una operazione unaria idempotente entro un certo insieme S è una funzione del tipo
:T : S \rightarrow S~ tale che :~\forall x\in S ~:~ T(T(x))=T(x) \quad\mathrm{ovvero}\quad T\circ T = T
Ogni endofunzione idempotente entro un qualsiasi insieme è una unione funzionale di collassi. In particolare trasformazioni lineari idempotenti di uno spazio vettoriale V sono i proiettori
sopra i sottospazi di V.
Una operazione binaria idempotente entro un certo insieme S è una funzione del tipo
:~* : S \times S \rightarrow S~ tale che :\forall x\in S ~:~ x*x = x
Esempi di operazioni binarie idempotenti sono l'unione e la intersezione di insiemi, le operazioni logiche di AND e OR, il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo di interi positivi, le operazioni di giunzione o supremo (sup) e di incontro o infimo (inf) di un reticolo o di un semireticolo.
Si osserva che la nozione di endofunzione idempotente si riconduce a quella di operazione binaria idempotente relativa al caso particolare dell'operazione di composizione di endofunzioni.
Se (S,*,...) è una struttura algebrica avente S come insieme sostegno e * operazione binaria, si dice elemento idempotente della struttura ogni e di S tale che e * e = e. In particolare nell'algebra delle matrici sopra un generico campo K sono elementi idempotenti le matrici quadrate diagonali aventi tutte le entrate della diagonale principale uguali a uno o a zero (si osserva che esse costituiscono rappresentazioni di proiettori). Tra le matrici sui reali e sui complessi sono idempotenti anche le matrici quadrate aventi autovalori soltanto 1 e 0. Nell'algebra delle relazioni sono idempotenti le relazioni di equivalenza. (it)
- 数学において、冪等性（べきとうせい、英: idempotence）とは、大雑把に言って、ある操作を1回行っても複数回行っても結果が同じであることをいう概念である。まれに等冪（とうべき）とも。抽象代数学、特に射影（projector）や閉包（closure）演算子に見られる特徴である。"idempotence" という単語はラテン語の "idem"（同じ=same）と"potere"（冪=power）から来ている。
主に以下の2つの定義が使われている。
* 二項演算において、自分自身にその二項演算を施したときに（例えば N * N）、結果が自分自身となるようなものを冪等である、または冪等元という。例えば、実数の乗算で冪等な数は 0 と 1 だけである。
* 単項演算（関数）において、その演算を行った結果に同じ演算を行っても結果が変わらない場合に冪等であるという。例えば、実数から整数への関数である床関数は冪等である。この単項演算における冪等の定義は、上記の二項演算のときの定義の特殊例である（後述）。 (ja)
- Idempotentie verwijst naar de eigenschap van de server om statusinformatie over de client bij te houden. Bijvoorbeeld NFS (Network File System) is een idempotent protocol (houdt ... bij), FTP, NNTP (Network News Transfer Protocol) en HTTP zijn niet idempotent. (nl)
- Idempotentność (ang. idempotence) — właściwość operacji pozwalająca na wielokrotne jej powtarzanie bez zmiany wyniku lub powodowania błędu. Taką cechę ma np. operacja czytania. W algebrze zbiorów taką właściwością odznacza się operacja dodawania zbiorów, co przedstawia się następująco:
: A \cup A = A
Powyższe twierdzenie algebry zbiorów pochodzi od George'a Boole'a. (pl)
- Em matemática, um objeto é idempotente quando ele é o resultado de sua composição consigo mesmo, no sentido que se torna mais preciso:
* Uma função f: S \rightarrow S\, é idempotente quando f o f = f\,, sendo o a composição de funções. Neste caso dizemos que f é uma operação idempotente.
* Em um conjunto S com uma operação binária * (ou seja, (S,*) é um grupóide), um elemento a é idempotente quando a * a = a.
Por exemplo: Os únicos números reais idempotentes em relação à multiplicação são 0 e 1. (pt)
- Идемпотентный элемент (от - такой же и potens - сильный, то есть имеющий такую же силу) в математике — элемент e полугруппы или кольца, равный своему квадрату: e^2=e. (ru)
- Inom matematiken och datavetenskapen säger man att en operation är idempotent om avbildningen resulterar i samma resultat hur många gånger man än applicerar den. (sv)
- 在數學裡，等冪有兩種主要的定義。
*在某二元運算下，等冪元素是指被自己重複運算(或對於函數是為複合)的結果等於它自己的元素。例如，乘法下唯一兩個等冪實數為0和1。
*某一元運算為等冪的時，其作用在任一元素兩次後會和其作用一次的結果相同。例如，高斯符號便是等冪的。
*一元運算的定義是二元運算定義的特例(詳情請見下面)。 (zh)
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| rdfs:comment
| - Idempotence describes the property of operations in mathematics and computer science which yield the same result after the operation is applied multiple times. The concept of idempotence arises in a number of places in abstract algebra (in particular, in the theory of projectors, closure operators and functional programming, in which it is connected to the property of referential transparency). (en)
- En matemática, la idempotencia es la propiedad para realizar una acción determinada varias veces y aún así conseguir el mismo resultado que se obtendría si se realizase una sola vez. Un elemento que cumple esta propiedad es un elemento idempotente, o un idempotente. De esta manera, si un elemento al multiplicarse por sí mismo sucesivas veces da él mismo, este elemento es idempotente. Por ejemplo, los dos únicos números reales que son idempotentes son 0 y 1. (es)
- Idempotenz ist ein Begriff aus der Mathematik und Informatik. (de)
- Funktion sanotaan olevan idempotentti, jos sillä suoritettava operaatio tuottaa saman tuloksen riippumatta siitä, suoritetaanko se vain yhden vai useamman kerran. Esimerkiksi funktio f(x) on idempotentti, jos ja vain jos (fi)
- En mathematiques, le concept d' idempotence signifie basiquement qu'une opération a le même effet qu'on l'applique une ou plusieurs fois, ou encore qu'en la réappliquant on ne modifiera pas le résultat. On la retrouve en algèbre générale, en particulier dans la théorie des opérateurs de projections et des opérateurs de clôture. (fr)
- In matematica, e in particolare in algebra, l'idempotenza è una proprietà che può caratterizzare endofunzioni, ovvero operazioni unarie, operazioni binarie ed elementi di strutture algebriche dotate di una operazione binaria, cioè elementi di magmi e di loro arricchimenti (in particolare di anelli e di algebre). (it)
- 数学において、冪等性（べきとうせい、英: idempotence）とは、大雑把に言って、ある操作を1回行っても複数回行っても結果が同じであることをいう概念である。まれに等冪（とうべき）とも。抽象代数学、特に射影（projector）や閉包（closure）演算子に見られる特徴である。"idempotence" という単語はラテン語の "idem"（同じ=same）と"potere"（冪=power）から来ている。 (ja)
- Idempotentie verwijst naar de eigenschap van de server om statusinformatie over de client bij te houden. Bijvoorbeeld NFS (Network File System) is een idempotent protocol (houdt ... bij), FTP, NNTP (Network News Transfer Protocol) en HTTP zijn niet idempotent. (nl)
- Idempotentność (ang. idempotence) — właściwość operacji pozwalająca na wielokrotne jej powtarzanie bez zmiany wyniku lub powodowania błędu. Taką cechę ma np. operacja czytania. W algebrze zbiorów taką właściwością odznacza się operacja dodawania zbiorów, co przedstawia się następująco: (pl)
- Em matemática, um objeto é idempotente quando ele é o resultado de sua composição consigo mesmo, no sentido que se torna mais preciso: * Uma função f: S \rightarrow S\, é idempotente quando f o f = f\,, sendo o a composição de funções. Neste caso dizemos que f é uma operação idempotente. * Em um conjunto S com uma operação binária * (ou seja, (S,*) é um grupóide), um elemento a é idempotente quando a * a = a. (pt)
- Идемпотентный элемент (от - такой же и potens - сильный, то есть имеющий такую же силу) в математике — элемент e полугруппы или кольца, равный своему квадрату: e^2=e. (ru)
- Inom matematiken och datavetenskapen säger man att en operation är idempotent om avbildningen resulterar i samma resultat hur många gånger man än applicerar den. (sv)
- 在數學裡，等冪有兩種主要的定義。 *在某二元運算下，等冪元素是指被自己重複運算(或對於函數是為複合)的結果等於它自己的元素。例如，乘法下唯一兩個等冪實數為0和1。 *某一元運算為等冪的時，其作用在任一元素兩次後會和其作用一次的結果相同。例如，高斯符號便是等冪的。 *一元運算的定義是二元運算定義的特例(詳情請見下面)。 (zh)
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