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- El teorema de Helly-Bray és un teorema de la teoria de la mesura, una branca de les matemàtiques que s'ocupa de l'estudi de les nocions abstractes de volum. Aquestes s'utilitzen, per exemple, en l'estocàstica o la teoria de la integració. Siguin F i F1, F₂, ... funcions de distribució acumulada en la recta real. El teorema de Helly-Bray diu que si Fn convergeix feblement a F, aleshores per a cada límit, funció contínua g: R → R, on les integrals implicades són integrals de Riemann-Stieltjess. Tingueu en compte que si X i X1, X₂, ... són variables aleatòries corresponents a aquestes funcions de distribució, aleshores el teorema de Helly-Bray no implica que E(Xn) → E(X), ja que g(x) = x no és una funció limitada. De fet, es compleix un teorema més fort i general. Siguin P i P1, P₂, ... mesures de probabilitats en alguns conjunt S. Aleshores Pn convergeix dèbilment a P si i només si per a totes les funcions acotades, contínues i de valor real a S. (Les integrals d'aquesta versió del teorema són les integrals de Lebesgue-Stieltjes). El teorema de Helly-Bray connecta la amb la , i la amb la . Per tant, permet rastrejar el comportament de convergència d'una seqüència de mesures fins al comportament de convergència (puntual) de les . L'exemple més conegut d'això és la en l'estocàstica, perquè aquesta és la convergència feble de les mesures de probabilitat i això es pot remuntar a la convergència de les funcions de distribució (en el sentit de l'estocàstica). El teorema porta el nom d'Eduard Helly i . Helly va demostrar el teorema ja l'any 1912 en el seu treball Sobre operadors funcionals lineals, mentre que Bray, presumiblement sense saber-ho, el va publicar el 1919 al seu treball Propietats elementals de la integral de Stieltjes. (ca)
- Der Satz von Helly-Bray ist ein Satz der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Untersuchung von abstrahierten Volumenbegriffen beschäftigt. Diese finden beispielsweise Verwendung in der Stochastik oder der Integrationstheorie. Der Satz von Helly-Bray knüpft eine Verbindung von der vagen Konvergenz von Maßen zur vagen Konvergenz von Verteilungsfunktionen und der schwachen Konvergenz von Maßen zur schwachen Konvergenz von Verteilungsfunktionen. Somit ermöglicht er es, das Konvergenzverhalten einer Folge von Maßen auf das (punktweise) Konvergenzverhalten der Verteilungsfunktionen zurückzuführen. Bekanntestes Beispiel hierfür ist die Konvergenz in Verteilung in der Stochastik, denn dabei handelt es sich um die schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen und diese kann auf die Konvergenz der Verteilungsfunktionen (im Sinne der Stochastik) zurückgeführt werden. Der Satz ist nach Eduard Helly und benannt. Helly bewies den Satz bereits 1912 in seiner Arbeit Über lineare Funktionaloperatoren, während Bray ihn, vermutlich ohne davon zu wissen, 1919 in seiner Arbeit Elementary properties of the Stieltjes integral veröffentlichte. (de)
- In probability theory, the Helly–Bray theorem relates the weak convergence of cumulative distribution functions to the convergence of expectations of certain measurable functions. It is named after Eduard Helly and . Let F and F1, F2, ... be cumulative distribution functions on the real line. The Helly–Bray theorem states that if Fn converges weakly to F, then for each bounded, continuous function g: R → R, where the integrals involved are Riemann–Stieltjes integrals. Note that if X and X1, X2, ... are random variables corresponding to these distribution functions, then the Helly–Bray theorem does not imply that E(Xn) → E(X), since g(x) = x is not a bounded function. In fact, a stronger and more general theorem holds. Let P and P1, P2, ... be probability measures on some set S. Then Pn converges weakly to P if and only if for all bounded, continuous and real-valued functions on S. (The integrals in this version of the theorem are Lebesgue–Stieltjes integrals.) The more general theorem above is sometimes taken as defining weak convergence of measures (see Billingsley, 1999, p. 3). (en)
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- El teorema de Helly-Bray és un teorema de la teoria de la mesura, una branca de les matemàtiques que s'ocupa de l'estudi de les nocions abstractes de volum. Aquestes s'utilitzen, per exemple, en l'estocàstica o la teoria de la integració. Siguin F i F1, F₂, ... funcions de distribució acumulada en la recta real. El teorema de Helly-Bray diu que si Fn convergeix feblement a F, aleshores per a cada límit, funció contínua g: R → R, on les integrals implicades són integrals de Riemann-Stieltjess. (ca)
- Der Satz von Helly-Bray ist ein Satz der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Untersuchung von abstrahierten Volumenbegriffen beschäftigt. Diese finden beispielsweise Verwendung in der Stochastik oder der Integrationstheorie. Der Satz von Helly-Bray knüpft eine Verbindung von der vagen Konvergenz von Maßen zur vagen Konvergenz von Verteilungsfunktionen und der schwachen Konvergenz von Maßen zur schwachen Konvergenz von Verteilungsfunktionen. Somit ermöglicht er es, das Konvergenzverhalten einer Folge von Maßen auf das (punktweise) Konvergenzverhalten der Verteilungsfunktionen zurückzuführen. Bekanntestes Beispiel hierfür ist die Konvergenz in Verteilung in der Stochastik, denn dabei handelt es sich um die schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen und diese k (de)
- In probability theory, the Helly–Bray theorem relates the weak convergence of cumulative distribution functions to the convergence of expectations of certain measurable functions. It is named after Eduard Helly and . Let F and F1, F2, ... be cumulative distribution functions on the real line. The Helly–Bray theorem states that if Fn converges weakly to F, then for each bounded, continuous function g: R → R, where the integrals involved are Riemann–Stieltjes integrals. The more general theorem above is sometimes taken as defining weak convergence of measures (see Billingsley, 1999, p. 3). (en)
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