In linear algebra, the Gramian matrix (or Gram matrix or Gramian) of a set of vectors <math>v_1,\dots, v_n</math> in an inner product space is the symmetric matrix of inner products, whose entries are given by <math>G_{ij}=</math>.

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  • In linear algebra, the Gramian matrix (or Gram matrix or Gramian) of a set of vectors <math>v_1,\dots, v_n</math> in an inner product space is the symmetric matrix of inner products, whose entries are given by <math>G_{ij}=</math>. An important application is to compute linear independence: a set of vectors is linearly independent if and only if the Gram determinant is non-zero. It is named for Jørgen Pedersen Gram. (en)
  • En géométrie euclidienne ou hilbertienne, le déterminant de Gram permet de calculer des volumes et de tester l'indépendance linéaire d'une famille de vecteurs. Il associe des calculs de produits scalaires et d'un déterminant. Son nom est un hommage au mathématicien danois Jørgen Pedersen Gram . L'article déterminant montre comment définir le volume orienté d'un parallélotope formé par n vecteurs en dimension n, sans nécessité de munir l'espace d'un produit scalaire. Les déterminants de Gram demandent de définir un tel produit scalaire, permettent le calcul des volumes des parallélotopes de toutes dimensions, mais sans notion d'orientation. Plus généralement, il est possible de calculer des déterminants de Gram sur un espace quadratique. En dimension finie, le discriminant d'une forme bilinéaire symétrique est un cas particulier de déterminant de Gram. (fr)
  • Macierz Grama to macierz związana z liniowymi układami sterowania, która pozwala określić czy układ jest sterowalny. (pl)
  • En álgebra lineal, la matriz de Gram de un conjunto de vectores <math>v_1,\dots, v_n</math> en un espacio prehilbertiano, es la matriz que define el producto escalar, cuyas entradas vienen dadas por <math>G_{ij}=(v_i|v_j)</math>. Debe su nombre al matemático danés Jørgen Pedersen Gram. (es)
  • Nella teoria dei sistemi e in algebra lineare la matrice di Gram di un insieme di funzioni <math>\{l_i(\cdot),\,i=1,\dots,n\}</math> è una matrice simmetrica reale <math>G=[G_{ij}]</math>, dove <math>G_{ij}=\int_{t_0}^{t_f} l_il_j\, d\tau </math>. La matrice di Gram, il cui nome è legato al matematico danese Jørgen Pedersen Gram, può essere sfruttata per verificare l'indipendenza lineare della funzioni: le funzioni sono linearmente indipendenti se e solo se G è invertibile. Il suo determinante è noto come determinante di Gram. Se con E si indica uno spazio prehilbertiano e con <math>x_1,\dots, x_n</math> una successione di n vettori di E la matrice di Gram associata è la matrice simmetrica <math>\,</math>. Il determinante di Gram è il determinante della matrice <math>G=\begin{vmatrix} & &\dots & \\ & &\dots & \\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ & &\dots & (x_n|x_n)\end{vmatrix}</math> Tutti gli autovalori di una matrice di Gram sono reali e non negativi e la matrice è quindi definita positiva. (it)
  • Man kann in der Matrizenrechnung nur Determinanten von quadratischen Matrizen als Maß für die Volumenänderung ihrer Abbildung definieren. Für andere rechteckige Matrizen gibt es Minoren und Gramsche Determinanten (nach Jørgen Pedersen Gram), die ähnliches leisten. (de)
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  • In linear algebra, the Gramian matrix (or Gram matrix or Gramian) of a set of vectors <math>v_1,\dots, v_n</math> in an inner product space is the symmetric matrix of inner products, whose entries are given by <math>G_{ij}=</math>. (en)
  • En géométrie euclidienne ou hilbertienne, le déterminant de Gram permet de calculer des volumes et de tester l'indépendance linéaire d'une famille de vecteurs. Il associe des calculs de produits scalaires et d'un déterminant. (fr)
  • Macierz Grama to macierz związana z liniowymi układami sterowania, która pozwala określić czy układ jest sterowalny. (pl)
  • En álgebra lineal, la matriz de Gram de un conjunto de vectores <math>v_1,\dots, v_n</math> en un espacio prehilbertiano, es la matriz que define el producto escalar, cuyas entradas vienen dadas por <math>G_{ij}=(v_i|v_j)</math>. (es)
  • Nella teoria dei sistemi e in algebra lineare la matrice di Gram di un insieme di funzioni <math>\{l_i(\cdot),\,i=1,\dots,n\}</math> è una matrice simmetrica reale <math>G=[G_{ij}]</math>, dove <math>G_{ij}=\int_{t_0}^{t_f} l_il_j\, d\tau </math>. (it)
  • Man kann in der Matrizenrechnung nur Determinanten von quadratischen Matrizen als Maß für die Volumenänderung ihrer Abbildung definieren. (de)
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  • Gramian matrix (en)
  • Déterminant de Gram (fr)
  • Macierz Grama (pl)
  • Matriz de Gram (es)
  • Matrice di Gram (it)
  • Gramsche Determinante (de)
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