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- In theoretical physics, Rajesh Gopakumar and Cumrun Vafa introduced in a series of papers new topological invariants, called Gopakumar–Vafa invariants, that represent the number of BPS states on a Calabi–Yau 3-fold. They lead to the following generating function for the Gromov–Witten invariants on a Calabi–Yau 3-fold M: , where
* is the class of pseudoholomorphic curves with genus g,
* is the topological string coupling,
* with the Kähler parameter of the curve class ,
* are the Gromov–Witten invariants of curve class at genus ,
* are the number of BPS states (the Gopakumar–Vafa invariants) of curve class at genus . (en)
- 理論物理学では、 (Rajesh Gopakumar) とカムラン・ヴァッファ (Cumrun Vafa) は、3次元カラビ・ヤウ多様体のBPS状態(BPS state)の数を表す、新しい位相不変量、ゴパクマー・ヴァッファ不変量 (ゴパクマー・ヴァッファふへんりょう、Gopakumar-Vafa invariant) を、一連の論文で導入した。（、 を参照。また、、 も参照。）彼らは、3-次元カラビ・ヤウ多様体 M のグロモフ・ウィッテン不変量の母函数となる次の公式を導いた。 ここに、 はグロモフ・ウィッテン不変量を、 は種数 g を持つ (pseudoholomorphic curve) の数を、 はBPS状態の数を表す。 (ja)
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- 理論物理学では、 (Rajesh Gopakumar) とカムラン・ヴァッファ (Cumrun Vafa) は、3次元カラビ・ヤウ多様体のBPS状態(BPS state)の数を表す、新しい位相不変量、ゴパクマー・ヴァッファ不変量 (ゴパクマー・ヴァッファふへんりょう、Gopakumar-Vafa invariant) を、一連の論文で導入した。（、 を参照。また、、 も参照。）彼らは、3-次元カラビ・ヤウ多様体 M のグロモフ・ウィッテン不変量の母函数となる次の公式を導いた。 ここに、 はグロモフ・ウィッテン不変量を、 は種数 g を持つ (pseudoholomorphic curve) の数を、 はBPS状態の数を表す。 (ja)
- In theoretical physics, Rajesh Gopakumar and Cumrun Vafa introduced in a series of papers new topological invariants, called Gopakumar–Vafa invariants, that represent the number of BPS states on a Calabi–Yau 3-fold. They lead to the following generating function for the Gromov–Witten invariants on a Calabi–Yau 3-fold M: , where (en)
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- Gopakumar–Vafa invariant (en)
- ゴパクマー・ヴァッファ不変量 (ja)
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