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- In mathematics, and more specifically, in the theory of fractal dimensions, Frostman's lemma provides a convenient tool for estimating the Hausdorff dimension of sets. Lemma: Let A be a Borel subset of Rn, and let s > 0. Then the following are equivalent:
* Hs(A) > 0, where Hs denotes the s-dimensional Hausdorff measure.
* There is an (unsigned) Borel measure μ satisfying μ(A) > 0, and such thatholds for all x ∈ Rn and r>0. Otto Frostman proved this lemma for closed sets A as part of his PhD dissertation at Lund University in 1935. The generalization to Borel sets is more involved, and requires the theory of Suslin sets. A useful corollary of Frostman's lemma requires the notions of the s-capacity of a Borel set A ⊂ Rn, which is defined by (Here, we take inf ∅ = ∞ and 1⁄∞ = 0. As before, the measure is unsigned.) It follows from Frostman's lemma that for Borel A ⊂ Rn (en)
- 数学の特にフラクタル次元にかかわる分野におけるフロストマンの補題 (英: Frostman's lemma）は集合のハウスドルフ次元を評価する使いやすい道具を提供する。 命題 (フロストマンの補題)A が Rn のボレル集合で s > 0 とすれば、以下は同値: 1.
* s-次元 が Hs(A) > 0. 2.
* （非負値）ボレル測度 μ が存在して、μ(A) > 0 かつ が成り立つ。 は、1935年にルンド大学における博士論文の一部として、この補題を A が閉集合である場合を仮定して証明した。これをボレル集合に対するものに一般化することはより複雑な問題で、の理論を必要とする。 フロストマンの補題の有用な系として、ボレル集合 A ⊂ Rn の s-次元容積（内測度、英: s-capacity） （ここで inf ∅ = ∞ および 1⁄∞ = 0 と約束する。また上と同様 μ は非負値ボレル測度とする）を用いた以下のようなものがある: 系 (ハウスドルフ次元の特徴付け)A ⊂ Rn に対しそのハウスドルフ次元 dimH(A) は として求められる。 (ja)
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- 数学の特にフラクタル次元にかかわる分野におけるフロストマンの補題 (英: Frostman's lemma）は集合のハウスドルフ次元を評価する使いやすい道具を提供する。 命題 (フロストマンの補題)A が Rn のボレル集合で s > 0 とすれば、以下は同値: 1.
* s-次元 が Hs(A) > 0. 2.
* （非負値）ボレル測度 μ が存在して、μ(A) > 0 かつ が成り立つ。 は、1935年にルンド大学における博士論文の一部として、この補題を A が閉集合である場合を仮定して証明した。これをボレル集合に対するものに一般化することはより複雑な問題で、の理論を必要とする。 フロストマンの補題の有用な系として、ボレル集合 A ⊂ Rn の s-次元容積（内測度、英: s-capacity） （ここで inf ∅ = ∞ および 1⁄∞ = 0 と約束する。また上と同様 μ は非負値ボレル測度とする）を用いた以下のようなものがある: 系 (ハウスドルフ次元の特徴付け)A ⊂ Rn に対しそのハウスドルフ次元 dimH(A) は として求められる。 (ja)
- In mathematics, and more specifically, in the theory of fractal dimensions, Frostman's lemma provides a convenient tool for estimating the Hausdorff dimension of sets. Lemma: Let A be a Borel subset of Rn, and let s > 0. Then the following are equivalent:
* Hs(A) > 0, where Hs denotes the s-dimensional Hausdorff measure.
* There is an (unsigned) Borel measure μ satisfying μ(A) > 0, and such thatholds for all x ∈ Rn and r>0. A useful corollary of Frostman's lemma requires the notions of the s-capacity of a Borel set A ⊂ Rn, which is defined by (en)
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- Frostman lemma (en)
- フロストマンの補題 (ja)
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