| dbo:abstract
|
- En matemàtiques, la factorització o descomposició en producte de factors és el procés de descompondre un objecte, per exemple un nombre enter, un polinomi, o una matriu en el producte d'altres objectes anomenats factors, que en multiplicar-los tots junts donen l'objecte original. Per exemple, el nombre 15 es pot descompondre en factors primers com 3 × 5, i el polinomi es factoritza com . En tots dos casos, s'ha obtingut un producte d'objectes més senzills. L'objectiu de la factorització de vegades és reduir quelcom a "blocs constructius bàsics," com ara els nombres enters en nombres primers, o els polinomis en polinomis irreductibles, o una matriu en producte de dues matrius triangulars; d'altres vegades l'objectiu és disposar de l'objecte en una forma més adequada com en la diagonalització de matrius que es busca expressar la matriu en termes d'una matriu diagonal i les matrius de canvi de base. (ca)
- في الرياضيات، التحليل إلى عوامل أو التفكيك أو التعميل هو فك دالة كثيرة حدود إلى حاصل ضرب دالتين أو أكثر، ويكون ناتج ضرب هذه الدوال مساوٍ للدالة الأصلية، ونفس الشيء بالنسبة للأعداد والمصفوفات، فعلى سبيل المثال، هذه الحدودية يمكن تحليلها إلى . والعدد يمكن تحليله إلى . وفي جميع هذه الحالات ينتج حاصل ضرب لدوال أو أعداد أو مصفوفات أبسط. (ar)
- Jako faktorizace se v matematice a jejích aplikacích označuje problém rozložení čísla na součin menších čísel, v nejčastější podobě pak rozklad celého čísla na součin prvočísel. Například číslo 15 lze napsat jako součin 3 · 5. Obecněji lze rozkládat i jiné algebraické objekty, např. polynom druhého řádu x² − 4 lze vyjádřit jako součin dvou polynomů prvního řádu (x − 2)(x + 2). Rozklad celého čísla na prvočinitele je považován za velmi těžkou úlohu a na její nezvládnutelnosti pro velká čísla jsou založeny některé kryptografické metody, např. algoritmus RSA pro šifrování s veřejným klíčem. (cs)
- Παραγοντοποίηση είναι στα μαθηματικά η διαδικασία κατά την οποία μια αλγεβρική παράσταση μετατρέπεται από άθροισμα σε γινόμενο. Οι όροι που συμμετέχουν στο γινόμενο ονομάζονται παράγοντες και όταν πολλαπλασιαστούν μαζί δίνουν την αρχική παράσταση. Η αντίστροφη διαδικασία ονομάζεται ανάλυση. Συνήθως η παραγοντοποίηση χρησιμοποιείται για την εύρεση του Μ.Κ.Δ. και του Ε.Κ.Π. πολυωνύμων,για την απλοποίηση κλασματικών παραστάσεων,για την πρόσθεση και αφαίρεση κλασματικών παραστάσεων και για την επίλυση εξισώσεων δευτέρου ή ανώτερου βαθμού. Υπάρχουν δύο βασικά είδη παραγοντοποίησης, η παραγοντοποίηση φυσικών αριθμών (σε πρώτους παράγοντες) και η παραγοντοποίηση πολυωνύμων. (el)
- Eine Faktorisierung ist in der Mathematik die Zerlegung eines Objekts in mehrere nichttriviale Faktoren. Anwendungsbeispiele:
* Die stets eindeutige Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl (vgl. die Faktorisierungsverfahren, um eine Primfaktorzerlegung zu erhalten).
* Algebraische Terme lassen sich häufig durch Ausklammern und die Anwendung binomischer Formeln faktorisieren.
* Polynome lassen sich faktorisieren. Über einem algebraisch vollständigen Körper gibt es sogar immer eine Faktorisierung in Linearfaktoren.
* Anwendung bei Matrizen:
* Eine Matrix kann in Faktoren zerlegt werden, was beispielsweise bei der Lösung linearer Gleichungssysteme mittels Dreieckszerlegung (auch LU- oder LR-Zerlegung genannt) angewendet wird. Die LR-Zerlegung wird in der numerischen Praxis meist mit dem Gaußschen Eliminationsverfahrens gewonnen.
* Eine weitere Matrizenfaktorisierung aus der Numerik ist die QR-Zerlegung, die normalerweise mittels Householdertransformationen oder Givens-Rotationen gewonnen werden kann.
* In der Datenanalyse werden unter anderem die non negative matrix factorization und die binary matrix factorization betrachtet, um Matrizen in zwei Cluster- bzw. Konzeptmatrizen zu zerlegen.
* Abstrakter versucht man die Elemente von Ringen in elementare Faktoren zu zerlegen. Neben Zahl-, Polynom- und Matrix-Ringen können das auch Operator-Ringe sein.
* In der Wahrscheinlichkeitstheorie bezeichnet man als Faktorisierung die Zerlegung einer Zufallsvariablen in unabhängige Summanden, da die charakteristische Funktion einer Summe unabhängiger Zufallsvariablen das Produkt der einzelnen charakteristischen Funktionen ist.
* Die statistische Faktorenanalyse nach Spearman.
* Die logische Faktorisierung einer Proposition in Bezug auf eine andere Proposition :
* In der Graphentheorie bezeichnet man die Zerlegung eines Graphen G in Teilgraphen, bei denen jeder Knoten x nur eine bestimmte Anzahl a von Nachbarknoten hat, als Faktorisierung, und deren Ergebnis als a-Faktoren, z. B. 1-Faktoren. (de)
- En matematiko, faktorigo estas malkomponaĵo de objekto (ekzemple, nombro, polinomo, aŭ matrico) en produton de aliaj objektoj, aŭ faktoroj, kiuj kiam estas multiplikitaj kune donas la originalan objekton. Ĝenerale per faktorigo oni ricevas produton de pli simplaj aĵoj. Ekzemple, la nombro 15 faktoriĝas en primojn kiel 3 × 5; kaj la polinomo x2 − 4 faktoriĝas kiel (x − 2)(x + 2). Celo de faktorigo estas kutime redukti ion al "bazaj konstruaĵoj", kiel nombroj al primoj, aŭ polinomoj al neredukteblaj polinomoj. Faktorado de entjeroj estas priskribita per la fundamenta teoremo de aritmetiko kaj faktorado de polinomoj per la fundamenta teoremo de algebro. La malo al faktorigo estas elvolvaĵo. Ĉi tiu estas procezo de multiplikado kune de faktoroj por rekrei la originalan, "elvolvitan" polinomon. Entjera faktorigo por granda entjeroj ŝajnas al esti malfacila problemo. Ne estas sciata maniero kiel fari ĝin rapide. Ĝia komplekseco estas la bazo de sekureco de iuj publik-ŝlosilaj ĉifrikaj algoritmoj, ekzemple RSA. Matrico povas ankaŭ esti faktorigita en produton de matricoj de specialaj tipoj, por aplikoj, en kiuj tiu formo estas oportuna. Grava ekzemplo de ĉi tiu uzas aŭ unitan matricon kaj triangulan matricon. Estas malsamaj tipoj de la malkomponado: QR, LQ, QL, RQ, RZ. (eo)
- In mathematics, factorization (or factorisation, see English spelling differences) or factoring consists of writing a number or another mathematical object as a product of several factors, usually smaller or simpler objects of the same kind. For example, 3 × 5 is a factorization of the integer 15, and (x – 2)(x + 2) is a factorization of the polynomial x2 – 4. Factorization is not usually considered meaningful within number systems possessing division, such as the real or complex numbers, since any can be trivially written as whenever is not zero. However, a meaningful factorization for a rational number or a rational function can be obtained by writing it in lowest terms and separately factoring its numerator and denominator. Factorization was first considered by ancient Greek mathematicians in the case of integers. They proved the fundamental theorem of arithmetic, which asserts that every positive integer may be factored into a product of prime numbers, which cannot be further factored into integers greater than 1. Moreover, this factorization is unique up to the order of the factors. Although integer factorization is a sort of inverse to multiplication, it is much more difficult algorithmically, a fact which is exploited in the RSA cryptosystem to implement public-key cryptography. Polynomial factorization has also been studied for centuries. In elementary algebra, factoring a polynomial reduces the problem of finding its roots to finding the roots of the factors. Polynomials with coefficients in the integers or in a field possess the unique factorization property, a version of the fundamental theorem of arithmetic with prime numbers replaced by irreducible polynomials. In particular, a univariate polynomial with complex coefficients admits a unique (up to ordering) factorization into linear polynomials: this is a version of the fundamental theorem of algebra. In this case, the factorization can be done with root-finding algorithms. The case of polynomials with integer coefficients is fundamental for computer algebra. There are efficient computer algorithms for computing (complete) factorizations within the ring of polynomials with rational number coefficients (see factorization of polynomials). A commutative ring possessing the unique factorization property is called a unique factorization domain. There are number systems, such as certain rings of algebraic integers, which are not unique factorization domains. However, rings of algebraic integers satisfy the weaker property of Dedekind domains: ideals factor uniquely into prime ideals. Factorization may also refer to more general decompositions of a mathematical object into the product of smaller or simpler objects. For example, every function may be factored into the composition of a surjective function with an injective function. Matrices possess many kinds of matrix factorizations. For example, every matrix has a unique LUP factorization as a product of a lower triangular matrix L with all diagonal entries equal to one, an upper triangular matrix U, and a permutation matrix P; this is a matrix formulation of Gaussian elimination. (en)
- Matematikan, faktorizazio deritzo adierazpen matematiko bat (zenbakiak, polinomioak, matrizeak...) biderkadura gisa deskonposatzeko teknikari. Hainbat faktorizazio-metodo daude. Helburua da adierazpena sinplifikatzea edo oinarrizko bloketan (faktoretan) berridaztea, adibidez, zenbaki bat zenbaki lehenetan (15 zenbakia 3x5 da) edo polinomio bat polinomio laburtezinetan (x2 − 4 polinomioa (x − 2)(x + 2) da) berridaztea. Zenbakien faktorizazioaren aurkakoa da horien biderketa eta, polinomio baten faktorizazioarena, aldiz, . Polinomioa faktorizatutakoan sortzen diren faktoreak biderkatuz, polinomio bakar bat lortzen da, terminoen gehiketa dena. Adibidez, 4x 2 termino bat da. Zenbaki osoak faktorizatzeko, aritmetikaren oinarrizko teorema erabiltzen da eta, polinomioen faktorizaziorako, aljebraren oinarrizko teorema. Matrizeak ere faktoriza daitezke matrize berezi batzuen biderkadura gisa. Matrize-faktorizazioaren ohiko adibideek matrize ortogonalak, eta erabiltzen dituzte. Hainbat mota daude: , LQ, QL, RQ edo RZ. (eu)
- En matemáticas la factorización es una técnica que consiste en la descomposición en factores de una expresión algebraica (que puede ser un número, una suma o resta, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles. Lo contrario de la factorización de polinomios es la expansión, la multiplicación de los factores juntos a un polinomio "ampliado", escrito como una simple suma de términos. El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números enteros, y para la factorización de polinomios, el teorema fundamental del álgebra. La factorización de números enteros muy grandes en producto de factores primos requiere de algoritmos sofisticados, el nivel de complejidad de tales algoritmos está a la base de la fiabilidad de algunos sistemas de criptografía asimétrica como el RSA. (es)
- En mathématiques, la factorisation consiste à écrire une expression algébrique (notamment une somme), un nombre, une matrice sous la forme d'un produit. Cette transformation peut se faire suivant différentes techniques détaillées ci-dessous. Les enjeux de la factorisation sont très divers : à un niveau élémentaire, le but peut être de ramener la résolution d'une équation à celle d'une équation produit-nul, ou la simplification d'une écriture fractionnaire ; à un niveau intermédiaire, la difficulté algorithmique présumée de la factorisation des nombres entiers en produit de facteurs premiers est à la base de la fiabilité du cryptosystème RSA. (fr)
- Faktorisasi dalam matematika adalah dekomposisi suatu objek (misalnya, suatu bilangan, polinomial, atau matriks) menjadi suatu produk objek lain, atau faktor, yang ketika dikalikan bersama menghasilkan bilangan asalnya. Contohnya, bilangan 15 difaktorkan menjadi bilangan prima sebagai 3 × 5, dan polinomial x2 − 4 difaktorkan menjadi (x − 2)(x + 2). Dalam segala kasus, diperoleh suatu produk dari objek yang lebih sederhana. Tujuan faktorisasi biasanya untuk mereduksi sesuatu menjadi "blok pembangun dasar" (“basic building blocks”), seperti bilangan-bilangan prima, atau polinomial menjadi . Faktorisasi integers diatur oleh teorema dasar aritmetika dan diatur oleh . Rumus-rumus Vièta mengkaitkan koefisien-koefisien suatu polinomial pada akar-akarnya. Lawan dari faktorisasi polinomial adalah , yaitu perkalian bersama semua faktor polinomial menjadi suatu polinomial “terekspansi”, ditulis sebagai jumlah dari elemen-elemen. Faktorisasi juga dapat merujuk ke dekomposisi objek matematika lain ke hasil perkalian objek-objek yang lebih kecil atau sederhana. Sebagai contoh, setiap fungsi dapat difaktorkan menjadi komposisi fungsi surjektif dan fungsi injektif. Matriks memiliki banyak jenis . Sebagai contoh, setiap matriks memiliki hasil yang unik, dengan matriks segitiga bawah dengan entri pada diagonal utama bernilai 1, matriks segitiga atas , dan matriks permutasi ; ketiga matriks ini didapatkan dari formulasi . (in)
- 数学における因数分解（いんすうぶんかい、英: factorization, factoring, decomposition; 分解、因子分解）は、与えられた数学的対象を同種の（しかし普通はより小さいあるいはより平易な）別の対象—それは因数（factor; 因子、乗法因子、乗因子）と呼ばれる—の積として書き表すことを言う。たとえば、15 という数は 3 × 5 という因数の積に分解され、多項式 x2 − 4 は (x − 2)(x + 2) という因数の積に分解される。 因子への分解は、除法が自由にできる体系（可除環など）ではほとんどの場合に意味を為さない。例えば実数や複素数の体系において任意の x は y が零でない限り何であっても xy × (1/y) のように分解できることは明らかである（つまり、どの元もいくらでも分解できて、積としての表示を無数に持つ）。しかし例えば、有理数や有理関数の成す体系ならば、分子と分母を別々に考えることによって意味のある因数分解を定めることができる。 自然数および整数に関する因数分解は古代ギリシアのにおいてすでに考察されている。その中には、１を除く任意の自然数が素数の積に因数分解できる（さらに、自然数のそのような分解（素因数分解）は因数の順番を変える違いを除いて一通りである）ことを述べた算術の基本定理の証明も含まれる。整数の素因数分解は、整数の乗法のある種の逆演算ではあるけれども、しかしアルゴリズム的な意味（計算量）において乗法とは比べ物にならないほど複雑であり、特に巨大整数の素因数分解は困難な問題で、これを一般に短時間に行う方法は知られていない。この複雑性はRSA暗号のような公開鍵暗号によるセキュリティの信頼性の基礎になっている。 多項式の因数分解もまた何世紀にもわたって研究がおこなわれてきている。初等代数学においては、多項式を因数分解することで多項式の根を求める求根問題を各因子の根を求める問題に帰着させることができる。整数係数の多項式あるいは体に係数をとる多項式の体系は一意分解性質を備えている—それはつまり、（素数を既約多項式に取り換えた）算術の基本定理の多項式版が成り立つということである—。特に、複素数係数の一変数多項式は、必ずの積に（掛ける順番を除いて）一意に表すことができる—これは代数学の基本定理の一つの述べ方である—。この場合、因数分解は求根アルゴリズムが与えられていれば自由にできる。整数係数の場合の多項式の因数分解問題は計算機代数においてひとつの基礎を成す技術的課題である。有理数係数の多項式環における既約因子分解には、効果的な計算機アルゴリズムが存在している。 一般の抽象代数学において、一意分解性質を持つ可換環は一意分解環 (UFD) と呼ばれる。ある種の、例えば代数体の整数環（代数的整数環）の中には一意分解性質を持たないものが存在するが、これら代数的整数環の場合には幸いなことに、より弱い形での一意分解性質（任意のイデアルが素イデアルの積に一意的に分解される）を満足するデデキント環となる。一般に、既約元分解を持つ（が、一意分解とは限らない）整域をまたは分解整域と呼ぶ。 より一般の数学的対象の中にも（より単純な対象からなる）積の形に書き表すことを一般に因子分解あるいは分解と言い表すものがある。たとえば、写像の分解とは特定の性質を持つ写像の合成の形に書き表すことである。任意の写像は全射と単射の合成として標準的な分解を持つ（これは圏論において、射のとして一般化される）。また例えば、行列の分解とは、与えられた行列を特定の性質を持つ行列を用いて行列の積として書き表すことである。任意の行列は対角成分がすべて 1 の下三角行列 L と上三角行列 U および 置換行列 P の積に分解される（LUP分解: 実はこれはガウスの消去法を行列の形にまとめたものである）。 (ja)
- 대수론과 대수학에서 인수분해(因數分解, 영어: factorization)는 주어진 정수 또는 다항식을 인수들의 곱셈 형식으로 만드는 것이다. 전개와 상반된 개념이다. 특히, 정수의 집합에서 어떤 주어진 정수를 소수들의 곱으로 표현하는 것을 소인수 분해라고 한다. 따라서 소인수 분해는 인수분해의 일종이 된다. 또한 인수 분해는 약수가 n개인 자연수의 소인수분해를 구하는데 사용된다. 그리고 약수가 특정 자연수 n개인 자연수의 소인수의 개수가 최대한 많으려면 소인수 분해를 먼저 구하면 된다. 일반적으로는 한 다항식을 두 개 이상의 인수(factor)의 곱으로 분해하는 것을 말한다. 즉, 전개의 역이다. 이러한 관계를 표현한 것은 곱셈 공식이 되겠다. 예를 들어 의 경우 로 만드는 것을 말한다. 이와 반대로 을 로 만드는 것은 전개(expansion)라고 한다. 인수분해의 목적은 보통 어떤 원소를 더 기초적이고 간단한 조각으로 분해하는 데 있다. 예를 들어, 수를 소수들의 곱으로, 다항식을 인수분해 되지 않는 다항식으로 분해하는 것이다. 그리고 다항식의 경우는, 변수 에 대하여 가 근삿값일 때, 근삿값을 참값에 가깝게 계산하기 위함과 방정식 등을 풀기 위해 사용한다. 정수 집합에서는 산술의 기본 정리, 다항식의 집합에서는 대수학의 기본 정리와 관련이 있다. 그러나 모든 환에서 인수분해가 더 이상 분해되지 않는 원소들의 곱으로 유일하게 표현되는 것은 아니다. 유일한 인수분해가 성립하는 가환환을 유일 인수 분해 정역이라고 한다. 큰 정수의 소인수 분해는 매우 어려운 작업이다. 현재까지 충분히 빠른 속도로 이러한 작업을 수행하는 알고리즘이 알려져 있지 않으며, RSA 암호 알고리즘은 이를 근거로 작동한다. (ko)
- In de wiskunde is de factorisatie of het ontbinden in factoren van een product het herschrijven van dat product in kleinere delen, die met elkaar vermenigvuldigd weer het oorspronkelijke product opleveren. Die kleinere delen heten de factoren van het originele product. Bijvoorbeeld de gehele getallen, polynomen en matrices kunnen in factoren worden ontbonden. In het geval dat de factoren van een positief geheel getal worden berekend, spreekt men van het ontbinden in priemfactoren. Een getal dat verder niet in priemfactoren kan worden ontbonden, heet een priemgetal. Een polynoom of een matrix, die verder niet als het product van kleinere factoren zijn te schrijven heet irreducibel. De hoofdstelling van de rekenkunde luidt dat elk natuurlijk getal groter dan 1 op de volgorde na op een unieke manier kan worden geschreven als het product van priemfactoren. De hoofdstelling van de algebra luidt dat iedere polynoom f(x) in één variabele x, waarvan de coëfficiënten gehele, rationale, reële of complexe getallen zijn, in het complexe vlak een nulpunt heeft. Veronderstel dat n de graad van f is. Het directe gevolg van de hoofdstelling van de algebra is dat f(x) kan worden ontbonden in een product van n lineaire factoren , waarin iedere een complex getal is. (nl)
- In matematica, la fattorizzazione o scomposizione in fattori di un numero o altro consiste nella loro rappresentazione come prodotto di più fattori, di solito più piccoli o più semplici e della stessa natura. Per esempio è una fattorizzazione dell'intero . Invece è una fattorizzazione del polinomio La fattorizzazione non è generalmente considerata significativa negli insiemi numerici aventi un'operazione di divisione, come i numeri reali o quelli complessi, poiché qualsiasi può essere scritto banalmente come per ogni diverso da zero. In ogni caso un'utile fattorizzazione per i numeri razionali e le funzioni razionali può essere ottenuta riducendoli ai minimi termini e successivamente fattorizzando i loro numeratori e denominatori. La fattorizzazione degli interi era già in uso presso gli antichi matematici greci: Apollonio di Perga, Archimede, Euclide, ecc. Si deve a Euclide il teorema fondamentale dell'aritmetica in cui si afferma che ogni intero positivo può essere scomposto in un prodotto di numeri primi, cioè numeri che non possono essere ulteriormente fattorizzati in altri interi maggiori di 1, e che questo prodotto è unico se si trascura l'ordine dei fattori. La fattorizzazione è un processo algoritmico di successive divisioni per ottenere i singoli fattori e quindi può apparire metaforicamente come l'inverso della moltiplicazione, ma la difficoltà di questo processo cresce enormemente con i grandi numeri ed è proprio questa difficoltà che viene sfruttata dai moderni sistemi di crittografia RSA. Anche la fattorizzazione di un polinomio è studiata da secoli. Nell'algebra elementare, fattorizzare un polinomio si riduce al problema di trovare le sue radici per poi trovare i fattori il cui prodotto è uguale al polinomio. Un polinomio con coefficienti interi gode anch'esso della proprietà simile a quella del teorema fondamentale dell'aritmetica, con la differenza che ogni suo fattore viene detto polinomio irriducibile. Un polinomio a una incognita e coefficienti complessi ammette un'unica fattorizzazione in prodotto di polinomi lineari (cioè di grado uno), caso particolare del teorema fondamentale dell'algebra. I polinomi a coefficienti interi sono fondamentali per l'algebra computazionale. Ci sono algoritmi computazionali efficienti per il calcolo completo di un anello polinomiale a coefficienti razionali (si veda la scomposizione dei polinomi). Un anello commutativo che ha una fattorizzazione unica è detto dominio a fattorizzazione unica. Ci sono sistemi numerici come certi anelli di interi algebrici, che non sono domini a fattorizzazione unica. Tuttavia, essi soddisfano la proprietà più debole di essere un dominio di Dedekind: gli ideali ammettono fattorizzazione unica in ideali primi. La fattorizzazione si può riferire a un concetto più generale di scomposizione di un oggetto matematico in un prodotto di oggetti più piccoli o più semplici. Per esempio, ogni funzione può essere fattorizzata nella composizione di una funzione suriettiva con una funzione iniettiva. Le matrici hanno molti tipi di fattorizzazione in prodotti di matrici. Per esempio, ogni matrice ha un'unica fattorizzazione LUP consistente nel prodotto di una matrice triangolare inferiore , avente tutti gli elementi della diagonale uguali a 1, per una matrice triangolare superiore , e per una matrice di permutazione . (it)
- Rozkład na czynniki lub faktoryzacja – proces w kategorii obiektów wyposażonej w produkt, tj. iloczyn (rozumiany być może w szerokim sensie), który dla danego obiektu matematycznego prowadzi do wskazania takich (pod)obiektów, których iloczyn jest równy Obiekty wynikowe nazywa się czynnikami lub dzielnikami (faktorami) obiektu Zwykle wymaga się, by rozkład nie zawierał czynników, które mogą być z niego usunięte bez (istotnego) wpływu na wynik, tj. produkt mniejszej liczby obiektów da obiekt o tożsamej strukturze (lub nawet dokładnie ten sam obiekt). W szczególności unika się trywialnych rozwiązań postaci: obiekt i obiekt jednostkowy. Ważną cechą rozkładu na czynniki jest też jego jednoznaczność, która ma miejsce wtedy, gdy istnieje wyłącznie jeden rozkład obiektu (niezależny od użytej metody), zwykle z dodatkowymi wyłączeniami, np. kolejności czynników w rozkładzie w przypadku przemienności mnożenia. Przez wyrażenie „rozkład na czynniki” rozumie się zazwyczaj rozkład na czynniki liczby całkowitej lub naturalnej (w drugim przypadku rozkład jest jednoznaczny, zachodzi równość; w pierwszym – z wyłączeniem/dokładnością do znaku czynników; w obu: nie uwzględniając kolejności czynników). (pl)
- Inom matematiken innebär en faktorisering (faktoruppdelning) att man uttrycker ett objekt som en produkt av flera objekt, eller faktorer. Till exempel kan talet 15 faktoriseras i primtal som 3 ⋅ 5; och polynomet x2 - 4 kan faktoriseras som (x - 2)(x + 2). Vilka sorters objekt och produkter som avses beror på sammanhanget. Exempelvis har talet 5 betraktat som naturligt tal bara den triviala faktoriseringen uppfattat som ett vanligt heltal har det dessutom ännu en trivial faktorisering: men om man uppfattar 5 som ett gaussiskt heltal har det flera icke-triviala faktoriseringar, såsom Syftet med faktoriseringar är ofta att reducera något till "grundläggande byggstenar", såsom heltal till primtal eller polynom till irreducibla polynom. (sv)
- Fatoração (português brasileiro) ou Fatorização (português europeu) (AO 1945: Factorização) é o termo usado na álgebra para designar a decomposição que se faz de cada um dos elementos que integram um produto, ou seja, o resultado de uma multiplicação. Assim como parcela é cada uma das partes que integram uma adição, o fator é como se chama cada elemento que integra o produto. Há centenas de aplicações e problemas relacionados, tais quais os de fatoração de números primos e criptografia. De forma mais genérica, a fatoração é o ato de se representar um elemento de um monoide sobre o qual está definida uma operação multiplicativa como um produto de elementos do grupo. Um caso particular importante é a fatoração de um polinômio, que consiste em transformá-lo em um produto de polinômios de graus menores, ou mais simples, em linguagem não-matemática. Essa fatoração é indispensável na resolução de equações do segundo grau ou maior. (pt)
- Факторизація або розкладання на множники — це декомпозиція об'єкта (наприклад, числа, многочлена або матриці) у добуток інших об'єктів, або множників, які після перемноження дадуть вихідний об'єкт. Наприклад, число 15 розкладається на прості множники як 3 × 5, многочлен x2 − 4 розкладається на множники як (x − 2)(x + 2). У всіх випадках, отримано добуток простіших об'єктів. Метою факторизації є зазвичай звести щось до «базових будівельних блоків», наприклад, цілі числа до простих чисел чи многочлени до незвідних многочленів. Факторизація цілих чисел забезпечується основною теоремою арифметики і факторизація многочленів — основною теоремою алгебри. Теорема Вієта пов'язує коефіцієнти многочлена з його коренями. (uk)
- В математике факториза́ция — это декомпозиция объекта (например, числа, полинома или матрицы) в произведение других объектов, или факторов, которые, будучи перемноженными, дают исходный объект. Например, число 15 факторизуется на простые числа 3 и 5, а полином x2 − 4 факторизуется на (x − 2)(x + 2). В результате факторизации во всех случаях получается произведение более простых объектов, чем исходный. Целью факторизации является приведение объекта к «основным строительным блокам», например, число к простым числам, многочлен — к неприводимым многочленам. Факторизация целых чисел обеспечивается основной теоремой арифметики, а многочленов — основной теоремой алгебры. Противоположностью факторизации полиномов является их , перемножение полиномиальных факторов для получения «расширенного» многочлена, записанного в виде суммы слагаемых. Факторизация целых чисел для больших чисел является задачей большой сложности. Не существует никакого известного способа, чтобы решить эту задачу быстро. Её сложность лежит в основе некоторых алгоритмов шифрования с открытым ключом, таких как RSA. Матрица может также быть факторизована на произведение матриц специального вида для приложений, в которых эта форма удобна. Одним из основных примеров этого является использование ортогональных, унитарных и треугольных матриц. Существуют различные способы факторизации: QR-разложение, LQ, QL, RQ, RZ. Ещё одним примером является факторизация функций в виде композиции других функций, имеющих определённые свойства. Например, каждая функция может рассматриваться как композиция сюръективной функции с инъективной. Этот подход является обобщением понятия факторизации систем. Наконец, в теории графов факторизация графа определяется как разложение графа на непересекающиеся по рёбрам остовные подграфы (то есть подграфы, содержащие все вершины графа) специального вида. (ru)
- 因式分解，在这里是指多項式因式分解（英語：Polynomial Factorization），在數學中一般理解為把一個多項式分解為兩個或多個的因式的過程。在這個過後會得出一堆較原式簡單的多項式的積。例如单元多項式可被因式分解為。又如二元多項式因式分解為。如果我们允许多項式系数从整数扩大到，那么可被因式分解為。通常分解获得的每个因式要是不可约多项式（irreducible）。也就是不能再分解了。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- في الرياضيات، التحليل إلى عوامل أو التفكيك أو التعميل هو فك دالة كثيرة حدود إلى حاصل ضرب دالتين أو أكثر، ويكون ناتج ضرب هذه الدوال مساوٍ للدالة الأصلية، ونفس الشيء بالنسبة للأعداد والمصفوفات، فعلى سبيل المثال، هذه الحدودية يمكن تحليلها إلى . والعدد يمكن تحليله إلى . وفي جميع هذه الحالات ينتج حاصل ضرب لدوال أو أعداد أو مصفوفات أبسط. (ar)
- Jako faktorizace se v matematice a jejích aplikacích označuje problém rozložení čísla na součin menších čísel, v nejčastější podobě pak rozklad celého čísla na součin prvočísel. Například číslo 15 lze napsat jako součin 3 · 5. Obecněji lze rozkládat i jiné algebraické objekty, např. polynom druhého řádu x² − 4 lze vyjádřit jako součin dvou polynomů prvního řádu (x − 2)(x + 2). Rozklad celého čísla na prvočinitele je považován za velmi těžkou úlohu a na její nezvládnutelnosti pro velká čísla jsou založeny některé kryptografické metody, např. algoritmus RSA pro šifrování s veřejným klíčem. (cs)
- Παραγοντοποίηση είναι στα μαθηματικά η διαδικασία κατά την οποία μια αλγεβρική παράσταση μετατρέπεται από άθροισμα σε γινόμενο. Οι όροι που συμμετέχουν στο γινόμενο ονομάζονται παράγοντες και όταν πολλαπλασιαστούν μαζί δίνουν την αρχική παράσταση. Η αντίστροφη διαδικασία ονομάζεται ανάλυση. Συνήθως η παραγοντοποίηση χρησιμοποιείται για την εύρεση του Μ.Κ.Δ. και του Ε.Κ.Π. πολυωνύμων,για την απλοποίηση κλασματικών παραστάσεων,για την πρόσθεση και αφαίρεση κλασματικών παραστάσεων και για την επίλυση εξισώσεων δευτέρου ή ανώτερου βαθμού. Υπάρχουν δύο βασικά είδη παραγοντοποίησης, η παραγοντοποίηση φυσικών αριθμών (σε πρώτους παράγοντες) και η παραγοντοποίηση πολυωνύμων. (el)
- 因式分解，在这里是指多項式因式分解（英語：Polynomial Factorization），在數學中一般理解為把一個多項式分解為兩個或多個的因式的過程。在這個過後會得出一堆較原式簡單的多項式的積。例如单元多項式可被因式分解為。又如二元多項式因式分解為。如果我们允许多項式系数从整数扩大到，那么可被因式分解為。通常分解获得的每个因式要是不可约多项式（irreducible）。也就是不能再分解了。 (zh)
- En matemàtiques, la factorització o descomposició en producte de factors és el procés de descompondre un objecte, per exemple un nombre enter, un polinomi, o una matriu en el producte d'altres objectes anomenats factors, que en multiplicar-los tots junts donen l'objecte original. Per exemple, el nombre 15 es pot descompondre en factors primers com 3 × 5, i el polinomi es factoritza com . En tots dos casos, s'ha obtingut un producte d'objectes més senzills. (ca)
- En matematiko, faktorigo estas malkomponaĵo de objekto (ekzemple, nombro, polinomo, aŭ matrico) en produton de aliaj objektoj, aŭ faktoroj, kiuj kiam estas multiplikitaj kune donas la originalan objekton. Ĝenerale per faktorigo oni ricevas produton de pli simplaj aĵoj. Ekzemple, la nombro 15 faktoriĝas en primojn kiel 3 × 5; kaj la polinomo x2 − 4 faktoriĝas kiel (x − 2)(x + 2). La malo al faktorigo estas elvolvaĵo. Ĉi tiu estas procezo de multiplikado kune de faktoroj por rekrei la originalan, "elvolvitan" polinomon. (eo)
- Eine Faktorisierung ist in der Mathematik die Zerlegung eines Objekts in mehrere nichttriviale Faktoren. Anwendungsbeispiele:
* Die stets eindeutige Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl (vgl. die Faktorisierungsverfahren, um eine Primfaktorzerlegung zu erhalten).
* Algebraische Terme lassen sich häufig durch Ausklammern und die Anwendung binomischer Formeln faktorisieren.
* Polynome lassen sich faktorisieren. Über einem algebraisch vollständigen Körper gibt es sogar immer eine Faktorisierung in Linearfaktoren.
* Anwendung bei Matrizen:
* Eine Matrix kann in Faktoren zerlegt werden, was beispielsweise bei der Lösung linearer Gleichungssysteme mittels Dreieckszerlegung (auch LU- oder LR-Zerlegung genannt) angewendet wird. Die LR-Zerlegung wird in der numerischen Praxis meist mit d (de)
- In mathematics, factorization (or factorisation, see English spelling differences) or factoring consists of writing a number or another mathematical object as a product of several factors, usually smaller or simpler objects of the same kind. For example, 3 × 5 is a factorization of the integer 15, and (x – 2)(x + 2) is a factorization of the polynomial x2 – 4. (en)
- Matematikan, faktorizazio deritzo adierazpen matematiko bat (zenbakiak, polinomioak, matrizeak...) biderkadura gisa deskonposatzeko teknikari. Hainbat faktorizazio-metodo daude. Helburua da adierazpena sinplifikatzea edo oinarrizko bloketan (faktoretan) berridaztea, adibidez, zenbaki bat zenbaki lehenetan (15 zenbakia 3x5 da) edo polinomio bat polinomio laburtezinetan (x2 − 4 polinomioa (x − 2)(x + 2) da) berridaztea. (eu)
- En matemáticas la factorización es una técnica que consiste en la descomposición en factores de una expresión algebraica (que puede ser un número, una suma o resta, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles. (es)
- Faktorisasi dalam matematika adalah dekomposisi suatu objek (misalnya, suatu bilangan, polinomial, atau matriks) menjadi suatu produk objek lain, atau faktor, yang ketika dikalikan bersama menghasilkan bilangan asalnya. Contohnya, bilangan 15 difaktorkan menjadi bilangan prima sebagai 3 × 5, dan polinomial x2 − 4 difaktorkan menjadi (x − 2)(x + 2). Dalam segala kasus, diperoleh suatu produk dari objek yang lebih sederhana. Lawan dari faktorisasi polinomial adalah , yaitu perkalian bersama semua faktor polinomial menjadi suatu polinomial “terekspansi”, ditulis sebagai jumlah dari elemen-elemen. (in)
- En mathématiques, la factorisation consiste à écrire une expression algébrique (notamment une somme), un nombre, une matrice sous la forme d'un produit. Cette transformation peut se faire suivant différentes techniques détaillées ci-dessous. (fr)
- 数学における因数分解（いんすうぶんかい、英: factorization, factoring, decomposition; 分解、因子分解）は、与えられた数学的対象を同種の（しかし普通はより小さいあるいはより平易な）別の対象—それは因数（factor; 因子、乗法因子、乗因子）と呼ばれる—の積として書き表すことを言う。たとえば、15 という数は 3 × 5 という因数の積に分解され、多項式 x2 − 4 は (x − 2)(x + 2) という因数の積に分解される。 因子への分解は、除法が自由にできる体系（可除環など）ではほとんどの場合に意味を為さない。例えば実数や複素数の体系において任意の x は y が零でない限り何であっても xy × (1/y) のように分解できることは明らかである（つまり、どの元もいくらでも分解できて、積としての表示を無数に持つ）。しかし例えば、有理数や有理関数の成す体系ならば、分子と分母を別々に考えることによって意味のある因数分解を定めることができる。 (ja)
- 대수론과 대수학에서 인수분해(因數分解, 영어: factorization)는 주어진 정수 또는 다항식을 인수들의 곱셈 형식으로 만드는 것이다. 전개와 상반된 개념이다. 특히, 정수의 집합에서 어떤 주어진 정수를 소수들의 곱으로 표현하는 것을 소인수 분해라고 한다. 따라서 소인수 분해는 인수분해의 일종이 된다. 또한 인수 분해는 약수가 n개인 자연수의 소인수분해를 구하는데 사용된다. 그리고 약수가 특정 자연수 n개인 자연수의 소인수의 개수가 최대한 많으려면 소인수 분해를 먼저 구하면 된다. 일반적으로는 한 다항식을 두 개 이상의 인수(factor)의 곱으로 분해하는 것을 말한다. 즉, 전개의 역이다. 이러한 관계를 표현한 것은 곱셈 공식이 되겠다. 예를 들어 의 경우 로 만드는 것을 말한다. 이와 반대로 을 로 만드는 것은 전개(expansion)라고 한다. 큰 정수의 소인수 분해는 매우 어려운 작업이다. 현재까지 충분히 빠른 속도로 이러한 작업을 수행하는 알고리즘이 알려져 있지 않으며, RSA 암호 알고리즘은 이를 근거로 작동한다. (ko)
- In matematica, la fattorizzazione o scomposizione in fattori di un numero o altro consiste nella loro rappresentazione come prodotto di più fattori, di solito più piccoli o più semplici e della stessa natura. Per esempio è una fattorizzazione dell'intero . Invece è una fattorizzazione del polinomio (it)
- Rozkład na czynniki lub faktoryzacja – proces w kategorii obiektów wyposażonej w produkt, tj. iloczyn (rozumiany być może w szerokim sensie), który dla danego obiektu matematycznego prowadzi do wskazania takich (pod)obiektów, których iloczyn jest równy Obiekty wynikowe nazywa się czynnikami lub dzielnikami (faktorami) obiektu (pl)
- In de wiskunde is de factorisatie of het ontbinden in factoren van een product het herschrijven van dat product in kleinere delen, die met elkaar vermenigvuldigd weer het oorspronkelijke product opleveren. Die kleinere delen heten de factoren van het originele product. Bijvoorbeeld de gehele getallen, polynomen en matrices kunnen in factoren worden ontbonden. In het geval dat de factoren van een positief geheel getal worden berekend, spreekt men van het ontbinden in priemfactoren. Een getal dat verder niet in priemfactoren kan worden ontbonden, heet een priemgetal. Een polynoom of een matrix, die verder niet als het product van kleinere factoren zijn te schrijven heet irreducibel. (nl)
- В математике факториза́ция — это декомпозиция объекта (например, числа, полинома или матрицы) в произведение других объектов, или факторов, которые, будучи перемноженными, дают исходный объект. Например, число 15 факторизуется на простые числа 3 и 5, а полином x2 − 4 факторизуется на (x − 2)(x + 2). В результате факторизации во всех случаях получается произведение более простых объектов, чем исходный. Противоположностью факторизации полиномов является их , перемножение полиномиальных факторов для получения «расширенного» многочлена, записанного в виде суммы слагаемых. (ru)
- Fatoração (português brasileiro) ou Fatorização (português europeu) (AO 1945: Factorização) é o termo usado na álgebra para designar a decomposição que se faz de cada um dos elementos que integram um produto, ou seja, o resultado de uma multiplicação. Assim como parcela é cada uma das partes que integram uma adição, o fator é como se chama cada elemento que integra o produto. Há centenas de aplicações e problemas relacionados, tais quais os de fatoração de números primos e criptografia. Essa fatoração é indispensável na resolução de equações do segundo grau ou maior. (pt)
- Inom matematiken innebär en faktorisering (faktoruppdelning) att man uttrycker ett objekt som en produkt av flera objekt, eller faktorer. Till exempel kan talet 15 faktoriseras i primtal som 3 ⋅ 5; och polynomet x2 - 4 kan faktoriseras som (x - 2)(x + 2). Vilka sorters objekt och produkter som avses beror på sammanhanget. Exempelvis har talet 5 betraktat som naturligt tal bara den triviala faktoriseringen uppfattat som ett vanligt heltal har det dessutom ännu en trivial faktorisering: men om man uppfattar 5 som ett gaussiskt heltal har det flera icke-triviala faktoriseringar, såsom (sv)
- Факторизація або розкладання на множники — це декомпозиція об'єкта (наприклад, числа, многочлена або матриці) у добуток інших об'єктів, або множників, які після перемноження дадуть вихідний об'єкт. Наприклад, число 15 розкладається на прості множники як 3 × 5, многочлен x2 − 4 розкладається на множники як (x − 2)(x + 2). У всіх випадках, отримано добуток простіших об'єктів. (uk)
|
