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- Das Problem verschiedener Abstände von Erdős von Paul Erdős ist ein Problem der diskreten Geometrie. Erdős vermutete 1946, dass die minimale Anzahl verschiedener Abstände von Punkten in der euklidischen Ebene von der Größenordnung ist. Die Vermutung wurde 2015 von Larry Guth und Nets Katz bewiesen. Aus elementaren Überlegungen folgt (gleichseitiges Dreieck), (Quadrat, die beiden Abstände sind die Seitenlänge und die Diagonale), (Quadrat plus Schnittpunkt der Diagonalen). Erdős bewies 1946: mit einer Konstanten . Die untere Schranke folgt aus folgender Überlegung: Man bilde das minimale konvexe Polygon, das alle Punkte umfasst und sei eine beliebige Ecke des Polygons. Dann betrachte man die Abstände zu den anderen Ecken. Die Anzahl verschiedener Abstände darunter sei , die maximale Anzahl, mit der der gleiche Abstand vorkommt, sei . Dann ist . Andererseits liegen die Punkte mit gleichem Abstand auf einem Halbkreis um mit Radius , was paarweise verschiedene Abstände liefert. Aus beiden Überlegungen ergibt sich: . Die linke Seite ist minimal für . Auflösung der Gleichung ergibt die untere Schranke in der Ungleichung. Für die obere Schranke werden die ganzzahligen Gitterpunkte in einem Quadrat der Seitenlänge betrachtet. Es gibt Zahlen kleiner als , die Summe zweier Quadrate sind (siehe Landau-Ramanujan-Konstante), also von der Form mit , , und somit als Abstände in Frage kommen. Erdős vermutete, dass die obere Schranke die minimale Anzahl der Abstände am besten abschätzt, was durch schrittweise Verbesserung der unteren Schranke schließlich bewiesen wurde. Erdős behandelte auch den allgemeinen Fall von Dimensionen. Wie im Fall kann eine Ungleichung abgeleitet werden (Erdős). Erdős vermutete, dass auch hier die obere Schranke scharf ist. Der allgemeine Fall ist unbewiesen. József Solymosi und Van H. Vu zeigten aber 2008, dass ist. Die offene Vermutung von Falconer (nach Kenneth Falconer, 1985) ist in gewisser Weise ein kontinuierliches Analogon der Erdös-Problems. Sei S eine kompakte Menge im d-dimensionalen euklidischen Raum mit Hausdorff-Dimension größer als , dann hat nach der Vermutung die Menge der Abstände von Punkten in S ein positives Lebesgue-Maß. (de)
- In discrete geometry, the Erdős distinct distances problem states that every set of points in the plane has a nearly-linear number of distinct distances. It was posed by Paul Erdős in 1946 and almost proven by Larry Guth and Nets Katz in 2015. (en)
- En géométrie discrète, le problème des distances distinctes d'Erdős est l'énoncé qu'entre n points distincts sur une surface plane, il existe au moins n1 − o(1) distances distinctes. Le problème a été posé par Paul Erdős en 1946. En 2010, Larry Guth et Nets Hawk Katz annoncent avoir une solution ; elle est publiée en 2015 par les Annals of Mathematics. (fr)
- Em geometria discreta, o problema de Erdős das distâncias distintas trata da hipótese que entre n pontos distintos sobre uma superfície plana, existem pelo menos n1 − o(1) distâncias distintas. O problema foi apresentado por Paul Erdős em 1946. Em 2010, em um artigo aguardando verificação (mas considerado como correto por matemáticos como Terence Tao), Larry Guth e Net Hawk Katz afirmam ter uma solução. (pt)
- Гипотеза Эрдёша о числе различных расстояний — утверждение комбинаторной геометрии, согласно которому между различными точками на плоскости имеется не меньше, чем различных расстояний. Гипотеза сформулирована Палом Эрдёшем в 1946 году, в 2010 году (англ. Larry Guth) и (англ. Nets Hawk Katz) объявили о возможном решении этой проблемы, окончательное доказательство Гута и Каца было завершено в 2015 году. (ru)
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- In discrete geometry, the Erdős distinct distances problem states that every set of points in the plane has a nearly-linear number of distinct distances. It was posed by Paul Erdős in 1946 and almost proven by Larry Guth and Nets Katz in 2015. (en)
- En géométrie discrète, le problème des distances distinctes d'Erdős est l'énoncé qu'entre n points distincts sur une surface plane, il existe au moins n1 − o(1) distances distinctes. Le problème a été posé par Paul Erdős en 1946. En 2010, Larry Guth et Nets Hawk Katz annoncent avoir une solution ; elle est publiée en 2015 par les Annals of Mathematics. (fr)
- Em geometria discreta, o problema de Erdős das distâncias distintas trata da hipótese que entre n pontos distintos sobre uma superfície plana, existem pelo menos n1 − o(1) distâncias distintas. O problema foi apresentado por Paul Erdős em 1946. Em 2010, em um artigo aguardando verificação (mas considerado como correto por matemáticos como Terence Tao), Larry Guth e Net Hawk Katz afirmam ter uma solução. (pt)
- Гипотеза Эрдёша о числе различных расстояний — утверждение комбинаторной геометрии, согласно которому между различными точками на плоскости имеется не меньше, чем различных расстояний. Гипотеза сформулирована Палом Эрдёшем в 1946 году, в 2010 году (англ. Larry Guth) и (англ. Nets Hawk Katz) объявили о возможном решении этой проблемы, окончательное доказательство Гута и Каца было завершено в 2015 году. (ru)
- Das Problem verschiedener Abstände von Erdős von Paul Erdős ist ein Problem der diskreten Geometrie. Erdős vermutete 1946, dass die minimale Anzahl verschiedener Abstände von Punkten in der euklidischen Ebene von der Größenordnung ist. Die Vermutung wurde 2015 von Larry Guth und Nets Katz bewiesen. Aus elementaren Überlegungen folgt (gleichseitiges Dreieck), (Quadrat, die beiden Abstände sind die Seitenlänge und die Diagonale), (Quadrat plus Schnittpunkt der Diagonalen). Erdős bewies 1946: mit einer Konstanten . . (de)
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- Problem verschiedener Abstände von Erdős (de)
- Erdős distinct distances problem (en)
- Problème des distances distinctes d'Erdős (fr)
- Problema de Erdős das distâncias distintas (pt)
- Гипотеза Эрдёша о числе различных расстояний (ru)
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