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- In mathematics, a set A is Dedekind-infinite (named after the German mathematician Richard Dedekind) if some proper subset B of A is equinumerous to A. Explicitly, this means that there exists a bijective function from A onto some proper subset B of A. A set is Dedekind-finite if it is not Dedekind-infinite (i.e., no such bijection exists). Proposed by Dedekind in 1888, Dedekind-infiniteness was the first definition of "infinite" that did not rely on the definition of the natural numbers. A simple example is , the set of natural numbers. From Galileo's paradox, there exists a bijection that maps every natural number n to its square n2. Since the set of squares is a proper subset of , is Dedekind-infinite. Until the foundational crisis of mathematics showed the need for a more careful treatment of set theory, most mathematicians assumed that a set is infinite if and only if it is Dedekind-infinite. In the early twentieth century, Zermelo–Fraenkel set theory, today the most commonly used form of axiomatic set theory, was proposed as an axiomatic system to formulate a theory of sets free of paradoxes such as Russell's paradox. Using the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory with the originally highly controversial axiom of choice included (ZFC) one can show that a set is Dedekind-finite if and only if it is finite in the usual sense. However, there exists a model of Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice (ZF) in which there exists an infinite, Dedekind-finite set, showing that the axioms of ZF are not strong enough to prove that every set that is Dedekind-finite is finite. There are definitions of finiteness and infiniteness of sets besides the one given by Dedekind that do not depend on the axiom of choice. A vaguely related notion is that of a Dedekind-finite ring. (en)
- En matemáticas, un conjunto A es infinito-Dedekind (llamado así por el matemático alemán Richard Dedekind) si algún subconjunto propio B de A es a A. Explícitamente, esto significa que existe una función biyectiva de A en algún subconjunto propio B de A. Un conjunto es finito-Dedekind si no es Dedekind-infinito. Propuesta por Dedekind en 1888, la infinitud-Dedekind fue la primera definición de "infinito" que no se apoyaba en la definición de números naturales. Hasta que la crisis fundacional de las matemáticas mostró la necesidad de un tratamiento más cuidadoso de la teoría de conjuntos, muchos matemáticos asumían que un conjunto es infinito si y solo si es infinito-Dedekind. A principios del siglo veinte, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, hoy en día la forma más comúnmente utilizada de teoría axiomática de conjuntos, se propuso como un sistema axiomático para formular una teoría de conjuntos libre de paradojas como la paradoja de Russell. Usando la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el originalmente muy controvertido axioma de elección incluido, se puede probar que un conjunto es finito-Dedekind si y solo si es finito en el sentido de tener un número finito de elementos. Sin embargo, existe un modelo de teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin axioma de elección en el que existe un conjunto infinito y finito-Dedekind, mostrando que los axiomas de este último no son lo bastante fuertes para probar que todo conjunto que es finito-Dedekind tiene un número finito de elementos. Existen definiciones de finitud e infinitud de conjuntos más allá de la dada por Dedekind que no dependen del axioma de elección.. Una noción vagamente relacionada es la de . Se dice que un anillo es un anillo finito-Dedekind si ab = 1 implica ba = 1 para cualesquiera dos elementos del anillo a y b. Estos anillos también se conocen como anillos directamente finitos. (es)
- In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is een verzameling A Dedekind-oneindig als er een strikte deelverzameling B van A bestaat, die gelijkmachtig aan A is. Expliciet betekent dit dat er een bijectieve functie van A op een strikte deelverzameling B van A bestaat. Men noemt een verzameling Dedekind-eindig als deze niet Dedekind-oneindig is. (nl)
- 数学において、集合A がデデキント無限（Dedekind-infinite）である、またはデデキント無限集合であるとは、A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在することである。つまり、A とA の真部分集合B の間に全単射が存在するということである。集合 A がデデキント無限でないとき、デデキント有限であるいう。 デデキント無限は、自然数を用いないような最初の無限の定義である。選択公理を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系は、任意のデデキント有限集合は有限個の元を持つという意味での有限である、ということを証明するだけの強さを持たない。デデキント無限以外にも、選択公理を用いない有限集合や無限集合の定義が存在する。 (ja)
- Na matemática, especialmente na teoria de conjuntos, um conjunto A é Dedekind-infinito ou infinito de Dedekind se A é equipotente a um subconjunto próprio. Um conjunto é Dedekind-finito se ele não é Dedekind-infinito. O nome provém do matemático alemão Richard Dedekind, que definiu "infinito" dessa maneira no seu famoso artigo de 1888 O que são e o que precisam ser os números. (pt)
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- In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is een verzameling A Dedekind-oneindig als er een strikte deelverzameling B van A bestaat, die gelijkmachtig aan A is. Expliciet betekent dit dat er een bijectieve functie van A op een strikte deelverzameling B van A bestaat. Men noemt een verzameling Dedekind-eindig als deze niet Dedekind-oneindig is. (nl)
- 数学において、集合A がデデキント無限（Dedekind-infinite）である、またはデデキント無限集合であるとは、A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在することである。つまり、A とA の真部分集合B の間に全単射が存在するということである。集合 A がデデキント無限でないとき、デデキント有限であるいう。 デデキント無限は、自然数を用いないような最初の無限の定義である。選択公理を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系は、任意のデデキント有限集合は有限個の元を持つという意味での有限である、ということを証明するだけの強さを持たない。デデキント無限以外にも、選択公理を用いない有限集合や無限集合の定義が存在する。 (ja)
- Na matemática, especialmente na teoria de conjuntos, um conjunto A é Dedekind-infinito ou infinito de Dedekind se A é equipotente a um subconjunto próprio. Um conjunto é Dedekind-finito se ele não é Dedekind-infinito. O nome provém do matemático alemão Richard Dedekind, que definiu "infinito" dessa maneira no seu famoso artigo de 1888 O que são e o que precisam ser os números. (pt)
- En matemáticas, un conjunto A es infinito-Dedekind (llamado así por el matemático alemán Richard Dedekind) si algún subconjunto propio B de A es a A. Explícitamente, esto significa que existe una función biyectiva de A en algún subconjunto propio B de A. Un conjunto es finito-Dedekind si no es Dedekind-infinito. Propuesta por Dedekind en 1888, la infinitud-Dedekind fue la primera definición de "infinito" que no se apoyaba en la definición de números naturales. (es)
- In mathematics, a set A is Dedekind-infinite (named after the German mathematician Richard Dedekind) if some proper subset B of A is equinumerous to A. Explicitly, this means that there exists a bijective function from A onto some proper subset B of A. A set is Dedekind-finite if it is not Dedekind-infinite (i.e., no such bijection exists). Proposed by Dedekind in 1888, Dedekind-infiniteness was the first definition of "infinite" that did not rely on the definition of the natural numbers. A vaguely related notion is that of a Dedekind-finite ring. (en)
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- Dedekind-Unendlichkeit (de)
- Conjunto infinito-Dedekind (es)
- Dedekind-infinite set (en)
- デデキント無限 (ja)
- Dedekind-oneindige verzameling (nl)
- Dedekind-infinito (pt)
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