In logic, De Morgan's laws or De Morgan's theorem are rules in formal logic relating pairs of dual logical operators in a systematic manner expressed in terms of negation. The relationship so induced is called De Morgan duality. :not (P and Q) = (not P) or (not Q) :not (P or Q) = (not P) and (not Q)
| Property | Value |
|---|
| p:abstract
| - In logic, De Morgan's laws or De Morgan's theorem are rules in formal logic relating pairs of dual logical operators in a systematic manner expressed in terms of negation. The relationship so induced is called De Morgan duality.
:not (P and Q) = (not P) or (not Q)
:not (P or Q) = (not P) and (not Q)
De Morgan's laws are based on the equivalent truth-values of each pair of statements.
The law is named after Augustus De Morgan (1806–1871) who introduced a formal version of the laws to classical propositional logic. De Morgan's formulation was influenced by algebraisation of logic undertaken by George Boole, which later cemented De Morgan's claim to the find. Although a similar observation was made by Aristotle and was known to Greek and Medieval logicians, De Morgan is given credit for stating the laws formally and incorporating them in to the language of logic. De Morgan's Laws can be proved easily, and may even seem trivial. Nonetheless, these laws are helpful in making valid inferences in proofs and deductive arguments. (en)
- Las leyes de De Morgan son una parte de la Lógica proposicional y analítica ,y fue creada por Augustus De Morgan (Madura,1806-Londres,1871). (es)
- Die De Morganschen Gesetze (oft auch De Morgansche Regeln) sind zwei grundlegende Regeln für logische Aussagen. Sie wurden nach dem Mathematiker Augustus De Morgan benannt, obwohl sie bereits dem mittelalterlichen Logiker Wilhelm von Ockham bekannt waren. Sie gelten in allen Booleschen Algebren. Insbesondere sind sie in der Aussagenlogik und der Mengenlehre bedeutsam. In der Technik sind sie bedeutsam für die Erstellung von Verriegelungen und Programmen.
Sie lauten in der Logik:
:nicht (a und b) = (nicht a) oder (nicht b)
:nicht (a oder b) = (nicht a) und (nicht b)
In der Mathematik findet man zahlreiche unterschiedliche Darstellungen der De Morganschen Gesetze der Aussagenlogik:
:\begin{matrix}
\neg {(a \wedge b)} = \neg{a} \vee \neg{b} \\
\neg {(a \vee b)} = \neg{a} \wedge \neg{b}
\end{matrix} oder \begin{matrix}
\overline{(a \wedge b)} = \overline{a} \vee \overline{b} \\
\overline{(a \vee b)} = \overline{a} \wedge \overline{b}
\end{matrix}
Die Gültigkeit der De Morganschen Gesetze kann mithilfe von Wahrheitstabellen bewiesen werden.
Ihre Entsprechung in der Mengenlehre lautet (dabei sind A das Komplement von A, \cap das Symbol für den Schnitt zweier Mengen und \cup das Symbol für die Vereinigung zweier Mengen):
:\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}
:\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}
Die Regeln lassen sich auch für Verknüpfungen beliebig vieler Elemente erweitern. So gilt für jede beliebige endliche, abzählbare oder auch nicht abzählbare Indexmenge I:
:\overline{\bigcap_{i \in I} A_i} = \bigcup_{i \in I} \overline{A_i} und \overline{\bigcup_{i \in I} A_i} = \bigcap_{i \in I} \overline{A_i}. (de)
- De Morganin lait ovat logiikan päättelysääntöjä.
:\neg(p\wedge q)\iff(\neg p)\vee(\neg q)
:\neg(p\vee q)\iff(\neg p)\wedge(\neg q)
Säännöt on nimetty löytäjänsä Augustus De Morganin (1806–1871) mukaan. (fi)
- Les lois de De Morgan sont des identités entre propositions logiques. Elles ont été formulées par le mathématicien britannique Augustus De Morgan (1806-1871). (fr)
- I teoremi di De Morgan, o leggi di De Morgan, prendono il nome dal matematico e logico britannico Augustus De Morgan e sono relativi alla logica booleana. Sono utilizzati per l'analisi di circuiti logici (elettrici, elettronici, pneumatici, comunque digitali, cioè ON-OFF). Affermano quanto segue:
:not (P and Q) = (not P) or (not Q)
:not (P or Q) = (not P) and (not Q)
Nella logica proposizionale possono essere formulate in vario modo:
:\begin{matrix}
\neg {(a \wedge b)} = \neg{a} \vee \neg{b} \\
\neg {(a \vee b)} = \neg{a} \wedge \neg{b}
\end{matrix} oppure \begin{matrix}
\overline{(a \wedge b)} = \overline{a} \vee \overline{b} \\
\overline{(a \vee b)} = \overline{a} \wedge \overline{b}
\end{matrix} oppure \begin{matrix}
\neg(P\wedge Q)=(\neg P)\vee(\neg Q)\\
\neg(P\vee Q)=(\neg P)\wedge(\neg Q)
\end{matrix}
e nella teoria degli insiemi così:
:(A\cap B)^C=A^C\cup B^C
:(A\cup B)^C=A^C\cap B^C.
In pratica esse descrivono il comportamento dei connettivi logici (AND e OR) quando una negazione viene tolta da o inserita in una formula in parentesi. Se si raccoglie la negazione fuori parentesi o la si distribuisce tra i termini in parentesi, il connettivo si trasforma nel suo opposto.
Espresse in forma tabellare : (it)
- ド・モルガンの法則（ド・モルガンのほうそく）とは、数理論理学や集合論において、論理積（集合の共通分）と論理和（集合の合併）、否定（補集合）操作の間の関係性（ド・モルガンの双対性とよばれる）を記述する定理であり、数学者のオーガスタス・ド・モルガンにちなんでこの名前がついている。 (ja)
- De wetten van De Morgan, of regels van De Morgan, zijn twee wetten in de formele logica die een verband leggen tussen de beide logische operatoren EN en OF en de negatie. Deze relatie wordt ook de dualiteit van De Morgan genoemd. Zij zijn genoemd naar de Britse wiskundige Augustus De Morgan, maar waren al eerder bekend.
Voor twee proposities A en B luiden de wetten:
:niet (a en b) = (niet a) of (niet b)
:niet (a of b) = (niet a) en (niet b)
In symbolen, waarbij EN door . wordt voorgesteld, OF door + en NIET door een overstreping, wordt dat:
:\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}
:\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}
De wetten kunnen gegeneraliseerd worden voor meer dan twee proposities:
:\overline{\prod_{i=1}^{n} P_i} = \sum_{i=1}^{n} \overline{P_i} ofwel: \overline{P_1 \cdot P_2 \cdot ... \cdot P_n} = \overline{P_1} + \overline{P_2} + ... + \overline{P_n}
:\overline{\sum_{i=1}^{n} P_i} = \prod_{i=1}^{n} \overline{P_i} ofwel: \overline{P_1 + P_2 + ... + P_n} = \overline{P_1} \cdot \overline{P_2} \cdot ... \cdot \overline{P_n}
Een eenvoudig voorbeeld illustreert deze wetten:
:A = ik heb een fiets
:B = ik heb een auto
De als eerste genoemde wet geeft in dit geval: "Zeggen dat het niet waar is dat ik zowel een auto als een fiets heb, is hetzelfde als zeggen dat ik geen fiets heb of geen auto." En de tweede: "Zeggen dat het niet waar is dat ik een auto of een fiets heb, is hetzelfde als zeggen dat ik geen fiets en geen auto heb."
De formulering van De Morgan is beïnvloed door de ontwikkeling van de Booleaanse algebra door George Boole, waaruit blijkt dat De Morgan de wet eerder vond dan Boole. Nochtans waren soortgelijke observaties al gedaan door Aristoteles en was de wet gekend door Griekse en middeleeuwse denkers, zoals de logicus Willem van Ockham.
In de formele logica worden de wetten gewoonlijk geschreven als:
:\neg(P\wedge Q)=(\neg P)\vee(\neg Q)
:\neg(P\vee Q)=(\neg P)\wedge(\neg Q)
en in de verzamelingenleer als:
:(A\cap B)^c=A^c\cup B^c
:(A\cup B)^c=A^c\cap B^c (nl)
- Prawa De Morgana – twierdzenia w logice matematycznej i teorii mnogości. Od nazwiska Augusta De Morgana, angielskiego matematyka. (pl)
- Sendo X, Y \in \{0, 1\} e
As operações em \ \{0, 1\} sendo +, \cdot e
\overline{\ } , assim definidas:
\ +: 0 + 0 = 0;\ 0 + 1 = 1;\ 1 + 0 = 1;\ 1 + 1 = 1
\cdot: 0 \cdot 0 = 0;\ 0 \cdot 1 = 0;\ 1 \cdot 0 = 0;\ 1 \cdot 1 = 1
\overline{\ }: \overline{0} = 1;\ \overline{1} = 0
Os teoremas DeMorgan são os seguintes:
1)\overline{X \cdot Y}=\overline{X}+\overline{Y}
2)\overline{X+Y}=\overline{X}\cdot\overline{Y}
A idéia é que ao "quebrar" a barra sobre uma operação esta muda seu sinal, restando uma barra para cada membro da operação, exemplos:
\overline{X+Y+Z}=\overline{X}\cdot\overline{Y}\cdot\overline{Z}
\overline{X \cdot Y \cdot Z}=\overline{X}+\overline{Y}+\overline{Z}
Prova:
Se de fato \overline{X+Y+Z}=\overline{X}\cdot\overline{Y}\cdot\overline{Z}
então
a)(X+Y+Z)+(\overline{X}\cdot\overline{Y}\cdot\overline{Z}) = 1
b)(X+Y+Z)\cdot(\overline{X}\cdot\overline{Y}\cdot\overline{Z}) = 0
a) (X + Y + Z) + (\overline{X}\cdot\overline{Y}\cdot\overline{Z})=(X + Y + Z + \overline{X})\cdot(X + Y + Z + \overline{Y})\cdot(X + Y + Z + \overline{Z}) =
= (Y + Z + 1)\cdot(X + Z + 1)\cdot(X + Y + 1)= 1\cdot1\cdot1 = 1
primeiro usamos a propriedade distributiva do operador +, depois a propriedade comutativo (passo não mostrado), então vemos a soma de elementos complementares X + \overline{X} = 1.
b) (X+Y+Z)\cdot(\overline{X}\cdot\overline{Y}\cdot\overline{Z}) = X\cdot\overline{X}\cdot\overline{Y}\cdot\overline{Z} + Y\cdot\overline{X}\cdot\overline{Y}\cdot\overline{Z} + Z\cdot\overline{X}\cdot\overline{Y}\cdot\overline{Z} = 0 + 0 + 0 = 0
Primeiro usamos a propriedade distributiva do operador \cdot, depois usamos a propriedade de comutatividade (esse passo não foi mostrado), então usamos a propriedade de elementos complementares X\cdot\overline{X} = 0
Os Teoremas de DeMorgan são usados para provar que toda lógica pode ser criada somente com portas NAND ou NOR. (pt)
- Законы де Моргана (правила де Моргана) — логические правила, связывающие пары дуальных логических операторов при помощи логического отрицания. (ru)
- De Morgans lagar är två vanliga regler inom logik och boolesk algebra, uppkallade efter Augustus de Morgan. Enkelt uttryckt innebär de följande:
:inte (P och Q) = (inte P) eller (inte Q)
:inte (P eller Q) = (inte P) och (inte Q)
Med notation från den formella logiken blir det så här:
:\neg(P\wedge Q)= \neg P\vee\neg Q
:\neg(P\vee Q)= \neg P\wedge\neg Q
Reglerna används även inom mängdlära:
:(A\cap B)^C=A^C\cup B^C
:(A\cup B)^C=A^C\cap B^C.
De Morgans lagar används även inom digitalteknik och programmering. I digitaltekniken skapar översättnig mellan kretsfunktioner möjligheter till optimeringar och val av tekniker. De Morgans lagar motsvaras som logiska grindar enligt (H = hög nivå, L = låg nivå): (sv)
- 德·摩根定律是属于逻辑学的定律。 德·摩根定律(或称德·摩根定理)是形式逻辑中有关否定所描述的系统方式中的逻辑运算符对偶对的一系列法则。由此引出的关系也就被称为“德·摩根二重性”。
奥古斯都·德·摩根首先发现了在命题逻辑中存在着下面这些关系：
:非(P 且 Q)＝(非 P)或(非 Q)
:非(P 或 Q)＝(非 P)且(非 Q)
德·摩根的发现影响了乔治·布尔从事的逻辑问题代数解法的研究，这巩固了德·摩根作为该规律的发现者的地位，尽管亚里士多德也曾注意到类似现象、且这也为古希腊与中世纪的逻辑学家熟知(引自Bocheński《形式逻辑历史》)。 (zh)
|
| p:hasPhotoCollection
| |
| p:id
| |
| p:title
| - de Morgan's Laws (en)
- de Morgan's laws (en)
|
| p:urlname
| - DeMorgansLaws (en)
- deMorgansLaws (en)
|
| p:wikiPageUsesTemplate
| |
| p:wikipage-de
| |
| p:wikipage-es
| |
| p:wikipage-fi
| |
| p:wikipage-fr
| |
| p:wikipage-it
| |
| p:wikipage-ja
| |
| p:wikipage-nl
| |
| p:wikipage-pl
| |
| p:wikipage-pt
| |
| p:wikipage-ru
| |
| p:wikipage-sv
| |
| p:wikipage-zh
| |
| rdfs:comment
| - In logic, De Morgan's laws or De Morgan's theorem are rules in formal logic relating pairs of dual logical operators in a systematic manner expressed in terms of negation. The relationship so induced is called De Morgan duality. :not (P and Q) = (not P) or (not Q) :not (P or Q) = (not P) and (not Q) (en)
- Las leyes de De Morgan son una parte de la Lógica proposicional y analítica ,y fue creada por Augustus De Morgan (Madura,1806-Londres,1871). (es)
- Die De Morganschen Gesetze (oft auch De Morgansche Regeln) sind zwei grundlegende Regeln für logische Aussagen. Sie wurden nach dem Mathematiker Augustus De Morgan benannt, obwohl sie bereits dem mittelalterlichen Logiker Wilhelm von Ockham bekannt waren. Sie gelten in allen Booleschen Algebren. Insbesondere sind sie in der Aussagenlogik und der Mengenlehre bedeutsam. In der Technik sind sie bedeutsam für die Erstellung von Verriegelungen und Programmen. (de)
- De Morganin lait ovat logiikan päättelysääntöjä. (fi)
- Les lois de De Morgan sont des identités entre propositions logiques. Elles ont été formulées par le mathématicien britannique Augustus De Morgan (1806-1871). (fr)
- I teoremi di De Morgan, o leggi di De Morgan, prendono il nome dal matematico e logico britannico Augustus De Morgan e sono relativi alla logica booleana. Sono utilizzati per l'analisi di circuiti logici (elettrici, elettronici, pneumatici, comunque digitali, cioè ON-OFF). Affermano quanto segue: (it)
- ド・モルガンの法則（ド・モルガンのほうそく）とは、数理論理学や集合論において、論理積（集合の共通分）と論理和（集合の合併）、否定（補集合）操作の間の関係性（ド・モルガンの双対性とよばれる）を記述する定理であり、数学者のオーガスタス・ド・モルガンにちなんでこの名前がついている。 (ja)
- De wetten van De Morgan, of regels van De Morgan, zijn twee wetten in de formele logica die een verband leggen tussen de beide logische operatoren EN en OF en de negatie. Deze relatie wordt ook de dualiteit van De Morgan genoemd. Zij zijn genoemd naar de Britse wiskundige Augustus De Morgan, maar waren al eerder bekend. (nl)
- Prawa De Morgana – twierdzenia w logice matematycznej i teorii mnogości. Od nazwiska Augusta De Morgana, angielskiego matematyka. (pl)
- Sendo X, Y \in \{0, 1\} e (pt)
- Законы де Моргана (правила де Моргана) — логические правила, связывающие пары дуальных логических операторов при помощи логического отрицания. (ru)
- De Morgans lagar är två vanliga regler inom logik och boolesk algebra, uppkallade efter Augustus de Morgan. Enkelt uttryckt innebär de följande: (sv)
- 德·摩根定律是属于逻辑学的定律。 德·摩根定律(或称德·摩根定理)是形式逻辑中有关否定所描述的系统方式中的逻辑运算符对偶对的一系列法则。由此引出的关系也就被称为“德·摩根二重性”。 (zh)
|
| rdfs:label
| - De Morgan's laws (en)
- Leyes de De Morgan (es)
- De Morgansche Gesetze (de)
- De Morganin lait (fi)
- Lois de De Morgan (fr)
- Teoremi di De Morgan (it)
- ド・モルガンの法則 (ja)
- Wetten van De Morgan (nl)
- Prawa De Morgana (pl)
- Teoremas de De Morgan (pt)
- Законы де Моргана (ru)
- De Morgans lagar (sv)
- 德·摩根定律 (zh)
|
| skos:subject
| |
| foaf:page
| |
| p:knownFor
| |
| p:redirect
| |
![[RDF Data]](http://dbpedia.org/statics/sw-cube.png)
