| dbo:abstract
|
- Komutativita je v matematice, zejména v algebře, vlastnost binární operace spočívající v tom, že u ní nezávisí na pořadí jejích operandů. (cs)
- En matemàtiques, la propietat commutativa o commutativitat és una propietat fonamental que tenen algunes operacions segons la qual el resultat d'operar dos elements no depèn de l'ordre en què es prenen. Això es compleix en l'addició i la multiplicació ordinàries: l'ordre dels sumands no altera la suma, o l'ordre dels factors no altera el producte. Així, per exemple, 2+3 = 3+2, i 4×5 = 5×4. La commutativitat de les operacions elementals de sumar i multiplicar era coneguda implícitament des de l'antiguitat, tot i que no fou anomenada d'aquesta manera fins a principis del segle xix, època en què les matemàtiques contemporànies començaven a formalitzar-se. Les successives ampliacions del concepte de nombre (nombres naturals, nombres enters, nombres racionals, nombres reals) van ampliar l'abast de les operacions de sumar i multiplicar, però en totes elles es preserva la commutativitat. Aquesta propietat també se satisfà en moltes altres operacions, com ara la suma de vectors, polinomis, matrius, funcions reals, etc., o el producte de polinomis o de funcions reals. En contraposició a l'addició i la multiplicació de nombres, la subtracció i la divisió no són operacions commutatives. Entre les operacions no commutatives cal destacar també la composició de funcions, el producte de matrius i el producte vectorial. Tot i ser una propietat aplicada bàsicament a les operacions matemàtiques, la commutativitat o la no commutativitat són rellevants en altres camps propers com ara la lògica proposicional i algunes operacions de teoria de conjunts, i en algunes aplicacions físiques com ara el principi d'incertesa de la mecànica quàntica. Fora de l'àmbit científic, també se'n poden trobar exemples en la vida quotidiana, ja que l'execució consecutiva de dues accions pot tenir un resultat diferent segons l'ordre en què s'executin. (ca)
- في الرياضيات العملية التبادلية أو -أحياناً- التبديلية (بالإنجليزية: Commutativity) هي قابلية العملية الرياضية لتبديل مواضع مُدْخلاتها دونما تغيّرٍ في النتيجة. وهي إحدى الخصائص الأساسية في العديد من فروع الرياضيات. في الرياضيات تكون العملية الثنائية تبادليةً إذا [وفقط إذا] كان تغيير ترتيب المعاملات لا يغير النتيجة. وهي خاصية أساسية للعديد من العمليات الثنائية، وعليها يعتمد العديد من البراهين الرياضية. والأكثر شيوعاً [للتدليل عليها] -مثل اسم الخاصية- المقولة التي تقول شيئاً ما مثل:"3 + 4 = 4 + 3"، أو "2 × 5 = 5 × 2"يمكن أيضاً استخدام هذه الخاصية في إعداداتٍ أكثر تقدماً. تحديد اسم «العملية التبادلية» مطلوب لأنه ثمة عملياتٌ مثل القسمة والطرح لا تتضمن هذه الخاصية التبادلية(على سبيل المثال: "3 - 5 ≠ 5 - 3")فهذه العمليات ليست تبادليةً، ولذلك يشار إليها بـ«العمليات غير التبادلية». إن الفكرةَ القائلة بأن العملياتِ البسيطةَ -مثل «ضرب» الأرقام و«جمعها»- هي عمليات تبادلية كانت مفترضةً ضمنياً لسنواتٍ عديدةٍ خلت. ولهذا لم تجرِ تسمية هذه الخاصية حتى القرن التاسع عشر عندما بدأتِ الرياضيات تغدو موحدةً. توجد خاصية مقابلة للعلاقات الثنائية؛ يُقال إن العلاقةَ الثنائية متماثلةٌ إذا كانتِ العلاقة تنطبق بغض النظر عن ترتيب معاملاتها؛ على سبيل المثال [علاقة] المساواة متماثلةٌ حيث إن كائنين رياضيين متساويان بغض النظر عن ترتيبهما. كما في قولنا:"x = y"، وكذلك "y = x". (ar)
- Ως αντιμεταθετική ιδιότητα χαρακτηρίζουμε στα μαθηματικά, την ιδιότητα μιας πράξης μεταξύ δύο μελών, να έχει το ίδιο αποτέλεσμα ακόμα και αν ανταλλάξουμε τη σειρά των μελών μεταξύ τους. Αποτελεί βασική ιδιότητα πολλών δυαδικών πράξεων και πολλές μαθηματικές αποδείξεις στηρίζονται σε αυτήν. Εκτός από τη γνωστή χρήση της ιδιότητας π.χ.: "3 + 4 = 4 + 3" ή "2 × 5 = 5 × 2", χρησιμοποιείται επίσης και σε πιο περίπλοκες εφαρμογές. Η ονομασία αυτής είναι απαραίτητη καθώς υπάρχουν πράξεις, όπως η αφαίρεση και η διαίρεση στις οποίες δεν ισχύει (π.χ.: 3 − 5 ≠ 5 − 3). Τέτοιου είδους πράξεις λέμε ότι δεν είναι αντιμεταθετικές ή ότι είναι μη-αντιμεταθετικές. Η ιδέα ότι απλές πράξεις όπως η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός των αριθμών, είναι αντιμεταθετικές προϋπήρχε για πολλά χρόνια χωρίς να της έχει δοθεί κάποιο όνομα μέχρι το 19ο αιώνα όταν τα μαθηματικά ξεκίνησαν να τυποποιούνται. (el)
- Komuteco estas eco de duargumenta matematika operacio. Duvalenta operacio estas komuta, se interŝanĝo (komutado) de la du operandoj ne influas la rezulton. (eo)
- In mathematics, a binary operation is commutative if changing the order of the operands does not change the result. It is a fundamental property of many binary operations, and many mathematical proofs depend on it. Most familiar as the name of the property that says something like "3 + 4 = 4 + 3" or "2 × 5 = 5 × 2", the property can also be used in more advanced settings. The name is needed because there are operations, such as division and subtraction, that do not have it (for example, "3 − 5 ≠ 5 − 3"); such operations are not commutative, and so are referred to as noncommutative operations. The idea that simple operations, such as the multiplication and addition of numbers, are commutative was for many years implicitly assumed. Thus, this property was not named until the 19th century, when mathematics started to become formalized. A similar property exists for binary relations; a binary relation is said to be symmetric if the relation applies regardless of the order of its operands; for example, equality is symmetric as two equal mathematical objects are equal regardless of their order. (en)
- En matemáticas, la propiedad conmutativa o conmutatividad es una propiedad fundamental que tienen algunas operaciones según la cual el resultado de operar dos elementos no depende del orden en el que se toman. Esto se cumple en la adición y la multiplicación ordinarias: el orden de los sumandos no altera la suma, o el orden de los factores no altera el producto. La conmutatividad de las operaciones elementales de sumar y multiplicar ya era conocida implícitamente desde la antigüedad, aunque no fue llamada así hasta principios del siglo XIX, época en que las matemáticas contemporáneas empezaban a formalizarse. Las sucesivas ampliaciones del concepto de número (números naturales, números enteros, números racionales, números reales) ampliaron el alcance de las operaciones de sumar y multiplicar, pero en todas ellas se preserva la conmutatividad. Esta propiedad también se satisface en muchas otras operaciones, como la suma de vectores, polinomios, matrices, funciones reales, etc., o el producto de polinomios o de funciones reales. En contraposición a la adición y la multiplicación de números, la sustracción y la división no son operaciones conmutativas. Entre las operaciones no conmutativas cabe destacar también la composición de funciones, el producto de matrices y el producto vectorial. A pesar de ser una propiedad aplicada básicamente a las operaciones matemáticas, la conmutatividad o la no conmutatividad son relevantes en otros campos cercanos como la lógica proposicional y algunas operaciones de teoría de conjuntos, y en algunas aplicaciones físicas tales como el principio de incertidumbre de la mecánica cuántica. Fuera del ámbito científico, también se pueden encontrar ejemplos en la vida cotidiana, ya que la ejecución consecutiva de dos acciones puede tener un resultado diferente según el orden en que se ejecuten. (es)
- Das Kommutativgesetz (lat. commutare „vertauschen“), auf Deutsch Vertauschungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik. Wenn sie gilt, können die Argumente einer Operation vertauscht werden, ohne dass sich das Ergebnis verändert. Mathematische Operationen, die dem Kommutativgesetz unterliegen, nennt man kommutativ. Das Kommutativgesetz bildet mit dem Assoziativgesetz und dem Distributivgesetz grundlegende Regeln der Algebra. (de)
- Matematika arloan, eragiketa bitar bat trukakorra izan daiteke, eragingaien ordena aldatzeak eragiketaren emaitzan eraginik ez badauka. Horri trukakortasuna edo propietate trukakorra esaten zaio. Eragiketa bitar askoren oinarrizko propietatea da, eta froga matematiko asko horren menpe daude. Propietate hau batuketekin eta biderketekin erabil daiteke, baina ez kenketekin eta zatiketekin. Trukakorrak ez diren eragiketei "eragiketa ez-trukakorrak" esaten zaie. Trukakortasunaren propietatea lehenagotik erabilia izan zen arren, 19. mendea arte ez zen izendatu, matematika garai hartan hasi baitzen formalizatzen. Propietate hau erlazio bitarretan aplikatzeari simetria deritzo. Esate baterako, berdintza simetrikoa da, bi adierazpen matematikok balio bera itzultzen dutelako, euren hurrenkerari begiratu gabe. (eu)
- Sa mhatamaitic, oibríocht nach gcuireann ord an teaglama isteach ar a toradh. Mar sin is comhalartach suimiú, mar a + b = b + a, do gach luach is féidir a bheith ag a is b. Ach níl dealú comhalartach, mar a - b ≠ b - a do gach a is b. (ga)
- Dalam matematika, suatu operasi biner memiliki sifat komutatif jika mengubah urutan operan tidak mengubah hasilnya. Ini adalah sifat fundamental dari banyak operasi biner, dan banyak pembuktian matematika bergantung pada sifat ini. Sifat ini paling dikenal sebagai nama sifat yang mengatakan "3 + 4 = 4 + 3" atau "2 × 5 = 5 × 2". Sifat ini juga dapat digunakan dalam situasi yang lebih rumit. Nama ini diperlukan karena ada operasi, seperti pembagian dan pengurangan, yang tidak memilikinya (misalnya, "3 − 5 ≠ 5 − 3"); operasi semacam itu tidak bersifat komutatif, dan demikian disebut sebagai operasi nonkomutatif. Gagasan bahwa operasi sederhana, seperti perkalian dan penjumlahan bilangan, bersifat komutatif telah diasumsikan secara implisit selama bertahun-tahun. Dengan demikian, properti ini tidak dinamai sampai abad ke-19, ketika matematika mulai menjadi formal. Sifat yang terkait ada untuk relasi biner; suatu relasi biner dikatakan simetris jika relasi berlaku terlepas dari urutan operannya; misalnya, kesamaan bersifat simetris karena dua objek matematika yang sama adalah sama terlepas dari urutannya. (in)
- En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une loi de composition interne sur un ensemble E est dite commutative si pour tous x et y dans E, . En notant , la commutativité se traduit par le diagramme commutatif suivant : (fr)
- 初等代数学における交換法則（こうかんほうそく、英: commutative law; 可換則、交換律）は、与えられた演算の二つの引数を互いに入れ替えても結果が変わらないことを述べる。また交換法則を満足する演算は可換性（commutative property; 交換性質）を持つと言う。例えば自然数に関する足し算や掛け算は交換法則を満たしている。
* 4 + 5 = 5 + 4（両辺とも値は9である）
* 2 × 3 = 3 × 2（両辺とも値は6である） しかし引き算や割り算はそうではない。
*
* その他に交換法則を満たすものとしては主に次のようなものがある。
* 有理数、実数、複素数の加算や乗算
* 行列、数ベクトルの加算
* 集合の共通部分や和集合 また、交換法則を満たさない主要な演算としては次のようなものがある。
* 行列の乗算、3次元数ベクトルのベクトル外積
* 写像の合成（例として関数の合成等）
* 四元数の乗算 ただしベクトルの外積のように絶対値及び絶対値に相当する数を考えたときに交換法則は成り立つものも多い。 (ja)
- 수학에서 교환법칙(문화어: 바꿈법칙, 영어: commutative property)은 두 대상의 이항연산의 값이 두 원소의 순서에 관계없다는 성질이다. (ko)
- De term "commutatief" wordt in een aantal verschillende contexten gebruikt. 1. Een binaire operatie op een verzameling wordt commutatief genoemd als voor alle elementen geldt: Een operatie die niet voldoet aan deze eigenschap wordt niet-commutatief genoemd 2. Een binaire functie wordt commutatief, of symmetrisch, genoemd, als voor alle elementen geldt: In het algemeen zegt men dat twee elementen en commuteren onder de operatie , als ze aan bovenstaande identiteit voldoen. De operatie is commutatief als elk willekeurig tweetal elementen met elkaar commuteert. (nl)
- Przemienność, komutatywność – jedna z własności działań dwuargumentowych. Działanie w zbiorze nazywamy przemiennym, jeśli . Przykłady działań przemiennych:
* dodawanie liczb rzeczywistych,
* mnożenie liczb zespolonych,
* dodawanie wektorów w przestrzeni liniowej. Dla odmiany odejmowanie w zbiorze liczb rzeczywistych nie jest przemienne: (pl)
- In matematica, un'operazione binaria definita su un insieme è commutativa se e solo se Se questa proprietà non è valida per ogni coppia di elementi, l'operazione è quindi detta non commutativa. In particolare, se è vera la proprietà l'operazione è detta anticommutativa. Due elementi e commutano se . Quindi l'operazione è commutativa se e solo se due elementi di commutano sempre. (it)
- Коммутативность, переместительный закон (позднелат. commutativus — меняющийся) — свойство бинарной операции «», заключающееся в возможности перестановки аргументов: для любых элементов . В частности, если групповая операция является коммутативной, то группа называется абелевой. Если операция умножения в кольце является коммутативной, то кольцо называется коммутативным. Термин «коммутативность» ввёл в 1815 году французский математик . Примеры:
* сумма и произведение действительных чисел коммутативны:.
* конъюнкция и дизъюнкция коммутативны:.
* объединение, пересечение и симметрическая разность множеств коммутативны: Многие бинарные операции ассоциативны, но в общем случае некоммутативны, таковы, например, умножение матриц: , но и конкатенация строк: «a» + «b» = «ab», но «b» + «a» = «ba». При этом не всякая коммутативная операция ассоциативна (существуют с неассоциативной операцией). Существует ряд обобщений понятия коммутативности на операции более двух аргументов (различные варианты симметричности). Коммутативные операции формируют обширный пласт алгебраических структур, обладающих многими «хорошими» свойствами, не присущими некоммутативным структурам (например, коммутативные группы в сравнении неабелевыми), во многих разделах математики применяется техника сведения задач к коммутативным структурам как к более изученным и обладающим более удобными свойствами. Коммутативная алгебра — общеалгебраическое направление, изучающее свойства коммутативных колец и связанных с ними коммутативных объектов (модулей, идеалов, , полей). (ru)
- Inom matematiken, speciellt inom abstrakt algebra, är kommutativitet en egenskap hos en binär operator. Operatorn på en mängd är kommutativ om och endast om det för alla element och i gäller att . Operatorn är alltså kommutativ om operandernas ( och ovan) ordning saknar betydelse. De mest kända exemplen på kommutativa operatorer är addition och multiplikation av naturliga tal, till exempel 4 + 5 = 5 + 4 (båda uttrycken ger 9)2 · 3 = 3 · 2 (båda uttrycken ger 6) Exempel på icke kommutativa operationer är subtraktion: 5 - 4 = 1 men 4 - 5 = -1exponentiering: 25 = 32 men 52 = 25 Subtraktion är dock antikommutativ, se nedan. Ytterligare exempel på kommutativa binära operatorer är addition och multiplikation av reella tal och komplexa tal, addition av vektorer, samt snitt och unioner av mängder. Som en direkt följd av att multiplikation av reella tal är kommutativt, gäller det samma även för uttryck på formen x % av y. Viktiga operatorer som generellt är icke-kommutativa är multiplikation av matriser, sammansättning av funktioner och kvaternionmultiplikation. (sv)
- Comutatividade é uma propriedade de operações binárias, ou de ordem mais alta, em que a ordem dos operandos não altera o resultado final. Por mais que a noção comum de aritmética possam sugerir que esta propriedade seja óbvia, ela é importante para organizar os tipos de operações de grupos de acordo a propriedade de comutatividade ou não. E mesmo na aritmética existem exemplos de operações que não são comutativas, como a subtração e a divisão. (pt)
- 交換律（英語：Commutative property）是被普遍使用的一個數學名詞，意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。交換律是大多數數學分支中的基本性質，而且許多的數學證明需要倚靠交換律。簡單運算的交換律許久都被假定存在，且沒有給定其一特定的名稱，直到19世紀，數學家開始形式化數學理論之後，交換律才得到正式的定义。 (zh)
- Бінарна операція на множині S є комутативною, якщо для всіх x і y ∈ S. В іншому випадку × є некомутативною. Якщо x * y = y * x для окремої пари елементів x, y, тоді кажуть, що x і y комутують. Найвідомішими прикладами комутативних бінарних операцій є операції додавання «+» і множення «×» дійсних чисел, наприклад:
* 4 + 5 = 5 + 4 (оскільки обидва дорівнюють 9)
* 2 × 3 = 3 × 2 (оскільки обидва вирази дорівнюють 6) Серед некомутативних бінарних операцій:
* віднімання a − b,
* ділення a / b,
* піднесення до степеня ab,
* композиція функцій f(g(x)),
* тетрація a↑↑b. Група, операція якої є комутативною, називається абелевою групою. Кільце є комутативним кільцем, якщо його операція множення є комутативною; додавання є комутативним в будь-якому кільці (за означенням кільця). (uk)
|
| rdfs:comment
|
- Komutativita je v matematice, zejména v algebře, vlastnost binární operace spočívající v tom, že u ní nezávisí na pořadí jejích operandů. (cs)
- Komuteco estas eco de duargumenta matematika operacio. Duvalenta operacio estas komuta, se interŝanĝo (komutado) de la du operandoj ne influas la rezulton. (eo)
- Das Kommutativgesetz (lat. commutare „vertauschen“), auf Deutsch Vertauschungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik. Wenn sie gilt, können die Argumente einer Operation vertauscht werden, ohne dass sich das Ergebnis verändert. Mathematische Operationen, die dem Kommutativgesetz unterliegen, nennt man kommutativ. Das Kommutativgesetz bildet mit dem Assoziativgesetz und dem Distributivgesetz grundlegende Regeln der Algebra. (de)
- Sa mhatamaitic, oibríocht nach gcuireann ord an teaglama isteach ar a toradh. Mar sin is comhalartach suimiú, mar a + b = b + a, do gach luach is féidir a bheith ag a is b. Ach níl dealú comhalartach, mar a - b ≠ b - a do gach a is b. (ga)
- En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une loi de composition interne sur un ensemble E est dite commutative si pour tous x et y dans E, . En notant , la commutativité se traduit par le diagramme commutatif suivant : (fr)
- 初等代数学における交換法則（こうかんほうそく、英: commutative law; 可換則、交換律）は、与えられた演算の二つの引数を互いに入れ替えても結果が変わらないことを述べる。また交換法則を満足する演算は可換性（commutative property; 交換性質）を持つと言う。例えば自然数に関する足し算や掛け算は交換法則を満たしている。
* 4 + 5 = 5 + 4（両辺とも値は9である）
* 2 × 3 = 3 × 2（両辺とも値は6である） しかし引き算や割り算はそうではない。
*
* その他に交換法則を満たすものとしては主に次のようなものがある。
* 有理数、実数、複素数の加算や乗算
* 行列、数ベクトルの加算
* 集合の共通部分や和集合 また、交換法則を満たさない主要な演算としては次のようなものがある。
* 行列の乗算、3次元数ベクトルのベクトル外積
* 写像の合成（例として関数の合成等）
* 四元数の乗算 ただしベクトルの外積のように絶対値及び絶対値に相当する数を考えたときに交換法則は成り立つものも多い。 (ja)
- 수학에서 교환법칙(문화어: 바꿈법칙, 영어: commutative property)은 두 대상의 이항연산의 값이 두 원소의 순서에 관계없다는 성질이다. (ko)
- De term "commutatief" wordt in een aantal verschillende contexten gebruikt. 1. Een binaire operatie op een verzameling wordt commutatief genoemd als voor alle elementen geldt: Een operatie die niet voldoet aan deze eigenschap wordt niet-commutatief genoemd 2. Een binaire functie wordt commutatief, of symmetrisch, genoemd, als voor alle elementen geldt: In het algemeen zegt men dat twee elementen en commuteren onder de operatie , als ze aan bovenstaande identiteit voldoen. De operatie is commutatief als elk willekeurig tweetal elementen met elkaar commuteert. (nl)
- Przemienność, komutatywność – jedna z własności działań dwuargumentowych. Działanie w zbiorze nazywamy przemiennym, jeśli . Przykłady działań przemiennych:
* dodawanie liczb rzeczywistych,
* mnożenie liczb zespolonych,
* dodawanie wektorów w przestrzeni liniowej. Dla odmiany odejmowanie w zbiorze liczb rzeczywistych nie jest przemienne: (pl)
- In matematica, un'operazione binaria definita su un insieme è commutativa se e solo se Se questa proprietà non è valida per ogni coppia di elementi, l'operazione è quindi detta non commutativa. In particolare, se è vera la proprietà l'operazione è detta anticommutativa. Due elementi e commutano se . Quindi l'operazione è commutativa se e solo se due elementi di commutano sempre. (it)
- Comutatividade é uma propriedade de operações binárias, ou de ordem mais alta, em que a ordem dos operandos não altera o resultado final. Por mais que a noção comum de aritmética possam sugerir que esta propriedade seja óbvia, ela é importante para organizar os tipos de operações de grupos de acordo a propriedade de comutatividade ou não. E mesmo na aritmética existem exemplos de operações que não são comutativas, como a subtração e a divisão. (pt)
- 交換律（英語：Commutative property）是被普遍使用的一個數學名詞，意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。交換律是大多數數學分支中的基本性質，而且許多的數學證明需要倚靠交換律。簡單運算的交換律許久都被假定存在，且沒有給定其一特定的名稱，直到19世紀，數學家開始形式化數學理論之後，交換律才得到正式的定义。 (zh)
- في الرياضيات العملية التبادلية أو -أحياناً- التبديلية (بالإنجليزية: Commutativity) هي قابلية العملية الرياضية لتبديل مواضع مُدْخلاتها دونما تغيّرٍ في النتيجة. وهي إحدى الخصائص الأساسية في العديد من فروع الرياضيات. (ar)
- En matemàtiques, la propietat commutativa o commutativitat és una propietat fonamental que tenen algunes operacions segons la qual el resultat d'operar dos elements no depèn de l'ordre en què es prenen. Això es compleix en l'addició i la multiplicació ordinàries: l'ordre dels sumands no altera la suma, o l'ordre dels factors no altera el producte. Així, per exemple, 2+3 = 3+2, i 4×5 = 5×4. (ca)
- Ως αντιμεταθετική ιδιότητα χαρακτηρίζουμε στα μαθηματικά, την ιδιότητα μιας πράξης μεταξύ δύο μελών, να έχει το ίδιο αποτέλεσμα ακόμα και αν ανταλλάξουμε τη σειρά των μελών μεταξύ τους. Αποτελεί βασική ιδιότητα πολλών δυαδικών πράξεων και πολλές μαθηματικές αποδείξεις στηρίζονται σε αυτήν. Εκτός από τη γνωστή χρήση της ιδιότητας π.χ.: "3 + 4 = 4 + 3" ή "2 × 5 = 5 × 2", χρησιμοποιείται επίσης και σε πιο περίπλοκες εφαρμογές. Η ονομασία αυτής είναι απαραίτητη καθώς υπάρχουν πράξεις, όπως η αφαίρεση και η διαίρεση στις οποίες δεν ισχύει (π.χ.: 3 − 5 ≠ 5 − 3). Τέτοιου είδους πράξεις λέμε ότι δεν είναι αντιμεταθετικές ή ότι είναι μη-αντιμεταθετικές. Η ιδέα ότι απλές πράξεις όπως η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός των αριθμών, είναι αντιμεταθετικές προϋπήρχε για πολλά χρόνια χωρίς να της έχει δοθε (el)
- In mathematics, a binary operation is commutative if changing the order of the operands does not change the result. It is a fundamental property of many binary operations, and many mathematical proofs depend on it. Most familiar as the name of the property that says something like "3 + 4 = 4 + 3" or "2 × 5 = 5 × 2", the property can also be used in more advanced settings. The name is needed because there are operations, such as division and subtraction, that do not have it (for example, "3 − 5 ≠ 5 − 3"); such operations are not commutative, and so are referred to as noncommutative operations. The idea that simple operations, such as the multiplication and addition of numbers, are commutative was for many years implicitly assumed. Thus, this property was not named until the 19th century, wh (en)
- En matemáticas, la propiedad conmutativa o conmutatividad es una propiedad fundamental que tienen algunas operaciones según la cual el resultado de operar dos elementos no depende del orden en el que se toman. Esto se cumple en la adición y la multiplicación ordinarias: el orden de los sumandos no altera la suma, o el orden de los factores no altera el producto. (es)
- Matematika arloan, eragiketa bitar bat trukakorra izan daiteke, eragingaien ordena aldatzeak eragiketaren emaitzan eraginik ez badauka. Horri trukakortasuna edo propietate trukakorra esaten zaio. Eragiketa bitar askoren oinarrizko propietatea da, eta froga matematiko asko horren menpe daude. (eu)
- Dalam matematika, suatu operasi biner memiliki sifat komutatif jika mengubah urutan operan tidak mengubah hasilnya. Ini adalah sifat fundamental dari banyak operasi biner, dan banyak pembuktian matematika bergantung pada sifat ini. Sifat ini paling dikenal sebagai nama sifat yang mengatakan "3 + 4 = 4 + 3" atau "2 × 5 = 5 × 2". Sifat ini juga dapat digunakan dalam situasi yang lebih rumit. Nama ini diperlukan karena ada operasi, seperti pembagian dan pengurangan, yang tidak memilikinya (misalnya, "3 − 5 ≠ 5 − 3"); operasi semacam itu tidak bersifat komutatif, dan demikian disebut sebagai operasi nonkomutatif. Gagasan bahwa operasi sederhana, seperti perkalian dan penjumlahan bilangan, bersifat komutatif telah diasumsikan secara implisit selama bertahun-tahun. Dengan demikian, properti ini (in)
- Коммутативность, переместительный закон (позднелат. commutativus — меняющийся) — свойство бинарной операции «», заключающееся в возможности перестановки аргументов: для любых элементов . В частности, если групповая операция является коммутативной, то группа называется абелевой. Если операция умножения в кольце является коммутативной, то кольцо называется коммутативным. Термин «коммутативность» ввёл в 1815 году французский математик . Примеры: Многие бинарные операции ассоциативны, но в общем случае некоммутативны, таковы, например, умножение матриц: , но и конкатенация строк: (ru)
- Inom matematiken, speciellt inom abstrakt algebra, är kommutativitet en egenskap hos en binär operator. Operatorn på en mängd är kommutativ om och endast om det för alla element och i gäller att . Operatorn är alltså kommutativ om operandernas ( och ovan) ordning saknar betydelse. De mest kända exemplen på kommutativa operatorer är addition och multiplikation av naturliga tal, till exempel 4 + 5 = 5 + 4 (båda uttrycken ger 9)2 · 3 = 3 · 2 (båda uttrycken ger 6) Exempel på icke kommutativa operationer är subtraktion: 5 - 4 = 1 men 4 - 5 = -1exponentiering: 25 = 32 men 52 = 25 (sv)
- Бінарна операція на множині S є комутативною, якщо для всіх x і y ∈ S. В іншому випадку × є некомутативною. Якщо x * y = y * x для окремої пари елементів x, y, тоді кажуть, що x і y комутують. Найвідомішими прикладами комутативних бінарних операцій є операції додавання «+» і множення «×» дійсних чисел, наприклад:
* 4 + 5 = 5 + 4 (оскільки обидва дорівнюють 9)
* 2 × 3 = 3 × 2 (оскільки обидва вирази дорівнюють 6) Серед некомутативних бінарних операцій:
* віднімання a − b,
* ділення a / b,
* піднесення до степеня ab,
* композиція функцій f(g(x)),
* тетрація a↑↑b. (uk)
|
.svg?width=300)
.svg){kind=link}
