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| - In economics, the Cobb-Douglas functional form of production functions is widely used to represent the relationship of an output to inputs. It was proposed by Knut Wicksell (1851-1926), and tested against statistical evidence by Charles Cobb and Paul Douglas in 1928. For production, the function is :Y = ALK, where:*Y = total production *L = labor input*K = capital input*A = total factor productivity*α and β are the output elasticities of labor and capital, respectively. These values are constants determined by available technology. Output elasticity measures the responsiveness of output to a change in levels of either labor or capital used in production, ceteris paribus. For example if α = 0. 15, a 1% increase in labor would lead to approximately a 0.15% increase in output. Further, if::α + β = 1, the production function has constant returns to scale. That is, if L and K are each increased by 20%, Y increases by 20%. If :α + β <, returns to scale are decreasing, and if :α + β > 1 returns to scale are increasing. Assuming perfect competition, α and β can be shown to be labor and capital's share of output. Cobb and Douglas were influenced by statistical evidence that appeared to show that labor and capital shares of total output were constant over time in developed countries; they explained this by statistical fitting least-squares regression of their production function. There is now doubt over whether constancy over time exists. (en)
- La fonction de Cobb-Douglas est une fonction largement utilisée en économie pour représenter le lien qui existe entre intrant et extrant. Cette fonction a été proposée et testée économétriquement par l'économiste américain Paul Douglas et le mathématicien américain Richard Cobb en 1928. (fr)
- In de economie wordt de Cobb-Douglas-productiefunctie gebruikt om het verband tussen de productie en de aangewende hoeveelheden arbeid en kapitaal weer te geven. De standaard vergelijking is <math>\, Y = A L^\alpha K^\beta </math> Waarbij: Y = productie L = arbeid K = kapitaal A, α en β zijn constanten die bepaald worden door technologie. Als α + β = 1, dan is de productiefunctie homogeen lineair en is er sprake van een constant schaalvoordeel . Wanneer α + β <, is er afnemend schaalvoordeel, en als α + β > 1 dan is er sprake van toenemend schaalvoordeel. Voor macroeconomie wordt daarom meestal geschreven: <math>\, O = A K^\alpha L^{1-\alpha} </math> De Cobb-Douglasfunctie kan ook aangepast worden om maximaal nut te vinden. Paul Douglas was een V.S. senator uit Illinios van 1949 tot 1966. Hij constateerde al in zijn jaren als economie-professor al een opmerkelijk feit, namelijk dat arbeid en kapitaal constant waren over een lange periode, zelfs wanneer productie toenam, bleef de ratio gelijk. Daarop vroeg hij Charles Cobb, een wiskundige, een productiefunctie te maken waarbij 'input' altijd het marginale product gaf. De ratio tussen arbeid en totale productie is ook nu nog redelijk constant op 0.7 in V.S. (nl)
- Funkcja Cobba-Douglasa to funkcyjne przedstawienie zależności produkcji od zasobów pracy i kapitału, często stosowane w ekonomii jako funkcji produkcji. Została sformułowana przez Knuta Wicksella i przetestowana na danych statystycznych przez Paula Douglasa i Charlesa Cobba w 1928. Oryginalnie sformułowana jako funkcja powyższych dwóch zmiennych: <math> F = aK^\alpha L^\beta,L\geq 0</math> gdzie <math>K</math> oznacza nakład kapitału, a <math>L</math> nakład pracy potrzebny do wytworzenia <math>Y = F</math> jednostek produktu, <math>a</math> jest parametrem skalującym. Funkcja zachowuje zasadę malejących przychodów – każda kolejna jednostka jednego z zasobów bez wzrostu zasobu drugiego skutkuje mniejszym przyrostem produkcji. W klasycznej funkcji Cobba-Douglasa α + β = 1, co skutkuje brakiem efektów skali (wzrost K i L o 100% spowoduje wzrost Y także o 100%). Założenie to jest postulatem części makroekonomistów, argumentujących, że z jednej strony w całej gospodarce nie ma niekorzyści skali, bo zakłady pracy można po prostu kopiować, z drugiej jednak strony istnieje wiele zakładów pracy, które osiągnęły już optymalną wielkość. Zdjęcie ostatniego założenia daje funkcję typu Cobba-Douglasa. W przypadku α + β > 1 mamy korzyści skali, w odwrotnym przypadku są ujemne skutki skali. W uogólnieniu funkcja Cobba-Douglasa - to funkcja wielu zmiennych wyrażająca się wzorem: <math>F = a\prod_{i=1}^{N} X_{i}^{\alpha_{i}}</math> określona dla <math>X_{1},X_{2},\ldots,X_{N}\geq 0 </math> Funkcja posiada następujące własności: jest nieujemna, jest rosnąca, a gdy <math>\sum_{i=1}^{N} {\alpha_i} = 1</math> funkcja jest homogeniczna stopnia pierwszego, tj. <math>\forall z>0: F(zX_{1},zX_{2},\ldots,zX_{N})=zF </math> co daje stałe przychody względem skali produkcji. (pl)
- Le funzioni di produzione Cobb-Douglas sono una classe di funzioni di produzione rappresentabili come <math>Q:\mathbb{R}^N\mapsto\mathbb{R}</math>, dove: <math> Q(x_1,\ldots,x_N)= b \prod_{i=1}^{N} x_{i}^{\alpha_i}, \ b >, \ \alpha_i\geq 0, \ x_i\geq 0,\ i=1,\ldots,N </math> in cui Q indica la quantità prodotta, xi il fattore di produzione i-esimo impiegato nella produzione, mentre b e α1, α2,...,αn sono costanti. La costante b è una costante moltiplicativa che può essere considerata un indicatore del grado di efficienza nell'utilizzo di tutti i fattori di produzione. È dunque un parametro di efficienza che indica il livello della tecnologia. La somma delle α costanti determina la tipologia dei rendimenti di scala. Così, avremo: rendimenti di scala decrescenti se <math>\ \sum_i \alpha_i < 1</math>; rendimenti di scala costanti se <math>\ \sum_i \alpha_i = 1</math>; rendimenti di scala crescenti se <math>\ \sum_i \alpha_i > 1</math>. Le funzioni Cobb-Douglas sono anche chiamate log-lineari, perché lineari nei logaritmi. Trasformando in logaritmi si ottiene infatti: <math>\log Q = \log b + \sum_{i=1}^{N} \alpha_i \log x_{i}</math> Per le loro proprietà particolarmente convenienti e la facilità con cui è possibile trattarle analiticamente, sono molto utilizzate nei modelli economici. Le funzioni di costo e di utilità Cobb-Douglas hanno la medesima forma delle funzioni di produzione qui considerate. (it)
- Função de Cobb-Douglas Na economia, a forma funcional de Cobb-Douglas de funções de produção é usada extensamente para representar o relacionamento de uma saída às entradas. Foi proposto por Knut Wicksell, e testado de encontro à evidência estatística por Paul Douglas e por Charles Cobb em 1928. Para a produção, a função é Y = ALαKβ Onde: · Y = saída · L = entrada de trabalho · K = entrada de capital · A, α e β são constantes determinadas pela tecnologia. Se α + β = 1, a função de produção tem retornos constantes à escala (se L e K forem aumentados 20%, Y aumenta 20%). Se α + β é menor que 1, os retornos à escala estão diminuindo, e se forem maiores que 1,os retornos à escala estão aumentando. Considerando a competição perfeita, α e β podem ser mostrados como parte da saída de trabalho ou capital. Cobb e Douglas foram influenciados pela evidência estatística que pareceu mostrar que o trabalho e as partes do capital da saída total eram constantes com relação ao tempo em países desenvolvidos. Eles explicaram isto pelo ajuste estatístico “least-squares regression” de sua função de produção. Há agora a dúvida de se a constância com relação ao tempo de fato existe. A função Cobb-Douglas pode ser estimada como uma relação linear usando a expressâo a seguir: loge = a0 + ∑ ailoge i Onde: · O = Saída · Ii = Entrada · ai = coeficientes modelos O modelo também pode ser escrito assim desta forma: <math>O=^a1 * (I2)^a2 </math> Uma função Cobb-Douglas comum usada em modelagem macroeconômica: O = KαL1 − α onde K é o capital e L é trabalho. Quando os coeficientes modelos somam com um, como neste exemplo, a função de produção é homogênea de primeira ordem, que implica que se todas as entradas forem dobradas a saída também dobrará. (pt)
- Die Cobb-Douglas-Funktion, eine Spezialfunktion der CES-Produktionsfunktion, wird sowohl in der Mikro- und Makroökonomie als auch in der Produktionswirtschaft häufig verwendet. Sie wird sowohl als Nutzen- als auch als Produktionsfunktion eingesetzt. (de)
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| rdfs:comment
| - In economics, the Cobb-Douglas functional form of production functions is widely used to represent the relationship of an output to inputs. (en)
- La fonction de Cobb-Douglas est une fonction largement utilisée en économie pour représenter le lien qui existe entre intrant et extrant. (fr)
- In de economie wordt de Cobb-Douglas-productiefunctie gebruikt om het verband tussen de productie en de aangewende hoeveelheden arbeid en kapitaal weer te geven. (nl)
- Funkcja Cobba-Douglasa to funkcyjne przedstawienie zależności produkcji od zasobów pracy i kapitału, często stosowane w ekonomii jako funkcji produkcji. (pl)
- Le funzioni di produzione Cobb-Douglas sono una classe di funzioni di produzione rappresentabili come <math>Q:\mathbb{R}^N\mapsto\mathbb{R}</math>, dove: <math> Q(x_1,\ldots,x_N)= b \prod_{i=1}^{N} x_{i}^{\alpha_i}, \ b >, \ \alpha_i\geq 0, \ x_i\geq 0,\ i=1,\ldots,N </math> in cui Q indica la quantit� prodotta, xi il fattore di produzione i-esimo impiegato nella produzione, mentre b e α1, α2,...,αn sono costanti. (it)
- Função de Cobb-Douglas Na economia, a forma funcional de Cobb-Douglas de funções de produção é usada extensamente para representar o relacionamento de uma saída � s entradas. Foi proposto por Knut Wicksell, e testado de encontro � evidência estatística por Paul Douglas e por Charles Cobb em 1928. (pt)
- Die Cobb-Douglas-Funktion, eine Spezialfunktion der CES-Produktionsfunktion, wird sowohl in der Mikro- und Makroökonomie als auch in der Produktionswirtschaft häufig verwendet. (de)
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![[RDF Data]](http://dbpedia.org/statics/sw-cube.png)
