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- En teoria dels nombres, la conjectura de Catalan és un teorema proposat l'any 1884 pel matemàtic franco-belga Eugène Charles Catalan i demostrat per primer cop per l'any 2002. Partim de la base que 23=8 i 3²=9. 8 i 9 són, per tant, dos nombres consecutius resultats d'una potència. Segons aquest teorema, 8 i 9 són les dues úniques potències exactes consecutives. En general, direm que, en els nombres naturals només aquesta combinació de nombres satisfà la igualtat: per tot x, y, a i b més grans que 1. (ca)
- Catalanova věta (občas nazývaná jako Mihăilescova věta) je matematická věta v teorii čísel vyslovená matematikem Eugène Charlesem Catalanem v roce 1844 a dokázaná roku 2002 . Vezměme dvě čísla z množiny přirozených čísel 23 a 32 s hodnotami 8 a 9 po umocnění, jedná se tedy o dvě po sobě jdoucí mocniny přirozených čísel. Domněnka říká, že toto jsou jediná po sobě jdoucí mocniny přirozených čísel, tedy jediné řešení diofantické rovnice :xa − yb = 1 ležící v množině přirozených čísel.Pro x, a, y, b > 1 je x = 3, a = 2, y = 2, b = 3. (cs)
- حدسية كاتالان (هي الآن مبرهنة تسمى مبرهنة ميخائيليتشو) هي مبرهنة في نظرية الأعداد حُدست من طرف عالم الرياضيات أوجين شارل كاتالان عام 1844 و بُرهن عليها عام 2002 من طرف . 23 و 32 هما قوتان لعددين طبيعيين قيمتهما على التوالي هما 8و 9. وهاتان القيمتان متتابعتان. حدسية كاتالان تنص على أنه لا توجد أي قوتين متتاليتين باستثناء القوتين السابقتين الذكر (أي 8 و9). (ar)
- Die catalansche Vermutung ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Sie geht von der Beobachtung aus, dass man außer den Potenzen und keine weiteren ganzzahligen Potenzen kennt, die sich um genau 1 unterscheiden. Eugène Charles Catalan stellte 1844 die nach ihm benannte catalansche Vermutung auf, wonach es keine weiteren echten Potenzen mit dieser Eigenschaft gibt: Die einzige ganzzahlige Lösung der Gleichung mit lautet , , und . Erst nach über 150 Jahren wurde diese Vermutung 2002 von Preda Mihăilescu bewiesen. (de)
- Catalan's conjecture (or Mihăilescu's theorem) is a theorem in number theory that was conjectured by the mathematician Eugène Charles Catalan in 1844 and proven in 2002 by Preda Mihăilescu at Paderborn University. The integers 23 and 32 are two perfect powers (that is, powers of exponent higher than one) of natural numbers whose values (8 and 9, respectively) are consecutive. The theorem states that this is the only case of two consecutive perfect powers. That is to say, that Catalan's conjecture — the only solution in the natural numbers of for a, b > 1, x, y > 0 is x = 3, a = 2, y = 2, b = 3. (en)
- La conjetura de Catalan (también conocida como teorema de Mihăilescu) es un teorema de teoría de números propuesto por el matemático Eugène Charles Catalan en 1884 y demostrado por primera vez por Preda Mihăilescu en abril de 2002. Para entender esta conjetura, nótese que 2³ = 8 y 3² = 9 son dos números que son potencias consecutivas de números naturales. La conjetura de Catalan dice que este es el único caso de dos potencias consecutivas. Es decir, la conjetura de Catalan afirma que la única solución en el conjunto de los números naturales de xa − yb = 1 para x,a,y,b > 1 es x = 3, a = 2, y = 2, b = 3. En particular, nótese que no tiene importancia que los mismos números 2 y 3 estén repetidos en la ecuación 3² − 2³ = 1. La conjetura de Catalan fue demostrada por Preda Mihăilescu en 2002. La prueba se publicó en el Journal für die reine und angewandte Mathematik, 2004. Hace un uso extensivo de la teoría de cuerpos ciclotómicos y módulo de Galois. Una exposición de dicha prueba fue dada por en el Seminario Bourbaki. (es)
- La conjecture de Catalan est un résultat de la théorie des nombres conjecturé en 1844 par Eugène Charles Catalan et démontré en avril 2002 par Preda Mihăilescu. Ce théorème s'énonce de la façon suivante : Théorème — Les deux seules puissances d'entiers consécutives sont 8 et 9 (qui valent respectivement 23 et 32). (Une puissance d'entier est un entier > 1 élevé à une puissance entière > 1, comme 64.) En d'autres termes, la seule solution en nombres naturels de l'équation xa − yb = 1 pour x, a, y, b > 1 est x = 3, a = 2, y = 2, b = 3. La démonstration fait un important usage de la théorie des corps cyclotomiques et des modules de Galois. (fr)
- 미허일레스쿠 정리(Mihăilescu's theorem, -定理) 또는 카탈랑의 추측(Catalan's conjecture)은 수론의 정리로, 프랑스 수학자 외젠 샤를 카탈랑(Eugène Charles Catalan)이 1844년 추측하고 루마니아 수학자 프레다 미허일레스쿠(Preda Mihăilescu)가 2002년 증명하였다. 다음과 같은 내용이다.
* x, y, n, m을 1보다 큰 정수라 하자. 그러면, 식 을 만족하는 경우는 오직 의 경우뿐이다. (ko)
- Het vermoeden van Catalan (nu soms aangeduid als de stelling van Mihăilescu) is een stelling in de getaltheorie, die in 1844 als vermoeden werd opgesteld door de Belgische wiskundige Eugène Catalan en in 2002 werd bewezen door de Roemeense wiskundige Preda Mihăilescu. Het vermoeden gaat over twee machten van natuurlijke getallen, zoals en waarvan de respectievelijke waarden 8 en 9 opeenvolgende gehele getallen zijn. Het vermoeden is dat dit het enige geval van twee opeenvolgende machten is. Dat wil zeggen, dat de enige oplossing in de natuurlijke getallen van met is en . (nl)
- カタラン予想（ -よそう、英: Catalan's conjecture）とは、1844年にベルギー人の数学者・が提示した予想である。2002年にプレダ・ミハイレスクによりその完全な証明が行われた。2005年に、自身で証明を簡素化した。 (ja)
- In teoria dei numeri, il teorema di Mihăilescu è la soluzione di un problema prima chiamato congettura di Catalan perché proposto dal matematico Eugène Charles Catalan nel 1844. La congettura è stata dimostrata nell'aprile del 2002 dal matematico romeno Preda Mihăilescu, pertanto oggi rappresenta un teorema. Per comprendere il problema, si osservi che 23 = 8 e 32 = 9 sono due potenze consecutive di numeri naturali. Il teorema di Mihăilescu afferma che questo è l'unico caso di due potenze consecutive. In altre parole, il teorema afferma che l'unica soluzione dell'equazione diofantea: per , ,, sia , , , . Sebbene una soluzione è data da e , si presti attenzione che l'equazione: non è l'equazione della congettura di Catalan; anche un caso in cui i numeri non fossero ripetuti sarebbe un controesempio della congettura. Prima ancora che Catalan proponesse il problema, era già stato dimostrato da Eulero circa un secolo prima che: ha come uniche soluzioni , . Pochi anni dopo V. A. Lebesgue dimostrò che l'equazione non ha soluzioni per , a, interi e . Nel 1965 Ke Zhao dimostrò che l'equazione è impossibile in numeri interi positivi, eccettuata la semplice soluzione . La combinazione di questi due risultati consentì di ridurre il problema al caso di , numeri primi dispari. Altri importanti passi avanti furono compiuti da Cassels, Tijdeman (vedi il teorema di Tijdeman) ed Inkeri. La congettura di Catalan fu finalmente dimostrata da Preda Mihăilescu nell'aprile 2002, dopo che lo stesso aveva compiuto degli importanti progressi già nel 1999. La dimostrazione fu verificata da e fu pubblicata nel 2004 nel Journal für die reine und angewandte Mathematik. Essa fa un largo uso della teoria dei campi ciclotomici e dei . (it)
- A conjectura de Catalan foi feita pelo matemático belga Eugène Charles Catalan em 1844, e afirma que 8 e 9 (23 e 32) são as únicas potências consecutivas (excluindo 0 e 1). Em outras palavras, a equação Catalan para primos p & q e inteiros positivos x & y : xp - yq = 1 tem apenas a uma solução: 32 -23 =1 Ela foi provada inicialmente em 2002 pelo matemático Preda Mihăilescu, e é agora conhecida como Teorema de Mihăilescu. (pt)
- Twierdzenie Mihăilescu (wcześniej hipoteza Catalana) – twierdzenie teorii liczb udowodnione przez Predę Mihăilescu w 2002, będące wcześniej hipotezą postawioną w 1844 przez Eugène’a Charles’a Catalana. (pl)
- Inom talteori är Catalans förmodan (eller Mihăilescus sats) en berömd sats som förmodades av matematikern Eugène Charles Catalan 1844 och bevisades 2002 av . 23 och 32 är två konsekutiva potenstal av naturliga tal, med värdena 8 och 9. Satsen säger att detta är det enda fallet av konsekutiva potenstal. I andra ord säger satsen att den enda lösningen i naturliga tal av den diofantiska ekvationen xa − yb = 1 för x, a, y, b > 1 är x = 3, a = 2, y = 2, b = 3. (sv)
- Гіпотеза Каталана — твердження в теорії чисел: Іншими словами, крім і не існує інших послідовних степенів натуральних чисел. Гіпотезу сформулював 1844 року. 2002 року математик румунського походження в університеті міста Падерборн (Німеччина) довів цю гіпотезу. Відтоді доведену гіпотезу Каталана стали також називати теоремою Міхалеску. (uk)
- Гипо́теза Катала́на (теорема Михэйлеску) — теоретико-числовое утверждение, согласно которому уравнение: имеет единственное решение в натуральных числах: . Иными словами, кроме и не существует других последовательных совершенных степеней натуральных чисел. Сформулирована Эженом Каталаном в 1844 году, доказана 2002 году (рум. Preda Mihăilescu). Обобщением гипотезы Каталана является гипотеза Пиллаи, недоказанная по состоянию на 2021 год. (ru)
- 卡塔蘭猜想也稱為米哈伊列斯庫定理，是比利時數學家歐仁·查理·卡塔蘭在1844年提出的數論猜想，已在2002年4月由帕德博恩大學的羅馬尼亞數學家證明了這猜想，因此也稱為米哈伊列斯庫定理，證明大幅使用了分圓域和。 此定理斷言除了，，沒有兩個連續整數都是正整數的幂（即次方數）；以數學方式表述為：不定方程的大於1的正整數只有唯一解。 (zh)
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- En teoria dels nombres, la conjectura de Catalan és un teorema proposat l'any 1884 pel matemàtic franco-belga Eugène Charles Catalan i demostrat per primer cop per l'any 2002. Partim de la base que 23=8 i 3²=9. 8 i 9 són, per tant, dos nombres consecutius resultats d'una potència. Segons aquest teorema, 8 i 9 són les dues úniques potències exactes consecutives. En general, direm que, en els nombres naturals només aquesta combinació de nombres satisfà la igualtat: per tot x, y, a i b més grans que 1. (ca)
- Catalanova věta (občas nazývaná jako Mihăilescova věta) je matematická věta v teorii čísel vyslovená matematikem Eugène Charlesem Catalanem v roce 1844 a dokázaná roku 2002 . Vezměme dvě čísla z množiny přirozených čísel 23 a 32 s hodnotami 8 a 9 po umocnění, jedná se tedy o dvě po sobě jdoucí mocniny přirozených čísel. Domněnka říká, že toto jsou jediná po sobě jdoucí mocniny přirozených čísel, tedy jediné řešení diofantické rovnice :xa − yb = 1 ležící v množině přirozených čísel.Pro x, a, y, b > 1 je x = 3, a = 2, y = 2, b = 3. (cs)
- حدسية كاتالان (هي الآن مبرهنة تسمى مبرهنة ميخائيليتشو) هي مبرهنة في نظرية الأعداد حُدست من طرف عالم الرياضيات أوجين شارل كاتالان عام 1844 و بُرهن عليها عام 2002 من طرف . 23 و 32 هما قوتان لعددين طبيعيين قيمتهما على التوالي هما 8و 9. وهاتان القيمتان متتابعتان. حدسية كاتالان تنص على أنه لا توجد أي قوتين متتاليتين باستثناء القوتين السابقتين الذكر (أي 8 و9). (ar)
- Die catalansche Vermutung ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Sie geht von der Beobachtung aus, dass man außer den Potenzen und keine weiteren ganzzahligen Potenzen kennt, die sich um genau 1 unterscheiden. Eugène Charles Catalan stellte 1844 die nach ihm benannte catalansche Vermutung auf, wonach es keine weiteren echten Potenzen mit dieser Eigenschaft gibt: Die einzige ganzzahlige Lösung der Gleichung mit lautet , , und . Erst nach über 150 Jahren wurde diese Vermutung 2002 von Preda Mihăilescu bewiesen. (de)
- Catalan's conjecture (or Mihăilescu's theorem) is a theorem in number theory that was conjectured by the mathematician Eugène Charles Catalan in 1844 and proven in 2002 by Preda Mihăilescu at Paderborn University. The integers 23 and 32 are two perfect powers (that is, powers of exponent higher than one) of natural numbers whose values (8 and 9, respectively) are consecutive. The theorem states that this is the only case of two consecutive perfect powers. That is to say, that Catalan's conjecture — the only solution in the natural numbers of for a, b > 1, x, y > 0 is x = 3, a = 2, y = 2, b = 3. (en)
- 미허일레스쿠 정리(Mihăilescu's theorem, -定理) 또는 카탈랑의 추측(Catalan's conjecture)은 수론의 정리로, 프랑스 수학자 외젠 샤를 카탈랑(Eugène Charles Catalan)이 1844년 추측하고 루마니아 수학자 프레다 미허일레스쿠(Preda Mihăilescu)가 2002년 증명하였다. 다음과 같은 내용이다.
* x, y, n, m을 1보다 큰 정수라 하자. 그러면, 식 을 만족하는 경우는 오직 의 경우뿐이다. (ko)
- Het vermoeden van Catalan (nu soms aangeduid als de stelling van Mihăilescu) is een stelling in de getaltheorie, die in 1844 als vermoeden werd opgesteld door de Belgische wiskundige Eugène Catalan en in 2002 werd bewezen door de Roemeense wiskundige Preda Mihăilescu. Het vermoeden gaat over twee machten van natuurlijke getallen, zoals en waarvan de respectievelijke waarden 8 en 9 opeenvolgende gehele getallen zijn. Het vermoeden is dat dit het enige geval van twee opeenvolgende machten is. Dat wil zeggen, dat de enige oplossing in de natuurlijke getallen van met is en . (nl)
- カタラン予想（ -よそう、英: Catalan's conjecture）とは、1844年にベルギー人の数学者・が提示した予想である。2002年にプレダ・ミハイレスクによりその完全な証明が行われた。2005年に、自身で証明を簡素化した。 (ja)
- A conjectura de Catalan foi feita pelo matemático belga Eugène Charles Catalan em 1844, e afirma que 8 e 9 (23 e 32) são as únicas potências consecutivas (excluindo 0 e 1). Em outras palavras, a equação Catalan para primos p & q e inteiros positivos x & y : xp - yq = 1 tem apenas a uma solução: 32 -23 =1 Ela foi provada inicialmente em 2002 pelo matemático Preda Mihăilescu, e é agora conhecida como Teorema de Mihăilescu. (pt)
- Twierdzenie Mihăilescu (wcześniej hipoteza Catalana) – twierdzenie teorii liczb udowodnione przez Predę Mihăilescu w 2002, będące wcześniej hipotezą postawioną w 1844 przez Eugène’a Charles’a Catalana. (pl)
- Inom talteori är Catalans förmodan (eller Mihăilescus sats) en berömd sats som förmodades av matematikern Eugène Charles Catalan 1844 och bevisades 2002 av . 23 och 32 är två konsekutiva potenstal av naturliga tal, med värdena 8 och 9. Satsen säger att detta är det enda fallet av konsekutiva potenstal. I andra ord säger satsen att den enda lösningen i naturliga tal av den diofantiska ekvationen xa − yb = 1 för x, a, y, b > 1 är x = 3, a = 2, y = 2, b = 3. (sv)
- Гіпотеза Каталана — твердження в теорії чисел: Іншими словами, крім і не існує інших послідовних степенів натуральних чисел. Гіпотезу сформулював 1844 року. 2002 року математик румунського походження в університеті міста Падерборн (Німеччина) довів цю гіпотезу. Відтоді доведену гіпотезу Каталана стали також називати теоремою Міхалеску. (uk)
- Гипо́теза Катала́на (теорема Михэйлеску) — теоретико-числовое утверждение, согласно которому уравнение: имеет единственное решение в натуральных числах: . Иными словами, кроме и не существует других последовательных совершенных степеней натуральных чисел. Сформулирована Эженом Каталаном в 1844 году, доказана 2002 году (рум. Preda Mihăilescu). Обобщением гипотезы Каталана является гипотеза Пиллаи, недоказанная по состоянию на 2021 год. (ru)
- 卡塔蘭猜想也稱為米哈伊列斯庫定理，是比利時數學家歐仁·查理·卡塔蘭在1844年提出的數論猜想，已在2002年4月由帕德博恩大學的羅馬尼亞數學家證明了這猜想，因此也稱為米哈伊列斯庫定理，證明大幅使用了分圓域和。 此定理斷言除了，，沒有兩個連續整數都是正整數的幂（即次方數）；以數學方式表述為：不定方程的大於1的正整數只有唯一解。 (zh)
- La conjetura de Catalan (también conocida como teorema de Mihăilescu) es un teorema de teoría de números propuesto por el matemático Eugène Charles Catalan en 1884 y demostrado por primera vez por Preda Mihăilescu en abril de 2002. Para entender esta conjetura, nótese que 2³ = 8 y 3² = 9 son dos números que son potencias consecutivas de números naturales. La conjetura de Catalan dice que este es el único caso de dos potencias consecutivas. Es decir, la conjetura de Catalan afirma que la única solución en el conjunto de los números naturales de xa − yb = 1 (es)
- La conjecture de Catalan est un résultat de la théorie des nombres conjecturé en 1844 par Eugène Charles Catalan et démontré en avril 2002 par Preda Mihăilescu. Ce théorème s'énonce de la façon suivante : Théorème — Les deux seules puissances d'entiers consécutives sont 8 et 9 (qui valent respectivement 23 et 32). (Une puissance d'entier est un entier > 1 élevé à une puissance entière > 1, comme 64.) En d'autres termes, la seule solution en nombres naturels de l'équation xa − yb = 1 pour x, a, y, b > 1 est x = 3, a = 2, y = 2, b = 3. (fr)
- In teoria dei numeri, il teorema di Mihăilescu è la soluzione di un problema prima chiamato congettura di Catalan perché proposto dal matematico Eugène Charles Catalan nel 1844. La congettura è stata dimostrata nell'aprile del 2002 dal matematico romeno Preda Mihăilescu, pertanto oggi rappresenta un teorema. Per comprendere il problema, si osservi che 23 = 8 e 32 = 9 sono due potenze consecutive di numeri naturali. Il teorema di Mihăilescu afferma che questo è l'unico caso di due potenze consecutive. In altre parole, il teorema afferma che l'unica soluzione dell'equazione diofantea: (it)
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