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- Booleova nerovnost je označení pro tvrzení z oboru teorie pravděpodobnosti pojmenované po Georgeovi Booleovi, které říká, že pro každou spočetnou množinu náhodných jevů je pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich nastane, nejvýše rovna součtu pravděpodobností jednotlivých jevů. Z hlediska teorie míry je tvrzení důsledkem skutečnosti, že jakákoliv míra včetně pravděpodobnostní míry je spočetně . (cs)
- In probability theory, Boole's inequality, also known as the union bound, says that for any finite or countable set of events, the probability that at least one of the events happens is no greater than the sum of the probabilities of the individual events. This inequality provides an upper bound on the probability of occurrence of at least one of a countable number of events in terms of the individual probabilities of the events. Boole's inequality is named for its discoverer George Boole. Formally, for a countable set of events A1, A2, A3, ..., we have In measure-theoretic terms, Boole's inequality follows from the fact that a measure (and certainly any probability measure) is σ-sub-additive. (en)
- Die Bonferroni-Ungleichungen sind Formeln, die zur Abschätzung der Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts bzw. der Vereinigung von Ereignissen dienen. (de)
- En teoría de la probabilidad, la desigualdad de Boole estipula que para toda finita o numerable de , la probabilidad de que al menos uno de esos sucesos ocurra es menor o igual a la suma de las probabilidades de los sucesos individuales. De manera más formal, (es)
- En théorie des probabilités, l'inégalité de Boole affirme que, pour toute famille finie ou dénombrable d'événements, la probabilité que l'un au moins des événements se réalise est inférieure ou égale à la somme des probabilités des événements pris isolément. Plus formellement, Inégalité de Boole — Pour une famille au plus dénombrable d'événements A1, A2, A3, …, on a : Démonstration
* Première démonstration. On traite d'abord, par récurrence, le cas d'une famille finie d'évènements. Il s'agit de prouver que . L'inégalité est vraie au rang . On la suppose vraie à un rang et l'on considère une famille de évènements. Soit : (hypothèse de récurrence). Alors : , d'où : . On traite maintenant le cas d'une suite dénombrable d'évènements. Pour tout entier strictement positif , soit ; alors . L'inégalité de Boole en découle par passage à la limite sur ; en effet, et pour tout , , donc .
* Autre méthode (traitant à la fois le cas fini et le cas dénombrable). On pose et pour tout , . Alors , et les évènements sont deux à deux incompatibles ;en outre, pour tout , donc (croissance de ). De tout ceci, il résulte : . En termes de la théorie de la mesure, l'inégalité de Boole exprime le fait qu'une mesure de probabilité est σ-sous-additive (comme toute mesure). Conséquence — L'intersection d'une famille finie ou dénombrable d'évènements presque certains, B1, B2, B3, …, est presque certaine (il suffit d'appliquer l'inégalité de Boole aux complémentaires des Bn). (fr)
- 確率論において、ブールの不等式（ブールのふとうしき、英: Boole's inequality）またはユニオンバウンド（union bound）は、事象の有限あるいは可算集合について、少くとも1つの事象が起こる確率は個別の事象の確率の和よりも大きくない、ことを示す。 ブールの不等式の名称はジョージ・ブールにちなむ。 形式的に、事象A1, A2, A3, ...の可算集合について、 が成り立つ。 測度論の用語では、ブールの不等式は測度（および任意の確率測度）がσ-劣加法的である事実から得られる。 (ja)
- In teoria della probabilità, la disuguaglianza di Boole, nota anche come limite per l'unione, afferma che per ogni collezione finita o numerabile di eventi, la probabilità che accada almeno uno degli eventi è minore o uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi. Questa disuguaglianza viene generalizzata da due disuguaglianze di Bonferroni. (it)
- Em teoria da probabilidade, a desigualdade de Boole diz que, para qualquer conjunto de eventos finito ou contável, a probabilidade de que pelo menos um dos eventos aconteça não é maior que a soma das probabilidades dos eventos individuais. A desigualdade de Boole é nomeada em homenagem a George Boole. Formalmente, para um conjunto contável de eventos de , temos Em termos de teoria da medida, a desigualdade de Boole segue do fato de que uma medida (e, certamente, qualquer medida de probabilidade) é -sub-aditivo. (pt)
- 布尔不等式（英語：Boole's inequality），由乔治·布尔提出，指对于全部事件的概率不大于单个事件的概率总和。 对于事件A1、A2、A3、......： 在测度论上，布尔不等式满足σ次可加性。 (zh)
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- Booleova nerovnost je označení pro tvrzení z oboru teorie pravděpodobnosti pojmenované po Georgeovi Booleovi, které říká, že pro každou spočetnou množinu náhodných jevů je pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich nastane, nejvýše rovna součtu pravděpodobností jednotlivých jevů. Z hlediska teorie míry je tvrzení důsledkem skutečnosti, že jakákoliv míra včetně pravděpodobnostní míry je spočetně . (cs)
- Die Bonferroni-Ungleichungen sind Formeln, die zur Abschätzung der Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts bzw. der Vereinigung von Ereignissen dienen. (de)
- En teoría de la probabilidad, la desigualdad de Boole estipula que para toda finita o numerable de , la probabilidad de que al menos uno de esos sucesos ocurra es menor o igual a la suma de las probabilidades de los sucesos individuales. De manera más formal, (es)
- 確率論において、ブールの不等式（ブールのふとうしき、英: Boole's inequality）またはユニオンバウンド（union bound）は、事象の有限あるいは可算集合について、少くとも1つの事象が起こる確率は個別の事象の確率の和よりも大きくない、ことを示す。 ブールの不等式の名称はジョージ・ブールにちなむ。 形式的に、事象A1, A2, A3, ...の可算集合について、 が成り立つ。 測度論の用語では、ブールの不等式は測度（および任意の確率測度）がσ-劣加法的である事実から得られる。 (ja)
- In teoria della probabilità, la disuguaglianza di Boole, nota anche come limite per l'unione, afferma che per ogni collezione finita o numerabile di eventi, la probabilità che accada almeno uno degli eventi è minore o uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi. Questa disuguaglianza viene generalizzata da due disuguaglianze di Bonferroni. (it)
- Em teoria da probabilidade, a desigualdade de Boole diz que, para qualquer conjunto de eventos finito ou contável, a probabilidade de que pelo menos um dos eventos aconteça não é maior que a soma das probabilidades dos eventos individuais. A desigualdade de Boole é nomeada em homenagem a George Boole. Formalmente, para um conjunto contável de eventos de , temos Em termos de teoria da medida, a desigualdade de Boole segue do fato de que uma medida (e, certamente, qualquer medida de probabilidade) é -sub-aditivo. (pt)
- 布尔不等式（英語：Boole's inequality），由乔治·布尔提出，指对于全部事件的概率不大于单个事件的概率总和。 对于事件A1、A2、A3、......： 在测度论上，布尔不等式满足σ次可加性。 (zh)
- In probability theory, Boole's inequality, also known as the union bound, says that for any finite or countable set of events, the probability that at least one of the events happens is no greater than the sum of the probabilities of the individual events. This inequality provides an upper bound on the probability of occurrence of at least one of a countable number of events in terms of the individual probabilities of the events. Boole's inequality is named for its discoverer George Boole. Formally, for a countable set of events A1, A2, A3, ..., we have (en)
- En théorie des probabilités, l'inégalité de Boole affirme que, pour toute famille finie ou dénombrable d'événements, la probabilité que l'un au moins des événements se réalise est inférieure ou égale à la somme des probabilités des événements pris isolément. Plus formellement, Inégalité de Boole — Pour une famille au plus dénombrable d'événements A1, A2, A3, …, on a : Démonstration
* Première démonstration. On traite d'abord, par récurrence, le cas d'une famille finie d'évènements. Il s'agit de prouver que . Soit : (hypothèse de récurrence). Alors : , d'où : . On pose et pour tout , . (fr)
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