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- Der Satz von Myers (nach Sumner Byron Myers) ist eine mathematische Aussage aus dem Gebiet der Riemann'schen Geometrie, einem Teilgebiet der Differentialgeometrie. Diese Aussage kann als Verallgemeinerung des Satzes von Bonnet verstanden werden und wird deshalb auch Satz von Bonnet-Myers genannt. Der Vollständigkeit halber wird hier erst der Satz von Bonnet formuliert, welcher nach dem Mathematiker Pierre Ossian Bonnet benannt ist. (de)
- El teorema de Myers, también conocido como el teorema de Bonnet-Myers, es un teorema clásico en la geometría riemanniana. La forma fuerte fue probada por Sumner Byron Myers. El teorema afirma que si la curvatura de Ricci de una variedad Riemanniana completa n- dimensional D es limitada por (n - 1) k > 0, entonces su diámetro es como máximo π/ √ k. El resultado más débil, debido a Ossian Bonnet , tiene la misma conclusión, pero bajo la hipótesis más fuerte de que las curvaturas seccionales se limitarán por debajo de k . Además, si el diámetro es igual a π / √ k , entonces el colector es isométrico a una esfera de una curvatura de sección constante k . Este resultado de la rigidez se debe a Cheng (1975) , y se conoce a menudo como el teorema de Cheng . Este resultado también es válido para la cubierta universal de una variedad riemanniana, en particular tanto M como su cubierta son compactas, por lo que la cubierta es de láminas finitas y M tiene un grupo fundamental finito . (es)
- Myers's theorem, also known as the Bonnet–Myers theorem, is a celebrated, fundamental theorem in the mathematical field of Riemannian geometry. It was discovered by Sumner Byron Myers in 1941. It asserts the following: Let be a complete Riemannian manifold of dimension whose Ricci curvature satisfies for some positive real number Then any two points of M can be joined by a geodesic segment of length at most In the special case of surfaces, this result was proved by Ossian Bonnet in 1855. For a surface, the Gauss, sectional, and Ricci curvatures are all the same, but Bonnet's proof easily generalizes to higher dimensions if one assumes a positive lower bound on the sectional curvature. Myers' key contribution was therefore to show that a Ricci lower bound is all that is needed to reach the same conclusion. (en)
- En géométrie riemannienne, le théorème de Bonnet-Schoenberg- (de) montre comment des contraintes locales sur une métrique riemannienne imposent des conditions globales sur la géométrie de la variété. Sa démonstration repose sur une utilisation classique de la . Théorème (Bonnet, 1935) — Si une variété riemannienne complète a une courbure sectionnelle minorée par une constante strictement positive , alors son diamètre est borné par : En particulier, est compacte. DémonstrationsRaisonnons par l'absurde. Soient p et q deux points de M avec . Soit une géodésique d'origine et d'extrémité . Prenons un vecteur dans , orthogonal à . Introduisons le champ de vecteurs parallèle le long de d'origine . Posons :Un calcul élémentaire donne :Soit une variation de courbes d'origine et d'extrémité avec et . La formule de la variation seconde, appliquée au champ de vecteurs , donne alors :Ceci est absurde lorsque est la géodésique minimisante dont l'existence est garantie par l'hypothèse de complétude de la variété riemannienne. Le cas d'égalité a été étudié (Shiu-Yuen Cheng, 1975) : Sous les notations précédentes, si le diamètre de est égal à , alors est isométrique à la sphère euclidienne de rayon . Myers a amélioré en 1941 le théorème de Bonnet en démontrant le même résultat sous l'hypothèse plus faible que la courbure de Ricci est minorée par , où est la dimension de la variété. Le théorème de Bonnet-Myers a le corollaire suivant : Le groupe fondamental d'une variété riemannienne compacte de courbure strictement positive est fini. (fr)
- De stelling van Myers (ook wel de stelling van Bonnet-Myers) is een klassieke stelling uit de riemann-meetkunde. De sterke vorm werd bewezen door . De stelling stelt dat als de Ricci-kromming van een volledige riemann-variëteit van onderaf wordt begrensd door , dat haar diameter dan ten hoogste kan zijn. De zwakkere vorm, die te danken is aan Pierre Ossian Bonnet, komt tot dezelfde conclusie maar onder de sterkere aanname dat de sectiekromming van onderen wordt begrensd door . (nl)
- Теорема Майерса — классическая теорема в римановой геометрии. (ru)
- Теорема Маєрса — класична теорема в рімановій геометрії. (uk)
- 邁爾斯定理，或稱博內-邁爾斯定理，是黎曼幾何的經典結果。這定理說如完備黎曼流形的里奇曲率有下界，那麼其直徑不超過。 而且，如直徑等於，則流形和有常截面曲率的球面等距。 這結果對流形的萬有覆叠同樣成立，特別地，和其覆蓋都緊緻，所以覆叠是有限葉的， 有有限基本群。 (zh)
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- Der Satz von Myers (nach Sumner Byron Myers) ist eine mathematische Aussage aus dem Gebiet der Riemann'schen Geometrie, einem Teilgebiet der Differentialgeometrie. Diese Aussage kann als Verallgemeinerung des Satzes von Bonnet verstanden werden und wird deshalb auch Satz von Bonnet-Myers genannt. Der Vollständigkeit halber wird hier erst der Satz von Bonnet formuliert, welcher nach dem Mathematiker Pierre Ossian Bonnet benannt ist. (de)
- De stelling van Myers (ook wel de stelling van Bonnet-Myers) is een klassieke stelling uit de riemann-meetkunde. De sterke vorm werd bewezen door . De stelling stelt dat als de Ricci-kromming van een volledige riemann-variëteit van onderaf wordt begrensd door , dat haar diameter dan ten hoogste kan zijn. De zwakkere vorm, die te danken is aan Pierre Ossian Bonnet, komt tot dezelfde conclusie maar onder de sterkere aanname dat de sectiekromming van onderen wordt begrensd door . (nl)
- Теорема Майерса — классическая теорема в римановой геометрии. (ru)
- Теорема Маєрса — класична теорема в рімановій геометрії. (uk)
- 邁爾斯定理，或稱博內-邁爾斯定理，是黎曼幾何的經典結果。這定理說如完備黎曼流形的里奇曲率有下界，那麼其直徑不超過。 而且，如直徑等於，則流形和有常截面曲率的球面等距。 這結果對流形的萬有覆叠同樣成立，特別地，和其覆蓋都緊緻，所以覆叠是有限葉的， 有有限基本群。 (zh)
- El teorema de Myers, también conocido como el teorema de Bonnet-Myers, es un teorema clásico en la geometría riemanniana. La forma fuerte fue probada por Sumner Byron Myers. El teorema afirma que si la curvatura de Ricci de una variedad Riemanniana completa n- dimensional D es limitada por (n - 1) k > 0, entonces su diámetro es como máximo π/ √ k. El resultado más débil, debido a Ossian Bonnet , tiene la misma conclusión, pero bajo la hipótesis más fuerte de que las curvaturas seccionales se limitarán por debajo de k . (es)
- En géométrie riemannienne, le théorème de Bonnet-Schoenberg- (de) montre comment des contraintes locales sur une métrique riemannienne imposent des conditions globales sur la géométrie de la variété. Sa démonstration repose sur une utilisation classique de la . Théorème (Bonnet, 1935) — Si une variété riemannienne complète a une courbure sectionnelle minorée par une constante strictement positive , alors son diamètre est borné par : En particulier, est compacte. Le cas d'égalité a été étudié (Shiu-Yuen Cheng, 1975) : Le théorème de Bonnet-Myers a le corollaire suivant : (fr)
- Myers's theorem, also known as the Bonnet–Myers theorem, is a celebrated, fundamental theorem in the mathematical field of Riemannian geometry. It was discovered by Sumner Byron Myers in 1941. It asserts the following: Let be a complete Riemannian manifold of dimension whose Ricci curvature satisfies for some positive real number Then any two points of M can be joined by a geodesic segment of length at most (en)
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- Satz von Bonnet-Myers (de)
- Teorema de Myers (es)
- Théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers (fr)
- Myers's theorem (en)
- Stelling van Myers (nl)
- Теорема Майерса (ru)
- 邁爾斯定理 (zh)
- Теорема Маєрса (uk)
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