| dbo:abstract
|
- En matemàtiques, i més concretament en teoria de conjunts, la cardinalitat del continu és la cardinalitat o "grandària" del conjunt dels nombres reals , de vegades anomenat "el continu". És un nombre cardinal infinit i es denota per o per (una "c" minúscula fraktur). Els nombres reals són més nombrosos que els nombres naturals . És més, té el mateix nombre d'elements que el conjunt de les parts de . Simbòlicament, si es denota per la cardinalitat de , llavors la cardinalitat del continu és Aquest resultat fou demostrat per Georg Cantor l'any 1874 com a part del seu estudi sobre els diferents infinits; la desigualtat fou demostrada d'una forma més senzilla en el seu argument de la diagonal. Cantor va definir la cardinalitat en termes de funcions bijectives: dos conjunts tenen la mateixa cardinalitat si i només si existeix una funció bijectiva entre ambdós conjunts. Entre dos nombres reals qualssevol a < b, sense importar si estan prop o lluny l'un de l'altre, sempre hi ha un nombre infinit d'altres nombres reals, i Cantor va demostrar que hi ha una quantitat igual a la del conjunt complet dels nombres reals. En altres paraules, l'interval obert (a, b) és equipotent amb . Això també és cert per a altres conjunts infinits, com qualsevol espai euclidià n-dimensional . És a dir, El nombre cardinal infinit més petit és (àlef zero). El segon més petit és. La hipòtesi del continu, que afirma que no existeixen conjunts amb cardinalitat estrictament entre i , implica que . (ca)
- Mohutnost kontinua je matematický pojem z oblasti teorie množin. (cs)
- Στη θεωρία συνόλων, η πληθικότητα της συνέχειας είναι η πληθικότητα ή το "μέγεθος" του συνόλου των πραγματικών αριθμών , μερικές φορές ονομάζεται συνεχές. Είναι ένας άπειρος καρδινάλιος αριθμός και συμβολίζεται με ή (πεζά "c"). Οι πραγματικοί αριθμοί είναι πιο πολλοί από τους φυσικούς αριθμούς . Επιπλέον,το έχει το ίδιο πλήθος στοιχείων με το δυναμοσυνολο του . Συμβολικά, αν η πληθικότητα του συμβολίζεται ως , η πληθικότητα του συνεχούς είναι Αυτό αποδεικνύεται από τον Georg Cantor το 1874 με μη-υπολογιστική απόδειξη (με σχήματα), μέρος της πρωτοποριακής μελέτης των διαφόρων απείρων, και αργότερα πιο απλά το του. Ο Cantor όρισε την πληθικότητα όσον αφορά τις : δύο σύνολα έχουν την ίδια πληθικότητα, αν και μόνο αν υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση μεταξύ τους. Μεταξύ δύο οποιοδήποτε πραγματικών αριθμών α < β, ανεξάρτητα από το πόσο κοντά είναι ο ένας στον άλλον, πάντα υπάρχουν άπειρα πολλοί άλλοι πραγματικοί αριθμοί, και ο Cantor έδειξε ότι είναι τόσοι όσοι περιέχονται σε ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Με άλλα λόγια, το ανοικτό διάστημα (α,β) είναι ισάριθμο με το Αυτό επίσης ισχύει και για πολλά άλλα άπειρα σύνολα, όπως σε κάθε n-διάστατο Ευκλείδειο χώρο (βλ χώρο καμπύλης). Αυτό είναι, Ο μικρότερος άπειρος καρδινάλιος αριθμός είναι ο. Ο δεύτερος μικρότερος είναι ο. Από την υπόθεση του συνεχούς, η οποία υποστηρίζει ότι δεν υπάρχουν σύνολα των οποίων η πληθικότητα είναι αυστηρά μεταξύ του και του ,συνεπάγεται ότι . (el)
- En matematiko, la kardinalo de kontinuaĵo aŭ la kvantonombro de kontinuaĵo, estas la amplekso (kardinalo) de la aro de reelaj nombroj R (kiu aro estas iam nomata kiel la ). La kardinalo de R estas skribata kiel |R| aŭ kiel c. Kiel kardinalo, c estas egala al beth-unu, ). Se la kontinuaĵa hipotezo veras, tiam c estas ankaŭ egala al alef-nombro alef-unu, . (eo)
- In set theory, the cardinality of the continuum is the cardinality or "size" of the set of real numbers , sometimes called the continuum. It is an infinite cardinal number and is denoted by (lowercase fraktur "c") or . The real numbers are more numerous than the natural numbers . Moreover, has the same number of elements as the power set of Symbolically, if the cardinality of is denoted as , the cardinality of the continuum is This was proven by Georg Cantor in his uncountability proof of 1874, part of his groundbreaking study of different infinities. The inequality was later stated more simply in his diagonal argument in 1891. Cantor defined cardinality in terms of bijective functions: two sets have the same cardinality if, and only if, there exists a bijective function between them. Between any two real numbers a < b, no matter how close they are to each other, there are always infinitely many other real numbers, and Cantor showed that they are as many as those contained in the whole set of real numbers. In other words, the open interval (a,b) is equinumerous with This is also true for several other infinite sets, such as any n-dimensional Euclidean space (see space filling curve). That is, The smallest infinite cardinal number is (aleph-null). The second smallest is (aleph-one). The continuum hypothesis, which asserts that there are no sets whose cardinality is strictly between and , means that . The truth or falsity of this hypothesis is undecidable and cannot be proven within the widely used Zermelo–Fraenkel set theory with axiom of choice (ZFC). (en)
- En mathématiques, plus précisément en théorie des ensembles, on dit qu'un ensemble E a la puissance du continu (ou parfois le cardinal du continu) s'il est équipotent à l'ensemble ℝ des nombres réels, c'est-à-dire s'il existe une bijection de E dans ℝ. Le cardinal de ℝ est parfois noté , en référence au (en), nom donné à l'ensemble ordonné (ℝ, ≤). Cet ordre (et a fortiori le cardinal de l'ensemble sous-jacent) est entièrement déterminé (à isomorphisme près) par quelques propriétés classiques. Il est aussi couramment noté 2ℵ₀, parce que ℝ est équipotent à l'ensemble P(ℕ) des parties de l'ensemble ℕ des entiers naturels, dont la cardinalité (le dénombrable) est notée ℵ₀, et que pour tout ensemble E, le cardinal de est , où désigne le cardinal de E. (fr)
- In wiskunde is de kardinaliteit van het continuüm de grootte (de kardinaliteit) van de verzameling van de reële getallen : (soms aangeduid als het continuüm). De kardinaliteit van wordt vaak aangeduid met . Per definitie geldt dus dat het kardinaalgetal Georg Cantor toonde aan dat de kardinaliteit van het continuüm groter is van de verzameling van de natuurlijke getallen , namelijk waar (Alef-nul) voor de kardinaliteit van staat. Met andere woorden, hoewel en beide oneindige verzamelingen zijn, zijn de reële getallen in zekere zin "talrijker" dan de natuurlijke getallen. (nl)
- Continuum – moc zbioru liczb rzeczywistych, oznaczana zwykle symbolem . (pl)
- 集合論における連続体濃度（れんぞくたいのうど、英: cardinality of the continuum）とは、実数全体の成す集合 R の濃度（あるいは基数、集合の「大きさ」の尺度）のことである。連続体濃度を持った集合を連続体 (continuum) と呼ぶこともある。これは無限濃度のひとつであり、|R|, 2ℵ0（ℵはヘブライ文字のアレフ）, または （ドイツ文字小文字の c）などの記号で表される。 (ja)
- In matematica la cardinalità del continuo è il numero cardinale dell'insieme dei numeri reali (che, a volte, viene chiamato il continuo). Questo numero cardinale viene spesso indicato con il carattere : (it)
- Kardinaltalet är kardinaliteten för de reella talen; . Det gäller även att , där . Huruvida är oavgörbart inom ramen för mängdlärans axiomsystem, se kontinuumhypotesen. (sv)
- Конти́нуум в теории множеств — мощность (или кардинальное число) множества всех вещественных чисел. Обозначается строчной латинской буквой c во фрактурном начертании: . Множество, имеющее мощность континуум, называется континуа́льным множеством. Также термин «континуум» может обозначать само множество вещественных чисел, или даже любое континуальное множество. (ru)
- Na matemática, em especial na teoria dos conjuntos, a cardinalidade do contínuo é a cardinalidade do conjunto dos números reais. Este cardinal costuma ser representado por : . Georg Cantor provou que , e conjecturou (a hipótese do contínuo) que . (pt)
- 在数学领域，连续统的势 是实数集合 （有时称为连续统）的基数（或势）。集合 的势记做 或 （小写哥特体字母 C）。作为基数， 等于贝特一（）。如果连续统假设成立，那么 等于 阿列夫一（）。 康托尔说明连续统的势大于自然数集的势，即 其中 （阿列夫零）代表 的势。换句话说，虽然 和 都是无限集，但是实数在某种意义下比自然数"更多"。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- Mohutnost kontinua je matematický pojem z oblasti teorie množin. (cs)
- En matematiko, la kardinalo de kontinuaĵo aŭ la kvantonombro de kontinuaĵo, estas la amplekso (kardinalo) de la aro de reelaj nombroj R (kiu aro estas iam nomata kiel la ). La kardinalo de R estas skribata kiel |R| aŭ kiel c. Kiel kardinalo, c estas egala al beth-unu, ). Se la kontinuaĵa hipotezo veras, tiam c estas ankaŭ egala al alef-nombro alef-unu, . (eo)
- In wiskunde is de kardinaliteit van het continuüm de grootte (de kardinaliteit) van de verzameling van de reële getallen : (soms aangeduid als het continuüm). De kardinaliteit van wordt vaak aangeduid met . Per definitie geldt dus dat het kardinaalgetal Georg Cantor toonde aan dat de kardinaliteit van het continuüm groter is van de verzameling van de natuurlijke getallen , namelijk waar (Alef-nul) voor de kardinaliteit van staat. Met andere woorden, hoewel en beide oneindige verzamelingen zijn, zijn de reële getallen in zekere zin "talrijker" dan de natuurlijke getallen. (nl)
- Continuum – moc zbioru liczb rzeczywistych, oznaczana zwykle symbolem . (pl)
- 集合論における連続体濃度（れんぞくたいのうど、英: cardinality of the continuum）とは、実数全体の成す集合 R の濃度（あるいは基数、集合の「大きさ」の尺度）のことである。連続体濃度を持った集合を連続体 (continuum) と呼ぶこともある。これは無限濃度のひとつであり、|R|, 2ℵ0（ℵはヘブライ文字のアレフ）, または （ドイツ文字小文字の c）などの記号で表される。 (ja)
- In matematica la cardinalità del continuo è il numero cardinale dell'insieme dei numeri reali (che, a volte, viene chiamato il continuo). Questo numero cardinale viene spesso indicato con il carattere : (it)
- Kardinaltalet är kardinaliteten för de reella talen; . Det gäller även att , där . Huruvida är oavgörbart inom ramen för mängdlärans axiomsystem, se kontinuumhypotesen. (sv)
- Конти́нуум в теории множеств — мощность (или кардинальное число) множества всех вещественных чисел. Обозначается строчной латинской буквой c во фрактурном начертании: . Множество, имеющее мощность континуум, называется континуа́льным множеством. Также термин «континуум» может обозначать само множество вещественных чисел, или даже любое континуальное множество. (ru)
- Na matemática, em especial na teoria dos conjuntos, a cardinalidade do contínuo é a cardinalidade do conjunto dos números reais. Este cardinal costuma ser representado por : . Georg Cantor provou que , e conjecturou (a hipótese do contínuo) que . (pt)
- 在数学领域，连续统的势 是实数集合 （有时称为连续统）的基数（或势）。集合 的势记做 或 （小写哥特体字母 C）。作为基数， 等于贝特一（）。如果连续统假设成立，那么 等于 阿列夫一（）。 康托尔说明连续统的势大于自然数集的势，即 其中 （阿列夫零）代表 的势。换句话说，虽然 和 都是无限集，但是实数在某种意义下比自然数"更多"。 (zh)
- En matemàtiques, i més concretament en teoria de conjunts, la cardinalitat del continu és la cardinalitat o "grandària" del conjunt dels nombres reals , de vegades anomenat "el continu". És un nombre cardinal infinit i es denota per o per (una "c" minúscula fraktur). Els nombres reals són més nombrosos que els nombres naturals . És més, té el mateix nombre d'elements que el conjunt de les parts de . Simbòlicament, si es denota per la cardinalitat de , llavors la cardinalitat del continu és (ca)
- Στη θεωρία συνόλων, η πληθικότητα της συνέχειας είναι η πληθικότητα ή το "μέγεθος" του συνόλου των πραγματικών αριθμών , μερικές φορές ονομάζεται συνεχές. Είναι ένας άπειρος καρδινάλιος αριθμός και συμβολίζεται με ή (πεζά "c"). Οι πραγματικοί αριθμοί είναι πιο πολλοί από τους φυσικούς αριθμούς . Επιπλέον,το έχει το ίδιο πλήθος στοιχείων με το δυναμοσυνολο του . Συμβολικά, αν η πληθικότητα του συμβολίζεται ως , η πληθικότητα του συνεχούς είναι (el)
- In set theory, the cardinality of the continuum is the cardinality or "size" of the set of real numbers , sometimes called the continuum. It is an infinite cardinal number and is denoted by (lowercase fraktur "c") or . The real numbers are more numerous than the natural numbers . Moreover, has the same number of elements as the power set of Symbolically, if the cardinality of is denoted as , the cardinality of the continuum is (en)
- En mathématiques, plus précisément en théorie des ensembles, on dit qu'un ensemble E a la puissance du continu (ou parfois le cardinal du continu) s'il est équipotent à l'ensemble ℝ des nombres réels, c'est-à-dire s'il existe une bijection de E dans ℝ. Le cardinal de ℝ est parfois noté , en référence au (en), nom donné à l'ensemble ordonné (ℝ, ≤). Cet ordre (et a fortiori le cardinal de l'ensemble sous-jacent) est entièrement déterminé (à isomorphisme près) par quelques propriétés classiques. (fr)
|
