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- In Riemannian geometry, a Berger sphere, named after Marcel Berger, is a standard 3-sphere with Riemannian metric from a one-parameter family, which can be obtained from the standard metric by shrinking along fibers of a Hopf fibration. It is interesting in that it is one of the simplest examples of Gromov collapse. More precisely, one first considers the Lie algebra spanned by generators x1, x2, x3 with Lie bracket [xi,xj] = −2εijkxk. This is well known to correspond to the simply connected Lie group S3. Denote by ω1, ω2, ω3 the left invariant 1-forms on S3 which equal the dual covectors to x1, x2, x3. Then the standard metric on S3 is ω12+ω22+ω32. The Berger metric is βω12+ω22+ω32, for any constant β>0. There are also higher-dimensional analogues of Berger spheres. (en)
- En geometría riemanniana, una esfera de Berger, llamada así por Marcel Berger, es una 3-esfera estándar con una métrica riemanniana procedente de una familia uniparamétrica, que puede obtenerse a partir de la métrica estándar reduciéndola a lo largo de las fibras de una fibración de Hopf. Es interesante por ser uno de los ejemplos más sencillos de . De forma más precisa, se considera en primer lugar el álgebra de Lie con generadores y con el corchete de Lie . Esto se corresponde con el grupo de Lie simplemente conexo . Tomando ahora el producto , extendiendo el corchete de Lie de forma que el generador sea invariante a izquierda por la operación del grupo de Lie y tomando el cociente por , donde , obtenemos finalmente las esferas de Berger . Existen también análogos en dimensión superior del concepto de esfera de Berger. (es)
- Сферы Берже — однопараметрическое семейство римановых многообразий диффеоморфных трёхмерной сфере, которое часто используется как пример в различных вопросах римановой геометрии.Названы в честь Марселя Берже. Все сферы Берже могут быть получены сжатием стандартной метрики на трёхмерной сфере вдоль слоёв расслоения Хопфа. (ru)
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- Сферы Берже — однопараметрическое семейство римановых многообразий диффеоморфных трёхмерной сфере, которое часто используется как пример в различных вопросах римановой геометрии.Названы в честь Марселя Берже. Все сферы Берже могут быть получены сжатием стандартной метрики на трёхмерной сфере вдоль слоёв расслоения Хопфа. (ru)
- In Riemannian geometry, a Berger sphere, named after Marcel Berger, is a standard 3-sphere with Riemannian metric from a one-parameter family, which can be obtained from the standard metric by shrinking along fibers of a Hopf fibration. It is interesting in that it is one of the simplest examples of Gromov collapse. There are also higher-dimensional analogues of Berger spheres. (en)
- En geometría riemanniana, una esfera de Berger, llamada así por Marcel Berger, es una 3-esfera estándar con una métrica riemanniana procedente de una familia uniparamétrica, que puede obtenerse a partir de la métrica estándar reduciéndola a lo largo de las fibras de una fibración de Hopf. Es interesante por ser uno de los ejemplos más sencillos de . Existen también análogos en dimensión superior del concepto de esfera de Berger. (es)
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- Berger's sphere (en)
- Esfera de Berger (es)
- Сферы Берже (ru)
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