| p:abstract
| - Benford's law, also called the first-digit law, states that in lists of numbers from many real-life sources of data, the leading digit is distributed in a specific, non-uniform way. According to Benford's law, the first digit is 1 almost one third of the time, and larger numbers occur as the leading digit with less and less frequency as they grow in magnitude, to the point that 9 is the first digit less than one time in twenty. This is based on the observation that real-world measurements are generally distributed logarithmically, thus the logarithm of a set of real-world measurements is generally distributed uniformly.
This counter-intuitive result applies to a wide variety of figures, including electricity bills, street addresses, stock prices, population numbers, death rates, lengths of rivers, physical and mathematical constants, and processes described by power laws (which are very common in nature). The result holds regardless of the base in which the numbers are expressed, although the exact proportions of course change.
It is named after physicist Frank Benford, who stated it in 1938, although it had been previously stated by Simon Newcomb in 1881 in his paper "Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers". The first rigorous formulation and proof appears to be due to Theodore P. Hill in 1988. (en)
- La ley de Benford, también conocida como la ley del primer dígito, asegura que, en los números que existen en la vida real, aquellos números que empiezan por el dígito 1 ocurren con mucha más frecuencia que el resto de números. Además, según crece este primer dígito, más improbable es que este forme parte de un número. Este hecho se puede aplicar a hechos relacionados con el mundo natural o con elementos sociales:
*facturas
*artículos en revistas
*direcciones de calles
*precios de acciones
*número de habitantes
*tasas de mortalidad
*longitud de los ríos
*Física
*constantes matemáticas (es)
- Das Benfordsche Gesetz, auch Newcomb-Benford’s Law (NBL) beschreibt eine Gesetzmäßigkeit in der Verteilung der Ziffernstrukturen von Zahlen in empirischen Datensätzen, zum Beispiel ihrer ersten Ziffern. Es lässt sich etwa in Datensätzen über Einwohnerzahlen von Städten, Geldbeträge in der Buchhaltung, Naturkonstanten etc. beobachten. Kurz gefasst besagt es:
: „Je niedriger der zahlenmäßige Wert einer Ziffernsequenz bestimmter Länge an einer bestimmten Stelle einer Zahl ist, umso wahrscheinlicher ist ihr Auftreten. Für die Anfangsziffern in Zahlen des Zehnersystems gilt zum Beispiel: Zahlen mit der Anfangsziffer ‚1‘ treten etwa 6,5-mal so häufig auf wie solche mit der Anfangsziffer ‚9‘.“
1881 wurde diese Gesetzmäßigkeit von dem Mathematiker Simon Newcomb entdeckt und im „American Journal of Mathematics“ publiziert. Er soll bemerkt haben, dass in den benutzten Büchern mit Logarithmentafeln, die Seiten mit Tabellen mit Eins als erster Ziffer deutlich schmutziger waren als die anderen Seiten, weil sie offenbar öfter benutzt worden seien. Die Abhandlung Newcombs blieb unbeachtet und war schon in Vergessenheit geraten, als der Physiker Frank Benford (1883–1948) diese Gesetzmäßigkeit wiederentdeckte und darüber 1938 neu publizierte. Seither war diese Gesetzmäßigkeit nach ihm benannt, in neuerer Zeit wird aber durch die Bezeichnung „Newcomb-Benford’s Law“ (NBL) dem eigentlichen Urheber wieder Rechnung getragen. Bis vor wenigen Jahren war diese Gesetzmäßigkeit nicht einmal allen Statistikern bekannt. Erst seit der US-amerikanische Mathematiker Theodore Hill versucht hat, die Benford-Verteilung zur Lösung praktischer Probleme nutzbar zu machen, ist ihr Bekanntheitsgrad gewachsen. (de)
- La loi de Benford, ou loi des nombres anormaux car elle est surprenante lorsqu'on la découvre, montre que dans la vie de tous les jours, le chiffre 1 est plus fréquent que le 2, lui-même plus fréquent que le 3, etc.
De façon générale, la loi donne la valeur théorique f de la fréquence d'apparition de la première décimale d d'un résultat de mesure exprimé dans une base b donnée au moyen d'une unité.
: f = \log_{b} \left(1 + \frac 1 d\right ) (fr)
- La variabile casuale di Benford meglio nota come legge di Benford o legge della prima cifra
descrive la probabilità che un numero presente in molte raccolte di dati reali
(p.es. popolazione dei comuni, quotazione delle azioni, costanti fisiche o matematiche, numero di strade esistenti nelle località)
cominci con una data cifra,
p.es. "1", che secondo questa variabile casuale discreta
dovrebbe essere nel 30,1% dei casi la prima cifra.
:P(n) = \log_{10}(n+1) - \log_{10}(n) = \log_{10}(1+1/n)Una delle estensioni della legge di Benford, prende in considerazione la coppia delle prime due cifre
(da 10 a 99 dunque), lasciando invariata la formula, ma semplicemente modificando l'intervallo di validità da [1,9] a [10,99]. (it)
- Rozkład Benforda to rozkład prawdopodobieństwa występowania określonej pierwszej cyfry w "losowych" liczbach o podstawie 10. Termin "losowe" liczby dotyczy w tym przypadku rzeczywistych danych statystycznych, np. dane dotyczące powierzchni jezior w Polsce, dane z rocznika statystycznego, wartości stałych fizycznych.
Prawdopodobieństwo wystąpienia cyfry k to
:P_k = \log_{10}\frac{k+1}{k}
Prawdopodobieństwo to jest proporcjonalne do odstępu między kolejnymi cyframi na skali logarytmicznej, więc zgodność danych z rozkładem Benforda oznacza, że "losowe" liczby są rozmieszczone równomiernie na skali logarytmicznej.
Rozkład ten został po raz pierwszy zaobserwowany przez amerykańskiego astronoma Simona Newcomba w 1881 roku, a ponownie odkryty przez Franka Benforda w 1938.
Rozkład Benforda jest stosowany do sprawdzania poprawności zeznań podatkowych bądź defraudacji, gdyż ludzie wpisując "losowe" liczby nie są świadomi, że pewne cyfry występują częściej na pierwszej pozycji.
Częstotliwości występowania cyfr na pierwszej pozycji są przedstawione w tabeli poniżej. (pl)
- 本福特定律，也称为本福德法则，說明一堆從實際生活得出的數據中，以1為首位數字的數的出現機率約為總數的三成，接近期望值1/9的3倍。推廣來說，越大的數，以它為首幾位的數出現的機率就越低。它可用於檢查各種數據是否有造假。 (zh)
|
| rdfs:comment
| - Benford's law, also called the first-digit law, states that in lists of numbers from many real-life sources of data, the leading digit is distributed in a specific, non-uniform way. According to Benford's law, the first digit is 1 almost one third of the time, and larger numbers occur as the leading digit with less and less frequency as they grow in magnitude, to the point that 9 is the first digit less than one time in twenty. (en)
- La ley de Benford, también conocida como la ley del primer dígito, asegura que, en los números que existen en la vida real, aquellos números que empiezan por el dígito 1 ocurren con mucha más frecuencia que el resto de números. Además, según crece este primer dígito, más improbable es que este forme parte de un número. (es)
- Das Benfordsche Gesetz, auch Newcomb-Benford’s Law (NBL) beschreibt eine Gesetzmäßigkeit in der Verteilung der Ziffernstrukturen von Zahlen in empirischen Datensätzen, zum Beispiel ihrer ersten Ziffern. Es lässt sich etwa in Datensätzen über Einwohnerzahlen von Städten, Geldbeträge in der Buchhaltung, Naturkonstanten etc. beobachten. Kurz gefasst besagt es: (de)
- La loi de Benford, ou loi des nombres anormaux car elle est surprenante lorsqu'on la découvre, montre que dans la vie de tous les jours, le chiffre 1 est plus fréquent que le 2, lui-même plus fréquent que le 3, etc. (fr)
- La variabile casuale di Benford meglio nota come legge di Benford o legge della prima cifra descrive la probabilità che un numero presente in molte raccolte di dati reali (p.es. popolazione dei comuni, quotazione delle azioni, costanti fisiche o matematiche, numero di strade esistenti nelle località) cominci con una data cifra, p.es. "1", che secondo questa variabile casuale discreta dovrebbe essere nel 30,1% dei casi la prima cifra. (it)
- Rozkład Benforda to rozkład prawdopodobieństwa występowania określonej pierwszej cyfry w "losowych" liczbach o podstawie 10. Termin "losowe" liczby dotyczy w tym przypadku rzeczywistych danych statystycznych, np. dane dotyczące powierzchni jezior w Polsce, dane z rocznika statystycznego, wartości stałych fizycznych. (pl)
- 本福特定律，也称为本福德法则，說明一堆從實際生活得出的數據中，以1為首位數字的數的出現機率約為總數的三成，接近期望值1/9的3倍。推廣來說，越大的數，以它為首幾位的數出現的機率就越低。它可用於檢查各種數據是否有造假。 (zh)
|
![[RDF Data]](http://dbpedia.org/statics/sw-cube.png)
