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| - Beal's conjecture is a conjecture in number theory proposed by the Texas billionaire and amateur mathematician Andrew Beal. While investigating generalizations of Fermat's last theorem in 1993, Beal formulated the following conjecture: If <math> \left. A^x +B^y = C^z \right. </math>, where <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>x</math>, <math>y</math> and <math>z</math> are positive integers with <math>x, z > 2</math> then <math>A</math>, <math>B</math>, and <math>C</math> must have a common prime factor. By computerized searching, greatly accelerated by aid of modular arithmetic, this conjecture has been verified for all values of all six variables up to 1000. So in any counterexample, at least one of the variables must be greater than 1000. To illustrate, the solution 3 + 6 = 3 has bases with a common factor of 3, and the solution 7 + 7 = 98 has bases with a common factor of 7. Indeed the equation has infinitely many solutions, including for example <math> \left[a \left\right]^m + \left[b \left\right]^m = \left(a^m+b^m\right)^{m+1} </math> for any <math>a</math>, <math>b</math>, <math>m > 3</math>. But no such solution of the equation is a counterexample to the conjecture, since the bases all have the factor <math>a^m + b^m</math> in common. It can happen that the exponents are pairwise coprime, as for example in <math>27^4 +162^3 = 9^7</math>. Beal's conjecture is a generalization of Fermat's last theorem, which corresponds to the case <math>x = y = z</math>. If <math>a^x + b^x = c^x</math> with <math>x \ge 3</math>, then either the bases are coprime or share a common factor. If they share a common factor, it can be divided out of each to yield an equation with smaller, coprime bases. The conjecture is not valid over the larger domain of Gaussian integers. After a prize of $50 was offered for a counterexample, Fred W. Helenius provided + = (1 + i). Beal has offered a prize of US$100,000 for a proof of his conjecture or a counterexample. (en)
- Bealin konjektuuri on lukuteorian otaksuma, jonka on esittänyt teksasilainen miljardööri ja matematiikan harrastaja Andrew Beal. Tutkiessaan vuonna 1993 Fermat'n suuren lauseen yleistyksiä Andrew Beal muotoili seuraavan väitteen: jos <math> \left. A^x +B^y = C^z \right. </math>, jossa <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>x</math>, <math>y</math> ja <math>z</math> ovat positiivisia kokonaislukuja, siten että <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math><math> > 2</math>, niin <math>A</math>:lla, <math>B</math>:llä ja <math>C</math>:llä täytyy olla yhteinen alkulukutekijä. Esimerkiksi ratkaisussa 3 + 6 = 3 kantaluvuilla on yhteinen tekijä 3 ja ratkaisussa 7 + 7 = 98 kantalukujen yhteinen tekijä on 7. Käytännössä on olemassa äärettömän monta ratkaisua siten, että kantaluvuilla on yhteinen tekijä. Esimerkiksi yhtälö <math> \left[a \left\right]^m + \left[b \left\right]^m = \left^{m+1} </math> tuottaa ratkaisun kaikilla <math>a</math>, <math>b</math>, <math>m > 3</math>. Tämä ei kuitenkaan ole vastaesimerkki, koska kantaluvuilla on yhteisenä tekijänä <math>a^m + b^m</math>. Vuoden 2006 joulukuuhun mennessä väitteelle ei ole löydetty yhtään tunnettua vastaesimerkkiä. Tämän etsimiseksi on käyty läpi ainakin 1000 eri muuttujaa. Bealin konjektuuri on Fermat'n suuren lauseen yleistys, joka vastaa tapausta <math>x = y = z</math>. Jos <math>a^x + b^x = c^x</math> kun <math>x \ge 3</math>, niin joko kantaluvut ovat keskenään jaottomia tai niillä on yhteinen tekijä. Jos niillä on yhteinen tekijä, kantaluku voidaan jakaa tuottaen yhtälö, jolla on pienempiä keskenään jaottomia kantalukuja. Fermat'n suuren lauseen vastaesimerkki tuottaisi joka tapauksessa vastaesimerkin Bealin konjektuurille. Konjektuuri ei ole pätevä suuremmassa Gaussin lukujen joukossa. Vastaesimerkistä luvattua 50 Yhdysvaltain dollarin palkintoa vastaan Fred W. Helenius esitti, että + = (1 + i). Beal on tarjonnut 100 000 Yhdysvaltain dollarin palkkion konjektuurin todistamisesta tai kumoamisesta. (fi)
- La congettura di Beal è una congettura della teoria dei numeri resa popolare dal miliardardio texano e matematico amatoriale Andrew Beal. Analizzando diverse generalizzazioni dell'ultimo teorema di Fermat, nel 1993 Andrew Beal formulò la seguente congettura: Se <math>A^x +B^y = C^z</math>, dove <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>x</math>, <math>y</math> e <math>z</math> sono interi positivi e <math>x, z > 2</math>, allora <math>A</math>, <math>B</math> e <math>C</math> hanno un fattore primo in comune. Per esempio, la soluzione 3 + 6 = 3 ha tutte le basi divisibile per 3, e la soluzione 7 + 7 = 98 ha le basi con il fattore comune 7. In effetti, ci sono infinite soluzioni le cui basi hanno un fattore in comune. Per esempio, l'identità <math> \left[a \left\right]^m + \left[b \left\right]^m = \left^{m+1} </math> fornisce una soluzione per ogni <math>a</math>, <math>b</math>, <math>m > 3</math>. In questo caso, tutte le basi hanno il fattore comune <math>a^m + b^m</math>. Ad oggi, non ci sono controesempi noti. Le ricerche sono state effettuate almeno fino a 1. 000 in tutte le variabili. La congettura di Beal è una generalizzazione dell'ultimo teorema di Fermat, che corrisponde al caso in cui <math>x = y = z</math>. Se <math>a^x + b^x = c^x</math> con <math>x \ge 3</math>, allora o le basi sono coprime oppure hanno un fattore in comune. Se hanno un fattore in comune, allora, dividendole per il loro massimo comune divisore, su ottiene una soluzione più piccola con le basi coprime. In entrambi i casi, un controesempio dell'ultimo teorema di fermat fornisce anche un controesempio della congettura di Beal. La congettura non è valida nel più ambio dominio degli interi gaussiani. Dopo che era stato offerto un premio di $50 per un controesempio, Fred W. Helenius trovò che <math>^3 + ^3 = (1+i)^4</math>. È stato argomentato il fatto che altri matematici avessero già proposto la stessa congettura prima di Andrew Beal. Beal ha offerto un premio di $100,000 USD per la dimostrazione o la confutazione della congettura. (it)
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