| dbpprop:abstract
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- Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice, commonly abbreviated ZFC, is the standard form of axiomatic set theory and as such is the most common foundation of mathematics. It has a single primitive ontological notion, that of a hereditary well-founded set, and a single ontological assumption, namely that all individuals in the universe of discourse are such sets. ZFC is a one-sorted theory in first-order logic. The signature has equality and a single primitive binary relation, set membership, which is usually denoted ∈. The formula a ∈ b means that the set a is a member of the set b (which is also read, "a is an element of b" or "a is in b"). Most of the ZFC axioms state that particular sets exist. For example, the axiom of pairing says that given any two sets a and b there is a new set {a, b} containing exactly a and b. Other axioms describe properties of set membership. A goal of the ZFC axioms is that each axiom should be true if interpreted as a statement about the collection of all sets in the von Neumann universe (also known as the cumulative hierarchy). The metamathematics of ZFC has been extensively studied. Landmark results in this area established the independence of the continuum hypothesis from ZFC, and of the axiom of choice from the remaining ZFC axioms.
- Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist eine verbreitete axiomatische Mengenlehre, die nach Ernst Zermelo und Abraham Adolf Fraenkel benannt ist. Sie ist heute Grundlage fast aller Zweige der Mathematik. Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ohne Auswahlaxiom wird durch ZF abgekürzt, mit Auswahlaxiom durch ZFC (wobei das C für das engl. Wort choice also Auswahl bzw. Wahl steht).
- Zermelo-Fraenkelova teorie množin (ZF) je nejrozšířenější axiomatickou soustavou teorie množin, která je sama o sobě nebo v některých mírných modifikacích (např. obohacena o axiom výběru - v takovém případě mluvíme o ZFC) používána jako základ pro většinu dalších odvětví matematiky včetně algebry a matematické analýzy. Principem ZF je postupná konstrukce množin - objektů množinového univerza - z několika základních axiomů tak, aby vzniklá teorie byla dostatečně bohatá (je třeba umožnit existenci nespočetných množin typu reálných čísel, existenci shora neomezené řady nekonečných kardinalit), ale zároveň neumožňovala existenci množin použitých v paradoxech klasické intuitivně pojaté teorie množin.
- Durante el siglo XIX algunos matemáticos trataron de llevar a cabo un proceso de formalización de la matemática a partir de la teoría de conjuntos. Gottlob Frege intentó culminar este proceso creando una axiomática de la teoría de conjuntos. Lamentablemente, Bertrand Russell descubrió en 1901 una contradicción, la llamada Paradoja de Russell. A partir de ese evento surgen distintos intentos, siendo hoy el más aceptado los denominados Axiomas de Zermelo-Fraenkel, formulados por Ernst Zermelo y Adolf Fraenkel, habitualmente referidos como ZFC.
- En mathématiques, l'abréviation ZF désigne la théorie de Zermelo-Fraenkel, ZFC quand elle comprend l'axiome du choix, théorie des ensembles la plus couramment utilisée en mathématiques contemporaines. Bien que la théorie ne porte pas le nom de Thoralf Skolem, celui-ci a également contribué à sa mise au point, indépendamment d'Abraham Fraenkel; il l'a, en particulier, formalisé en s'appuyant sur le langage du calcul des prédicats avec égalité.
- Gli assiomi Zermelo-Fraenkel della teoria degli insiemi (ZF) sono gli assiomi standard della teoria assiomatica degli insiemi su cui, insieme con l'assioma di scelta, si basa tutta la matematica ordinaria secondo formulazioni moderne. Gli assiomi sono il risultato del lavoro di Thoralf Skolem del 1922, basato su lavori precedenti di Abraham Fraenkel nello stesso anno, che si basa sul sistema assiomatico sviluppato da Ernst Zermelo nel 1908. Il sistema assiomatico è scritto mediante un linguaggio del primo ordine; ha un numero infinito di assiomi poiché viene usato uno schema di assiomi. Un sistema alternativo finito viene dato dagli assiomi di von Neumann-Bernays-Gödel, che aggiungono il concetto di una classe in aggiunta a quello di un insieme; esso è "equivalente" nel senso che qualsiasi teorema riguardo gli insiemi che può essere provato in un sistema può essere provato nell'altro.
- Aksjomatyka Zermelo-Fraenkla (w skrócie ZF) - powszechnie przyjmowany system aksjomatów zaproponowany przez Ernsta Zermelo w 1904 r. , a uzupełniony i zmodyfikowany przez Abrahama A. Fraenkela. System ten i opartą na nim teorię zbiorów nazywa się teorią mnogości ZF. Aksjomatyka ZF uzupełniona o pewnik wyboru nazywana jest teorią mnogości ZFC.
- Existem várias formas equivalentes dos axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZFC). A forma apresentada abaixo se deve a Kunen; uma explicação em linguagem natural foi acrescentada para cada axioma. 1) Axioma da extensão: Dois conjuntos são iguais se eles tem os mesmos elementos. <math>\forall x \forall y (\forall z \rightarrow x = y)</math> A recíproca é conseqüência da propriedade da substituição na igualdade. Deve-se notar que em ZFC não existem urelementos, ou seja, todo elemento de um conjunto é, também, um conjunto. 2) Axioma da regularidade (também chamado de Axioma da fundação): Todo conjunto não-vazio x contém algum elemento y tal que x e y são disjuntos. <math>\forall x [ \exists y (y \in x) \rightarrow \exists y (y \in x \land \lnot \exists z)]</math> Nem todas versões da Teoria incluem esse axioma; esse axioma, porém, garante que não existem conjuntos do tipo <math>X = \{ X \}</math> ou <math>Y = \{ \varnothing, Y \}</math>. Esse axioma também garante que a definição alternativa de par ordenado (a, b) = {a, {a,b}} seja satisfatória. 3) Axioma da separação (também chamado de Axioma da compreensão ou ainda Axioma de Especificação): Se z é um conjunto e <math>\phi\!</math> é qualquer propriedade que possa ser atribuída a elementos x de z, então existe um subconjunto y de z que contém os elementos x de z e que possuem essa propriedade. A restrição a z é necessária para evitar o paradoxo de Russell e suas variantes. Formalmente: qualquer formula <math>\phi\!</math> na linguagem da ZFC com variáveis livres entre <math>x,z,w_1,\ldots,w_n\!</math>: <math>\forall z \forall w_1 \ldots w_n \exists y \forall x (x \in y \iff)</math> Notar que esse não é um axioma, mas um esquema de axiomas: cada <math>\phi\!</math> gera um novo axioma. 4) Axioma do par: Se x e y são conjuntos (não necessariamente distintos) então existe um conjunto no qual x e y são elementos. <math>\forall x \forall y \exist z (x \in z \land y \in z)</math> 5) Axioma da união: Para todo conjunto <math>\mathcal{F}</math> existe um conjunto A tal que todo elemento que pertence a um elemento de <math>\mathcal{F}</math> é um elemento de A. <math>\forall \mathcal{F} \,\exists A \, \forall Y\, \forall x (x \in Y \land Y \in \mathcal{F} \rightarrow x \in A)</math> 6) Axioma da substituição: O objetivo é garantir que se algum esquema f, quando aplicado ao conjunto x, tem a cara de uma função, então existe um conjunto f(x). Formalmente: para toda fórmula <math>\phi \!</math> na linguagem da ZFC com variáveis livres entre <math>x,y,A,w_1,\ldots,w_n \!</math>: <math>\forall A\,\forall w_1,\ldots,w_n [ \forall x \in A \exists ! y \phi \rightarrow \exists Y \forall x \in A \exists y \in Y \phi]. </math> O símbolo <math>\exists ! y</math> significa que <math>y\!</math> existe e é único. O próximo axioma usa a notação <math>S(x) = x \cup \{x\} \!</math>, chamado de sucessor de x. Os Axiomas 1 a 6 provam que <math>S(x)\!</math> existe e é único para todo conjunto <math>x\!</math>. Outra conseqüência dos axiomas precedentes é que o conjunto vazio <math>\varnothing</math> existe e é único. 7) Axioma do infinito: Existe um conjunto x que tem o conjunto vazio como elemento, e que, para todo elemento y, ele contém seu sucessor S(y). <math>\exists x (\varnothing \in x \land \forall y \in x)</math> Para o próximo axioma é conveniente definir <math>z \subseteq x</math> como for <math>\forall q (q \in z \rightarrow q \in x)</math>. 8) Axioma da potência: Para todo conjunto x existe um conjunto y que tem como elementos todo subconjunto de x. <math>\forall x \exists y \forall z (z \subseteq x \rightarrow z \in y)</math> O próximo axioma é o mais polêmico de todos. 9) Axioma da escolha: Para todo conjunto X existe uma relação binária R que torna X bem ordenado. Isso significa que R é uma relação de ordem em X e que todo subconjunto não-vazio de X tem um elemento que é mínimo nesta relação R. <math>\forall A \exists R (R \;\mbox{well-orders}\; A)</math> Kunen também inclui um axioma redundante que diz que existe pelo menos um conjunto, o que pode ser provado a partir do axioma do infinito. O axioma do par também é redundante, e pode ser deduzido dos axiomas do infinito, separação e substituição. Existem formas alternativas dos primeiros oito axiomas. Por exemplo, o axioma do par (#4) costuma se apresentar na forma seguinte: para todos conjuntos x e y existe um conjunto z cujos elementos são x, y e mais nada: <math>\forall x \forall y \exist z (x \in z \land y \in z \land)</math>. Analogamente, os axiomas da união, substituição e potência costumam ser escritos de forma que o conjunto por eles definido seja único. Essas variantes dos axiomas podem ser vistas em Jech . O Axioma da escolha pode ser substituído por formas equivalentes (em outras palavras, os primeiros 8 axiomas podem provar que essas formas do axioma da escolha são equivalentes). Dentre essas a mais conhecida, e que dá origem ao nome do axioma, é a que diz que todo conjunto formado por conjuntos não vazios tem uma função escolha. Na lista acima, dois axiomas são, na verdade, uma lista infinita de axiomas. Sabe-se que não existe uma forma de apresentar ZFC com um número finito de axiomas. Existe, porém, uma versão alternativa do axioma da substituição que implica no axioma da compreensão; isso permite escrever os axiomas da ZFC com apenas um esquema de axiomas.
- ZFC är Zermelo-Fraenkels mängdteori inklusive urvalsaxiomet . C:et i ZFC kommer följaktligen av första bokstaven i "Choice".
- Soyut matematikte, seçim beliti ile birlikte kısaca ZFC diye anılan toplam 9 belitten oluşan küme kuramına Zermelo-Freankel küme kuramı denir. Seçim belitini katmaksızın kısaca ZF olarak anılır. Küme ve öğesi olmak terimlerinin tanımsız kabul edildiği biçimsel dizge 1930'da Zermelo tarafından ortaya atıldı.
- Теорія множин Цермело-Френкеля з аксіомою вибору (часто позначається ZFC) — найпоширеніший вид аксіоматичної теорії множин, і, через це, найпоширеніша основа математики. ZFC містить єдине примітивне онтологічне поняття — множина, та єдине онтологічне припущення, що всі об'єкти в досліджуваному просторі є (наприклад, всі математичні об'єкти) множинами. Вводиться єдине бінарне відношення — приналежність до множини; позначає що множина <math>a</math> є елементом множини <math>b</math>, та записується як <math>a \in b</math> (як правило, читається «<math>a</math> є елементом множини <math>b</math>»). ZFC є теорією першого порядку; в ZFC містяться аксіоми, в яких використовується логіка першого порядку. Ці аксіоми визначають те, в який спосіб поводять себе та взаємодіють множини. ZFC є стандартною формою аксіоматичної теорії множин.
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| rdfs:comment
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- Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice, commonly abbreviated ZFC, is the standard form of axiomatic set theory and as such is the most common foundation of mathematics. It has a single primitive ontological notion, that of a hereditary well-founded set, and a single ontological assumption, namely that all individuals in the universe of discourse are such sets. ZFC is a one-sorted theory in first-order logic.
- Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist eine verbreitete axiomatische Mengenlehre, die nach Ernst Zermelo und Abraham Adolf Fraenkel benannt ist. Sie ist heute Grundlage fast aller Zweige der Mathematik. Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ohne Auswahlaxiom wird durch ZF abgekürzt, mit Auswahlaxiom durch ZFC (wobei das C für das engl. Wort choice also Auswahl bzw. Wahl steht).
- Zermelo-Fraenkelova teorie množin (ZF) je nejrozšířenější axiomatickou soustavou teorie množin, která je sama o sobě nebo v některých mírných modifikacích (např. obohacena o axiom výběru - v takovém případě mluvíme o ZFC) používána jako základ pro většinu dalších odvětví matematiky včetně algebry a matematické analýzy.
- Durante el siglo XIX algunos matemáticos trataron de llevar a cabo un proceso de formalización de la matemática a partir de la teoría de conjuntos. Gottlob Frege intentó culminar este proceso creando una axiomática de la teoría de conjuntos. Lamentablemente, Bertrand Russell descubrió en 1901 una contradicción, la llamada Paradoja de Russell.
- En mathématiques, l'abréviation ZF désigne la théorie de Zermelo-Fraenkel, ZFC quand elle comprend l'axiome du choix, théorie des ensembles la plus couramment utilisée en mathématiques contemporaines. Bien que la théorie ne porte pas le nom de Thoralf Skolem, celui-ci a également contribué à sa mise au point, indépendamment d'Abraham Fraenkel; il l'a, en particulier, formalisé en s'appuyant sur le langage du calcul des prédicats avec égalité.
- Gli assiomi Zermelo-Fraenkel della teoria degli insiemi (ZF) sono gli assiomi standard della teoria assiomatica degli insiemi su cui, insieme con l'assioma di scelta, si basa tutta la matematica ordinaria secondo formulazioni moderne. Gli assiomi sono il risultato del lavoro di Thoralf Skolem del 1922, basato su lavori precedenti di Abraham Fraenkel nello stesso anno, che si basa sul sistema assiomatico sviluppato da Ernst Zermelo nel 1908.
- Aksjomatyka Zermelo-Fraenkla (w skrócie ZF) - powszechnie przyjmowany system aksjomatów zaproponowany przez Ernsta Zermelo w 1904 r. , a uzupełniony i zmodyfikowany przez Abrahama A. Fraenkela. System ten i opartą na nim teorię zbiorów nazywa się teorią mnogości ZF. Aksjomatyka ZF uzupełniona o pewnik wyboru nazywana jest teorią mnogości ZFC.
- Existem várias formas equivalentes dos axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZFC). A forma apresentada abaixo se deve a Kunen; uma explicação em linguagem natural foi acrescentada para cada axioma. 1) Axioma da extensão: Dois conjuntos são iguais se eles tem os mesmos elementos. <math>\forall x \forall y (\forall z \rightarrow x = y)</math> A recíproca é conseqüência da propriedade da substituição na igualdade.
- ZFC är Zermelo-Fraenkels mängdteori inklusive urvalsaxiomet . C:et i ZFC kommer följaktligen av första bokstaven i "Choice".
- Soyut matematikte, seçim beliti ile birlikte kısaca ZFC diye anılan toplam 9 belitten oluşan küme kuramına Zermelo-Freankel küme kuramı denir. Seçim belitini katmaksızın kısaca ZF olarak anılır. Küme ve öğesi olmak terimlerinin tanımsız kabul edildiği biçimsel dizge 1930'da Zermelo tarafından ortaya atıldı.
- Теорія множин Цермело-Френкеля з аксіомою вибору (часто позначається ZFC) — найпоширеніший вид аксіоматичної теорії множин, і, через це, найпоширеніша основа математики.
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