In mathematics, Wilson's theorem states that a natural number n > 1 is a prime number if and only if <math>(n-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ n)</math> .

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  • In mathematics, Wilson's theorem states that a natural number n > 1 is a prime number if and only if <math>(n-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ n)</math> .
  • Der Satz von Wilson ist ein mathematischer Satz aus der Zahlentheorie. Er macht Teilbarkeitsaussagen zu den natürlichen bzw. ganzen Zahlen und wird deswegen auch der elementaren Zahlentheorie zugeordnet, mit deren Methoden er auch bewiesen werden kann.
  • El teorema de Wilson (atribuït a John Wilson estableix que, el nombre enter <math>p</math> és primer si, i només si, <math>! \equiv -1 \ </math> això és, si i només si, <math>! + 1</math> és divisible entre <math>p</math>. El teorema de Wilson recull el fet que <math>p</math> és primer si, i només si, l'anell <math>\mathbb{Z}_{p}</math> és íntegre . Aleshores, com que tant <math>1</math> com <math>p - 1</math> són els únics elements que són inversos de sí mateixos, el producte <math>! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots \cdot </math> conté <math>\frac{p - 3}{2}</math> parelles d'elements amb el seu invers. En conseqüència, <math>! = 1 \cdot \cdot = 1 \cdot \cdot = p - 1 \equiv -1 \ </math> Si <math>p</math> no és primer i <math>p = q \cdot r</math> amb, posem, <math>q < r</math>, com que <math>q < r < p</math>, és clar que, a <math>\mathbb{Z}_{p}</math>, s'esdevé que <math>q \cdot r \equiv 0 \ </math> i, per tant, <math>! \equiv 0 \ </math>. Si <math>p</math> no és primer, però és la potència <math>k</math> d'un nombre primer <math>q</math>, aleshores, excepte el cas <math>p = 4 = 2^2</math>, el nombre de vegades que apareix el factor <math>q</math> a <math>!</math> no és inferior a <math>k</math>. En conseqüència, també <math>! \equiv 0 \ </math>. <math>! = 3! = 6 \equiv 2 \neq -1 \ </math>
  • Wilsonova věta (pojmenovaná po Johnu Wilsonovi) je matematická věta, která zní: Číslo p > 1 je prvočíslo, právě když <math>(p-1)!\ \equiv -1 \pmod p</math>.
  • En matemáticas, el teorema de Wilson es un teorema clásico relacionado con la divisibilidad. Se enuncia de la siguiente manera: El recíproco también es cierto, por lo que puede afirmarse que un número n>1 es primo si y sólo si (n− 1)! ≡ − 1 (mod n). Sin embargo, sólo la implicación de arriba es conocida como teorema de Wilson (o Congruencia de Wilson).
  • Matematiikassa Wilsonin lauseen mukaan p on alkuluku, jos ja vain jos <math>(p-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)</math>.
  • En mathématiques, et plus précisément, en arithmétique élémentaire, le Théorème de Wilson énonce une relation entre la fonction factorielle et une congruence modulo un nombre premier. Il est utilisé pour résoudre des équations diophantiennes. Un exemple est donné par Leonhard Euler dans sa démonstration du théorème des deux carrés de Fermat. Ce théorème doit son nom à John Wilson qui a conjecturé ce résultat à la fin du XVIII siècle.
  • A Wilson-tétel a következőt állítja: ha p prímszám, akkor <math>(p-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)</math>. Összetett számra ez nem teljesülhet, mivel, ha n>1 összetett, akkor n-nek és (n-1)!-nak van közös osztója, sőt, minden 4-nél nagyobb n összetett számra <math>(n-1)!\ \equiv\ 0\ (\mbox{mod}\ n)</math>. Így ez a tétel elméletben használható lenne prímtesztnek, de gyakorlatilag <math>n-2</math> szorzás elvégzésével jár, így a tipikusan legalább párszáz jegyből álló számoknál nem praktikus. Az angol John Wilson, Edward Waring tanítványa fedezte fel. Waring 1770-ben bejelentette a tételt, de bizonyítani nem tudta. Lagrange adta az első bizonyítást 1773-ban. Minden jel szerint már Leibniz ismerte a tételt, de nem publikálta. A tételt úgy is általánosíthatjuk tetszőleges modulusra, hogy a redukált maradékosztályok szorzatát vizsgáljuk. Ha ezt Π(n)-nel jelöljük, akkor Π(n) ≡ -1 mod n, ha n=4, páratlan prímhatvány, vagy páratlan prímhatvány kétszerese, a többi esetben Π(n) ≡ 1 mod n.
  • In Teoria dei numeri, il teorema di Wilson afferma che, dato numero primo p > 1, <math>(p-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)</math> . Vale anche il teorema inverso. In parole: L’intero n ≥ 2 è primo se e solo se n divide (n−1)!+1. Tale condizione è necessaria e sufficiente per stabilire se un numero n>=2 è un numero primo.
  • ウィルソンの定理（ていり）は次のような定理である。 p が素数ならば (p-1)! ≡ -1(mod p) が成り立つ。 この定理は（p>1の場合）逆も成り立つ。p が大きくなるにつれて計算量が膨大になるため、素数かどうかを判定するために用いるには実用的ではない。
  • De stelling van Wilson is een wiskundige stelling die zegt dat voor een priemgetal p geldt: <math>(p-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)</math>. Dit laatste kan ook geformuleerd worden als: (p - 1)! + 1 is deelbaar door p. (Voor de notaties ! en ≡ zie aldaar. ) De omgekeerde bewering is ook waar: Als voor een getal p geldt: <math>(p-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)</math>, dan is p een priemgetal.
  • Twierdzenie Wilsona to twierdzenie z teorii liczb. Mówi ono, że <math>p>1</math> jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy gdy <math>(p-1)! + 1\;</math> jest podzielna przez <math>p</math>. Twierdzenie zostało odkryte przez Johna Wilsona, będącego studentem Edwarda Waringa. Jednak żaden z nich nie był w stanie go udowodnić. Dopiero w 1773 roku Lagrange dał przekonujący dowód. Istnieją również argumenty mówiące, że to Leibniz był pierwszym, który udowodnił to twierdzenie (chociaż nie opublikował dowodu). Twierdzenie to daje potencjalną możliwość sprawdzenia dla każdej liczby naturalnej czy jest pierwsza. Jednak nie istnieją efektywne algorytmy obliczania silni, dlatego twierdzenie to nie ma praktycznego znaczenia.
  • Em matemática, Teorema de Wilson diz que se p é um número primo se somente se: <math>(p-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)</math> Se P é primo então P divide [(P-1)! + 1] Todas as n-ésimas diferenças sucessivas da sequência 1^n, 2^n, 3^n, 4^n... são constantes e iguais a n! (n fatorial) Resolvendo algebricamente: 2*1 = 1*2^2 - 2*1^2 + 1*0^2 3*2*1 = 1*3^3 - 3*2^3 + 3*1^3 - 1*0^3 4*3*2*1 = 1*4^4 - 4*3^4 + 6*2^4 - 4*1^4 + 1*0^4 5*4*3*2*1 = 1*5^5 - 5*4^5 + 10*3^5 - 10*2^5 + 5*1^5 - 1*0^5 6*5*4*3*2*1 = 1*6^6 - 6*5^6 + 15*4^6 - 20*3^6 + 15*2^6 - 6*1^6 + 1*0^6 veja alguns exemplos: P=3 2*1 = 1*(2^2-1^2) - 1^2 2*1 + 1^2 = 1*(2^2 - 1^2) pelo pequeno teorema do Fermat 3 divide (2*1 + 1^2) P=5 4*3*2*1 = 1*(4^4 - 3^4) - 3*(3^4 - 2^4) + 3*(2^4 - 1^4) - 1^4 4*3*2*1 + 1^4 = 1*(4^4 - 3^4) - 3*(3^4 - 2^4) + 3*(2^4 - 1^4) pelo pequeno teorema do Fermat 5 divide (4*3*2*1 + 1^4) P=7 6*5*4*3*2*1 = 1*(6^6-5^6)-5*(5^6-4^6)+10*(4^6-3^6)-10(3^6-2^6)+5(2^6-1^6)-1^6 6*5*4*3*2*1 +1^6 = 1*(6^6-5^6)-5*(5^6-4^6)+10*(4^6-3^6)-10(3^6-2^6)+5(2^6-1^6) pelo pequeno teorema do Fermat 7 divide (6*5*4*3*2*1 + 1^6) O interessante é que existe uma crença de que o Teorema de Wilson percebe os pseudo-primos absolutos. Mas como podemos ver o Teorema de Wilson é uma simples variação do Pequeno Teorema do Pierre de Fermat.
  • În matematică, teorema lui Wilson afirmă că p > 1 este număr prim dacă şi numai dacă <math>(p-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)</math> Această teoremă a fost descoperită de John Wilson în 1770, fiind demonstrată de Lagrange în 1773. După cum reiese din enunţ, această teoremă furnizează un criteriu necesar şi suficient pentru un număr prim.
  • Теорема Вильсона — теорема теории чисел, которая утверждает, что Практическое использование теоремы Вильсона для определения простоты числа нецелесообразно из-за сложности вычисления факториала.
  • Wilsons sats inom talteorin upptäcktes först av John Wilson, en student till den engelske matematikern Edward Waring. Waring kungjorde satsen 1770 även om ingen av dem kunde bevisa den. Lagrange gav det första beviset år 1771. Det finns bevis på att Leibniz kände till resultatet ett århundrade tidigare, men han publicerade det aldrig. Wilsons sats säger att ett heltal n > 1 är ett primtal om och endast om: <math>(n-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ n)</math>
  • В теорії чисел теорема Вілсона стверджує, що натуральне число n>1 є простим в тому і тільки тому випадку коли справджується рівність: <math>(n-1)!\ \equiv\ -1\ \mod n</math>
  • 在初等数论中，威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件。即：当且仅当p为素数时： <math>(p-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)</math> 但是由于阶乘是呈爆炸增长的，其结论对于实际操作完全有害无益。
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  • Al-Haytham
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  • Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham
  • Wilson's Theorem
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  • WilsonsTheorem
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  • In mathematics, Wilson's theorem states that a natural number n > 1 is a prime number if and only if <math>(n-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ n)</math> .
  • Der Satz von Wilson ist ein mathematischer Satz aus der Zahlentheorie. Er macht Teilbarkeitsaussagen zu den natürlichen bzw. ganzen Zahlen und wird deswegen auch der elementaren Zahlentheorie zugeordnet, mit deren Methoden er auch bewiesen werden kann.
  • El teorema de Wilson (atribuït a John Wilson estableix que, el nombre enter <math>p</math> és primer si, i només si, <math>! \equiv -1 \ </math> això és, si i només si, <math>! + 1</math> és divisible entre <math>p</math>. El teorema de Wilson recull el fet que <math>p</math> és primer si, i només si, l'anell <math>\mathbb{Z}_{p}</math> és íntegre .
  • Wilsonova věta (pojmenovaná po Johnu Wilsonovi) je matematická věta, která zní: Číslo p > 1 je prvočíslo, právě když <math>(p-1)!\ \equiv -1 \pmod p</math>.
  • En matemáticas, el teorema de Wilson es un teorema clásico relacionado con la divisibilidad. Se enuncia de la siguiente manera: El recíproco también es cierto, por lo que puede afirmarse que un número n>1 es primo si y sólo si (n− 1)! ≡ − 1 (mod n). Sin embargo, sólo la implicación de arriba es conocida como teorema de Wilson (o Congruencia de Wilson).
  • Matematiikassa Wilsonin lauseen mukaan p on alkuluku, jos ja vain jos <math>(p-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)</math>.
  • En mathématiques, et plus précisément, en arithmétique élémentaire, le Théorème de Wilson énonce une relation entre la fonction factorielle et une congruence modulo un nombre premier. Il est utilisé pour résoudre des équations diophantiennes. Un exemple est donné par Leonhard Euler dans sa démonstration du théorème des deux carrés de Fermat. Ce théorème doit son nom à John Wilson qui a conjecturé ce résultat à la fin du XVIII siècle.
  • A Wilson-tétel a következőt állítja: ha p prímszám, akkor <math>(p-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)</math>. Összetett számra ez nem teljesülhet, mivel, ha n>1 összetett, akkor n-nek és (n-1)!-nak van közös osztója, sőt, minden 4-nél nagyobb n összetett számra <math>(n-1)!\ \equiv\ 0\ (\mbox{mod}\ n)</math>.
  • In Teoria dei numeri, il teorema di Wilson afferma che, dato numero primo p > 1, <math>(p-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)</math> . Vale anche il teorema inverso. In parole: L’intero n ≥ 2 è primo se e solo se n divide (n−1)!+1. Tale condizione è necessaria e sufficiente per stabilire se un numero n>=2 è un numero primo.
  • ウィルソンの定理（ていり）は次のような定理である。 p が素数ならば (p-1)! ≡ -1(mod p) が成り立つ。 この定理は（p>1の場合）逆も成り立つ。p が大きくなるにつれて計算量が膨大になるため、素数かどうかを判定するために用いるには実用的ではない。
  • De stelling van Wilson is een wiskundige stelling die zegt dat voor een priemgetal p geldt: <math>(p-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)</math>. Dit laatste kan ook geformuleerd worden als: (p - 1)! + 1 is deelbaar door p. (Voor de notaties ! en ≡ zie aldaar. ) De omgekeerde bewering is ook waar: Als voor een getal p geldt: <math>(p-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)</math>, dan is p een priemgetal.
  • Twierdzenie Wilsona to twierdzenie z teorii liczb. Mówi ono, że <math>p>1</math> jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy gdy <math>(p-1)! + 1\;</math> jest podzielna przez <math>p</math>. Twierdzenie zostało odkryte przez Johna Wilsona, będącego studentem Edwarda Waringa. Jednak żaden z nich nie był w stanie go udowodnić. Dopiero w 1773 roku Lagrange dał przekonujący dowód.
  • Em matemática, Teorema de Wilson diz que se p é um número primo se somente se: <math>(p-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)</math> Se P é primo então P divide [(P-1)! + 1] Todas as n-ésimas diferenças sucessivas da sequência 1^n, 2^n, 3^n, 4^n...
  • În matematică, teorema lui Wilson afirmă că p > 1 este număr prim dacă şi numai dacă <math>(p-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)</math> Această teoremă a fost descoperită de John Wilson în 1770, fiind demonstrată de Lagrange în 1773. După cum reiese din enunţ, această teoremă furnizează un criteriu necesar şi suficient pentru un număr prim.
  • Теорема Вильсона — теорема теории чисел, которая утверждает, что Практическое использование теоремы Вильсона для определения простоты числа нецелесообразно из-за сложности вычисления факториала.
  • Wilsons sats inom talteorin upptäcktes först av John Wilson, en student till den engelske matematikern Edward Waring. Waring kungjorde satsen 1770 även om ingen av dem kunde bevisa den. Lagrange gav det första beviset år 1771. Det finns bevis på att Leibniz kände till resultatet ett århundrade tidigare, men han publicerade det aldrig. Wilsons sats säger att ett heltal n > 1 är ett primtal om och endast om: <math>(n-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ n)</math>
  • В теорії чисел теорема Вілсона стверджує, що натуральне число n>1 є простим в тому і тільки тому випадку коли справджується рівність: <math>(n-1)!\ \equiv\ -1\ \mod n</math>
  • 在初等数论中，威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件。即：当且仅当p为素数时： <math>(p-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)</math> 但是由于阶乘是呈爆炸增长的，其结论对于实际操作完全有害无益。
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  • Wilson's theorem
  • Satz von Wilson
  • Teorema de Wilson
  • Wilsonova věta
  • Teorema de Wilson
  • Wilsonin lause
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  • 威尔逊定理
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