| dbpprop:abstract
|
- In mathematics, the well-ordering principle states that every non-empty set of positive integers contains a smallest element. The phrase "well-ordering principle" is sometimes taken to be synonymous with the "well-ordering theorem". On other occasions it is understood to be the proposition that the set of integers {... , -2, -1, 0, 1, 2, 3, .... } contains a well-ordered subset, called the natural numbers, in which every nonempty subset contains a least element. Depending on the framework in which the natural numbers are introduced, this (second order) property of the set of natural numbers is either an axiom or a provable theorem. For example: In Peano Arithmetic, Second Order Arithmetic and related systems, and indeed in most (not necessarily formal) mathematical treatments of the well-ordering principle, the principle is derived from the principle of mathematical induction, which is itself taken as basic. Considering the natural numbers as a subset of the real numbers, and assuming that we know already that the real numbers are complete (again, either as an axiom or a theorem about the real number system), i.e. , every bounded (from below) set has an infimum, then also every set A of natural numbers has an infimum, say a. We can now find an integer n such that a lies in the half-open interval (n-1, n ], and can then show that we must have a = n, and n in A. In axiomatic set theory, the natural numbers are defined as the smallest inductive set . One can show that the set of all natural numbers n such that "{0,... , n} is well-ordered" is inductive, and must therefore contain all natural numbers; from this property it is easy to conclude that the set of all natural numbers is also well-ordered. In the second sense, the phrase is used when that proposition is relied on for the purpose of justifying proofs that take the following form: to prove that every natural number belongs to a specified set S, assume the contrary and infer the existence of a smallest counterexample. Then show either that there must be a still smaller counterexample or that the smallest counterexample is not a counter example, producing a contradiction. This mode of argument bears the same relation to proof by mathematical induction that "If not B then not A" bears to "If A then B" . It is known light-heartedly as the "minimal criminal" method and is similar in its nature to Fermat's method of "infinite descent". Garrett Birkhoff and Saunders MacLane wrote in A Survey of Modern Algebra that this property, like the least upper bound axiom for real numbers, is non-algebraic -- i.e. , it cannot be deduced from the algebraic properties of the integers . It therefore characterizes integers among integral domains; every well-ordered integral domain is isomorphic to the integers.
- Princip dobrého uspořádání (značený někdy také WO z anglického Well-ordering theorem) z historických důvodů nazývaný také Zermelova věta je následující tvrzení z oboru teorie množin: Každou množinu lze dobře uspořádat. Nebo přesněji: Pro každou množinu <math> x \,\!</math> existuje relace <math> R \subseteq x \times x \,\!</math>, která je dobrým uspořádáním množiny <math> x \,\!</math>.
- Principio de Buena Ordenación Todo conjunto no vacío de enteros positivos contiene un elemento (un número entero) que es mínimo. Nótese que esta propiedad es válida sólo para conjuntos cuyos elementos son números enteros positivos. No es cierta para cualquier conjunto, ya que si consideramos los enteros negativos, por ejemplo, no existe un menor elemento.
- Il principio del buon ordinamento (da non confondere con il Teorema del buon ordinamento), talvolta chiamato principio del minimo intero, o più propriamente principio del minimo intero naturale, afferma che: Ogni insieme di numeri naturali non vuoto contiene un numero che è più piccolo di tutti gli altri In altre parole, un qualsiasi sottoinsieme non vuoto dei numeri naturali ammette minimo. Il che equivale a dire che l'insieme dei numeri naturali è un insieme ben ordinato (rispetto alla usuale relazione d'ordine usuale). Il principio può essere enunciato usando un linguaggio matematico come segue: {{matematica voce|Teorema|Principio del minimo intero| Sia <math>A\subseteq\mathbb{N}</math> un insieme non vuoto. Allora <math>A</math> ammette minimo, cioè esiste <math>\overline{a}\in A</math> tale che <math>\overline{a}\le a</math>, <math>\forall a\in\mathbb{A}</math>
- Seja <math> X \subset \mathbb{N}</math>, dizemos que <math>n_0 \in X</math> é o elemento mínimo de X quando <math>n_0 \le n, \forall n \in X</math>. Se <math>X \subseteq \mathbb{N}</math> com <math>1 \in X</math>, então 1 é o elemento mínimo de X. Isto é óbvio, visto que 1 é o menor elemento de IN. Dizemos que <math>k \in X</math> é o elemento máximo de X quando <math>k \ge n, \forall n \in X</math>. Note que IN não tem um elemento máximo, logo é de se esperar que existam subconjuntos de IN sem um maior elemento. O Princípio da Boa-Ordem diz que todo subconjunto não-vazio de IN possui menor elemento, equivalente ao Princípio da indução. Indução matemática Relação bem-ordenada
- İyi-sıralılık ilkesi, küme kuramının bir önermesidir: Her küme iyi sıralı bir küme yapılabilir. Bu teorem yararlıdır çünkü sonluötesi tümevarımın her kümede uygulanabilmesini sağlar. İyi-sıralılık ilkesi seçim aksiyomuna denktir. Georg Cantor iyi-sıralılık ilkesini "temel bir uslamlama kuralı" olarak kabul ediyordu. Buna karşın çoğu matematikçi örneğin <math>\R</math> kümesinin iyi-sıralı bir küme yapılabileceğinden kuşku duymaktaydı. Örneğin 1904 yılında Julius König bunu tanıtladığını düşünüyordu fakat Felix Hausdorff kısa bir süre sonra tanıtlamada bir hata buldu. Ernst Zermelo, iyi-sıralılık ilkesini tanıtlamak için seçim aksiyomunu "kuşku duyulmaz mantıksal bir ilke" olarak kabul etmiş ancak yine kısa bir süre sonra bu aksiyomun iyi-sıralılık ilkesine denk olduğu anlaşılmıştır. Seçim aksiyomu, dolayısıyla iyi-sıralılık ilkesi, Zermelo-Fraenkel-Küme-Kuramı'ndan bağımsızdır. Başka bir deyişle hem bu ilke hem de karşıtı, çelişki doğmadan doğru olarak kabul edilebilir.
|
| rdfs:comment
|
- In mathematics, the well-ordering principle states that every non-empty set of positive integers contains a smallest element. The phrase "well-ordering principle" is sometimes taken to be synonymous with the "well-ordering theorem". On other occasions it is understood to be the proposition that the set of integers {... , -2, -1, 0, 1, 2, 3, .... } contains a well-ordered subset, called the natural numbers, in which every nonempty subset contains a least element.
- Princip dobrého uspořádání (značený někdy také WO z anglického Well-ordering theorem) z historických důvodů nazývaný také Zermelova věta je následující tvrzení z oboru teorie množin: Každou množinu lze dobře uspořádat. Nebo přesněji: Pro každou množinu <math> x \,\!</math> existuje relace <math> R \subseteq x \times x \,\!</math>, která je dobrým uspořádáním množiny <math> x \,\!</math>.
- Principio de Buena Ordenación Todo conjunto no vacío de enteros positivos contiene un elemento (un número entero) que es mínimo. Nótese que esta propiedad es válida sólo para conjuntos cuyos elementos son números enteros positivos. No es cierta para cualquier conjunto, ya que si consideramos los enteros negativos, por ejemplo, no existe un menor elemento.
- Il principio del buon ordinamento (da non confondere con il Teorema del buon ordinamento), talvolta chiamato principio del minimo intero, o più propriamente principio del minimo intero naturale, afferma che: Ogni insieme di numeri naturali non vuoto contiene un numero che è più piccolo di tutti gli altri In altre parole, un qualsiasi sottoinsieme non vuoto dei numeri naturali ammette minimo.
- Seja <math> X \subset \mathbb{N}</math>, dizemos que <math>n_0 \in X</math> é o elemento mínimo de X quando <math>n_0 \le n, \forall n \in X</math>. Se <math>X \subseteq \mathbb{N}</math> com <math>1 \in X</math>, então 1 é o elemento mínimo de X. Isto é óbvio, visto que 1 é o menor elemento de IN. Dizemos que <math>k \in X</math> é o elemento máximo de X quando <math>k \ge n, \forall n \in X</math>.
- İyi-sıralılık ilkesi, küme kuramının bir önermesidir: Her küme iyi sıralı bir küme yapılabilir. Bu teorem yararlıdır çünkü sonluötesi tümevarımın her kümede uygulanabilmesini sağlar. İyi-sıralılık ilkesi seçim aksiyomuna denktir. Georg Cantor iyi-sıralılık ilkesini "temel bir uslamlama kuralı" olarak kabul ediyordu. Buna karşın çoğu matematikçi örneğin <math>\R</math> kümesinin iyi-sıralı bir küme yapılabileceğinden kuşku duymaktaydı.
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
