In mathematics, a well-order relation (or well-ordering) on a set S is a total order on S with the property that every non-empty subset of S has a least element in this ordering. Equivalently, a well-ordering is a well-founded total order. The set S together with the well-order relation is then called a well-ordered set. Every element s, except a possible greatest element, has a unique successor (next element), namely the least element of the subset of all elements greater than s.

PropertyValue
dbpprop:abstract
  • In mathematics, a well-order relation (or well-ordering) on a set S is a total order on S with the property that every non-empty subset of S has a least element in this ordering. Equivalently, a well-ordering is a well-founded total order. The set S together with the well-order relation is then called a well-ordered set. Every element s, except a possible greatest element, has a unique successor (next element), namely the least element of the subset of all elements greater than s. Every subset which has an upper bound has a least upper bound. There may be elements which have no predecessor. If a set is well-ordered, the proof technique of transfinite induction can be used to prove that a given statement is true for all elements of the set. The observation that the natural numbers are well-ordered by the usual less-than relation is commonly called the well-ordering principle. The well-ordering theorem, which is equivalent to the axiom of choice, states that every set can be well-ordered. The well-ordering theorem is also equivalent to the Kuratowski-Zorn lemma. Spelling note: The hyphen is frequently omitted in contemporary papers, yielding the spellings wellorder, wellordered, and wellordering.
  • Eine Wohlordnung einer Menge S ist eine totale Ordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge von S ein kleinstes Element bezüglich dieser Ordnung hat. Die Menge S zusammen mit der Wohlordnung heißt eine wohlgeordnete Menge. Beide Begriffe stammen aus der Mengenlehre von Cantor. Zum Beispiel ist die normale Anordnung der natürlichen Zahlen eine Wohlordnung, aber weder die normale Anordnung der ganzen Zahlen noch die der positiven reellen Zahlen ist eine Wohlordnung. Die Wohlordnung einer Menge S bedeutet, dass es keine unendlich lange absteigende Kette gibt, d.h. keine unendliche Folge <math>(a_i)</math> in S, so dass für alle <math>i</math> gilt <math>a_{i+1}<a_i</math>. Unter Verwendung des Auswahlaxioms kann man zeigen, dass diese Eigenschaft äquivalent zur Wohlordnungseigenschaft ist. In einer wohlgeordneten Menge gibt es stets ein Element ohne Vorgänger, nämlich das kleinste Element von S. Der Nachfolger eines Elements ist immer eindeutig bestimmt. Es kann ein größtes Element geben, das keinen Nachfolger hat. Mehrere Elemente ohne Nachfolger sind nicht möglich. Dagegen kann es mehrere (sogar unendlich viele) Elemente ohne Vorgänger geben. Hierfür ein Beispiel: Die positiven natürlichen Zahlen sollen so geordnet sein, dass jede gerade Zahl „größer“ ist als jede ungerade Zahl. Untereinander sollen die geraden und die ungeraden Zahlen wie üblich geordnet sein, also in der folgenden Art: <math> 1 < 3 < 5 < \cdots < 2 < 4 < 6 < \cdots </math> Offenbar ist dies eine wohlgeordnete Menge: Enthält eine Teilmenge irgendwelche ungeraden Zahlen, so ist die kleinste von ihnen auch „kleinste“ Zahl der Teilmenge (alle geraden Zahlen sind „größer“); enthält sie nur gerade Zahlen, so ist die kleinste aus diesen auch die „kleinste“ im Sinne der Wohlordnung, denn ungerade Zahlen, die „kleiner“ wären, sind ja nicht vorhanden. Die Ordinalzahl dieser Wohlordnung wird üblicherweise mit <math>\omega+\omega</math> bezeichnet. Es gibt hier kein größtes Element, aber zwei Elemente ohne Vorgänger: die Eins und die Zwei. Wenn eine Menge wohlgeordnet ist, dann kann die Technik der transfiniten Induktion genutzt werden, um zu zeigen, dass eine gegebene Aussage für alle Elemente dieser Menge zutrifft. Die vollständige Induktion ist ein Spezialfall der transfiniten Induktion. Das Wohlordnungsprinzip, welches äquivalent zum Auswahlaxiom ist, besagt, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann.
  • V matematice se množina S nazývá dobře uspořádanou množinou, pokud má každá neprázdná část uspořádané množiny S první prvek. Uspořádání na množině S se pak nazývá dobré uspořádání. Má-li každá neprázdná část A první prvek, Ernst Zermelo dokázal, že při přijmutí axiomu výběru do Zermelo-Fraenkelovy axiomatizace teorie množin je možno dokázat, že každou množinu lze dobře uspořádat. Tento princip je znám jako princip dobrého uspořádání. S dobrým uspořádáním souvisí i paradoxy typu „Sorités“ (některé objekty nelze v rámci klasických teorií množin modelovat, např. hromada písku, ze které je-li odebráno 1 zrno zbyde opět hromada písku), tyto paradoxy jsou vyřešeny ve Vopěnkově alternativní teorii množin zavedením tzv. polomnožin.
  • En teoría de conjuntos, un conjunto bien ordenado es un conjunto no vacío totalmente ordenado tal que todo subconjunto no vacío tiene un elemento mínimo. Equivalentemente, puede decirse que un conjunto A es bien ordenado si es totalmente ordenado y bien fundado.
  • Hyvinjärjestys joukossa X on matematiikassa sellainen täydellinen järjestysrelaatio R, että jokaisella joukon X ei-tyhjällä osajoukolla on relaatiolla R pienin alkio. Esimerkiksi relaatio x R y = "x on suurempi tai yhtä suuri kuin y" eli <math>x \ge y</math> on hyvinjärjestys luonnollisten lukujen joukossa. Sillä on pienin alkio ja otetaanpa mitkä hyvänsä luvut, niin jokin niistä on pienin. Sen sijaan vaikkapa kokonaisluvuilla tämä relaatio R ei ole hyvinjärjestys, sillä kokonaisluvuilla ei ole tiettyä pienintä lukua: aina voidaan sanoa pienempi luku kuin jokin negatiivinen kokonaisluku.
  • Un ensemble ordonné (E, ≤) est bien ordonné et la relation ≤ est un bon ordre si la condition suivante est satisfaite : Toute partie non vide de E possède un plus petit élément. On démontre que tout ensemble bien ordonné est totalement ordonné. En effet, soit <math>(E,\prec)</math> un ensemble bien ordonné, et <math>(x,y)\in E^2</math>. D'après la propriété de bon ordre de <math>E</math>, l'ensemble <math>\{x,y\}</math> admet un plus petit élément. En d'autres termes : <math>\forall(x,y)\in E^2,\quad x\prec y \text{ ou } y\prec x</math>. Si de plus l'axiome du choix dépendant est vérifié, cette propriété (être bien ordonné) est équivalente à dire qu'il n'existe pas de suite infinie strictement décroissante. D'après le théorème de Zermelo, l'axiome du choix dans toute sa force équivaut au fait que tout ensemble peut être bien ordonné, et donc peut être rendu isomorphe à un ordinal.
  • Jólrendezett halmaznak nevezünk egy halmazt, ha adott rajta egy teljes rendezés, ami jólrendezés, vagyis a halmaz minden nemüres részhalmazának van a rendezés szerint legkisebb eleme.
  • In matematica, un buon ordine o buon ordinamento su un insieme S è una relazione d'ordine su S con la proprietà che ogni sottoinsieme non vuoto di S ha un elemento minimo secondo questo ordine. L'insieme S insieme al buon ordine è detto insieme ben ordinato. Se <math>a, b</math> sono due elementi dell'insieme bene ordinato <math>S</math>, l'insieme <math>\{a, b\}</math> ha un minimo, dunque o <math>a \le b</math> o <math>b \le a</math>; ne segue che un buon ordinamento è anche un ordine totale. Esempi: L'ordine standard dei numeri naturali è un buon ordine. L'ordine standard dei numeri interi non è un buon ordine perché, ad esempio, l'insieme dei numeri negativi non ha un elemento minimo. L'ordine standard dei numeri reali positivi non è un buon ordine perché, ad esempio, l'intervallo (0,1) non ha un elemento minimo. In un insieme ben ordinato non possono esistere catene discendenti infinitamente lunghe. Usando l'assioma della scelta si può dimostrare che questa proprietà è equivalente alla proprietà di essere ben ordinato; è inoltre chiaramente equivalente al Lemma di Zorn L'insieme degli interi negativi non è ben ordinato dalla relazione minore di, ma è comunque possibile definire una relazione diversa che ben ordina gli interi negativi. Per esempio la seguente definizione fornisce una relazione che ordina bene gli interi negativi: x < y, se |x| < |y|, o se |x| = |y| e x < y. In ogni insieme ben ordinato A ogni elemento x tranne il più grande ha un successore unico: il più piccolo elemento di A maggiore di x. Non ogni elemento, però, ha un predecessore. Ad esempio si considerino due copie dei numeri naturali, ordinate in modo tale che ogni elemento della seconda copia è maggiore di ogni elemento della prima copia. All'interno di ciascuna copia si usa l'ordine generato dalla relazione minore di. Questo è un insieme ben ordinato ed è di solito indicato da ω + ω. Si noti che ogni elemento ha un successore, ma due elementi mancano di un predecessore: lo zero della prima copia e lo zero della seconda. Se un insieme è ben ordinato la tecnica dell'induzione transfinita può essere usata per dimostrare che una proposizione è vera per tutti gli elementi dell'insieme. Il teorema del buon ordinamento, che è equivalente all'assioma della scelta, afferma che ogni insieme può essere ben ordinato.
  • Dobry porządek na danym zbiorze <math>X</math> to porządek liniowy na <math>X</math> taki, że każdy niepusty podzbiór zbioru <math>X</math> ma element najmniejszy (ze względu na ten porządek). Przykładem porządku liniowego, który nie jest dobrym porządkiem, jest standardowo uporządkowany zbiór liczb całkowitych, gdyż w zbiorze tym nie ma najmniejszego elementu. Pojęcie dobrego porządku ma ścisły związek z pojęciem indukcji matematycznej. Pojęcie indukcji można mianowicie stosować we wszystkich zbiorach dobrze uporządkowanych. Twierdzenie Zermelo, mówiące o tym, że każdy zbiór można dobrze uporządkować jest równoważne aksjomatowi wyboru.
  • Uma relação é bem-ordenada quando ela é uma relação de ordem total e todo subconjunto não-vazio possui um elemento mínimo. Um resultado importante da teoria dos conjuntos é que as relações bem-ordenadas representam os números ordinais.
  • O relaţie de bună ordonare este o relaţie de ordine, totală, definită pe o mulţime, având proprietatea că orice submulţime nevidă a mulţimii respective are un prim element (un minim). O mulţime pe care s-a stabilit o relaţie de bună ordonare se numeşte mulţime bine ordonată.
  • Фундированное множество — частично упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть минимальный элемент. Вполне упорядоченное множество — линейно упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть минимальный элемент, другими словами это фундированное множество с линейным порядком.
  • I matematiken, sägs en linjär ordning L vara en välordning om varje icke-tom delmängd till L har ett minsta element. Varje välordning är isomorf med ett och endast ett ordinaltal.
  • Matematikte, bir S kümesinin boş olmayan her altkümesi için, en küçük bir eleman tanımlayan tam sıralara, S kümesi üzerinde tanımlı bir iyi-sıra denir. İyi-sıralılık özelliğine sahip bir S kümesi iyi sıralı bir kümedir. Örneğin doğal sayıların normal bir sırası iyi sıralıdır fakat ne tam sayıların ne de pozitif reel sayıların normal bir sırası iyi sıralı değildir. İyi sıralı bir S kümesinde sonsuz olarak azalan bir zincir bulunamaz, yani S kümesinde her i için <math>a_{i+1}<a_i</math> olacak bir <math>(a_i)</math> dizisi bulunamaz. Seçim aksiyomu kullanılarak bu özelliğin iyi sıralılık ilkesine denk olduğu gösterilebilir. Ayrıca bu özellik Zorn Lemma'sına da denktir. İyi sıralı bir kümede, mevcut olabilecek en büyük eleman dışındaki her a elemanının belirli bir ardılı bulunur: a elemanından daha büyük olan tüm elemanların altkümesinin en küçük elemanı. Bununla birlikte her elemanın bir öncel elemanı olmak zorunda değil. Örneğin doğal sayılar kümesinin iki kopyasını ele alalım ve bu kopyaların, ikinci kopyadaki her elemanın ilk kopyadaki her elemandan daha büyük olacak şekilde sıralı olduğunu varsayalım. Her kopyada normak sıralılık seçilirse her iki küme iyi sıralı bir kümedir ve <math>\omega+\omega</math> şeklinde gösterilir. Burada her elemanın bir ardıl elemanı bulunmasına karşın (yani en büyük bir eleman olmamasına karşın) öncel elemanı olmayan iki eleman bulunur: Birinci kopyanın sıfır sayısı (bu kümenin en küçük elemanı) ve ikinci kopyanın sıfır sayısı (ilk kopyanın her elemanı bu sayıdan daha küçüktür fakat alt kümede en büyük eleman yoktur). Bir küme iyi sıralı ise verili bir önermenin bu kümenin tüm elemanları için doğru olduğunu göstermek için, sonluötesi tümevarım tekniği kullanılabilir. (Tam tümevarım bu tekniğin özel bir durumudur. ) Seçim aksiyomuna denk olan iyi-sıralılık ilkesi her kümenin iyi sıralı bir küme yapılabileceğini ifade eder.
  • 在数学中，在集合 S 上的良序关系(或良序)是在 S 上的线序关系，并带有 S 的所有非空子集都有在这个次序下的最小元素的性质。等价的说，良序是良基的线序。集合 S 和这个良序关系一起就叫做良序集合。 粗略的说，良序集合是以如下方式排序的，它的元素可以一次只依次考虑一个，而在还没有检查完所有的元素的任何时候，总是有一个唯一的下一个元素要考虑。
dbpprop:hasPhotoCollection
dbpprop:relatedInstance
rdf:type
rdfs:comment
  • In mathematics, a well-order relation (or well-ordering) on a set S is a total order on S with the property that every non-empty subset of S has a least element in this ordering. Equivalently, a well-ordering is a well-founded total order. The set S together with the well-order relation is then called a well-ordered set. Every element s, except a possible greatest element, has a unique successor (next element), namely the least element of the subset of all elements greater than s.
  • Eine Wohlordnung einer Menge S ist eine totale Ordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge von S ein kleinstes Element bezüglich dieser Ordnung hat. Die Menge S zusammen mit der Wohlordnung heißt eine wohlgeordnete Menge. Beide Begriffe stammen aus der Mengenlehre von Cantor. Zum Beispiel ist die normale Anordnung der natürlichen Zahlen eine Wohlordnung, aber weder die normale Anordnung der ganzen Zahlen noch die der positiven reellen Zahlen ist eine Wohlordnung.
  • V matematice se množina S nazývá dobře uspořádanou množinou, pokud má každá neprázdná část uspořádané množiny S první prvek. Uspořádání na množině S se pak nazývá dobré uspořádání. Má-li každá neprázdná část A první prvek, Ernst Zermelo dokázal, že při přijmutí axiomu výběru do Zermelo-Fraenkelovy axiomatizace teorie množin je možno dokázat, že každou množinu lze dobře uspořádat. Tento princip je znám jako princip dobrého uspořádání.
  • En teoría de conjuntos, un conjunto bien ordenado es un conjunto no vacío totalmente ordenado tal que todo subconjunto no vacío tiene un elemento mínimo. Equivalentemente, puede decirse que un conjunto A es bien ordenado si es totalmente ordenado y bien fundado.
  • Hyvinjärjestys joukossa X on matematiikassa sellainen täydellinen järjestysrelaatio R, että jokaisella joukon X ei-tyhjällä osajoukolla on relaatiolla R pienin alkio. Esimerkiksi relaatio x R y = "x on suurempi tai yhtä suuri kuin y" eli <math>x \ge y</math> on hyvinjärjestys luonnollisten lukujen joukossa. Sillä on pienin alkio ja otetaanpa mitkä hyvänsä luvut, niin jokin niistä on pienin.
  • Un ensemble ordonné (E, ≤) est bien ordonné et la relation ≤ est un bon ordre si la condition suivante est satisfaite : Toute partie non vide de E possède un plus petit élément. On démontre que tout ensemble bien ordonné est totalement ordonné. En effet, soit <math>(E,\prec)</math> un ensemble bien ordonné, et <math>(x,y)\in E^2</math>.
  • Jólrendezett halmaznak nevezünk egy halmazt, ha adott rajta egy teljes rendezés, ami jólrendezés, vagyis a halmaz minden nemüres részhalmazának van a rendezés szerint legkisebb eleme.
  • In matematica, un buon ordine o buon ordinamento su un insieme S è una relazione d'ordine su S con la proprietà che ogni sottoinsieme non vuoto di S ha un elemento minimo secondo questo ordine. L'insieme S insieme al buon ordine è detto insieme ben ordinato.
  • Dobry porządek na danym zbiorze <math>X</math> to porządek liniowy na <math>X</math> taki, że każdy niepusty podzbiór zbioru <math>X</math> ma element najmniejszy (ze względu na ten porządek). Przykładem porządku liniowego, który nie jest dobrym porządkiem, jest standardowo uporządkowany zbiór liczb całkowitych, gdyż w zbiorze tym nie ma najmniejszego elementu. Pojęcie dobrego porządku ma ścisły związek z pojęciem indukcji matematycznej.
  • Uma relação é bem-ordenada quando ela é uma relação de ordem total e todo subconjunto não-vazio possui um elemento mínimo. Um resultado importante da teoria dos conjuntos é que as relações bem-ordenadas representam os números ordinais.
  • O relaţie de bună ordonare este o relaţie de ordine, totală, definită pe o mulţime, având proprietatea că orice submulţime nevidă a mulţimii respective are un prim element (un minim). O mulţime pe care s-a stabilit o relaţie de bună ordonare se numeşte mulţime bine ordonată.
  • Фундированное множество — частично упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть минимальный элемент.
  • I matematiken, sägs en linjär ordning L vara en välordning om varje icke-tom delmängd till L har ett minsta element. Varje välordning är isomorf med ett och endast ett ordinaltal.
  • Matematikte, bir S kümesinin boş olmayan her altkümesi için, en küçük bir eleman tanımlayan tam sıralara, S kümesi üzerinde tanımlı bir iyi-sıra denir. İyi-sıralılık özelliğine sahip bir S kümesi iyi sıralı bir kümedir. Örneğin doğal sayıların normal bir sırası iyi sıralıdır fakat ne tam sayıların ne de pozitif reel sayıların normal bir sırası iyi sıralı değildir.
  • 在数学中，在集合 S 上的良序关系(或良序)是在 S 上的线序关系，并带有 S 的所有非空子集都有在这个次序下的最小元素的性质。等价的说，良序是良基的线序。集合 S 和这个良序关系一起就叫做良序集合。 粗略的说，良序集合是以如下方式排序的，它的元素可以一次只依次考虑一个，而在还没有检查完所有的元素的任何时候，总是有一个唯一的下一个元素要考虑。
rdfs:label
  • Well-order
  • Wohlordnung
  • Dobře uspořádaná množina
  • Conjunto bien ordenado
  • Hyvinjärjestys
  • Ensemble bien ordonné
  • Jólrendezett halmaz
  • Buon ordine
  • Dobry porządek
  • Relação bem-ordenada
  • Bună ordonare
  • Вполне упорядоченное множество
  • Välordning
  • İyi-sıralı
  • 良序關係
owl:sameAs
skos:subject
foaf:page
is dbpprop:redirect of
is owl:sameAs of