| dbpprop:abstract
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- In mathematics, a binary relation, R, is well-founded (or wellfounded) on a class X if and only if every non-empty subset of X has a minimal element with respect to R; that is, for every non-empty subset S of X, there is an element m of S such that for every element s of S, the pair (s,m) is not in R: <math>\forall S \subseteq X (S \neq \varnothing \to \exists m \in S\, \forall s \in S\, \notin R)</math> (Some authors include an extra condition that R is set-like, i.e. , that the elements less than any given element form a set. ) Equivalently, assuming some choice, a relation is well-founded if and only if it contains no countable infinite descending chains: that is, there is no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n. In order theory, a partial order is called well-founded if the corresponding strict order is a well-founded relation. If the order is a total order then it is called a well-order. In set theory, a set x is called a well-founded set if the set membership relation is well-founded on the transitive closure of x. The axiom of regularity, which is one of the axioms of Zermelo-Fraenkel set theory, asserts that all sets are well-founded. A relation R is converse well-founded or upwards well-founded on X, if the converse relation R is well-founded on X. In this case R is also said to satisfy the ascending chain condition.
- Eine fundierte Menge (auch wohlfundierte Menge, fundierte Ordnung, terminierende Ordnung, noethersche Ordnung) ist eine halbgeordnete Menge, die keine unendlichen absteigenden Ketten enthält. Äquivalent dazu heißt eine halbgeordnete Menge fundiert, wenn jede nichtleere Teilmenge mindestens ein minimales Element enthält. Alle wohlgeordneten Mengen sind fundiert, weil in einer wohlgeordneten Menge jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element haben muss und das kleinste Element einer Menge immer auch minimal ist. Anders als wohlgeordnete Mengen brauchen fundierte Mengen nicht totalgeordnet zu sein. Alle total geordneten fundierten Mengen sind wohlgeordnet.
- En matemáticas, una relación binaria, R, es bien-fundamentada (o bienfundamentada) en una clase X si y sólo si todo subconjunto no vacío de X tiene un elemento R-mínimo; esto es, para todo subconjunto no vacío S de X, hay un elemento m de S tal que para todo elemento s de S, el par (s, m) no esta en R. Equivalentemente una relación es bien-fundamentada si y sólo si contiene cadenas descendientes infinitas no contables: esto es, no hay secuencia infinita x0, x1, x2, ... de elementos de X tal que xn+1 R xn para todo número natural n. En la teoría del orden, un orden parcial es llamado bien-fundamentado si el orden estricto correspondiente es una relación bien-fundamentada. Si el orden es un orden total entonces es llamado un buen-orden.
- En mathématiques, une relation bien fondée exprime un type de relation entre les éléments de deux ensembles. Soit E un ensemble non vide. On dit qu'une relation R sur E est bien fondée ou plus rarement nœthérienne (alors que l'on devrait dire en toute rigueur artinienne ce qui se dit plus rarement encore) si et seulement si elle vérifie l'une des deux conditions suivantes, équivalentes d'après l'axiome du choix dépendant (une version très faible de l'axiome du choix) : Pour toute partie X de E non vide, il existe un élément x de X n'ayant aucun R-antécédent dans X (un R-antécédent de x dans X est un élément y de X vérifiant yRx); Il n'existe pas de suite infinie (xn) d'éléments de E telle qu'on ait xn+1Rxn pour tout n.
- Relacja dobrze ufundowana – relacja <math>></math>, dla której nie istnieje nieskończony zstępujący ciąg <math>\;a_1 > a_2 > a_3 ... </math> (każdy element tego ciągu jest w tej relacji z następującym bezpośrednio po nim). Jeśli relacja ma dowolny cykl, to oczywiście nie jest dobrze ufundowana, ponieważ można wybierać po kolei elementy tego cyklu. Jeśli relacja jest skończona i nie ma cykli, to jest dobrze ufundowana. Dla nieskończonych relacji dobrze ufundowanych często można znaleźć dowolnie długą ścieżkę skończoną, na przykład dla porządku <math>></math> na <math>\mathbb{N}</math> możemy wybrać dowolnie duży element początkowy i ciąg malejący o jeden . Relacja, która jest dobrze ufundowana i słabo konfluentna, jest silnie konfluentna. Relacja, która jest dobrze ufundowana i spełnia warunki porządku liniowego, jest dobrym porządkiem.
- Em matemática, uma relação binária R é uma relação bem-fundada numa classe X, se e somente se, todo subconjunto não vazio de X, tiver um elemento R -minimal; ou seja, para todo subconjunto não vazio S de X, existe um elemento m de S tal que para todo elemento s de S, o par (s,m) não está em R. Em outras palavras, todo subconjunto não vazio de X possui um elemento m tal que para todo s, <math>s \not\in m Desta forma, evitamos situações de loop (como mostrado no tópico acima). Formalizando com a lógica de predicados, temos: <math>\forall S \exists m \forall s (</math> → <math>) Equivalentemente, assumindo uma função de escolha qualquer, uma relação será bem-fundada se e somente se essa relação não contiver cadeia descendente infinitamente enumerável, isto é, se não existir uma seqüência x0, x1,... de elementos de X, tal que xn+1Rxn para todo número natural n. Na teoria das estruturas ordenadas, uma ordem parcial é dita bem-fundada se a ordem estrita correspondente é uma relação bem-fundada. Se a ordem for uma ordem total, então ela é dita bem-ordenada. Na teoria dos conjuntos, um conjunto ß é dito um conjunto bem-fundado se a relação de pertinência for bem-fundada no fecho transitivo de ß. O axioma da regularidade, o qual é um dos axiomas de Zermelo-Fraenkel na teoria dos conjuntos, afirma que todos os conjuntos são bem-fundados.
- 在数学中，类 X 上的一个二元关系 R 被称为是良基的，当且仅当所有 X 的非空子集都有一个 R-极小元；就是说，对 X 的每一个非空子集 S，存在一个 S 中的元素 m 使得对于所有 S 中的 s，二元组 (s,m) 都不在 R 中。 等价的说，假定某种选择公理，一个二元关系称为是良基的，当且仅当它不包含可数的无穷降链，也就是说不存在 X 的元素的无穷序列 x0, x1, x2, ... 使得对所有的自然数 n 有着 xn+1 R xn。 在序理论中，一个偏序关系称为是良基的，当且仅当它对应的严格偏序是良基的。如果这个序还是全序，那么此时称这个序为良序。 在集合论中，一个集合 x 称为是一个良基集合，如果集成员关系在 x 的传递闭包上是良基的。策梅洛-弗兰克尔集合论中的正则公理，就是断言所有的集合都是良基的。
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- In mathematics, a binary relation, R, is well-founded (or wellfounded) on a class X if and only if every non-empty subset of X has a minimal element with respect to R; that is, for every non-empty subset S of X, there is an element m of S such that for every element s of S, the pair (s,m) is not in R: <math>\forall S \subseteq X (S \neq \varnothing \to \exists m \in S\, \forall s \in S\, \notin R)</math> (Some authors include an extra condition that R is set-like, i.e.
- Eine fundierte Menge (auch wohlfundierte Menge, fundierte Ordnung, terminierende Ordnung, noethersche Ordnung) ist eine halbgeordnete Menge, die keine unendlichen absteigenden Ketten enthält. Äquivalent dazu heißt eine halbgeordnete Menge fundiert, wenn jede nichtleere Teilmenge mindestens ein minimales Element enthält.
- En matemáticas, una relación binaria, R, es bien-fundamentada (o bienfundamentada) en una clase X si y sólo si todo subconjunto no vacío de X tiene un elemento R-mínimo; esto es, para todo subconjunto no vacío S de X, hay un elemento m de S tal que para todo elemento s de S, el par (s, m) no esta en R. Equivalentemente una relación es bien-fundamentada si y sólo si contiene cadenas descendientes infinitas no contables: esto es, no hay secuencia infinita x0, x1, x2, ...
- En mathématiques, une relation bien fondée exprime un type de relation entre les éléments de deux ensembles. Soit E un ensemble non vide.
- Relacja dobrze ufundowana – relacja <math>></math>, dla której nie istnieje nieskończony zstępujący ciąg <math>\;a_1 > a_2 > a_3 ... </math> (każdy element tego ciągu jest w tej relacji z następującym bezpośrednio po nim). Jeśli relacja ma dowolny cykl, to oczywiście nie jest dobrze ufundowana, ponieważ można wybierać po kolei elementy tego cyklu. Jeśli relacja jest skończona i nie ma cykli, to jest dobrze ufundowana.
- Em matemática, uma relação binária R é uma relação bem-fundada numa classe X, se e somente se, todo subconjunto não vazio de X, tiver um elemento R -minimal; ou seja, para todo subconjunto não vazio S de X, existe um elemento m de S tal que para todo elemento s de S, o par (s,m) não está em R.
- 在数学中，类 X 上的一个二元关系 R 被称为是良基的，当且仅当所有 X 的非空子集都有一个 R-极小元；就是说，对 X 的每一个非空子集 S，存在一个 S 中的元素 m 使得对于所有 S 中的 s，二元组 (s,m) 都不在 R 中。 等价的说，假定某种选择公理，一个二元关系称为是良基的，当且仅当它不包含可数的无穷降链，也就是说不存在 X 的元素的无穷序列 x0, x1, x2, ...
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