Weak formulations are an important tool for the analysis of mathematical equations that permit the transfer of concepts of linear algebra to solve problems in other fields such as partial differential equations. In a weak formulation, an equation is no longer required to hold absolutely (and this is not even well defined) and has instead weak solutions only with respect to certain "test vectors" or "test functions". This is equivalent to formulating the problem to require a solution in the sense of a distribution.

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  • La formulación débil (o formulación variacional) de un problema definido mediante ecuaciones diferenciales es una forma alternativaen que dichas ecuaciones se escriben en forma integral, dando lugar a ecuaciones tratables mediante los métodos del álgebra lineal sobre un espacio vectorial de dimensión infinita o espacio funcional. A continuación se introduce la formulación débil en general, se dan algunos ejemplos y se presenta el principal teorema de la formulación débil: el teorema de Lax-Milgram, que permite asegurar la existencia y unidad de una amplia clase de problemas en forma débil. (es)
  • En comparaison avec la formulation forte, la formulation faible est une autre manière d'énoncer un problème physique régi par des équations différentielles ou aux dérivées partielles. Une solution forte du problème d’origine est également solution de la formulation faible. Une solution de cette dernière est naturellement appelée solution faible. L’intérêt de cette approche est de pouvoir disposer de concepts et de propriétés de l’analyse fonctionnelle, en particulier ceux des espaces de Hilbert et de Sobolev. La formulation faible prend son sens dans le théorème de Lax-Milgram. Elle est un des fondements de la méthode des éléments finis. Une formulation faible des équations aux dérivées partielles qui s’exprime en termes d'algèbre linéaire dans le cadre d’un espace de Hilbert est une formulation variationnelle. À l’aide du théorème de Lax-Milgram, elle permet de discuter de l'existence et de l'unicité de solutions. La méthode des éléments finis se fonde sur une formulation variationnelle pour déterminer des solutions numériques approchées du problème d’origine. (fr)
  • Weak formulations are an important tool for the analysis of mathematical equations that permit the transfer of concepts of linear algebra to solve problems in other fields such as partial differential equations. In a weak formulation, an equation is no longer required to hold absolutely (and this is not even well defined) and has instead weak solutions only with respect to certain "test vectors" or "test functions". This is equivalent to formulating the problem to require a solution in the sense of a distribution. We introduce weak formulations by a few examples and present the main theorem for the solution, the Lax–Milgram theorem. (en)
  • Nell'ambito delle equazione differenziali, in particolare delle equazioni alle derivate parziali, è di grande importanza lo studio della formulazione debole dei problemi differenziali classici, che per dualità vengono anche chiamati problemi in forma forte o classica. Risolvere un problema in forma debole significa trovare una soluzione, detta soluzione debole, le cui derivate possono non esistere ma che è comunque soluzione dell'equazione in qualche modo ben preciso. Molto spesso si tratta delle uniche soluzioni che è possibile trovare. Il concetto di soluzione debole è legato a quello di derivata debole: si tratta di definire la nozione di derivata anche per funzioni integrabili ma non necessariamente differenziabili. (it)
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  • La formulación débil (o formulación variacional) de un problema definido mediante ecuaciones diferenciales es una forma alternativaen que dichas ecuaciones se escriben en forma integral, dando lugar a ecuaciones tratables mediante los métodos del álgebra lineal sobre un espacio vectorial de dimensión infinita o espacio funcional. A continuación se introduce la formulación débil en general, se dan algunos ejemplos y se presenta el principal teorema de la formulación débil: el teorema de Lax-Milgram, que permite asegurar la existencia y unidad de una amplia clase de problemas en forma débil. (es)
  • Weak formulations are an important tool for the analysis of mathematical equations that permit the transfer of concepts of linear algebra to solve problems in other fields such as partial differential equations. In a weak formulation, an equation is no longer required to hold absolutely (and this is not even well defined) and has instead weak solutions only with respect to certain "test vectors" or "test functions". This is equivalent to formulating the problem to require a solution in the sense of a distribution. (en)
  • Nell'ambito delle equazione differenziali, in particolare delle equazioni alle derivate parziali, è di grande importanza lo studio della formulazione debole dei problemi differenziali classici, che per dualità vengono anche chiamati problemi in forma forte o classica. Risolvere un problema in forma debole significa trovare una soluzione, detta soluzione debole, le cui derivate possono non esistere ma che è comunque soluzione dell'equazione in qualche modo ben preciso. Molto spesso si tratta delle uniche soluzioni che è possibile trovare. (it)
  • En comparaison avec la formulation forte, la formulation faible est une autre manière d'énoncer un problème physique régi par des équations différentielles ou aux dérivées partielles. Une solution forte du problème d’origine est également solution de la formulation faible. Une solution de cette dernière est naturellement appelée solution faible. L’intérêt de cette approche est de pouvoir disposer de concepts et de propriétés de l’analyse fonctionnelle, en particulier ceux des espaces de Hilbert et de Sobolev. (fr)
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  • Weak formulation (en)
  • Formulación débil de una ecuación diferencial (es)
  • Formulation faible (fr)
  • Formulazione debole (it)
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