In number theory, Waring's problem, proposed in 1770 by Edward Waring, asks whether for every natural number k there exists an associated positive integer s such that every natural number is the sum of at most s k powers of natural numbers (for example, every number is the sum of at most 4 squares, or 9 cubes, or 19 fourth powers, etc.). The affirmative answer, known as the Hilbert–Waring theorem, was provided by Hilbert in 1909.

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  • In number theory, Waring's problem, proposed in 1770 by Edward Waring, asks whether for every natural number k there exists an associated positive integer s such that every natural number is the sum of at most s k powers of natural numbers (for example, every number is the sum of at most 4 squares, or 9 cubes, or 19 fourth powers, etc.). The affirmative answer, known as the Hilbert–Waring theorem, was provided by Hilbert in 1909. Waring's problem has its own Mathematics Subject Classification, 11P05, "Waring's problem and variants."
  • Das Waringsche Problem ist eine Problemstellung der Zahlentheorie. In seinem Werk Meditationes algebraicae stellte Edward Waring eine Vermutung auf, die den Vier-Quadrate-Satz verallgemeinerte. Der Vier-Quadrate-Satz besagt, dass jede natürliche Zahl als Summe von höchstens vier Quadratzahlen dargestellt werden kann. Er wurde 1621 von Bachet und 1640 von Fermat vermutet und 1770 von Lagrange bewiesen.
  • En teoría de números el Problema de Waring, propuesto en 1770 por Edward Waring, hablaba acerca de que para cualquier número natural k existe un entero positivo asociado s tal que todo número natural es la suma de al menos s k potencias de números naturales (por ejemplo, todo número es la suma de al menos cuatro cuadrados, o 9 cubos, o 19 números de potencia 4, etc.). La respuesta a esta pregunta es que es verdad, conocido como el Teorema de Hilbert-Waring, fue probado por Hilbert en 1909. El problema de Waring tiene su propia clasificación en matemáticas, "El problema de Waring y variantes."
  • Waringin probleema on englantilaisen matemaatikko Edward Waringin esittämä otaksuma, jonka mukaan "jokainen luonnollinen luku voidaan esittää luonnollisten lukujen kuutioiden summana, jossa on enintään yhdeksän jäsentä" (esim. 23 = 8 + 8 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1). Vuonna 1909 otaksuman todisti oikeaksi saksalainen David Hilbert, joka samalla osoitti epäsuorasti, että "jokaista luonnollista lukua k kohti on olemassa sellainen vakio s, niin että jokainen luonnollinen luku voidaan esittää enintään s:n luonnollisen luvun k:nnen potenssin summana". Jo Pierre de Fermat oli osoittanut, että tapauksessa k = 2 on s = 4.
  • En théorie des nombres, le problème de Waring, proposé en 1770 par Edward Waring, demande si, pour tout entier naturel k, il existe un entier naturel s tel que tout entier soit la somme d'au plus s puissances k d'entiers. La réponse affirmative fut apportée par David Hilbert en 1909. Ce sujet est parfois décrit comme le théorème de Hilbert-Waring. Pour chaque k, nous notons le plus petit s par g(k). Nous avons g(1) = 1. Quelques calculs simples montrent que 7 requiert 4 carrés, 23 requiert 9 cubes, et 79 requiert 19 puissance quatrièmes. Waring conjectura que ces valeurs étaient en fait les meilleures possibles. Le théorème des quatre carrés de Lagrange de 1770 affirme que chaque nombre naturel est la somme d'au plus quatre carrés; puisque trois carrés ne sont pas suffisants, ce théorème établit g(2) = 4. Le théorème des quatre carrés de Lagrange fut conjecturé par Fermat en 1640 et sa première mention date de 1621. Au fil des années, divers résultats sur les valeurs de g furent établis, en utilisant des techniques de démonstration de plus en plus sophistiquées et complexes. Par exemple, Liouville montra que g(4) vaut au plus 53. Hardy et Littlewood démontrèrent que tous les nombres suffisamment grands sont la somme d'au plus 19 puissances quatrièmes. L'égalité g(3) = 9 fut établie entre 1909 et 1912 par Wieferich et A. J. Kempner, l'égalité g(4) = 19 en 1986 par R. Balasubramanian, F. Dress, et J. -M. Deshouillers, l'égalité g(5) = 37 en 1964 par Jing-run Chen et l'égalité g(6) = 73 en 1940 par Pillai. Toutes les autres valeurs de g sont connues aujourd'hui, grâce au travail de Dickson, Pillai, Rubugunday et Niven. Leur énoncé contient deux cas et il est conjecturé que le second cas ne peut jamais se produire; dans le premier cas, la formule se lit g(k) = E + 2 - 2 pour k ≥ 6.
  • A Waring-probléma az additív számelmélet egyik alapfeladata, azzal foglalkozik, hogy hány darab k-adik hatvány (nem negatív egész szám k-adik hatványa) szükséges egy tetszőleges pozitív egész összegként való előállításához. Itt k egynél nagyobb egész. Waring sejtése szerint minden k>1 számhoz van olyan g(k) szám, hogy minden természetes szám előáll g(k) k-adik hatvány összegeként. (Itt mindegy, hogy legfeljebb, vagy pontosan g tagot követelünk, mert az összeget mindig kiegészíthetjük tetszőlegesen sok <math>0^k</math> taggal). Hilbert 1909-ben igazolta, hogy g(k) létezik minden k-ra. Mára apró bizonytalanságtól eltekintve minden k-ra ismerjük g(k) értékét. Legkésőbb g(4)=19-t igazolták 1986-ban.
  • Nella teoria dei numeri, il problema di Waring, proposto da Edward Waring nel 1770, pone la seguente questione: esiste per ogni numero naturale <math>k</math> un intero positivo <math>s</math> tale che ogni numero naturale sia la somma di al più <math>s</math> potenze <math>k</math>-esime di numeri naturali? La risposta affermativa, nota come teorema di Hilbert-Waring, fu fornita da Hilbert nel 1909. Il problema di Waring ha la sua Classificazione delle ricerche matematiche, 11P05, come "Waring's problem and variants".
  • ウェアリングの問題（Waring's problem）は、1770年にエドワード・ウェアリングによって提唱された問題で、全ての自然数k ≥ 2 に対して、「全ての自然数はs 個の非負のk 乗数の和で表される」という性質を満たす整数s が存在するかという問題である。ダフィット・ヒルベルトがこの問題を肯定的に解決した。その後各k に対して整数s の最小値 g (k) を与える公式が発見された。しかし、「全ての自然数」を「十分大きな自然数」に置き換えたときにはそのような整数s の最小値を与える公式は知られておらず、k が 2 または 4 のときにしか正確な値は知られておらず、数論における重要な未解決の問題の1つとなっている。現在単にウェアリングの問題と言えば、「十分大きな全ての自然数はs 個の非負のk 乗数の和で表される」を満足するs の最小値を評価・決定する問題を指すことが多い。また、負のk 乗数を許容した場合や、素数のk 乗に限定した場合などにも類似の問題を考えることができる。
  • Het probleem van Waring is een probleem binnen de getaltheorie bedacht door Edward Waring. Hij vroeg zich af of er voor iedere macht k een getal s is zodat ieder getal te schrijven is als som van niet-negatieve machten. Zo is ieder getal te schrijven als som van 4 kwadraten, 9 derde-machten of 19 vierde-machten.
  • Problem Waringa - w XVIII w. Edward Waring wysunął hipotezę, że każdą liczbę naturalną można przedstawić jako sumę czterech kwadratów. Hipoteza ta została udowodniona w 1770 przez J.L. Lagrange'a. Problem ów został następnie uogólniony na wyższe potęgi. Okazało się mianowicie że należy wziąć 9 sześcianów, 19 czwartych potęg, 37 piątych potęg lub 73 szóstych potęg by uzyskać ten sam efekt. W większości przypadków możliwych przedstawień jest wiele. Oto przykład:
  • Na teoria dos números, o problema de Waring, proposto em 1770 por Edward Waring, pergunta se, para cada número natural k, existe associado a ele um número inteiro positivo s, de tal forma que qualquer número natural n possa ser representado pela soma de, no máximo, s potências de ordem k. A resposta afirmativa, conhecida como Teorema de Hilbert-Waring, foi fornecida por Hilbert em 1909.
  • Warings problem formulerades av Edward Waring 1770 och handlar om uppdelningar av ett givet positivt heltal i en summa av så få termer som möjligt, där varje term är en bestämd potens (kvadraten, kuben, fjärde potensen etc. ) av ett heltal. Till exempel består talet 4 av minst en kvadrat (4=2), 7 består av minst fyra kvadrater (7=2+1+1+1), 9 består av minst en kvadrat (9=3), 9 består av minst två kuber (9=1+2), 23 består av minst nio kuber (23=2+2+1+1+1+1+1+1+1) osv. Man kan visa att det exempelvis aldrig behövs mer än 4 kvadrater eller mer än 9 kuber för en sådan summaframställning. Waring ställde frågan om motsvarande var sant för varje given bestämd potens. Först år 1909 kunde David Hilbert visa att så var fallet. Med andra ord visade Hilbert, att det för varje positivt heltal k finns ett positivt heltal g sådant att varje positivt heltal s kan framställas som en summa av högst g k:tepotenser: <math>s = \sum_{i=1}^l m_i^k\,,</math> där l är ett positivt heltal som är mindre än eller lika med g, och <math>m_1,\ \ldots, m_l\,</math> är positiva heltal. Låter man <math>g(k)</math> vara det minsta möjliga värdet på g för ett givet k, så definierar detta enligt Hilberts sats en heltalsvärd funktion på de positiva heltalen; men Hilberts resultat ger inte funktionsvärdena.
  • 华林问题是数论中的问题之一。1770年，爱德华·华林猜想，对于每个非1的正整数，皆存在正整数g(k)，使得每个正整数都可以表示为g(k)个k次方数之和。
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  • In number theory, Waring's problem, proposed in 1770 by Edward Waring, asks whether for every natural number k there exists an associated positive integer s such that every natural number is the sum of at most s k powers of natural numbers (for example, every number is the sum of at most 4 squares, or 9 cubes, or 19 fourth powers, etc.). The affirmative answer, known as the Hilbert–Waring theorem, was provided by Hilbert in 1909.
  • Das Waringsche Problem ist eine Problemstellung der Zahlentheorie. In seinem Werk Meditationes algebraicae stellte Edward Waring eine Vermutung auf, die den Vier-Quadrate-Satz verallgemeinerte. Der Vier-Quadrate-Satz besagt, dass jede natürliche Zahl als Summe von höchstens vier Quadratzahlen dargestellt werden kann. Er wurde 1621 von Bachet und 1640 von Fermat vermutet und 1770 von Lagrange bewiesen.
  • En teoría de números el Problema de Waring, propuesto en 1770 por Edward Waring, hablaba acerca de que para cualquier número natural k existe un entero positivo asociado s tal que todo número natural es la suma de al menos s k potencias de números naturales (por ejemplo, todo número es la suma de al menos cuatro cuadrados, o 9 cubos, o 19 números de potencia 4, etc.).
  • Waringin probleema on englantilaisen matemaatikko Edward Waringin esittämä otaksuma, jonka mukaan "jokainen luonnollinen luku voidaan esittää luonnollisten lukujen kuutioiden summana, jossa on enintään yhdeksän jäsentä" (esim. 23 = 8 + 8 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1).
  • En théorie des nombres, le problème de Waring, proposé en 1770 par Edward Waring, demande si, pour tout entier naturel k, il existe un entier naturel s tel que tout entier soit la somme d'au plus s puissances k d'entiers. La réponse affirmative fut apportée par David Hilbert en 1909. Ce sujet est parfois décrit comme le théorème de Hilbert-Waring. Pour chaque k, nous notons le plus petit s par g(k). Nous avons g(1) = 1.
  • A Waring-probléma az additív számelmélet egyik alapfeladata, azzal foglalkozik, hogy hány darab k-adik hatvány (nem negatív egész szám k-adik hatványa) szükséges egy tetszőleges pozitív egész összegként való előállításához. Itt k egynél nagyobb egész. Waring sejtése szerint minden k>1 számhoz van olyan g(k) szám, hogy minden természetes szám előáll g(k) k-adik hatvány összegeként.
  • Nella teoria dei numeri, il problema di Waring, proposto da Edward Waring nel 1770, pone la seguente questione: esiste per ogni numero naturale <math>k</math> un intero positivo <math>s</math> tale che ogni numero naturale sia la somma di al più <math>s</math> potenze <math>k</math>-esime di numeri naturali? La risposta affermativa, nota come teorema di Hilbert-Waring, fu fornita da Hilbert nel 1909.
  • Het probleem van Waring is een probleem binnen de getaltheorie bedacht door Edward Waring. Hij vroeg zich af of er voor iedere macht k een getal s is zodat ieder getal te schrijven is als som van niet-negatieve machten. Zo is ieder getal te schrijven als som van 4 kwadraten, 9 derde-machten of 19 vierde-machten.
  • Problem Waringa - w XVIII w. Edward Waring wysunął hipotezę, że każdą liczbę naturalną można przedstawić jako sumę czterech kwadratów. Hipoteza ta została udowodniona w 1770 przez J.L. Lagrange'a. Problem ów został następnie uogólniony na wyższe potęgi. Okazało się mianowicie że należy wziąć 9 sześcianów, 19 czwartych potęg, 37 piątych potęg lub 73 szóstych potęg by uzyskać ten sam efekt. W większości przypadków możliwych przedstawień jest wiele.
  • Na teoria dos números, o problema de Waring, proposto em 1770 por Edward Waring, pergunta se, para cada número natural k, existe associado a ele um número inteiro positivo s, de tal forma que qualquer número natural n possa ser representado pela soma de, no máximo, s potências de ordem k. A resposta afirmativa, conhecida como Teorema de Hilbert-Waring, foi fornecida por Hilbert em 1909.
  • Warings problem formulerades av Edward Waring 1770 och handlar om uppdelningar av ett givet positivt heltal i en summa av så få termer som möjligt, där varje term är en bestämd potens (kvadraten, kuben, fjärde potensen etc. ) av ett heltal. Till exempel består talet 4 av minst en kvadrat (4=2), 7 består av minst fyra kvadrater (7=2+1+1+1), 9 består av minst en kvadrat (9=3), 9 består av minst två kuber (9=1+2), 23 består av minst nio kuber (23=2+2+1+1+1+1+1+1+1) osv.
  • 华林问题是数论中的问题之一。1770年，爱德华·华林猜想，对于每个非1的正整数，皆存在正整数g(k)，使得每个正整数都可以表示为g(k)个k次方数之和。
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  • Waring's problem
  • Waringsches Problem
  • Problema de Waring
  • Staci Keanan
  • Waringin probleema
  • Problème de Waring
  • Waring-probléma
  • Problema di Waring
  • ウェアリングの問題
  • Probleem van Waring
  • Problem Waringa
  • Problema de Waring
  • Warings problem
  • 華林問題
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