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- 200px|thumb|right|Vector addition and scalar multiplication a vector v (blue) is added to another vector w (red, upper illustration). Below, w is stretched by a factor of 2, yielding the sum v + 2·w. A vector space is a mathematical structure formed by a collection of vectors objects that may be added together and multiplied ("scaled") by numbers, called scalars in this context. Scalars are often taken to be real numbers, but one may also consider vector spaces with scalar multiplication by complex numbers, rational numbers, or even more general fields instead. The operations of vector addition and scalar multiplication have to satisfy certain requirements, called axioms, listed below. An example of a vector space is that of Euclidean vectors which are often used to represent physical quantities such as forces any two forces (of the same type) can be added to yield a third, and the multiplication of a force vector by a real factor is another force vector. In the same vein, but in more geometric parlance, vectors representing displacements in the plane or in three-dimensional space also form vector spaces. Vector spaces are the subject of linear algebra and are well-understood from this point of view, since vector spaces are characterized by their dimension, which, roughly speaking, specifies the number of independent directions in the space. The theory is further enhanced by introducing on a vector space some additional structure, such as a norm or inner product. Such spaces arise naturally in mathematical analysis, mainly in the guise of infinite-dimensional function spaces whose vectors are functions. Analytical problems call for the ability to decide if a sequence of vectors converges to a given vector. This is accomplished by considering vector spaces with additional data, mostly spaces endowed with a suitable topology, thus allowing the consideration of proximity and continuity issues. These topological vector spaces, in particular Banach spaces and Hilbert spaces, have a richer theory. Historically, the first ideas leading to vector spaces can be traced back as far as 17th century's analytic geometry, matrices, systems of linear equations, and Euclidean vectors. The modern, more abstract treatment, first formulated by Giuseppe Peano in the late 19th century, encompasses more general objects than Euclidean space, but much of the theory can be seen as an extension of classical geometric ideas like lines, planes and their higher-dimensional analogs. Today, vector spaces are applied throughout mathematics, science and engineering. They are the appropriate linear algebraic notion to deal with systems of linear equations, offer a framework for Fourier expansion, which is employed in image compression routines, or provide an environment that can be used for solution techniques of partial differential equations. Furthermore, vector spaces furnish an abstract, coordinate-free way of dealing with geometrical and physical objects such as tensors, which in turn allows the examination of local properties of manifolds by linearization techniques. Vector spaces may also be generalized in several directions, leading to advanced notions in geometry and abstract algebra.
- thumb|right|Vektoraddition und Skalarmultiplikation Ein Vektor v (blau) wird zu einem anderen Vektor w addiert (rot, oben). Unten wird w um einen Faktor 2 gestreckt, das Ergebnis ist die Summe v + 2·w. Ein Vektorraum oder linearer Raum ist eine algebraische Struktur, die in fast allen Zweigen der Mathematik verwendet wird. Eingehend betrachtet werden Vektorräume in der Linearen Algebra. Die Elemente eines Vektorraums heißen Vektoren. Sie können addiert werden oder mit Skalaren multipliziert, das Ergebnis ist wieder ein Vektor desselben Vektorraums. Entstanden ist der Begriff aus der Abstraktion des euklidischen Raumes auf wesentliche Eigenschaften, die dann auf abstraktere Objekte wie Funktionen oder Matrizen übertragbar sind. Die skalaren Zahlen, mit denen man einen Vektor multiplizieren kann, stammen aus einem Körper, deswegen ist ein Vektorraum immer ein Vektorraum „über“ einem bestimmten Körper. Man spricht beispielsweise von einem Vektorraum über den reellen Zahlen. In den meisten Anwendungen legt man diese oder die komplexen Zahlen zugrunde. Eine Basis eines Vektorraums ist eine Menge von Vektoren, die es erlaubt, jeden Vektor durch eindeutige Koordinaten zu beschreiben. Wird mit Vektoren gerechnet, so wird mit deren Koordinaten gerechnet. Die Anzahl der Basisvektoren wird Dimension des Vektorraums genannt. Sie ist unabhängig von der Wahl der Basis und kann auch unendlich sein.
- 200px|thumb|right|Suma vectorial i multiplicació per un escalar un vector v (blau) s'afegeix a un altre vector w (il·lustració vermella, a dalt). A sota, a w se li aplica un factor d'escala de 2, i llavors es calcula la suma v + 2·w. En matemàtiques i mes concretament en àlgebra lineal un espai vectorial és una estructura matemàtica formada per un conjunt de vectors objectes que es poden afegir entre ells i es poden multiplicar per nombres ("aplicar-los un factor d'escala"), que en aquest context s'anomenen escalars. Sovint es considera que els escalars són nombres reals, però també es poden definir espais vectorials amb la multiplicació escalar per nombres complexos, nombres racionals, o fins i tot cossos més generals en comptes de fer servir cossos de nombres. Les operacions d'addició vectorial i multiplicació escalar han de satisfer certs requisits, anomenats axiomes, que es descriuen a la secció d'aquest article on es dóna la definició formal d'espai vectorial. Un exemple d'espai vectorial és el dels vectors euclidians que es fan servir sovint per representar quantitats físiques com ara forces dues forces qualssevol (que tinguin el mateix punt d'aplicació) es poden afegir, substituint-les per una tercera força que produeixi el mateix efecte que aplicar les dues alhora, i la multiplicació d'un vector força per un factor real és un altre vector força que té el mateix punt d'aplicació, direcció i sentit però que els seu mòdul s'ha multiplicat pel factor real. Un altre exemple més purament geomètric són els vectors que representen desplaçaments al pla o en l'espai tridimensional que també formen un espai vectorial. Els espais vectorials són l'objecte d'estudi de l'àlgebra lineal i des de aquest punt de vista es té una comprensió profunda dels mateixos, donat que els espais vectorials es caracteritzen per la seva dimensió, que, a grans trets, especifica el nombre de direccions independents en l'espai. La teoria s'amplia introduint en els espais vectorials alguna estructura addicional, com ara una norma o un producte escalar. Aquesta mena d'espais sorgeixen de forma natural en l'anàlisi matemàtica, principalment en la forma d'espais de funcions de dimensió infinita els vectors dels quals són funcions. Hi ha problemes analítics que requereixen la habilitat de decidir si una successió de vectors convergeix a un vector donat. Això s'aconsegueix fent servir espais vectorials amb estructures addicionals, principalment espais dotats d'una topologia adequada, que d'aquesta manera permeten definir conceptes de proximitat i continuïtat. Aquests espais vectorials topològics, en particular els espais de Banach i els Espais de Hilbert, tenen una teoria més extensa. Històricament, les primeres idees que condueixen al concepte d'espai vectorial es poden remuntar fins als desenvolupaments al segle XVII de la geometria analítica, les matrius, els sistemes d'equacions lineals, i els vectors euclidians. El tractament modern, més abstracte, va ser formulat inicialment per Giuseppe Peano a finals del segle XIX, inclou objectes més generals que l'espai euclidià, però gran part de la teoria es pot veure com una ampliació de les idees geomètriques clàssiques com ara línies rectes, plans i els seus anàlegs de dimensió superior. Actualment, els espais vectorials s'apliquen a les matemàtiques, la ciència i l'enginyeria. Són la noció algebraica adequada per tractar sistemes d'equacions lineals, ofereixen una estructura per les sèries de Fourier, que és fa servir en tècniques de compressió d'imatge, o proporciona un entorn que es pot fer servir per tècniques de solució d'equacions diferencials en derivades parcials. A més, els espais vectorials subministren una forma abstracte, independent del sistema de coordenades, per tractar amb objectes geomètrics i físics com tensors, els quals permeten examinar les propietats locals de les varietats per tècniques de linealització. Els espais vectorials també es poden generalitzar de diverses maneres, i això porta a nocions avançades de geometria i àlgebra abstracta.
- Vektorový prostor (též lineární prostor) je základním objektem studia lineární algebry. Prvky vektorového prostoru se nazývají vektory. Při zavádění vektorů lze uvažovat některé operace společně s některými omezeními Tím dospějeme k matematické struktuře zvané vektorový prostor.
- Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones escalarse (multiplicarlos por un escalar) y sumarse. Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión. Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y complicada. Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.
- Vektoriavaruus eli lineaariavaruus on matemaattinen struktuuri, joka on lineaarialgebran peruskäsite. Niitä käytetään paljon erityisesti matriisilaskennassa ja funktionaalianalyysissa. Vektoriavaruutta ajatellaan joukkona, johon on määritelty kaksi laskutoimitusta: alkioiden summa ja ns. skalaarilla kertominen. Vektoriavaruuden alkioita kutsutaan vektoreiksi.
- En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Étant donné un corps K, un espace vectoriel E sur K est un groupe commutatif (dont la loi est notée +) munie d'une action compatible de K (voir la définition exacte). Les éléments de E sont appelés des vecteurs, et les éléments de K des scalaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.
- A vektortér, vagy más megfogalmazásban lineáris tér a lineáris algebra egyik legalapvetőbb strukturális fogalma. A vektortér eleme a szokásos geometriai vektorfogalom általánosított formája. A vektorokkal végezhető műveletek legelemibb tulajdonságait axiomatikusan definiálja. A lineáris tér a mi szokásos síkunk és terünk általánosítása többdimenziós terekre. Jelentőségük nem csupán elméleti, a fizikában, informatikában, illetve a matematika számos területén fontos szerepet játszanak.
- In matematica, lo spazio vettoriale (chiamato più raramente spazio lineare) è una struttura algebrica di grande importanza. Si tratta di una generalizzazione dell'insieme formato dai vettori del piano cartesiano ordinario e dell'insieme dei vettori dello spazio tridimensionale dotati delle operazioni di somma di vettori e di moltiplicazione di un vettore per un numero reale. Si incontrano spazi vettoriali in numerosi capitoli della matematica moderna e nelle sue applicazioni: questi servono innanzi tutto per studiare le soluzioni dei sistemi di equazioni lineari e delle equazioni differenziali lineari. Con queste equazioni si trattano moltissime situazioni: quindi si incontrano spazi vettoriali nella statistica, nella scienza delle costruzioni, nella meccanica quantistica, nella biologia molecolare, ecc. Negli spazi vettoriali si studiano anche sistemi di equazioni e disequazioni e in particolare quelli che servono alla programmazione matematica e in genere alla ricerca operativa. Strutture algebriche preliminari agli spazi vettoriali sono quelle di gruppo, anello e campo. Vi sono poi numerose strutture matematiche che generalizzano e arricchiscono quella di spazio vettoriale; alcune sono ricordate nell'ultima parte di questo articolo.
- 線型空間（せんけいくうかん、linear space）あるいはベクトル空間（ベクトルくうかん、vector space）とは、和とスカラー倍の定義された集合（代数系）のことである。線形空間、線状空間とも。これは「平面（あるいは空間）上のベクトルすべてを集めた集合」を一般化、抽象化したものであり、その類推により術語を流用して、一般のベクトル空間の元のことをベクトル（またはベクター）と呼称する。 ベクトル空間は線型代数学の主要な対象であり、ベクトル空間とそれに関する手法は数学のあらゆる分野で重要な道具として用いられる。ベクトル自体が元来は速度や加速度、力のように方向を持つ物理量を表すために考案されたものであるので、物理学との関連が深い。量子力学では系のとりうる状態をベクトル空間で表す。
- Een vectorruimte (ook lineaire ruimte genoemd) is een centraal begrip in de lineaire algebra. Een vectorruimte is een wiskundige structuur, die wordt gevormd door een collectie van vectoren: wiskundige objecten, die kunnen worden opgeteld door middel van vectoroptelling en die kunnen worden vermenigvuldigd ("geschaald") door getallen, die in deze context scalairen worden genoemd. Scalairen worden vaak als reële getallen voorgesteld, maar men kan vectorruimten beschouwen die scalair vermenigvuldigt worden met complee getallen, rationale getallen, of zelfs meer algemeen velden. De operaties van vectoroptelling en scalaire vermenigvuldiging moeten aan bepaalde eisen voldoen, de zogenaamde axioma's (zie onder voor een lijst). Een voorbeeld van een vectorruimte is de Euclidische vector, die vaak worden gebruikt om natuurkundige grootheden, zoals krachten weer te geven: elke twee krachten (van hetzelfde type) kunnen worden opgeteld met als resultaat een derde kracht, en de scalaire vermenigvuldiging van een krachtvector met een reële factor is opnieuw een andere krachtvector. In dezelfde geest, maar in meer meetkundige taal, vormen vectoren, die verplaatsingen in het vlak of in de drie-dimensionale ruimte weergeven, ook vectorruimten. Vectorruimten zijn een belangrijk onderwerp van studie binnen de lineaire algebra en zijn vanuit dit oogpunt ook goed te begrijpen, dit omdat vectorruimten worden gekenmerkt door hun dimensie, die grosso modo, het aantal onafhankelijke richtingen in de ruimte specifieert. De theorie wordt verder verrijkt door aan een vectorruimte extra structuur, zoals een norm of een inwendig product, toe te kennen. Zulke vectorruimten komen van nature voor in de wiskundige analyse, vooral in de gedaante van oneindig-dimensionale functieruimten, waarvan de vectoren functies zijn. Analytische problemen vragen om het vermogen te beslissen of een rij van vectoren naar een bepaalde vector convergeert. Het antwoord op deze vraag kan worden gegeven door vectorruimten met aanvullende gegevens te bestuderen, meestal vectorruimten, die zijn uitgerust met een gepaste topologie, die het mogelijk maakt om zaken als nabijheid en continuïteit in beschouwing te nemen. Dit soort verrijkte topologische vectorruimten, met name Banachruimten en Hilbertruimten, hebben een rijkere theorie. Historisch gesproken kunnen de eerste ideeën, die hebben geleid tot vectorruimten, teruggevoerd worden tot de 17e-eeuwse analytische meetkunde, matrices, stelsels van lineaire vergelijkingen en Euclidische vectoren. De moderne, meer abstracte behandeling werd in de late 19e-eeuw voor voor het eerst door Giuseppe Peano geformuleerd en omvat meer algemene objecten dan de Euclidische ruimte. Veel van de theorie kan worden gezien als een uitbreiding van de klassieke meetkundige ideeën zoals lijnen, vlaken en hun hoger-dimensionale analogonen. Vandaag de dag vindt men vectorruimten door de gehele wiskunde, natuurwetenschappen en ingenieurskunst heen. Vectorruimten vormen de gepaste lineaire algebraïsche notie om met stelsels van lineaire vergelijkingen om te gaan. Ook bieden zij een raamwerk voor de Fourierreeksen, die wordt gebruikt in beeldcompressie algoritmen, en bieden zij een omgeving die kan worden gebruikt voor oplossingstechnieken voor partiële differentiaalvergelijkingen. Bovendien leveren vectorruimten een abstracte, coördinaten-vrije manier van omgaan met meetkundige en natuurkundige objecten, zoals tensoren, die op hun beurt het onderzoek van de lokale eigenschappen van variëteiten door linearisatietechnieken toestaan. De notie van vectorruimten ksn ook in verschillende richtingen worden veralgemeend, wat leidt tot geavanceerde begrippen in de meetkunde en de abstracte algebra.
- Et vektorrom er det grunnleggende matematiske objektet i lineær algebra, og det defineres ved en rekke aksiom. Slik sett er vektorrom et abstrakt begrep, men det er mange eksempler – Euklidske n-rom, matriserom, reelle funksjoner. Felles for disse eksemplene er de to operasjonene addisjon og skalarmultiplikasjon og aksiomene for vektorrom er nettopp en beskrivelse av de viktigste egenskapene disse operasjonene har. Objektene i et vektorrom kalles vektorer.
- Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii. Naturalnymi przykładami przestrzeni liniowych są dwu- i trójwymiarowe przestrzenie euklidesowe. Wektory w tych przestrzeniach utożsamiane są odpowiednio z parami i trójkami uporządkowanymi liczb rzeczywistych, reprezentowanymi często w postaci wektorów geometrycznych charakteryzowanych przez kierunek, zwrot oraz wartość, które zwykle przedstawia się je jako strzałki. Wektory takie mogą być sumowane wg reguły równoległoboku lub mnożone przez liczby rzeczywiste . Właściwości wektorów geometrycznych stanowią dobry intuicyjny model dla wektorów w bardziej abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych, które nie mają interpretacji geometrycznej. Przykładem takiej przestrzeni jest np. zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych.
- Um dos conceitos básicos em álgebra linear é o de 'espaço vectorial' ou 'espaço vetorial' ou espaço linear. A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, juntamente com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a idéia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto de elementos e duas operações definidas sobre os elementos deste conjunto, adição e multiplicação por números reais. A multiplicação por reais pode ser trocada ainda por algo mais geral como mostrado a seguir. Não é necessário que os vetores tenham interpretação geométrica, mas podem ser quaisquer objetos que satisfaçam os axiomas abaixo. Polinômios de grau menor ou igual a <math>n</math> (<math>n</math> ∈ N) formam um espaço vetorial, por exemplo, assim como grupos de matrizes <math>m</math> × <math>n</math> e o espaço de todas as funções de um conjunto no conjunto R dos números reais.
- Noţiunea de spaţiu vectorial, sau spaţiu liniar, este una fundamentală în algebra liniară. Dacă luăm în considerare vectorii geometrici şi operaţiile care pot fi efectuate asupra lor, cum ar fi adunarea vectorială, înmulţirea cu scalari, cu unele constrângeri naturale cum ar fi închiderile acestor operaţii, asociativitatea lor, combinaţiile de operaţii, şi aşa mai departe, ajungem la descrierea unei structuri matematice pe care o numim spaţiu vectorial. "Vectorii" pot să nu fie chiar vectori geometrici, ci pot fi orice obiect matematic care satisface următoarele axiome ale spaţiilor vectoriale. De exemplu, polinoamele de grad n cu coeficienţi reali formează un spaţiu vectorial. Fiind astfel abstracte, spaţiile vectoriale sunt foarte utile în multe arii ale matematicii moderne.
- Лине́йное простра́нство, или ве́кторное простра́нство — основной объект изучения линейной алгебры.
- Ett linjärt rum (även kallat ett vektorrum) är en mängd med en 'linjär struktur'. Om man tar två element ur mängden, så kan man sammanfoga dem (addera dem) till ett nytt element, som även det ligger i mängden: <math>x,y \in L \quad \Longrightarrow \quad x+y \in L. </math> Man kan även ta ett element ur mängden och 'multiplicera' det med ett tal. Då bildas ett nytt element som även det ligger i mängden. <math>x \in L, \quad c \in \mathbb{R}, \quad \Longrightarrow \quad c \cdot x \in L. </math> (På 'matematiska' säger man att 'mängden är sluten under addition och multiplikation med skalärer'. ) 'Sammanfogningen' (<math>+</math>) och 'multiplikationen' (<math>\cdot</math>) har samma egenskaper som vanlig addition med tal och multiplikation med tal.
- Vektör uzayı, matematikte ölçeklenebilir ve eklenebilir bir nesneler (vektörler) topluluğu. Daha resmi bir tanımla, bir vektör uzayı, üzerinde vektör ekleme (toplama) ve ölçeksel çarpma adı verilen iki işlemin yapılabildiği ve bunların bazı aksiyomları sağladığı kümedir. K bir cisim ve <math>(V, +, 0)</math> bir abelyen grup olsun. Ayrıca <math>K \times V</math>'den <math>V</math>'ye giden bir fonksiyonun varlığını varsayalım. Eğer <math>a\in K</math> ve <math>v \in V</math> ise, bu fonksiyonun <math>(a,v)</math> çiftinde aldığı değeri av olarak yazalım. Bütün bunlar şu özellikleri sağlasın: Her <math>a,b\in K</math> ve <math>v, w\in V</math> için V1. <math>a(v+w)=av+aw</math>, V2. <math>(a+b)v=av+bv</math>, V3. <math>(ab)v=a(bv)</math>, V4. <math>1v=v</math>. O zaman <math>(V, +, 0, K\times V \longrightarrow V)</math> yapısına K üzerine bir vektör uzayı adı verilir. <math>V</math> kümesinin elemanlarına vektör denir. Eğer K bir cisimse ve n bir doğal sayıysa, <math>K^n</math> kümesi, <math>(x_1, \ldots, x_n) + (y_1, \ldots, y_n) = (x_1 + y_1,\ldots, x_n + y_n)</math> işlemiyle ve <math>a(x_1, \ldots, x_n) = (ax_1,\ldots, ax_n)</math> işlemiyle bir vektör uzayıdır. Burada <math>K^n</math> yerine K'nın herhangi bir kartezyen çarpımını alabiliriz ve vektör uzayı yapısını benzer biçimde (koordinat koordinat) tanımlayabiliriz.
- Ве́кторний (ліні́йний) про́стір — основне поняття лінійної алгебри, абстрактне узагальнення множини всіх векторів на площині чи в просторі з операціями додавання векторів та множення вектора на скаляр. Елементи лінійного простора називаються векторами, але не робиться ніяких припущень стосовно природи чи походження цих елементів. Наприклад, у функціональному аналізі розглядаються топологічні векторні простори, утворені з функцій однієї чи кількох змінних, а вектори стану в квантовій механіці описують стан квантової системи. Матриці заданого розміру також утворюють векторний простір. Зміст наведених нижче аксіом полягає у тому, що незалежно від природи елементів векторного простора, їхнє додавання і множення на скаляр задовільняють «звичайним правилам шкільної алгебри». У довільному векторному просторі не визначені операції скалярного чи векторного добутку векторів. Ці операції вводяться окремо, певною мірою, незалежно від означення додавання векторів і множення вектора на скаляр. Інакше кажучи, скалярний добуток на векторному просторі — це додаткова структура, якої в принципі може і не бути. Проте векторні простори із скалярним або ермітовим скалярним добутком відіграють важливу роль як у лінійній алгебрі, так і поза її межами, див. напр. гільбертів простір.
- 向量空間（或称線性空間）是现代数学中的一个基本概念。是線性代數研究的基本对象。 向量空间的一个直观模型是向量几何，幾何上的向量及相关的運算即向量加法，標量乘法，以及对運算的一些限制如封闭性，结合律，已大致地描述了“向量空間”这个數學概念的直观形象。 在现代数学中，“向量”的概念不仅限于此，符合下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如，實系數多項式的集合在定义适当的运算后构成向量空間，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。
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- 200px|thumb|right|Vector addition and scalar multiplication a vector v (blue) is added to another vector w (red, upper illustration). Below, w is stretched by a factor of 2, yielding the sum v + 2·w. A vector space is a mathematical structure formed by a collection of vectors objects that may be added together and multiplied ("scaled") by numbers, called scalars in this context.
- thumb|right|Vektoraddition und Skalarmultiplikation Ein Vektor v (blau) wird zu einem anderen Vektor w addiert (rot, oben). Unten wird w um einen Faktor 2 gestreckt, das Ergebnis ist die Summe v + 2·w. Ein Vektorraum oder linearer Raum ist eine algebraische Struktur, die in fast allen Zweigen der Mathematik verwendet wird. Eingehend betrachtet werden Vektorräume in der Linearen Algebra. Die Elemente eines Vektorraums heißen Vektoren.
- 200px|thumb|right|Suma vectorial i multiplicació per un escalar un vector v (blau) s'afegeix a un altre vector w (il·lustració vermella, a dalt). A sota, a w se li aplica un factor d'escala de 2, i llavors es calcula la suma v + 2·w.
- Vektorový prostor (též lineární prostor) je základním objektem studia lineární algebry. Prvky vektorového prostoru se nazývají vektory. Při zavádění vektorů lze uvažovat některé operace společně s některými omezeními Tím dospějeme k matematické struktuře zvané vektorový prostor.
- Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones escalarse (multiplicarlos por un escalar) y sumarse. Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo.
- Vektoriavaruus eli lineaariavaruus on matemaattinen struktuuri, joka on lineaarialgebran peruskäsite. Niitä käytetään paljon erityisesti matriisilaskennassa ja funktionaalianalyysissa. Vektoriavaruutta ajatellaan joukkona, johon on määritelty kaksi laskutoimitusta: alkioiden summa ja ns. skalaarilla kertominen. Vektoriavaruuden alkioita kutsutaan vektoreiksi.
- En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Étant donné un corps K, un espace vectoriel E sur K est un groupe commutatif (dont la loi est notée +) munie d'une action compatible de K (voir la définition exacte). Les éléments de E sont appelés des vecteurs, et les éléments de K des scalaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.
- A vektortér, vagy más megfogalmazásban lineáris tér a lineáris algebra egyik legalapvetőbb strukturális fogalma. A vektortér eleme a szokásos geometriai vektorfogalom általánosított formája. A vektorokkal végezhető műveletek legelemibb tulajdonságait axiomatikusan definiálja. A lineáris tér a mi szokásos síkunk és terünk általánosítása többdimenziós terekre.
- In matematica, lo spazio vettoriale (chiamato più raramente spazio lineare) è una struttura algebrica di grande importanza. Si tratta di una generalizzazione dell'insieme formato dai vettori del piano cartesiano ordinario e dell'insieme dei vettori dello spazio tridimensionale dotati delle operazioni di somma di vettori e di moltiplicazione di un vettore per un numero reale.
- Een vectorruimte (ook lineaire ruimte genoemd) is een centraal begrip in de lineaire algebra. Een vectorruimte is een wiskundige structuur, die wordt gevormd door een collectie van vectoren: wiskundige objecten, die kunnen worden opgeteld door middel van vectoroptelling en die kunnen worden vermenigvuldigd ("geschaald") door getallen, die in deze context scalairen worden genoemd.
- Et vektorrom er det grunnleggende matematiske objektet i lineær algebra, og det defineres ved en rekke aksiom. Slik sett er vektorrom et abstrakt begrep, men det er mange eksempler – Euklidske n-rom, matriserom, reelle funksjoner. Felles for disse eksemplene er de to operasjonene addisjon og skalarmultiplikasjon og aksiomene for vektorrom er nettopp en beskrivelse av de viktigste egenskapene disse operasjonene har. Objektene i et vektorrom kalles vektorer.
- Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej.
- Um dos conceitos básicos em álgebra linear é o de 'espaço vectorial' ou 'espaço vetorial' ou espaço linear. A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, juntamente com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a idéia básica de um espaço vetorial.
- Noţiunea de spaţiu vectorial, sau spaţiu liniar, este una fundamentală în algebra liniară. Dacă luăm în considerare vectorii geometrici şi operaţiile care pot fi efectuate asupra lor, cum ar fi adunarea vectorială, înmulţirea cu scalari, cu unele constrângeri naturale cum ar fi închiderile acestor operaţii, asociativitatea lor, combinaţiile de operaţii, şi aşa mai departe, ajungem la descrierea unei structuri matematice pe care o numim spaţiu vectorial.
- Лине́йное простра́нство, или ве́кторное простра́нство — основной объект изучения линейной алгебры.
- Ett linjärt rum (även kallat ett vektorrum) är en mängd med en 'linjär struktur'. Om man tar två element ur mängden, så kan man sammanfoga dem (addera dem) till ett nytt element, som även det ligger i mängden: <math>x,y \in L \quad \Longrightarrow \quad x+y \in L. </math> Man kan även ta ett element ur mängden och 'multiplicera' det med ett tal. Då bildas ett nytt element som även det ligger i mängden.
- Vektör uzayı, matematikte ölçeklenebilir ve eklenebilir bir nesneler (vektörler) topluluğu. Daha resmi bir tanımla, bir vektör uzayı, üzerinde vektör ekleme (toplama) ve ölçeksel çarpma adı verilen iki işlemin yapılabildiği ve bunların bazı aksiyomları sağladığı kümedir. K bir cisim ve <math>(V, +, 0)</math> bir abelyen grup olsun. Ayrıca <math>K \times V</math>'den <math>V</math>'ye giden bir fonksiyonun varlığını varsayalım.
- Ве́кторний (ліні́йний) про́стір — основне поняття лінійної алгебри, абстрактне узагальнення множини всіх векторів на площині чи в просторі з операціями додавання векторів та множення вектора на скаляр.
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