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- In the philosophy of mathematics, ultrafinitism, or ultraintuitionism, is a form of finitism. Like other strict finitists, ultrafinitists deny the existence of the infinite set N of natural numbers, on the grounds that it can never be completed. In addition, ultrafinitists are concerned with our own physical restrictions in constructing (even finite) mathematical objects. Thus some ultrafinitists will deny the existence of, for example, the floor of the first Skewes' number, which is a huge number defined using the exponential function as exp(exp), or <math> e^{e^{e^{79}}}\mbox{. } \! </math> The reason is that nobody has yet calculated what natural number is the floor of this real number, and it may not even be physically possible to do so. Ultrafinitism is a form of constructivism, but even constructivists generally view the philosophy as unworkably extreme. The logical foundation of ultrafinitism is unclear; in his comprehensive survey Constructivism in Mathematics (1988), the constructive logician A. S. Troelstra dismissed it as "no satisfactory development exists at present". This was not so much a philosophical objection as it was an admission that, in a rigorous work of mathematical logic, there was simply nothing precise enough to include. Serious work on ultrafinitism has been led, since 1959, by Alexander Esenin-Volpin. Other considerations of the possibility of avoiding unwieldily large numbers can be based on complexity theory, as in Andras Kornai's work on explicit finitism and Vladimir Sazonov's notion of feasible number. An objection has been raised that ultrafinitism is a nonsensical stance, being described by the absolute (without reference to a place) non-existence of a certain entity. According to this view it is as nonsensical to talk of existence without a place as it is to talk of a proof without assumptions. Actually, this objection, which originated with Carnap, could be applied to Ontology on the whole. Ultrafinitism can be seen as an alternative term to strict finitism.
- Ultrafinitismus (auch Ultraintuitionismus genannt) ist eine Version des Finitismus in der Philosophie der Mathematik. Ultrafinitisten beschäftigen sich mit der Konstruktion mathematischer Objekte unter Berücksichtigung der physikalischen Beschränktheit des Menschen. Sie lehnen nicht nur, wie andere Anhänger des Finitismus, die Existenz von mathematischen Strukturen ab, zu deren Konstruktion eine unendliche Zahl von Schritten erforderlich wäre (wie bei der Menge der natürlichen Zahlen <math> \mathbb{N}</math>), sondern zweifeln auch am Sinn von Zahlen wie <math>\left\lfloor e^{e^{e^{79}}}\right\rfloor</math> (die größte natürliche Zahl, die kleiner ist als Skewes' Zahl). Dies begründen sie damit, dass niemand diese Zahl bisher berechnet hat und dass es möglicherweise physikalisch nicht möglich ist, sie zu berechnen. Die Anzahl der Elementarteilchen im beobachtbaren Universum liegt bei <math>10^{100}</math>, die Anzahl von deren möglichen Umordnungen bei <math>10^{(10^{100})}</math>, während Skewes' Zahl bei <math>10^{(10^{})}</math> liegt. Obwohl Ultrafinitismus eine Form des Konstruktivismus ist, wird er von den allermeisten Konstruktivisten als unpraktikabel angesehen. Der konstruktive Logiker A. S. Troelstra formulierte dazu in Constructivism in Mathematics: Es gibt derzeit keine befriedigende Ausarbeitung (no satisfactory development exists at present). Alexander Jessenin-Wolpin ist seit 1959 ein führender Vertreter des Ultrafinitismus.
- Nella filosofia della matematica, l'ultrafinitismo, detto anche ultraintuizionismo, è una variante estremista del finitismo. Gli ultrafinitisti negano l'esistenza dell'insieme infinito degli interi naturali N in quanto non può mai essere completato. Inoltre gli ultrafinitisti si preoccupano degli impedimenti fisici che si oppongono alla costruzione effettiva degli oggetti matematici. Quindi alcuni ultrafinitisti negano, ad esempio, l'esistenza del valore della funzione pavimento del primo numero di Skewes: questo è un numero grandissimo che si definisce ricorrendo alla funzione esponenziale come <math> \exp(\exp) \,=\, e^{e^{e^{79}}}</math> . La ragione sta nel fatto che nessuno ha finora calcolato il numero naturale che fornisce il pavimento di questo numero reale, e nel fatto che appare fisicamente impossibile effettuare il suo calcolo. L'ultrafinitismo è una variante del costruttivismo, ma anche se costruttivisti in generale giudicano la filosofia come una attività intrattabilmente estrema. Il fondamento logico dell'ultrafinitismo risulta poco chiaro. Il logico costruttivo Anne Sjerp Troelstra nella sua opera di ampia rassegna Constructivism in Mathematics, liquida l'ultrafinitismo dicendo che "al presente non dispone di uno sviluppo soddisfacente". Questa non è tanto una obiezione filosofica, ma piuttosto la semplice constatazione che non vi era nulla di abbastanza preciso sull'ultrafinitismo che potesse essere incluso in un'opera rigorosa di logica matematica. Un lavoro serio sull'ultrafinitismo era stato svolto a partire dal 1959, da Aleksander Esenin-Volpin. Altre considerazioni sulla possibilità di evitare numeri tanto grandi da non potersi maneggiare si possono basare sulla teoria della complessità computazionale; a queste si può collegare la nozione di numero praticabile.
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- In the philosophy of mathematics, ultrafinitism, or ultraintuitionism, is a form of finitism. Like other strict finitists, ultrafinitists deny the existence of the infinite set N of natural numbers, on the grounds that it can never be completed. In addition, ultrafinitists are concerned with our own physical restrictions in constructing (even finite) mathematical objects.
- Ultrafinitismus (auch Ultraintuitionismus genannt) ist eine Version des Finitismus in der Philosophie der Mathematik. Ultrafinitisten beschäftigen sich mit der Konstruktion mathematischer Objekte unter Berücksichtigung der physikalischen Beschränktheit des Menschen.
- Nella filosofia della matematica, l'ultrafinitismo, detto anche ultraintuizionismo, è una variante estremista del finitismo. Gli ultrafinitisti negano l'esistenza dell'insieme infinito degli interi naturali N in quanto non può mai essere completato. Inoltre gli ultrafinitisti si preoccupano degli impedimenti fisici che si oppongono alla costruzione effettiva degli oggetti matematici.
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